24.1.3 弧、弦、圓心角（導(dǎo)學(xué)案）-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊同步備課系列（人教版）（解析版）

24.1.3弧、弦、圓心角學(xué)習(xí)目標(biāo)：1）經(jīng)過觀察、討論、發(fā)現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)不變性和中心對稱性。2）經(jīng)過觀察、討論、推理了解圓心角、弧、弦之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解圓心角、弧、弦之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。學(xué)習(xí)過程1）課前導(dǎo)入【猜想1】你覺得圓是中心對稱圖形嗎？它的對稱中心在哪里？圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心【猜想2】嘗試把圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)一個(gè)任意角度，旋轉(zhuǎn)之后的圖形還能與原圖形重合嗎？可以2）課堂探究一、探索圓的旋轉(zhuǎn)不變性和中心對稱性【動手操作】剪一個(gè)圓形紙片，把它繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：一個(gè)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形和原圖形重合?！緞邮植僮鳌考粢粋€(gè)圓形紙片，把它繞圓心旋轉(zhuǎn)180°，所得的圖形與原圖形重合嗎？由此你能得到什么結(jié)論？結(jié)論：圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心。二、理解圓心角的概念圓心角的定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。圓心角的判斷方法：觀察頂點(diǎn)是否在圓心。【問題一】找出⊙Ｏ中的圓心角？答案：∠AOC、∠BOC【問題二】∠ABC是不是圓心角？并說明原因？答案：不是，頂點(diǎn)不在圓心【問題三】判斷下列哪個(gè)圖形為圓心角？答案：第四個(gè)為圓心角三、探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系【問題四】任意圓心角，對應(yīng)出現(xiàn)三個(gè)量：圓心角、弧、弦【猜想3】這三個(gè)量之間會有什么關(guān)系呢？1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。2）在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等。3)在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對優(yōu)弧和劣弧分別相等。小結(jié)：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等?！締栴}五】上述結(jié)論中“同圓或等圓”的條件能少嗎？不能少，理由：如圖右圖，已知∠COD=∠AOB但是線段CD不等于線段AB，弧CD也不等于弧AB?！靖拍罾斫狻?．如果兩個(gè)圓心角相等，那么（）A．這兩個(gè)圓心角所對的弦相等 B．這兩個(gè)圓心角所對的弧相等C．這兩個(gè)圓心角所對的弦的弦心距相等 D．以上說法都不對【解析】因?yàn)樵谕瑘A或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦以及弦心距相等,本題中題設(shè)中缺少”同圓或等圓”這一條件,故選D.2.在兩個(gè)圓中有兩條相等的弦，則下列說法正確的是（）A．這兩條弦所對的弦心距相等 B．這兩條弦所對的圓心角相等C．這兩條弦所對的弧相等 D．這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分【詳解】A.這兩條弦所對的弦心距不一定相等，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.這兩條弦所對的圓心角不一定相等，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.這兩條弦所對的弧不一定相等，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分(垂徑定理)，原說法正確，故本選項(xiàng)正確；故選D.3.已知，如圖，∠AOB=∠A．AB=CD B．C．△AOB≌△COD D【詳解】解：∵∠AOB=∠COD∴A、B、C下列說法中正確的是（）A．相等的圓心角所對的弧相等 B．相等的弧所對的圓心角相等C．相等的弦所對的弦心距相等 D．弦心距相等，則弦相等【詳解】解：A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故此說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、相等的弧所對的圓心角相等，故此說法正確，符合題意；C、在同圓或等圓中，相等的弦所對的弦心距相等，故此說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，弦心距相等，則弦相等，故此說法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【練一練】1．如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D．若AB=8，⊙O的半徑為5，則CD=（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵C是AB的中點(diǎn)，∴AC=CB，∴∠AOC=∠BOC，又∵OA=OB=5，AB=8，∴OC⊥AB，AD=BD=12AB=4在Rt△AOD中由勾股定理得：OD=AO∴CD=OC-OD=5-3=2．故選：B．2．如圖，AB是⊙O的直徑，弧BC、弧CD與弧DE相等，∠COD=36°，則∠A．30° B．36° C．54°【詳解】解：∵弧BC、弧CD與弧DE相等，∴∠COB=∴∠AOE=180又∵OE=OA，∴∠OEA=∠故選：C．3．如圖，AB是⊙O的直徑，AC=3BC，則∠A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°【詳解】如圖，連接OC∵AC∴AC∴∠AOC=∵OA=OC∴∠BAC=故選：A4．如圖，已知在⊙O中，BC是直徑，AB=DC，則下列結(jié)論不一定成立的是（

A． B．∠AOB=C．AB=DC D．O到AB、【詳解】在⊙O中，弦AB=弦DC，則其所對圓心角相等，即∠AOB=∠COD，所對優(yōu)弧和劣弧分別相等，所以有AB=DC，故B∵AB=DC，AO=DO=BO=CO∴△ABO≌△DCO可得出點(diǎn)O到弦AB，DC的距離相等，故D項(xiàng)結(jié)論正確；而由題意不能推出AB=OA，故A項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤．故選：A5．已知⊙O中，AB=2CD，則弦AB和2CDA．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．不能確定【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)E，則AE=∵AB=2∴AE=∴AE=BE=CD，∵AE+BE>AB，∴2CD>AB．故選C.6．下圖中是圓心角的是（

）A． B． C． D．【詳解】解：A、不是圓心角，故不符合題意；B、不是圓心角，故不符合題意；C、是圓心角，故符合題意；D、不是圓心角，故不符合題意；故選：C．7．已知⊙O的半徑為6cm，弦AB＝6cm，則弦AB所對的圓心角是________度．【詳解】如圖，連接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等邊三角形∴∠AOB=60°故弦AB所對的圓心角的度數(shù)為60°．故答案為：60．8．如圖，A、B、C、D為⊙O上的點(diǎn)，且AB=BC=CD．若∠COD=40°，則【詳解】解：∵AB=BC=∴∠AOB=∴∠AOD=120又∵OA=OD∴∠ADO=故答案為：30．9．已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．【詳解】證明：∵∠ABD=∠CDB，∴AD=∴AD+