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2025屆江蘇省南京市浦口區(qū)江浦高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末考試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合,,則()A. B.C. D.2.已知,為銳角,,,則的值為()A. B.C. D.3.函數(shù)部分圖像如圖所示,則的值為()A. B.C. D.4.已知為第二象限角,則的值是()A.3 B.C.1 D.5.直線x+1=0的傾斜角為A.0 B.C. D.6.已知圓錐的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,則其母線與底面半徑之比為A.1 B.C. D.27.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,若,,,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.8.已知某幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸單位:,可得這個(gè)幾何體得體積是A. B.C.2 D.49.某人用如圖所示的紙片,沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈”,正方形做燈底,且有一個(gè)三角形面上寫(xiě)上了“年”字,當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí),正好看到“新年快樂(lè)”的字樣,則在①、②、③處應(yīng)依次寫(xiě)上A.快、新、樂(lè) B.樂(lè)、新、快C.新、樂(lè)、快 D.樂(lè)、快、新10.下列函數(shù)中既是奇函數(shù),又在區(qū)間上是增函數(shù)的是()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,P在冪函數(shù)的圖象上,則___________.12.如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____13.2021年10月16日0時(shí)23分,搭載神舟十三號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭,在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空.約582秒后,載人飛船與火箭成功分離,進(jìn)入預(yù)定軌道,發(fā)射取得圓滿成功.此次航天飛行任務(wù)中,火箭起到了非常重要的作用.火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和,在不考慮空氣阻力的條件下,燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對(duì)數(shù)之差成正比.已知某火箭的箭體質(zhì)量為mkg,當(dāng)燃料質(zhì)量為mkg時(shí),該火箭的最大速度為2ln2km/s,當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí),該火箭最大速度為2km/s.若該火箭最大速度達(dá)到第一宇宙速度7.9km/s,則燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的_______________倍.(參考數(shù)據(jù):)14.若函數(shù),,則_________;當(dāng)時(shí),方程的所有實(shí)數(shù)根的和為_(kāi)_________.15.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù).現(xiàn)有兩名剪紙藝人創(chuàng)作甲、乙兩種作品,他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示,其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名藝人下午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù),i=1,①該天上午第1名藝人創(chuàng)作的甲作品數(shù)比乙作品數(shù)少;②該天下午第1名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)少;③該天第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少;④該天第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少.其中所有正確結(jié)論序號(hào)是___________.16.已知是定義在R上的偶函數(shù),且在上為增函數(shù),,則不等式的解集為_(kāi)__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.觀察下列各等式:,,.(1)請(qǐng)選擇其中的一個(gè)式子,求出a的值;(2)分析上述各式的特點(diǎn),寫(xiě)出能反映一般規(guī)律的等式,并進(jìn)行證明.18.已知函數(shù)是二次函數(shù),,(1)求的解析式;(2)解不等式19.定義在上的奇函數(shù),已知當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)a的值;求在上解析式;若存在時(shí),使不等式成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍20.已知向量,,函數(shù),且的圖像過(guò)點(diǎn).(1)求的值;(2)將的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像,若圖像上各點(diǎn)最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為1,求的單調(diào)遞增區(qū)間.21.已知函數(shù)(為常數(shù))是奇函數(shù).(1)求的值與函數(shù)的定義域.(2)若當(dāng)時(shí),恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】先求出集合B,再求出兩集合的交集即可【詳解】由,得,所以,因?yàn)椋?,故選:D2、A【解析】,根據(jù)正弦的差角公式展開(kāi)計(jì)算即可.【詳解】∵,,∴,又∵,∴,又,∴,∴,,∴故選:A.3、C【解析】根據(jù)的最值得出,根據(jù)周期得出,利用特殊點(diǎn)計(jì)算,從而得出的解析式,再計(jì)算.【詳解】由函數(shù)的最小值可知:,函數(shù)的周期:,則,當(dāng)時(shí),,據(jù)此可得:,令可得:,則函數(shù)的解析式為:,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.4、C【解析】由為第二象限角,可得,再結(jié)合,化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意,,因?yàn)闉榈诙笙藿牵?,所?故選:C.5、C【解析】軸垂直的直線傾斜角為.【詳解】直線垂直于軸,傾斜角為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形,根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)即為圓錐的底面圓的周長(zhǎng)可得母線與底面圓半徑間的關(guān)系【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為,底面圓的半徑為,由已知可得,所以,所以,即圓錐的母線與底面半徑之比為2.故選D【點(diǎn)睛】解答本題時(shí)要注意空間圖形和平面圖形間的轉(zhuǎn)化以及轉(zhuǎn)化過(guò)程中的等量關(guān)系,解題的關(guān)鍵是根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)得到等量關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】先利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,結(jié)合偶函數(shù)定義得,再判斷,和的大小關(guān)系,根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,即得結(jié)果.【詳解】偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可知,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.,故,而,,即,故,由單調(diào)性知,即.故選:D.8、B【解析】先根據(jù)三視圖得到幾何體的形狀,然后再根據(jù)條件中的數(shù)據(jù)求得幾何體的體積【詳解】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐,如下圖中的四棱錐由題意得其底面面積,高,故幾何體的體積故選B【點(diǎn)睛】由三視圖還原幾何體的方法(1)還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺(tái)、球的組合體(2)注意圖中實(shí)、虛線,實(shí)際是原幾何體中的可視線與被遮擋線(3)想象原形,并畫(huà)出草圖后進(jìn)行三視圖還原,把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系,與所給三視圖比較,通過(guò)調(diào)整準(zhǔn)確畫(huà)出原幾何體9、A【解析】根據(jù)四棱錐圖形,正好看到“新年快樂(lè)”的字樣,可知順序?yàn)棰谀辎佗郏纯傻贸鼋Y(jié)論【詳解】根據(jù)四棱錐圖形,正好看到“新年快樂(lè)”的字樣,可知順序?yàn)棰谀辎佗?,故選A【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí),屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】利用函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)分別對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A,函數(shù)圖象總在x軸上方,不是奇函數(shù),A不滿足;對(duì)于B,函數(shù)在R上遞增,且,該函數(shù)是奇函數(shù),B滿足;對(duì)于C,函數(shù)是偶函數(shù),C不滿足;對(duì)于D,函數(shù)定義域是非零實(shí)數(shù)集,而,D不滿足.故選:B二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、64【解析】由題意可求得點(diǎn),求出冪函數(shù)的解析式,從而求得.【詳解】令,則,故點(diǎn);設(shè)冪函數(shù),則,則;故;故答案為:64.12、【解析】利用即可得出.【詳解】函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),即方程只有1個(gè)根,,解得.故答案為:.13、51【解析】設(shè)燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對(duì)數(shù)之差成正比的比例系數(shù)為k,根據(jù)條件列方程求出k值,再設(shè)當(dāng)該火箭最大速度達(dá)到第--宇宙速度7.9km/s時(shí),燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的a倍,根據(jù)題中數(shù)據(jù)再列方程可得a值.【詳解】設(shè)燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對(duì)數(shù)之差成正比的比例系數(shù)為k,則,解得,設(shè)當(dāng)該火箭最大速度達(dá)到第一宇宙速度7.9km/s時(shí),燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的a倍,則,得,則燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的51倍故答案為:51.14、①.0②.4【解析】直接計(jì)算,可以判斷的圖象和的圖象都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),所以所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,分別作出函數(shù)與的圖象,圖象的對(duì)稱(chēng)中心為,令,可得,當(dāng)時(shí),,所以的對(duì)稱(chēng)中心為,所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn),設(shè)個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,,,,且,則,,所以,所以方程的所有實(shí)數(shù)根的和為,故答案為:,【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出的圖象和的圖象都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),作出函數(shù)圖象可知兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn),設(shè)個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,,,,且,則和關(guān)于中心對(duì)稱(chēng),和關(guān)于中心對(duì)稱(chēng),所以,,即可求解.15、①②④【解析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的意義結(jié)合圖形逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①,由題意可知,A1的橫、縱坐標(biāo)分別為第1名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù),由圖可知A1的橫坐標(biāo)小于縱坐標(biāo),所以該天上午第對(duì)于②,由題意可知,B1的縱坐標(biāo)為第1名藝人下午創(chuàng)作的乙作品數(shù),B2的縱坐標(biāo)為第2名藝人下午創(chuàng)作的乙作品數(shù),由圖可知B1的縱坐標(biāo)小于B2的縱坐標(biāo),所以該天下午第對(duì)于③,④,由圖可知,A1,B1的橫、縱坐標(biāo)之和大于A2故答案為:①②④16、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及所過(guò)的定點(diǎn),進(jìn)而解出不等式.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù),且在上為增函數(shù),,所以函數(shù)在上為減函數(shù),.所以且在上為增函數(shù),,在上為減函數(shù),.所以的解集為:.故答案為:.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)詳解【解析】(1)利用第三個(gè)式子,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可;(2)用兩角和正弦公式展開(kāi),代入化簡(jiǎn),結(jié)合,即得解【小問(wèn)1詳解】由題意,【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題干中各個(gè)式子的特點(diǎn),猜想等式:證明:左邊即得證18、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)得對(duì)稱(chēng)軸為,再結(jié)合頂點(diǎn)可求解;(2)由(1)得,然后直接解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】由,知此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為,又因?yàn)椋允堑捻旤c(diǎn),所以設(shè)因,即所以得所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗曰癁?,即或不等式的解集?9、(1);(2);(3).【解析】根據(jù)題意,由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得,解可得的值,驗(yàn)證即可得答案;當(dāng)時(shí),,求出的解析式,結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案;根據(jù)題意,若存在,使得成立,即在有解,變形可得在有解設(shè),分析的單調(diào)性可得的最大值,從而可得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意,是定義在上的奇函數(shù),則,得經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意;故;根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又是奇函數(shù),則綜上,當(dāng)時(shí),;根據(jù)題意,若存在,使得成立,即在有解,即在有解又由,則在有解設(shè),分析可得在上單調(diào)遞減,又由時(shí),,故即實(shí)數(shù)m的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,屬于綜合題20、(1);(2).【解析】(1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再把點(diǎn)代入,求得的值(2)根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】(1)已知,過(guò)點(diǎn)解得:;(2)左移后得到設(shè)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為,解得,解得,,,的單調(diào)增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要
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