2025屆廣西欽州市第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆廣西欽州市第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在處取得極小值，則（）A. B.C. D.2．曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.0C.1 D.23．已知直線：和：，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3C.-1或3 D.-14．已知，若對(duì)于且都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.6．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長(zhǎng)為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.7．從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列9．已知直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.19811．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.212．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則_____________.14．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________15．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.16．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，滿足，，則雙曲線C的方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在與處都取得極值.（1）求a，b的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.18．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點(diǎn)，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.20．（12分）設(shè)函數(shù)（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍21．（12分）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與曲線的焦點(diǎn)重合，且離心率為.（1）求橢圓的方程（2）設(shè)直線：交橢圓于M，N兩點(diǎn).①若且的面積為，求的值.②若軸上的任意一點(diǎn)到直線與直線（為橢圓的右焦點(diǎn)）的距離相等，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)22．（10分）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與雙曲線半實(shí)軸長(zhǎng)之差為4，離心率之比為3∶7（1）求這兩曲線方程；（2）若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求△F1PF2的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由導(dǎo)數(shù)與極值與最值的關(guān)系，列式求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由條件可知，，，解得：，，檢驗(yàn)，時(shí)，當(dāng)，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當(dāng)，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，滿足條件.所以.故選：A2、A【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程為，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得故選：A3、D【解析】利用兩直線平行列式求出a值，再驗(yàn)證即可判斷作答.【詳解】因，則，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為-1.故選：D4、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，求得的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對(duì)于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：D5、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，再結(jié)合即可得的值.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.6、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長(zhǎng)為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A7、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長(zhǎng)，再根據(jù)光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長(zhǎng)為，在圖②中，的周長(zhǎng)為，因?yàn)楣馑傧嗤?，且，所以，即，所以，即的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為，故選：D8、C【解析】寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察規(guī)律，找到數(shù)列變化的周期，再依次去判斷各項(xiàng)的說法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項(xiàng)是周期為6數(shù)值循環(huán)重復(fù)的一列數(shù)，選項(xiàng)A：，，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由，可知當(dāng)時(shí)，.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，則，即,,成等差數(shù)列.判斷正確；選項(xiàng)D：,,則，,即,,不能構(gòu)成等比數(shù)列.判斷錯(cuò)誤.故選：C9、C【解析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得m，再結(jié)合充分必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】由直線l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m＝－1時(shí)，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的充要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎(chǔ)題10、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時(shí)，該數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，最大值為，故選：A11、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，即，所以或，即或（舍去），所以，因?yàn)椋?，所以；故選：C12、C【解析】設(shè)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出，解出縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標(biāo)，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意可知，再利用裂項(xiàng)相消法，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.14、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:點(diǎn)睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)15、【解析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.16、①.##1.5②.【解析】求得焦點(diǎn)到漸近線的距離可得，計(jì)算即可求得離心率，由雙曲線的定義可求得，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】(1)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為零，據(jù)此即可求出a和b；(2)利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)在時(shí)的最大值即可.【小問1詳解】由題設(shè)，，又，，解得，.【小問2詳解】由（1）得，即，當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：1+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，為極大值，又，顯然f（-）＜f(2)所以為在上的最大值.要使對(duì)任意恒成立，則只需，解得或c>1.∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為.18、（1）證明見解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量與的方向向量，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點(diǎn)，，平面，，又，平面，平面.【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為19、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解題即可（2）利用分子分母同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)思想，注意討論分母不為0【小問1詳解】由題，即，解得或，即；【小問2詳解】由題，解得或，即20、（1）（2）【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫切線方程；（2）由函數(shù)圖像可知，極大值大于零且極小值小于零，解不等式可得c的取值范圍試題解析：解：（I）由，得因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（II）當(dāng)時(shí)，，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當(dāng)且時(shí)，存在，，，使得由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)21、（1）（2）①；②證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】（1）由所給條件確定基本量即可.（2）①代入消元，韋達(dá)定理整體思想，列出關(guān)于的方程從而得解；②由已知可知，得到關(guān)于、的一次關(guān)系式可得證.【小問1詳解】由已知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，橢圓的方程：【小問2詳解】①將與橢圓方程聯(lián)立得.設(shè)，，則，解得，∴，，點(diǎn)到直線的距離為，∴，解得（舍去負(fù)值），∴.②設(shè)，，將與橢圓方程聯(lián)立，得，當(dāng)時(shí)，∴，，，若軸上任意一點(diǎn)到直線與的距離均相等，則軸為直線與的夾角的平分線，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直線恒過一定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.22、（1）橢圓方程為雙曲線方程為；（2）12【解析】（1）根據(jù)半焦距，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，由離心率之比求出a，進(jìn)而求出橢圓短半軸的長(zhǎng)及雙曲線的虛半軸的長(zhǎng)，寫出橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由橢圓、雙曲線的定義求出與的長(zhǎng)，在