河南省開封市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

河南省開封市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若E的漸近線上恰好存在四個(gè)點(diǎn)，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（）A. B.C. D.3．在長(zhǎng)方體，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.5．《九章算數(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升6．（2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.7．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.58．若直線l的傾斜角是鈍角，則l的方程可能是（）A. B.C. D.9．函數(shù)在處有極小值5，則（）A. B.C.或 D.或310．觀察：則第行的值為（）A. B.C. D.11．設(shè)，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件12．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝________14．在不等邊△ABC(三邊均不相等)中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有，則角C的大小為________15．將邊長(zhǎng)為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓柱體積為________.16．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知某學(xué)校的初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時(shí)間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級(jí)各抽取的人數(shù)是多少？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）另?yè)?jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時(shí)間超過4小時(shí)的人中2人來自初中年級(jí)，3人來自高中年級(jí)，從中任選2人，恰好1人來自初中年級(jí)，1人來自高中年級(jí)的概率是多少18．（12分）已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、，求的取值范圍19．（12分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，且.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，若，求n的最小值.20．（12分）已知二次函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若，解關(guān)于x的不等式.21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知圓，直線（1）求證：對(duì)，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)此時(shí)以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)圓M與漸近線相切時(shí)，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，，解得E的離心率為，此時(shí)以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D2、D【解析】令，代入可得，即得，再由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，判斷得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，則化簡(jiǎn)可得，即函數(shù)的周期為，從而代入求解.【詳解】令，得，即，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，所以，即，可得，則，故選：D.第II卷（非選擇題3、A【解析】在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量，的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求得答案.詳解】如圖，由題意可知DA，DC，兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，從而，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：A.4、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.5、B【解析】設(shè)出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列，根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)求出的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出第5節(jié)的容積【詳解】解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：，，，，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題6、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.7、C【解析】直線l過定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，，弦長(zhǎng)＝.故選：C.8、A【解析】根據(jù)直線方程，求得直線斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可判斷和選擇.【詳解】若直線的傾斜角為，則，當(dāng)時(shí)，為鈍角，當(dāng)，，當(dāng)，為銳角；當(dāng)不存在時(shí)，傾斜角為，對(duì)A：，顯然傾斜角為鈍角；對(duì)B：，傾斜角為銳角；對(duì)C：，傾斜角為銳角；對(duì)D：不存在，此時(shí)傾斜角為直角.故選：A.9、A【解析】由題意條件和，可建立一個(gè)關(guān)于的方程組，解出的值，然后再將帶入到中去驗(yàn)證其是否滿足在處有極小值，排除增根，即可得到答案.【詳解】由題意可得，則，解得，或．當(dāng)，時(shí)，．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處有極大值5，不符合題意．當(dāng)，時(shí)，．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處有極小值5，符合題意，從而故選：A.10、B【解析】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，利用等差數(shù)列求和，即可得到答案；【詳解】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，，故選：B11、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.12、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1則f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e14、【解析】由正弦定理可得,又,,,,,在三角形中,.考點(diǎn)：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.15、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：16、【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為45、55（2）2.375小時(shí)，2.4小時(shí)（3）【解析】（1）依據(jù)分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)即可；（3）依據(jù)古典概型即可求得恰好1人來自初中年級(jí)，1人來自高中年級(jí)的概率.【小問1詳解】設(shè)初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因?yàn)?，，所以中位?shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則，解得，所以學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)；平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí).故估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)，平均時(shí)長(zhǎng)為2.4小時(shí)【小問3詳解】2人來自初中年級(jí)，記為，，3人來自高中年級(jí)，記為，，，則從中任選2人，所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來自初中年級(jí)，1人來自高中年級(jí)有6種可能，所以恰好1人來自初中年級(jí)，1人來自高中年級(jí)的概率為18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)直線的方程可得直線經(jīng)過定點(diǎn)，而點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，由此即可證明結(jié)果（2）由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)過圓心時(shí)，取最大值，當(dāng)和過的直徑垂直時(shí)，取最小值，由此即可求出結(jié)果.【小問1詳解】證明：由于直線，即令，解得，所以恒過點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；【小問2詳解】解：當(dāng)過圓心時(shí)，取最大值，即圓的直徑，由圓的半徑，所以的最大值為；當(dāng)和過的直徑垂直時(shí)，取最小值，此時(shí)圓心到的距離，所以，故的最小值為綜上，的取值范圍.19、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求解即可；（2）由裂項(xiàng)相消求和法得出，再由不等式的性質(zhì)得出n的最小值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有解得，所以an=2n.【小問2詳解】由（1）得，則，所以因?yàn)?，即，解得n>99，所以n的最小值為100.20、（1）（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為【解析】（1）帶入，將化解為，再利用基本不等式求最值即可；（2）將不等式移項(xiàng)整理為，再對(duì)a分類討論，比較兩根的大小，即可求得解集.【小問1詳解】當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)可整理為，因?yàn)?，所以利用基本不等式，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，y取到最小值.所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.【小問2詳解】將不等式整理為，令，即，解得兩根為與1，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)的解集為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)的解集為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)的解集為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于