人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提升精講精練專(zhuān)題20圓中最值問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)(九大題型)(原卷版+解析)

第二十四章圓專(zhuān)題20圓中最值問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)（九大題型）【題型目錄】題型一圓中的線段最值問(wèn)題題型二圓中的線段之和最值問(wèn)題題型三圓中的線段平方和最值問(wèn)題題型四圓中的面積最值問(wèn)題題型五圓中的周長(zhǎng)最值問(wèn)題題型六圓中的旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題題型七圓中的翻折最值問(wèn)題題型八阿氏圓求最值問(wèn)題（含相似證明）題型九圓中的最值綜合問(wèn)題【經(jīng)典題型一圓中的線段最值問(wèn)題】1．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，現(xiàn)以為邊在的下方作正方形并連接，則的最大值為（）

A． B．6 C． D．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)D在x軸正半軸上，且，以為直徑在第一象限作半圓，交線段于E、F，則線段的最大值為（）A． B． C． D．3．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊上，連接，F(xiàn)為中點(diǎn)，連接，點(diǎn)G在上且，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．4．（2023春·廣東·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，直線：交y軸于A，交x軸于B，x軸上一點(diǎn)，D為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則當(dāng)長(zhǎng)度最小時(shí)，線段的長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．5．（2023春·四川成都·八年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為．

6．（2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┰谥校瑸榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，則線段的最小值為．

7．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，交直線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，則的最小值為．8．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知中，，則的最大值為．

9．（2023·河南焦作·?？级＃┤鐖D，在中，，，，正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，則線段的取值范圍是．10．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）小明同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖所示的方式擺放，其中，，，，連接，取的中點(diǎn)F，將三角板繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F到直線的距離的最大值是．【經(jīng)典題型三圓中的線段平方和最值問(wèn)題】1．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓，是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓O，E是半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)P，設(shè)，則的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┰谥校魹檫叺闹悬c(diǎn)，則必有：成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問(wèn)題：如圖，在矩形中，已知，，點(diǎn)在以半徑為的上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為()A． B． C． D．4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，均在坐標(biāo)軸上，，過(guò)，，作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C均在坐標(biāo)軸上，AO＝BO＝CO＝1，過(guò)A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一點(diǎn)，連結(jié)CE，BE，則的最大值是．6．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)M（3，4），以M為圓心，2為半徑作⊙M．若點(diǎn)P是⊙M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA2＋PB2的最大值為7．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)、、均在坐標(biāo)軸上，，過(guò)、、作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是．8．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是以為圓心，1為半徑的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，，連接，，則的最小值是．9．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在邊長(zhǎng)為10的正方形中，以為直徑作半圓，圓心為，是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．(1)如圖1，若直線與圓相切，求線段的長(zhǎng)；(2)求的最小值；(3)如圖2，若，求的最小值．【經(jīng)典題型四圓中的面積最值問(wèn)題】1．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以為圓心、半徑為1的圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接、．則面積的最大值是（

）

A．21 B．33 C． D．422．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)高郵市南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，若點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、．點(diǎn)在上，且．給出以下四個(gè)結(jié)論：

①，②，③線段的最小值是，④面積的最大是16．其中正確的是（

）

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④3．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南師附中樹(shù)人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，在的同側(cè)作正，正和正，則四邊形面積最大值是（

）A．1 B．2 C． D．4．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為4的與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D，連接BC，已知x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則面積的最小值為（）A． B． C．12 D．165．（2023春·四川攀枝花·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則面積的最小值是．

6．（2023·江蘇蘇州·蘇州市景范中學(xué)校校考二模）如圖，已知等腰中，，點(diǎn)D、E分別為邊上任意點(diǎn)，以為直徑作圓正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與交于點(diǎn)F，則面積最大值為．

7．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）在中，若，，則面積的最大值為．8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知直線與坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、，則面積的最大值是．9．（2023春·陜西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點(diǎn)到弦的距離最大值為_(kāi)______；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；【問(wèn)題解決】（3）“雙減”是黨中央、國(guó)務(wù)院作出的重大決策部署，實(shí)施一年多來(lái)，工作進(jìn)展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進(jìn)一步落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實(shí)踐基地，如圖③，為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，學(xué)校計(jì)劃將四邊形部分修建為農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地，并沿鋪設(shè)一條人行走道，部分修建為興趣活動(dòng)基地．根據(jù)規(guī)劃要求，米，．且農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地部分（四邊形）的面積應(yīng)盡可能小，問(wèn)四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

10．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1所示，是等邊三角形，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在邊和上（D，E均不在所在線段的端點(diǎn)上），且，點(diǎn)M，P，N分別是線段上的中點(diǎn)，連接．

(1)請(qǐng)說(shuō)明．并求出的大??；(2)把繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，判斷的形狀并說(shuō)明理由；(3)把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大面積．【經(jīng)典題型五圓中的周長(zhǎng)最值問(wèn)題】1．（2023秋·山東濱州·九年級(jí)濱州市濱城區(qū)第三中學(xué)校考期末）如圖，等腰內(nèi)接于圓，直徑，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，且交于點(diǎn)．下列結(jié)論：平分；；當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大；當(dāng)，四邊形的面積為，正確的有（

）A． B． C． D．2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則當(dāng)之和取最小值時(shí)，的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∠FOG＝120°，∠FOG的兩邊OF，OG與AB，BC分別相交于D，E，∠FOG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE＝；④△BDE周長(zhǎng)最小值是9．其中正確個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊的中心，將AB、BC、CA分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到、、，連接、、、、．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°5．（2023春·湖北孝感·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，，則當(dāng)之和取最小值時(shí)，的周長(zhǎng)為．（用含a的代數(shù)式表示）

6．（2023春·福建漳州·八年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┑冗叺倪呴L(zhǎng)為，點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，的兩邊，與，分別相交于，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③周長(zhǎng)最小值是；④面積最大值是．其中正確的是．7．（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)校考二模）如圖所示，在扇形中，，半徑．點(diǎn)位于的處、且靠近點(diǎn)的位置，點(diǎn)、分別在線段、上，．為的中點(diǎn)．連接、．在滑動(dòng)過(guò)程中（長(zhǎng)度始終保持不變），當(dāng)取最小值時(shí)，陰影部分的周長(zhǎng)為．8．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，是以A為公共端點(diǎn)的兩條線段，且滿(mǎn)足，，作線段的垂直平分線l交于點(diǎn)D．點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊構(gòu)造等邊，連接．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，，則周長(zhǎng)的最小值為．（用含有a、b的式子表示）9．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┒x：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做“互余三角形”．如圖1，在和中，若，且，則和是“互余三角形”(1)以下四邊形中，一定能被一條對(duì)角線分成兩個(gè)“互余三角形”的是______；（填序號(hào)）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．(2)如圖2，等腰直角，其中，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），則圖中△______和△______是互余三角形，并求證：．(3)如圖3，的半徑為5，四邊形是的內(nèi)接四邊形，且和是“互余三角形”①求的值；②若°，求和的周長(zhǎng)之差．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州草橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為的外接圓，，點(diǎn)D是劣弧上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接．(1)如圖1，若是直徑，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．若，求四邊形的面積；(2)如圖2，若，半徑為3，設(shè)線段的長(zhǎng)為x，四邊形的面積為S．①用含有x的代數(shù)式表示S；②若點(diǎn)M，N分別在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置．的周長(zhǎng)有最小值p，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，p的值會(huì)發(fā)生變化．則所有p值中的最大值是．【經(jīng)典題型六圓中的旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．22．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)是中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，取得最小值時(shí)，的面積等于（

）．A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三角形，三角形均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)是、的中點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，，O為AC的中點(diǎn)，M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．35．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知在矩形中，，，O為矩形的中心，在等腰中，，．則邊上的高為；將繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，連接，取中點(diǎn)M，連接，則的最大值為．

6．（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周得到，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中長(zhǎng)度的最大值為．7．（2023·河南焦作·?？级＃┤鐖D，在中，，，，正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，則線段的取值范圍是．8．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）小明同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖所示的方式擺放，其中，，，，連接，取的中點(diǎn)F，將三角板繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F到直線的距離的最大值是．9．（2022·福建泉州·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．是邊上的動(dòng)點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，交于，連接．且，．

(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作△，取的中點(diǎn)為，連接．當(dāng)最大時(shí)，直接寫(xiě)出的值．10．（2023秋·重慶·九年級(jí)重慶市第十一中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)如圖1，若，，求的面積；(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)F使，分別連接交于點(diǎn)G．求證：．(3)如圖3，若，點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，，Q是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【經(jīng)典題型七圓中的翻折最值問(wèn)題】1．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到△，連接，設(shè)的長(zhǎng)為，則的范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿翻折使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．4．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為矩形，，，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，以為折痕將翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線段上一點(diǎn)，連接，，則的最小值為．5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，M是邊上的一點(diǎn)，且，N是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是．6（2022秋·福建泉州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折，得到，則的長(zhǎng)的最小值是．【經(jīng)典題型八阿氏圓求最值問(wèn)題（含相似證明）】1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是．3．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)校考期末）如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．4．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學(xué)?？级＃┤鐖D，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．5．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．6．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．8．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┛梢岳@點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫(xiě)出BD＋AD的值；（3）直接寫(xiě)出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BD＋AD的最小值．【經(jīng)典題型九圓中最值綜合問(wèn)題】1．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考二模）邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，于H，E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．于點(diǎn)F，分別交于點(diǎn)D，G．①當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，；②；③點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，點(diǎn)F經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)為1；④的最小值．正確結(jié)論是（

）A．②③ B．②④ C．①②④ D．①③④2．（2021秋·重慶九龍坡·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段OA上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)O，A重合），連接BQ，并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作FQ⊥BQ交CD于點(diǎn)F，分別連接BF與EF，BF交對(duì)角線AC于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)C作CH∥QF交BE于點(diǎn)H，連接AH．以下四個(gè)結(jié)論：①BQ＝QF；②DEF的周長(zhǎng)為8；③；④線段AH的最小值為2﹣2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖，矩形中，，．動(dòng)點(diǎn)E在邊上，以點(diǎn)E為圓心，以為半徑作弧，點(diǎn)G是弧上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)F在上，當(dāng)與弧相切于點(diǎn)G時(shí)，則的值是；（2）如圖②，若連結(jié)，，分別取、的中點(diǎn)P、Q，連接，M為的中點(diǎn)，則CM的最小值為．

4．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在半徑為2的中，是直徑，是弧的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與的兩邊分別交于（點(diǎn)與點(diǎn)均不重合），與分別交于兩點(diǎn)．

(1)連接，求證：．(2)連接，試探究；在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否為定值？若是，求出的大小；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)連接，試探究：在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第二十四章圓專(zhuān)題20圓中最值問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)（九大題型）【題型目錄】題型一圓中的線段最值問(wèn)題題型二圓中的線段之和最值問(wèn)題題型三圓中的線段平方和最值問(wèn)題題型四圓中的面積最值問(wèn)題題型五圓中的周長(zhǎng)最值問(wèn)題題型六圓中的旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題題型七圓中的翻折最值問(wèn)題題型八阿氏圓求最值問(wèn)題（含相似證明）題型九圓中的最值綜合問(wèn)題【經(jīng)典題型一圓中的線段最值問(wèn)題】1．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，現(xiàn)以為邊在的下方作正方形并連接，則的最大值為（）

A． B．6 C． D．【答案】B【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則是等腰直角三角形，，再利用三角形三邊關(guān)系可得答案．【詳解】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，

則是等腰直角三角形，，，在中，，的最大值為，即的最大值為6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)D在x軸正半軸上，且，以為直徑在第一象限作半圓，交線段于E、F，則線段的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)的中點(diǎn)G作的垂線與交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作于H，連接，先求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)等面積法求出，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，由垂徑定理得到，由，可知當(dāng)最小時(shí)，最大，即最大，再由，得到，則，即可得到．【詳解】解：過(guò)的中點(diǎn)G作的垂線與交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作于H，連接∵，∴，∴，∵，∴；∵，G為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，即最大，∵，∴，∴，即，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、坐標(biāo)與圖形、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊上，連接，F(xiàn)為中點(diǎn)，連接，點(diǎn)G在上且，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，可得G點(diǎn)在上，取的中點(diǎn)H，則，得出G在上，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)H，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，勾股定理求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

四邊形是正方形，，是的中點(diǎn)，，又，點(diǎn)在半徑為的上，，取的中點(diǎn)H，則，在上，當(dāng)H，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，直角所對(duì)的弦是直徑，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，直線：交y軸于A，交x軸于B，x軸上一點(diǎn)，D為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則當(dāng)長(zhǎng)度最小時(shí)，線段的長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】如圖，設(shè)．由題意得到，求得，，過(guò)E作于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到，于是得到時(shí)，長(zhǎng)度最小，求得，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)．由題意：，∴，，過(guò)E作于H，∴，∵把線段繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度最小，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，坐標(biāo)與圖形的變化，旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用完全平方公式解決最值問(wèn)題．5．（2023春·四川成都·八年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為．

【答案】/【分析】由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡確定在與軸平行的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段與垂直時(shí)，線段的值最小，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：將及分別代入得：，由已知可得，，三角形是等腰直角三角形，，，即，，在上取點(diǎn)，使,

又是線段上動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，∴,∴，∴，∴，即，在與軸平行的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段與垂直時(shí)，線段的值最小，在中，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短以及勾股定理；關(guān)鍵是判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡．6．（2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┰谥校瑸榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，則線段的最小值為．

【答案】/【分析】連接、，證明、D、C三點(diǎn)在以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)為此圓的弦，點(diǎn)在線段上，得出，即，根據(jù)線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，得出，根據(jù)垂直平分，得出，根據(jù)，得出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接、，如圖所示：

∵在中，為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵P為的中點(diǎn)，∴，∴、D、C三點(diǎn)在以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上，∴為此圓的弦，∵點(diǎn)在線段上，∴，即，

∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出，．7．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，交直線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)得，再由可得到，于是點(diǎn)在以為弦，的圓弧上運(yùn)動(dòng)，再由可證明，從而算出，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，求出此時(shí)的長(zhǎng)即可．【詳解】解：，，，，，點(diǎn)在以為弦，的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心為，取優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接，，，，，，

，

則，，，為等邊三角形，，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知中，，則的最大值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，取，即可說(shuō)明是等腰直角三角形，求出，進(jìn)一步求出，繼而將轉(zhuǎn)化為，推出點(diǎn)D在以為直徑的圓上，從而可知當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，最大，再求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，取，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，而一定，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，最大，∵，∴點(diǎn)D在以為直徑的圓上，∴當(dāng)D平分時(shí)，點(diǎn)D到的距離最大，即高最大，則面積最大，此時(shí)，則為等腰直角三角形，∴，故答案為：．

．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，將最值轉(zhuǎn)化為的長(zhǎng)．9．（2023·河南焦作·校考二模）如圖，在中，，，，正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，則線段的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為定長(zhǎng)圓，圓心為點(diǎn)C，半徑為，得到最大值和最小值均為點(diǎn)A、C、G三點(diǎn)共線時(shí)，再求出長(zhǎng)，得到線段的取值范圍．【詳解】中，，，，，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為定長(zhǎng)圓，圓心為點(diǎn)C，半徑為，連接，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，正方形邊長(zhǎng)為1，，中，，當(dāng)點(diǎn)A、C、G三點(diǎn)共線時(shí)，在處最大為，在處最小為，故．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)中定長(zhǎng)圓上一點(diǎn)到另一定點(diǎn)的距離的范圍，注意圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則圖形上的點(diǎn)的軌跡均為定長(zhǎng)圓，圓心為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，半徑為該點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的距離．且點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最大距離為點(diǎn)到圓心距離加上半徑，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最大距離為點(diǎn)到圓心距離與半徑的差．10．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）小明同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖所示的方式擺放，其中，，，，連接，取的中點(diǎn)F，將三角板繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F到直線的距離的最大值是．【答案】/【分析】如圖，取的中點(diǎn)O，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理得出，得出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F在以O(shè)為圓心為半徑的圓上動(dòng)，再過(guò)O點(diǎn)作于R，構(gòu)造直角三角形，求出長(zhǎng)，進(jìn)而即可得解．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)O，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理得，∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F在以O(shè)為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)過(guò)O點(diǎn)作于R，在中，∴∴點(diǎn)F到直線的距離的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作圖構(gòu)造不變的線段是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型二圓中的線段之和最值問(wèn)題】1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，以A為圓心，2為半徑畫(huà)圓A，E是圓A上一動(dòng)點(diǎn)，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則最小值是（

）

A． B． C．8 D．12【答案】C【分析】作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，等于，勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，等于，

∵四邊形是矩形，，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴的最小值為8，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)求線段和最小值，熟練掌握矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）矩形中，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，的角平分線交邊于點(diǎn)F，若于M點(diǎn)，連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】作，，證明，推出，當(dāng)D、M、B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值是的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：作，，∵是的平分線，∴，∵，∴A、D、M、E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴，當(dāng)D、M、B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值是的長(zhǎng)，∴的最小值是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，證明是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東煙臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】A【分析】根據(jù)得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用“將軍飲馬”模型將進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)O為的中點(diǎn)，由題意可知，點(diǎn)E在以為直徑的半圓O上運(yùn)動(dòng)，作半圓O關(guān)于的對(duì)稱(chēng)圖形（半圓），點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接,則，∴當(dāng)點(diǎn)D、P、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，如圖所示，在中，，，，又，，即的最小值為8，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線段和最短問(wèn)題、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、勾股定理及圓周角定理，利用“將軍飲馬”模型將進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的直徑，，，是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是10；⑤.上述結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)和是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求出，求出即可判斷①②；根據(jù)圓周角定理求出當(dāng)和重合時(shí)即可判斷③；求出點(diǎn)的位置，根據(jù)圓周角定理得出此時(shí)是直徑，即可求出長(zhǎng)，即可判斷④；已知是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的大小會(huì)隨著點(diǎn)位置的變化而變化，即可判斷⑤．【詳解】∵和是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，∴，故①正確；∴，故②正確；∵的度數(shù)是，∴的度數(shù)是，∴只有當(dāng)和重合時(shí)，∵，∴只有當(dāng)和重合時(shí)，，故③錯(cuò)誤；作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，交于，連接交于，此時(shí)的值最短，等于，連接，∵，且弧的度數(shù)都是，∴，，∴，∴是的直徑，即，∴的最小值是10，故④正確；∵已知是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴的大小會(huì)隨著點(diǎn)位置的變化而變化，∴的大小不能確定，故⑤錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，軸對(duì)稱(chēng)--最短問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用圓周角定理求出各個(gè)角的度數(shù)和求出的位置是解此題的關(guān)鍵．5．（2023春·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的一條弦，點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，直線與交于G，H兩點(diǎn)，若的半徑是8，則的最大值是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】首先連接，根據(jù)圓周角定理，求出，進(jìn)而判斷出為等邊三角形；然后根據(jù)的半徑為8，可得，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出的長(zhǎng)度；最后判斷出當(dāng)弦是圓的直徑時(shí)，它的值最大，進(jìn)而求出的最大值是多少即可．【詳解】如圖所示，連接，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∵的半徑為8，∴，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，∵為定值，∴當(dāng)最大時(shí)，最大∵當(dāng)弦是圓的直徑時(shí)，它的最大值為：，∴的最大值為：．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問(wèn)題，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，判斷出當(dāng)弦GH是圓的直徑時(shí)GE+FH取得最大值是關(guān)鍵．6．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓O的直徑，P是上的動(dòng)點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)C，已知，則的最大值是．

【答案】【分析】連接，可得，設(shè)，則，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)和完全平方公式的變形解答即可．【詳解】解：連接，則，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴的最大值是，即的最大值是；故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓的基本知識(shí)、不等式的應(yīng)用和完全平方公式等知識(shí)，靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法，求得是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，以A為圓心的切x軸于點(diǎn)B，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值=【答案】/【分析】設(shè)，則點(diǎn)在直線上，易得直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，于是可判斷當(dāng)直線與在上方相切時(shí)，k的值最大，直線與軸交于點(diǎn)，切于，作軸于，于，連接，如圖，則，利用直線的性質(zhì)易得，則為等腰直角三角形，接著根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得，，，，所以四邊形為矩形，，則，，所以以，然后在中，利用得到，解得，從而得到的最大值為．【詳解】解：設(shè)，則點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，，即直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以當(dāng)直線與在上方相切時(shí)，k的值最大，直線與軸交于點(diǎn)，切于，作軸于，于，連接，如下圖，當(dāng)時(shí)，，解得，則，直線為直線向上平移個(gè)單位得到，，為等腰直角三角形，和為的切線，，，，，四邊形為矩形，，為等腰直角三角形，，，在中，，，解得，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定直線與A相切時(shí)的最大值．8．（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、是半圓上的兩點(diǎn)，是直徑，．若，，是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于連接交于P，連接．則的值最小，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：延長(zhǎng)交于連接交于P，連接．∵，∴，∴，此時(shí)的值最小，∵是直徑，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用和最短路徑問(wèn)題，正確的作輔助線是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023秋·廣西南寧·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在矩形中，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)且，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】可得出點(diǎn)P在以為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)P，交于M，則的最小值是的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，∵，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)P，交于M，的最小值是的長(zhǎng),∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴,∴P，∴的最小值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最小值，矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等等，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，是的直徑，，，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，M是上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是10，其中正確的序號(hào)是．【答案】①④/④①【分析】①根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角所對(duì)得；根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性得；故①正確；②根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得，故②錯(cuò)誤；③根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得；故③正確；④作C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)M，此時(shí)的值最短，即為長(zhǎng)，連接，根據(jù)圓周角定理得，，再由三角形內(nèi)角和得，再由圓周角定理得是的直徑，即可得出的最小值，故④正確．【詳解】解：①∵，∴；又∵點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴；故①正確；②∵，故②錯(cuò)誤；③由M為AB上動(dòng)點(diǎn)，D為定點(diǎn)，∴不一定垂直于CE；故③錯(cuò)誤；④作C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)M，此時(shí)的值最短，即為長(zhǎng)，連接，∵，∴，∴，∴是的直徑，∵，∴，∴，故④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用—最短距離問(wèn)題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D是上的點(diǎn)，且，分別與、相交于點(diǎn)E、F．(1)求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)若的半徑為5，，點(diǎn)P是線段上任意一點(diǎn)，試求出的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2(3)【分析】（1）利用圓周角定理得到，再證明，然后根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）證明為△ACB的中位線得到，然后計(jì)算即可；（3）作C點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，交于P，連接，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)的值最小，再計(jì)算出，作于H，如圖，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出，從而得到的最小值．【詳解】（1）∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，即點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）解：∵，∴，而，∴為的中位線，∴，∴；（3）解：作C點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，交于P，連接，如圖，∵，∴，∴此時(shí)的值最小，∵，∴，∴，∵點(diǎn)C和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∴，作于H，如圖，則，則，在中，，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】此題是圓與三角形的綜合題，考查了圓周角定理、垂徑定理、軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題、三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的定理內(nèi)容并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型三圓中的線段平方和最值問(wèn)題】1．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓，是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，四邊形為矩形，，所以當(dāng)最小時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，最小，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得解．【詳解】解：連接∵四邊形為正方形，，為圓O直徑，∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，∵∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，，則：，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)A外一點(diǎn)與圓心和圓上一點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大或最小是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓O，E是半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)P，設(shè)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，四邊形為矩形，，所以當(dāng)最小時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，最小，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得解．【詳解】解：連接∵四邊形為正方形，，為圓O直徑，∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，∵∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，則：，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．熟練掌握?qǐng)A外一點(diǎn)與圓心和圓上一點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大或最小是解題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，是一道綜合題．3．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，若為邊的中點(diǎn)，則必有：成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問(wèn)題：如圖，在矩形中，已知，，點(diǎn)在以半徑為的上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，根據(jù)題意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解．【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，如下圖：則，，根據(jù)題意可得，，的最大值，即是的最大值，又∵點(diǎn)在以半徑為的上運(yùn)動(dòng)，∴的最大值，由勾股定理可得：，∴的最大值為14，∴的最大值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、矩形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，利用三角形三邊關(guān)系找出的最大值是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，均在坐標(biāo)軸上，，過(guò)，，作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】連接，，如圖，利用圓周角定理可判定點(diǎn)在上，易得，，，，，設(shè)，則，由于表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，由于為平分，則，利用點(diǎn)在圓上得到，則可計(jì)算出，從而得到的最大值．【詳解】解：連接，，如圖，，為的直徑，點(diǎn)在上，，，，，，，設(shè)，，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，為平分，，，，即，此時(shí)，即的最大值是6．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理等，作出輔助線，得到是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C均在坐標(biāo)軸上，AO＝BO＝CO＝1，過(guò)A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一點(diǎn)，連結(jié)CE，BE，則的最大值是．【答案】6【分析】連接AC，OD，DE，根據(jù)圓周角定理的推論，推出AC是⊙D的直徑，設(shè)E（x，y），利用勾股定理分別求出求出，得到與的關(guān)系，推出當(dāng)最大時(shí)，最大，根據(jù)圓中直徑最長(zhǎng)，即可求出的最大值．【詳解】解：連接AC，OD，DE，設(shè)E（x，y），∵，∴AC是⊙D的直徑，∵AO＝BO＝CO＝1，∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），∴，，，∴，∵，∴當(dāng)OE為⊙D的直徑時(shí)，OE最大，的值最大，∴，∴的最大值，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)M（3，4），以M為圓心，2為半徑作⊙M．若點(diǎn)P是⊙M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA2＋PB2的最大值為【答案】100【分析】設(shè)點(diǎn)P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，從而轉(zhuǎn)化為求OP的最值，畫(huà)出圖形后可直觀得出OP的最值，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)P（x，y），∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x?1）2＋y2，∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，∵OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，當(dāng)點(diǎn)P處于OM與圓的交點(diǎn)P處時(shí)，OP取得最大值，如圖，∴OP的最大值為OP＝OM＋PM＝＋2＝7，∴PA2＋PB2最大值為2×72＋2＝100．故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，將所求代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為求解OP的最大值，難度較大．7．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)、、均在坐標(biāo)軸上，，過(guò)、、作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是．【答案】6【分析】連接，，如圖，利用圓周角定理可判定點(diǎn)在上，易得，，，，，，設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到則，由于表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，由于為平分，則，利用點(diǎn)在圓上得到，則可計(jì)算出，從而得到的最大值．【詳解】解：連接，，如圖，，為的直徑，點(diǎn)在上，，，，，，，，設(shè)，，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，為平分，，，，即，此時(shí)，即的最大值是6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了圓周角定理、勾股定理和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．8．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是以為圓心，1為半徑的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，，連接，，則的最小值是．【答案】34【分析】設(shè)點(diǎn)，表示出的值，從而轉(zhuǎn)化為求的最值，根據(jù)圖形求出的最小值，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)P處于與圓的交點(diǎn)上時(shí)，取得最值，∴的最小值為，∴最小值為．故答案為34．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，將所求代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為求解的最小值，難度較大．9．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在邊長(zhǎng)為10的正方形中，以為直徑作半圓，圓心為，是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．(1)如圖1，若直線與圓相切，求線段的長(zhǎng)；(2)求的最小值；(3)如圖2，若，求的最小值．【答案】(1)10(2)(3)200【分析】(1)連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，證明即可．(2)設(shè)與半圓于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，最短，運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．(3)根據(jù)為直徑，則，得到是定值，故t的最小值，有的最小值確定，且當(dāng)E位于正方形對(duì)角線交點(diǎn)處時(shí)，取得最小值．【詳解】（1）連接，∵邊長(zhǎng)為10的正方形，直線與圓相切，E為切點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．（2）如圖1，連接，設(shè)與半圓于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，最短，∵邊長(zhǎng)為10的正方形，∴，∴，∴．（3）∵為直徑，∴，∴是定值，故t的最小值，有的最小值確定，∵點(diǎn)E在半圓弧上，∴在正方形中，只能是銳角三角形或者直角三角形，不可能是鈍角三角形，∴，當(dāng)且當(dāng)E位于正方形對(duì)角線交點(diǎn)處時(shí)（此時(shí)是直角三角形），取等號(hào)．∴，∴，故t的最小值為200．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型四圓中的面積最值問(wèn)題】1．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以為圓心、半徑為1的圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接、．則面積的最大值是（

）

A．21 B．33 C． D．42【答案】B【分析】求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出，求出點(diǎn)C到的距離，即可求出圓C上點(diǎn)到的最大距離，根據(jù)面積公式求出即可．【詳解】解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，由勾股定理得：，過(guò)C作于M，連接，

則由三角形面積公式得：，即：，∴，∴圓C上點(diǎn)到直線的最大距離是：，∴面積的最大值是；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，勾股定理等知識(shí)，解此題的關(guān)鍵是求出圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)高郵市南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，若點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、．點(diǎn)在上，且．給出以下四個(gè)結(jié)論：

①，②，③線段的最小值是，④面積的最大是16．其中正確的是（

）

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；①根據(jù)正方形的性質(zhì)，和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用“”證明，得出，，證明，根據(jù)勾股定理即可證明結(jié)論；③根據(jù)，得出點(diǎn)F總是在過(guò)點(diǎn)C與AC垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作垂足為點(diǎn)H，此時(shí)最小值即為的長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)即可；④根據(jù)，得出，表示出，即可求出最大值．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，∴為等腰直角三角形，∴，故①正確，符合題意；∵四邊形為正方形，∴，，，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，故②正確，符合題意；③∵，∴點(diǎn)F總是在過(guò)點(diǎn)C與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作垂足為點(diǎn)H，如圖所示：

∵，∴，∵，，，∴，∴為等腰直角三角形，i∴，即的最小值為，故③正確，符合題意；④∵，∴，，∵，∴，∴∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為16，故④正確，符合題意；綜上分析可知，其中正確的是①②③④．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)“”證明，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南師附中樹(shù)人學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，中，，在的同側(cè)作正，正和正，則四邊形面積最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】過(guò)作于，過(guò)作，交于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出，即點(diǎn)、、在一條直線上，再根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，得出，同理得出，再根據(jù)平行四邊形的判定定理，得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，再根據(jù)平行四邊形和三角形的面積，得出，再以為直徑作圓，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，此時(shí)為半徑，再根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合二次根式的乘法，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)作于，過(guò)作，交于，，，，是正三角形，，，，即點(diǎn)、、在一條直線上，在正、正和正，，，，，，，，，同理可得，

四邊形是平行四邊形，，，，，，以為直徑作圓，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，此時(shí)為半徑，，四邊形面積的最大值是2．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定定理、含角的直角三角形、圓周角定理、二次根式的乘法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并正確作出輔助線．4．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為4的與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D，連接BC，已知x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則面積的最小值為（）A． B． C．12 D．16【答案】B【分析】連接，由三角形的中位線定理求得，得M點(diǎn)在以A點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，的面積最小，求出此時(shí)的面積便可．【詳解】解：連接，∵，∴，∵為直徑，∴，由題意知，點(diǎn)M在以A為圓心，2為半徑的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M到的距離最短為，∴△BCM面積的最小值為∶，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，圓周角定理，勾股定理，三角形的中位線定理，關(guān)鍵在于確定M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．5．（2023春·四川攀枝花·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則面積的最小值是．

【答案】【分析】以為圓心，為半徑作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離的最小值，即可求出面積的最小值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的到的距離最小，最小值．由翻折的性質(zhì)可知，，點(diǎn)在上，

，，，由，，，，點(diǎn)到的距離的最小值．面積的最小值為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，垂線段最短，勾股定理、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6．（2023·江蘇蘇州·蘇州市景范中學(xué)校?？级＃┤鐖D，已知等腰中，，點(diǎn)D、E分別為邊上任意點(diǎn)，以為直徑作圓正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與交于點(diǎn)F，則面積最大值為．

【答案】【分析】連接，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，證明，推出，設(shè)，則，，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用三角形的面積公式列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接，

由題意得，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∵，∴，∵為圓的直徑，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，則，，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，∴，∴，∵，∴當(dāng)即時(shí)，有最大值，最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）在中，若，，則面積的最大值為．【答案】【分析】首先過(guò)C作于M，由弦已確定，可得要使的面積最大，只要取最大值即可，即可得當(dāng)過(guò)圓心O時(shí)，最大，然后由圓周角定理，證得△AOB是等腰直角三角形，則可求得的長(zhǎng)，繼而求得答案．【詳解】作的外接圓⊙O，過(guò)C作于M

∵弦已確定∴要使的面積最大，只要取最大值即可如圖所示，當(dāng)過(guò)圓心O時(shí)，最大∵，過(guò)O∴（垂徑定理）∴∵∴∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意得到當(dāng)過(guò)圓心O時(shí)，最大是關(guān)鍵．8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知直線與坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、，則面積的最大值是．【答案】20【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，此時(shí)為為邊上的高的最大值，求出的長(zhǎng)，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵直線與坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則：，∴當(dāng)最大時(shí)，面積最大，∵是以為圓心，為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，此時(shí)最大，如圖：∵，∴，∴，連接，則：∴，∴，∴，∴，即：面積的最大值是；故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的位置．9．（2023春·陜西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點(diǎn)到弦的距離最大值為_(kāi)______；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；【問(wèn)題解決】（3）“雙減”是黨中央、國(guó)務(wù)院作出的重大決策部署，實(shí)施一年多來(lái)，工作進(jìn)展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進(jìn)一步落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實(shí)踐基地，如圖③，為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，學(xué)校計(jì)劃將四邊形部分修建為農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地，并沿鋪設(shè)一條人行走道，部分修建為興趣活動(dòng)基地．根據(jù)規(guī)劃要求，米，．且農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地部分（四邊形）的面積應(yīng)盡可能小，問(wèn)四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）11；（2）；（3）四邊形的面積存在最小值，最小值為平方米【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)直接可得答案；（2）作的外接圓，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)垂線段最短可得R的最小值，從而得出的最小值，進(jìn)而得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，則，在上截取，連接，利用證明，則，要使四邊形的面積最小，只需的面積最小，由（2）同理求出面積的最小值即可．【詳解】解：（1）∵圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，∴上的點(diǎn)到弦的距離最大值為，故答案為：11；（2）作的外接圓，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)，如圖．

．設(shè)，則，由，得，即，∴，，．即面積的最小值為（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，∵平分，∴．又，．米，，，為等腰直角三角形，∴米，（平方米），平方米．在上截取，連接，如圖．

，，，要使四邊形的面積最小，只需的面積最?。?，作的外接圓，如圖，連接，作于點(diǎn)，則，∴．設(shè)，則．由，得，解得，米，（平方米），（平方米）．即四邊形的面積存在最小值，最小值為平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，交平分線的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，將四邊形面積最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形面積最小是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1所示，是等邊三角形，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在邊和上（D，E均不在所在線段的端點(diǎn)上），且，點(diǎn)M，P，N分別是線段上的中點(diǎn)，連接．

(1)請(qǐng)說(shuō)明．并求出的大??；(2)把繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，判斷的形狀并說(shuō)明理由；(3)把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大面積．【答案】(1)(2)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析(3)的面積的最大值為【分析】（1）由是等邊三角形，可得，由，可得，由點(diǎn)M，P，N分別是線段上的中點(diǎn)，可得，則，，，由，可得；（2）由，可得，證明，則，由點(diǎn)M，P，N分別是線段上的中點(diǎn)，可得，則，進(jìn)而可得是等腰三角形．（3）由（2）可知，，則，由點(diǎn)M，P，N分別是線段上的中點(diǎn)，可得，，，，則，是頂角為等腰三角形，由，可得，即的最大值為14，的最大值為7，如圖2中，過(guò)點(diǎn)N作的延長(zhǎng)線于J，則，，，由勾股定理得，，則的面積的最大值為，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，即，∵點(diǎn)M，P，N分別是線段上的中點(diǎn)，∴，∴，，，∵，∴，∴．（2）解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M，P，N分別是線段上的中點(diǎn)，∴，∴，∴是等腰三角形．（3）解：由（2）可知，，∴，∵點(diǎn)M，P，N分別是線段上的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴是頂角為等腰三角形，∵，∴，即的最大值為14，的最大值為7，如圖2中，過(guò)點(diǎn)N作的延長(zhǎng)線于J，

∴，，∴，由勾股定理得，，∴的面積的最大值為，∴的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，中位線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【經(jīng)典題型五圓中的周長(zhǎng)最值問(wèn)題】1．（2023秋·山東濱州·九年級(jí)濱州市濱城區(qū)第三中學(xué)校考期末）如圖，等腰內(nèi)接于圓，直徑，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，且交于點(diǎn)．下列結(jié)論：平分；；當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大；當(dāng)，四邊形的面積為，正確的有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，由圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)可證明正確；當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，可判斷正確；如圖1，連接并延長(zhǎng)交于，根據(jù)垂徑定理可得，則，利用面積和可得四邊形的面積，可知不正確．【詳解】解：等腰內(nèi)接于圓，是的直徑，，，，平分，故正確；是等腰直角三角形，，，，，，故正確；，當(dāng)最大時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，故正確；如圖1，連接并延長(zhǎng)交于，在Rt中，，，，，，，，，，四邊形的面積，故不正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及面積的變換與求法，此題綜合性比較強(qiáng)，難度比較大，在解題時(shí)充分利用以上相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則當(dāng)之和取最小值時(shí)，的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，通過(guò)證明△AED≌△GFE（AAS），確定F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)；作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，從而確定C'點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上；當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=3即可．【詳解】解：連接BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，∴EF⊥DE，且EF=DE，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG=AE，∴F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，∵EG=DA，F(xiàn)G=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴BF是∠CBC′的角平分線，即F點(diǎn)在∠CBC′的角平分線上運(yùn)動(dòng)，∴C'點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=3，∴DF+CF的最小值為3，∴此時(shí)的周長(zhǎng)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑；能夠?qū)⒕€段的和通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┑冗吶切蜛BC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∠FOG＝120°，∠FOG的兩邊OF，OG與AB，BC分別相交于D，E，∠FOG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE＝；④△BDE周長(zhǎng)最小值是9．其中正確個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】連接、，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得，再證明，于是可判斷，所以，，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用得到四邊形的面積，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；作，如圖，則，計(jì)算出，利用隨的變化而變化和四邊形的面積為定值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于的周長(zhǎng)，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，的周長(zhǎng)最小，計(jì)算出此時(shí)的長(zhǎng)則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：連接、，如圖，為等邊三角形，，點(diǎn)是等邊三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，、分別平分和，，，即，而，即，，在和中，，，，，①正確；，四邊形的面積，③錯(cuò)誤；作，如圖，則，，，，，，，即隨的變化而變化，而四邊形的面積為定值，；②錯(cuò)誤；，的周長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，最小，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，周長(zhǎng)的最小值，④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊的中心，將AB、BC、CA分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到、、，連接、、、、．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【分析】連接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，則有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等邊三角形，當(dāng)O、C、共線時(shí)，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時(shí)，O最長(zhǎng)，此時(shí)＝?（+1）＝1+，α＝150°．【詳解】解：如圖，連接OA、OB、OC、．∵O是等邊三角形△ABC是中心，∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，∵∠BA＝∠AC＝α，∴∠OA＝∠OC，在△OA和△OC中，，∴△OA≌△OC（SAS），∴∠AO＝∠CO，O＝O，∴∠O＝∠AOC＝120°，同理可證∠O＝∠O＝120°，O＝O，則有△O≌△O≌△O，∴＝＝，∴△是等邊三角形，在△O中，∵∠O＝120°，O＝O，∴當(dāng)O最長(zhǎng)時(shí)，最長(zhǎng)，∵O≤OC+C，∴當(dāng)O、C、共線時(shí)，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時(shí)，O最長(zhǎng)，此時(shí)＝?（+1）＝1+，α＝150°，∴△的周長(zhǎng)的最大值為3+3．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、最大值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用全等三角形的判定，學(xué)會(huì)利用三角形的三邊關(guān)系解決最大值問(wèn)題．5．（2023春·湖北孝感·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，，則當(dāng)之和取最小值時(shí)，的周長(zhǎng)為．（用含a的代數(shù)式表示）

【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，即可得到點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，根據(jù)勾股定理求出的最小值為，即可求出此時(shí)的周長(zhǎng)為．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，，，，又，，，，，即，，即點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最?。谥?，，，，的最小值為，此時(shí)的周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)解決最短路徑是本題的關(guān)鍵．6．（2023春·福建漳州·八年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期中）等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，的兩邊，與，分別相交于，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③周長(zhǎng)最小值是；④面積最大值是．其中正確的是．【答案】①②③【分析】連接、，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得，再證明，于是可判斷，所以，，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用得到四邊形的面積，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；作，如圖，則，計(jì)算出，利用隨的變化而變化和四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，最小，的面積最小，周長(zhǎng)最小，求得此時(shí)的長(zhǎng)則可對(duì)③④進(jìn)行判斷．【詳解】解：連接、，如圖，為等邊三角形，，點(diǎn)是等邊三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，、分別平分和，，，即，而，即，，在和中，，，，，①正確；，四邊形的面積，②正確；作，如圖，則，，，，，，，∴；當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴面積最大值是，故④不正確；，的周長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴周長(zhǎng)最小值是，故③正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)校考二模）如圖所示，在扇形中，，半徑．點(diǎn)位于的處、且靠近點(diǎn)的位置，點(diǎn)、分別在線段、上，．為的中點(diǎn)．連接、．在滑動(dòng)過(guò)程中（長(zhǎng)度始終保持不變），當(dāng)取最小值時(shí)，陰影部分的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接，，，取的中點(diǎn)，連接，求出弧的長(zhǎng)，再求出當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，分別求出，的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接，，，取的中點(diǎn)，連接．，，，的長(zhǎng)，，，，，當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，，，是等邊三角形，，，，此時(shí)陰影部分的周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)，線段最小值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合．8．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，是以A為公共端點(diǎn)的兩條線段，且滿(mǎn)足，，作線段的垂直平分線l交于點(diǎn)D．點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊構(gòu)造等邊，連接．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，，則周長(zhǎng)的最小值為．（用含有a、b的式子表示）【答案】【分析】如圖所示，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明得到，接著證明，連接，取的中點(diǎn)F，則，可證明點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，進(jìn)一步證明點(diǎn)Q在上，作D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則，可以推出當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)點(diǎn)恰好在直線l上，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即是的角平分線，又∵，∴，連接，取的中點(diǎn)F，則，∴，即點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，又∵，∴點(diǎn)Q在上，作D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則，∵的周長(zhǎng)，∴當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)點(diǎn)恰好在直線l上，∴此時(shí)，則，∴，∴的周長(zhǎng)最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形從而確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┒x：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做“互余三角形”．如圖1，在和中，若，且，則和是“互余三角形”(1)以下四邊形中，一定能被一條對(duì)角線分成兩個(gè)“互余三角形”的是______；（填序號(hào)）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．(2)如圖2，等腰直角，其中，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），則圖中△______和△______是互余三角形，并求證：．(3)如圖3，的半徑為5，四邊形是的內(nèi)接四邊形，且和是“互余三角形”①求的值；②若°，求和的周長(zhǎng)之差．【答案