專題05 線段、角、對角線的計(jì)數(shù)模型（解析版）

專題05.線段、角、對角線的計(jì)數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個(gè)數(shù)、對角線條數(shù)等計(jì)數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)行記憶。本專題就線段（角度）的計(jì)數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計(jì)數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。模型1.

線段與角度的計(jì)數(shù)模型1）線段的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n個(gè)點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023秋·四川遂寧·七年級?？计谀┤鐖D所示，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，則圖中線段的條數(shù)有（

）A．3條 B．4條 C．5條 D．6條【答案】D【分析】根據(jù)線段的定義，寫出所有線段后再計(jì)算條數(shù)．【詳解】解：由圖可得，線段有：線段AB、線段AC、線段AD、線段BC、線段BD、線段CD，共6條．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段的定義，注意解決計(jì)數(shù)問題時(shí)要做到不重不漏．例2．（2023春·安徽滁州·七年級?？奸_學(xué)考試）乘特快列車從濟(jì)南西站出發(fā)，沿途經(jīng)過泰安站、曲阜東站、滕州東站，最后到達(dá)棗莊站，那么從濟(jì)南西站到棗莊站這段線路的火車票價(jià)格最多有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】根據(jù)題意確定出數(shù)學(xué)模型，五點(diǎn)確定出線段的條數(shù)，計(jì)算即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意得：從濟(jì)南西站到棗莊站這段線路的火車票價(jià)格最多有：種故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）石衡滄港城際鐵路是京津冀城際鐵路網(wǎng)“四縱四橫一環(huán)”的重要組成部分，在滄州境內(nèi)途徑泊頭、滄縣、黃驊、渤海新區(qū)四個(gè)縣（市），要保證每兩個(gè)縣（市）之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（

）A．20種 B．15種 C．12種 D．6種【答案】C【分析】先求出線段的條數(shù)，再計(jì)算車票的種數(shù)．【詳解】解：需要印制不同的火車票的種數(shù)為（種）故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線段的運(yùn)用，注意根據(jù)規(guī)律計(jì)算的同時(shí)，還要注意火車票需要考慮往返情況．例4．（2023秋·安徽滁州七年級月考）【觀察思考】在表中空白處畫出圖形；線段上的點(diǎn)數(shù)包括，兩點(diǎn)圖例線段總條數(shù)______________________________【模型構(gòu)建】如果線段上有個(gè)點(diǎn)包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)，那么該線段上共有多少條線段？【拓展應(yīng)用】請將以下問題轉(zhuǎn)化為上述模型，并直接應(yīng)用上述模型的結(jié)論解決問題．（1）8位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽，那么一共要進(jìn)行______場比賽；（2）某班名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握次手問好，則共握手______次；（3）海南環(huán)島高鐵是世界首創(chuàng)，其中某趟列車在東段的三亞站、陵水站、萬寧站、瓊海站、文昌站和海口東站個(gè)站之間運(yùn)行，那么該趟列車需要安排不同的車票______種，票價(jià)______種．【答案】【觀察思考】見解析；【模型構(gòu)建】線段上有個(gè)點(diǎn)包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)，該線段上共有條線段；【拓展應(yīng)用】（1）28；（2）900；（3）；．【分析】觀察思考：根據(jù)題意畫出圖形即可；模型構(gòu)建：根據(jù)表中的規(guī)律找到答案即可；拓展應(yīng)用：（1）根據(jù)8位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】解：【觀察思考】

；

；

；

；

；【模型構(gòu)建】解：，所以該線上共有條線段，答：線段上有個(gè)點(diǎn)包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)，該線段上共有條線段；【拓展應(yīng)用】（1）因?yàn)椋晕煌瑢W(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽，那么一共要進(jìn)行場比賽；故答案為：；（2）因?yàn)?，所以某班名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握次手問好，則共握手次；故答案為：；（3）因?yàn)?，，所以海南環(huán)島高鐵是世界首創(chuàng)，其中某趟列車在東段的三亞站、陵水站、萬寧站、瓊海站、文昌站和海口東站個(gè)站之間運(yùn)行，那么該趟列車需要安排不同的車票種，票價(jià)種．故答案為：；．【點(diǎn)睛】此題考查了直線上線段條數(shù)的變化規(guī)律及其應(yīng)用，得到“線段上有個(gè)點(diǎn)包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)，該線段上共有條線段”是解題的關(guān)鍵．例5．（2023秋·山西七年級月考）主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發(fā)現(xiàn)的和與第一個(gè)數(shù)、最后一個(gè)數(shù)及數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)．如果，我們設(shè)則我們可以看出此等式的右邊是若干個(gè)的和，∴_________．則_______．(2)運(yùn)用規(guī)律，計(jì)算表達(dá)．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級（9）班獲得第一名，該班學(xué)生列隊(duì)以“單擊掌”形式（每兩個(gè)學(xué)生擊掌一次）祝賀獲獎；活動結(jié)束后該班同學(xué)又互贈“元旦祝福語”．如果該班有名同學(xué)，則共擊掌_____________次，共贈送祝福語___________條．(3)遷移規(guī)律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個(gè)城市，如果每兩個(gè)城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會徽、吉祥物），共有32支國家足球隊(duì)參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個(gè)階段進(jìn)行．32支球隊(duì)平均分成8個(gè)進(jìn)行小組循環(huán)賽（小組內(nèi)每兩支球隊(duì)舉行一場比賽）；每小組前兩名球隊(duì)進(jìn)入1/8決賽，然后實(shí)行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽．．．．．．請你計(jì)算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)律即可求解；（2）①根據(jù)（1）中的規(guī)律即可求解；②根據(jù)規(guī)律即可求解；（3）①10個(gè)城市每兩個(gè)城市都要互通航班，據(jù)此即可求解；②分別計(jì)算橫向和豎向的線段條數(shù)，即可求解；③利用分類的方法可求得2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽．【詳解】（1）解：．則．故答案為：，；（2）解：①．②如果該班有名同學(xué)，則共擊掌次，共贈送祝福語條．故答案為：①5047；②100；③，；（3）解：①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個(gè)城市，如果每兩個(gè)城市都要互通航班，10個(gè)城市一共需要開通架航班；②橫線上的線段有條，豎線上的線段有條，則橫線和豎線上的線段共有條；③32支比賽分為8個(gè)小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)，共有場比賽，16強(qiáng)分成8組對陣，共有8場比賽，8強(qiáng)分成4組對陣，共有4場比賽，4強(qiáng)分成2組對陣，共有2場比賽，決賽有2場比賽，故共有場比賽．故答案為：①90；②135；③64．【點(diǎn)睛】本題考查了探索規(guī)律，線段的計(jì)數(shù)，線段的計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)注重分類討論的方法計(jì)數(shù)，做到不遺漏，不重復(fù)，利用規(guī)律解決問題．2）角度的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個(gè)）例1．（2023秋·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，則圖中共有個(gè)角．【答案】【分析】根據(jù)題意可知圖中有兩條射線，進(jìn)而可得圖中角的數(shù)量為個(gè)．【詳解】解：∵圖中有兩條射線，∴圖中角的數(shù)量為個(gè)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)角中射線的數(shù)量求角的個(gè)數(shù)，根據(jù)圖形找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東青島·七年級?？计谀┰阡J角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個(gè)．【答案】66【分析】分別找出各圖形中銳角的個(gè)數(shù)，找出規(guī)律解題．【詳解】解：∵在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2=3個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3=6個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4=10個(gè)銳角；…∴從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴畫10條不同射線，可得銳角×（10+1）×（10+2）=66．故答案為：66．例3．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）（1）數(shù)一數(shù)圖①中共有個(gè)角，圖②中共有個(gè)角；圖③中共有個(gè)角．（2）從（1）中你能找到一種數(shù)圖④中角的個(gè)數(shù)的規(guī)律嗎？【答案】（1）3，6，10；（2）第n個(gè)圖形共有角的個(gè)數(shù)：【分析】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出角的個(gè)數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：（1）∵，則圖①中共有3個(gè)角，，則圖②中共有6個(gè)角，，則圖③中共有10個(gè)角．（2）∵，，，∴第n個(gè)圖形共有：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字是連續(xù)整數(shù)的和是解題關(guān)鍵．例4．（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，從點(diǎn)分別引兩條射線，則得到一個(gè)角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點(diǎn)分別引三條射線，則圖中得到________個(gè)角；②如圖3，從點(diǎn)分別引四條射線，則圖中得到________個(gè)角；③依此類推，從點(diǎn)分別引條射線，則得到________個(gè)角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩隊(duì)之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；（2）將代入求解即可．【詳解】（1）①由題意可得，從點(diǎn)分別引三條射線，圖中的角有，，∴圖中得到3個(gè)角；②由題意可得，從點(diǎn)分別引四條射線，圖中的角有，，∴圖中得到6個(gè)角；③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)分別引條射線，，∴得到個(gè)角；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，．∴全部賽完共需120場比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3）平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計(jì)數(shù)模型直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)102214337.........n例1．（2023春·上海徐匯·七年級校考期中）同一平面內(nèi)畫9條直線，最多能畫出個(gè)交點(diǎn)．【答案】36【分析】從簡單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條、6條直線相交時(shí)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；…所以n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，．故答案：36．【點(diǎn)睛】本題考查相交線和圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．例2．（2023春·浙江嘉興·七年級校考階段練習(xí)）若平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了（

）個(gè)部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，

所以，平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了或個(gè)部分，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，找出規(guī)律，解決問題．例3．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，兩條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．【答案】6【分析】四條直線相交最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可通過畫圖得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過繼續(xù)增加直線的條數(shù)可以找出規(guī)律即可解答；【詳解】解：如圖，兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，即；三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，即；四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，即，五條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)，即，……∴n條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)（n為正整數(shù)，且n≥2）．故答案為6；．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化，是一道關(guān)于數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律．例4．（2023春·江蘇年級期中）同一平面內(nèi)條直線把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域）；條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？請分別畫出圖來．由此可知條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？【答案】條直線最多可將平面分成個(gè)部分；條直線最多可將平面分成個(gè)部分；條直線最多可將平面分成個(gè)部分；分別畫出圖見解析．由此可知條直線最多可將平面分成個(gè)部分【分析】根據(jù)題意，畫圖分類討論，由此即可求解．【詳解】解：條直線最多可將平面分成個(gè)部分，如圖：；條直線最多可將平面分成個(gè)部分，如圖：；條直線最多可將平面分成個(gè)部分，如圖：，∴條直線最多分成可將平面分成個(gè)部分．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面內(nèi)直線的位置關(guān)系的規(guī)律，掌握畫圖分類討論，直線的位置關(guān)系的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例5．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）；【實(shí)踐應(yīng)用】在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？【答案】[觀察發(fā)現(xiàn)]6，；[實(shí)踐應(yīng)用]120場【分析】[觀察發(fā)現(xiàn)]根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個(gè)交點(diǎn)；[實(shí)踐應(yīng)用]把每個(gè)班作為一個(gè)點(diǎn),進(jìn)行一場比賽就是用線把兩個(gè)點(diǎn)連接,用此方法即可.【詳解】[觀察發(fā)現(xiàn)]解：①兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)：1=；②三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)：3=；③四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)：6=；…n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．故答案為：6，．[實(shí)踐應(yīng)用]該類問題符合上述規(guī)律，所以可將n＝16代入．∴這一輪共要進(jìn)行120場比賽．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．4）多邊形的對角線條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形；n邊形共有對角線。例1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┪暹呅谓?jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)可以引（

）條對角線．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)從一個(gè)邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解∶，∴五邊形經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)可以引2條對角線．故選∶C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的對角線，解答此類題目可以直接記憶：一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是．例2．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）若從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可畫2014條對角線，則它是（）邊形．A．2017 B．2016 C．2015 D．2014【答案】A【分析】邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以畫條對角線，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形．依題意，得，∴．故這個(gè)多邊形是2017邊形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線條數(shù)，熟記公式是解題關(guān)鍵．例3．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線把它最多劃分為個(gè)三角形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】經(jīng)過邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式即可求邊數(shù)．【詳解】解：依題意有，解得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形過一個(gè)頂點(diǎn)的對角線與分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系列方程求解．例4．（2023秋·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）五邊形的對角線一共有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【答案】A【分析】利用n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出(n?3)條對角線．從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出(n?3)條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：n(n?3)（n≥3，且n為整數(shù)）計(jì)算．【詳解】解：五邊形的對角線共有5×(5?3)=5，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對角線，關(guān)鍵是掌握多邊形的對角線的算法．例5．（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線．如圖，邊形有條對角線．

【答案】【分析】找出過每個(gè)頂點(diǎn)可畫的對角線的條數(shù)，除去重復(fù)的即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過頂點(diǎn)可以畫條對角線，過頂點(diǎn)可以畫條對角線，過頂點(diǎn)可以畫條對角線；…，過頂點(diǎn)可以畫條對角線；∴n邊形的對角線條數(shù)的為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的對角線的知識，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟練掌握一些基本知識．例6．（2023秋·山東·七年級專題練習(xí)）夏夏和數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們研究多邊形對角線的相關(guān)問題，邀請你也加入其中，請仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)45678……從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)12345……①多邊形對角線的總條數(shù)2591420……②(1)觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含n的代數(shù)式將上面的表格填寫完整，其中①________；②________.(2)拓展應(yīng)用：有一個(gè)76人的代表團(tuán)，由于任務(wù)需要每兩人之間通1次電話（且只通1次電話），他們一共通了多少次電話?【答案】(1)①，②(2)他們一共通了2850次電話【分析】（1）根據(jù)前面5個(gè)圖形歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得出答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為76個(gè)，求這個(gè)多邊形對角線的總條數(shù)與邊數(shù)之和，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可得．【詳解】（1）解：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為4時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為，多邊形對角線的總條數(shù)為，多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為5時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為，多邊形對角線的總條數(shù)為，多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為6時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為，多邊形對角線的總條數(shù)為，多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為7時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為，多邊形對角線的總條數(shù)為，多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為8時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為，多邊形對角線的總條數(shù)為，歸納類推得：當(dāng)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為，多邊形對角線的總條數(shù)為（其中，且n為整數(shù)），故答案為：，．（2）解：由題意，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為76個(gè)，求這個(gè)多邊形對角線的總條數(shù)與邊數(shù)之和，則，答：他們一共通了2850次電話．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線條數(shù)問題，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·安徽七年級月考）如圖，線段上有兩點(diǎn)，則圖中共有線段（）條A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，寫出所有線段后計(jì)算個(gè)數(shù)．【詳解】解：由圖得，圖中的線段有AC，AD，AB，CD，CB，DB，共6條．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線段的定義，找出線段時(shí)要注意按順序做到不重不漏．2．（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）由鄭州到北京的某一班次列車，運(yùn)行途中停靠的車站依次是：鶴壁-安陽-邯鄲-邢臺-石家莊-保定-北京，那么要為這次列車制作的火車票有（

）A．72種 B．56種 C．36種 D．28種【答案】D【分析】每兩站點(diǎn)都要設(shè)火車票，且是單程票，每兩個(gè)站點(diǎn)之間是一條線段，后求線段數(shù)量即可得出答案．【詳解】解：每兩站點(diǎn)都要設(shè)火車票，所以從一個(gè)城市出發(fā)到其他7個(gè)城市有7種車票，已知由鄭州到北京的某一次列車，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵胡Q壁-安陽-邯鄲-邢臺-石家莊-保定-北京，是單程車票，所以要為這次列車制作的火車票有7+6+5+4+3+2+1=28（種）．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的數(shù)量，關(guān)鍵是要理解由一地到另一地的車票的數(shù)即為線段數(shù)量．3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）假定有一排蜂房,形狀如圖,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受傷,只能爬,不能飛,而且只能永遠(yuǎn)向右方(包括右上、右下)爬行,從一間蜂房爬到與之相鄰的右蜂房中去.則從最初位置爬到4號蜂房中,不同的爬法有(

)A．4種B．6種C．8種D．10種【答案】C【分析】解本題需要羅列符合條件的全部情況，列舉時(shí)要按一定的順序，做到不重不漏．【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，依次羅列符合條件的情況，即可得答案．解：根據(jù)題意，符合題意要求的路線為134，124，1234，0134，0124，01234，024，0234共8條；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法求方案，列舉出所有可能是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P沿直線從右往左移動，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中，至少有兩個(gè)點(diǎn)距離相等的時(shí)候，就會發(fā)出警報(bào)，則直線上會發(fā)出警報(bào)的位置最多有（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】點(diǎn)P與A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，也就是點(diǎn)P恰好是其中一條線段中點(diǎn)．而圖中共有線段十條，所以出現(xiàn)報(bào)警次數(shù)最多10次．【詳解】解：由題意知，當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)的時(shí)候會發(fā)出警報(bào)，∵圖中共有十條線段ED、EC、EB、EA、DC、DB、DA、CB、CA、BA，∴發(fā)出警報(bào)的可能最多有10個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與線段的相關(guān)內(nèi)容，利用整體思想去思考線段的總條數(shù)是解決問題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．5．（2023秋·江蘇·七年級期末）平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，則平面內(nèi)不重合的7個(gè)點(diǎn)最多可以確定的直線條數(shù)是（

）．A．42 B．35 C．30 D．21【答案】D【分析】根據(jù)每兩點(diǎn)之間有一條直線，可得n個(gè)點(diǎn)最多有條直線.【詳解】解：若平面內(nèi)有不重合的7個(gè)點(diǎn)最多可以確定條直線.故答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線，熟記n個(gè)點(diǎn)最多有條直線，是解題的關(guān)鍵.6．（2023秋·安徽蚌埠·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）有蚌埠到無錫往返的某一次列車,運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵喊霾耗暇┏Ｖ轃o錫,那么要為這次列車制作的火車票有()A．3種 B．4種 C．6種 D．12種【答案】D【分析】從蚌埠到無錫要有3站，所以需要制作3種車票，從南京到無錫有2站，需要制作2種車票，常州到無錫有1站，需要制作1種車票，根據(jù)上述結(jié)論，再根據(jù)往返得出答案.【詳解】由分析可知從蚌埠到無錫需要制作3+2+1=6種車票，往返則需要6×2=12種車票，故選D.【點(diǎn)睛】本題由實(shí)際問題抽象出線段模型，車票的種類即為線段的數(shù)量，需要注意單程還是往返.7．（2023·湖北·七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個(gè)數(shù)最多是（）A．46個(gè) B．55個(gè) C．56個(gè) D．67個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個(gè)．有以下規(guī)律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3?n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了過平面上兩點(diǎn)有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．8．（2023秋·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期中）平面內(nèi)條直線，每兩條直線都相交，問最多有（

）個(gè)交點(diǎn)？A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出2條、3條、4條、5條、6條...直線相交時(shí)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從簡單情形入手，找出數(shù)字運(yùn)算的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．9．（2023秋·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，若在的內(nèi)部以為端點(diǎn)做一條射線，得到個(gè)角；如圖②，若在的內(nèi)部以為端點(diǎn)做兩條射線和，得到個(gè)角……，以此類推，如果在的內(nèi)部以為端點(diǎn)做條射線，則圖③中角的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，根據(jù)圖，圖得出規(guī)律，即可．【詳解】解：圖：有條射線，組成個(gè)角；圖：有條射線，組成個(gè)角；∴當(dāng)有條射線，組成個(gè)角；∵圖有條射線，即，∴組成個(gè)角．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角的定義，解題的關(guān)鍵是理解角的定義，觀察上述圖形，找出規(guī)律．10．（2023秋·重慶七年級課時(shí)練習(xí)）如圖所示，圖中共有多少個(gè)小于平角的角（

）

A．10個(gè) B．9個(gè) C．8個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)圖形依次數(shù)出角的個(gè)數(shù)即可．【詳解】，，，，，，，，，.一共有10個(gè)角．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的識別，按照順序依次數(shù)是解題的關(guān)鍵，不要漏解．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)任意畫三條直線兩兩相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

（

）個(gè).A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】D【詳解】試題解析：如圖，在同一平面內(nèi)，兩兩相交的三條直線的只有這兩種情況，所以交點(diǎn)有1或3個(gè)．故選D.12．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）有8條不同的直線（、、、、、、、），其中，、、交于同一點(diǎn)，則這8條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有（）A．21個(gè) B．22個(gè) C．23個(gè) D．24個(gè)【答案】C【分析】首先可得、、、、、這6條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，最多與前6條直線有6個(gè)交點(diǎn)，最多與前7條直線有7個(gè)交點(diǎn)，然后可得答案．【詳解】解：如圖，∵，、、交于同一點(diǎn)，

∴這6條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，∵最多與前6條直線有6個(gè)交點(diǎn)，最多與前7條直線有7個(gè)交點(diǎn)，∴這8條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為（個(gè)），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情況為后出現(xiàn)的直線與前面的直線均有不同交點(diǎn)．有位置前提的情況下，需要了解直線本身具有什么位置關(guān)系特點(diǎn)，先理清楚條件再按照交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的策略畫圖．理解直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情況是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·河南周口·七年級?？计谀┢矫嫔喜恢睾系膬牲c(diǎn)確定1條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上9條直線任兩條相交，交點(diǎn)最多有a個(gè)，最少有b個(gè)，則（

）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】B【分析】n條直線任意兩條都相交，交點(diǎn)最多時(shí)，根據(jù)公式，把直線條數(shù)代入公式求解，n條直線相交于同一個(gè)點(diǎn)時(shí)最少，是1個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：平面上有9條直線相交，則這9條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，相交于同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，最少有1個(gè)交點(diǎn)，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相交線的應(yīng)用，代數(shù)式求值問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相交線的計(jì)算方法．14．（2023秋·貴州畢節(jié)·七年級校聯(lián)考期末）若從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可畫7條對角線，則它是（

）邊形．A．七 B．八 C．九 D．十【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的邊數(shù)與對角線的數(shù)量關(guān)系列方程求解即可．【詳解】設(shè)多邊形有n條邊，則，解得：，故多邊形的邊數(shù)為10，即它是十邊形，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形有n條邊，則經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線有條，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·山東棗莊·七年級?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成9個(gè)三角形，這個(gè)多邊形經(jīng)過這一頂點(diǎn)的對角線條數(shù)是（）A．7條 B．8條 C．9條 D．10條【答案】B【分析】根據(jù)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出的所有對角線將多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)確定這個(gè)多邊形是幾邊形，從而確定一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出的對角線的條數(shù)．【詳解】解：∵從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線，并把這個(gè)多邊形分成了（n﹣2）個(gè)三角形，經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成9個(gè)三角形，∴這個(gè)多邊形是11邊形，從這多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出了8條對角線．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的對角線，熟練掌握從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出的對角線的條數(shù)以及對角線將多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023秋·湖北七年級課時(shí)練習(xí)）為了豐富同學(xué)們的課余生活，東辰學(xué)校初二年級計(jì)劃舉行一次籃球比賽，從3個(gè)分部中選出15支隊(duì)伍參加比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每個(gè)隊(duì)與其他各隊(duì)比賽一場），則這次聯(lián)賽共有（

）場比賽．A．30 B．45 C．105 D．210【答案】C【分析】根據(jù)多邊形對角線的計(jì)算方式可得出，m支球隊(duì)舉行比賽，若每個(gè)球隊(duì)與其他隊(duì)比賽（m-1）場，則兩隊(duì)之間比賽兩場，由于是單循環(huán)比賽，則共比賽m（m-1）．【詳解】解：15支球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽，比賽的總場數(shù)為：×15×（15-1）=105．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對角線的知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，明確單循環(huán)賽制的含義，利用多邊形的對角線條數(shù)的知識進(jìn)行解答．17．（2023春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線，將這個(gè)多邊形分成6個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是條【答案】8【分析】根據(jù)n邊形過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線分得三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)，即可求解．【詳解】解：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是條．故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的邊數(shù)，熟練掌握n邊形過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線分得三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·重慶七年級課時(shí)練習(xí)）【真實(shí)問題情境】由鄭州開往北京西的G562次列車，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵胡Q壁—邢臺—石家莊—保定，那么要為這次單車制作車票種．【答案】15【分析】將每個(gè)車站視為一個(gè)點(diǎn)，合計(jì)六個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條線段，計(jì)算能夠組成的線段的條數(shù)．【詳解】解：視六個(gè)車站分別為六個(gè)點(diǎn)，六個(gè)點(diǎn)可組成線段，故答案為：15【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)確定一條線段，理解平面內(nèi)多個(gè)能夠組成的線段的條數(shù)是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谥校┤暨^m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形有k條對角線，正h邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則代數(shù)式．【答案】500【分析】若過邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對角線，則；邊形沒有對角線，只有三角形沒有對角線，因而；邊形有條對角線，即得到方程，解得；正邊形的內(nèi)角和與外角和相等，內(nèi)角和與外角和相等的只有四邊形，因而．代入解析式就可以求出代數(shù)式的值．【詳解】解：邊形從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對角線有條，，，，；則．故答案為：500【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握邊形從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對角線有條，共有對角線條．20．（2023秋·廣東深圳·七年級聯(lián)考期末）邊長為整數(shù)的正多邊形的周長17，則過該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫條對角線．【答案】14【分析】設(shè)正多邊形的邊數(shù)為（），邊長為，根據(jù)邊長為整數(shù)的正多邊形的周長17，求出的值，根據(jù)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對角線的條數(shù)為，即可得解．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為（），邊長為，由題意，得：，∴，∵為整數(shù)，∴；∴過該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫：條對角線；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對角線條數(shù)．熟練掌握從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對角線，是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·廣東七年級月考）觀察圖，完成下列問題：

(1)如圖①，內(nèi)部有一條射線，則圖中有個(gè)角；(2)如圖②，內(nèi)部有兩條射線，，則圖中有______個(gè)角；(3)如果內(nèi)部有10條射線，那么圖中有_______個(gè)角．【答案】(1)3(2)6(3)66【分析】（1）根據(jù)圖①直接數(shù)出即可；（2）根據(jù)圖②直接數(shù)出即可；（3）在圖②的基礎(chǔ)上看增加的角的個(gè)數(shù)即得畫3條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)；依此規(guī)律可得在∠AOB內(nèi)部畫n條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)．【詳解】（1）解：圖①中有，，共3個(gè)，故答案為：3．（2）解：在內(nèi)部畫2條射線，，則圖中有、、、、、，共個(gè)不同的角；故答案為：6．（3）解：按逆時(shí)針方向，以射線為角的始邊，則題圖①中分別以射線為角的終邊共有兩個(gè)角：，；以射線為始邊，射線為終邊有一個(gè)角：，所以題圖①中角的個(gè)數(shù)是；同理，題圖②中角的個(gè)數(shù)是；經(jīng)過觀察，可以發(fā)現(xiàn)角內(nèi)部射線的條數(shù)總比第一個(gè)加數(shù)小1，∴當(dāng)內(nèi)部有10條射線時(shí)，角的個(gè)數(shù)是：．【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是解答的關(guān)鍵．22．（2023秋·江蘇七年級課時(shí)練習(xí)）閱讀并填空：問題：在一條直線上有，，，四個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個(gè)問題，我們可以這樣考慮，以為端點(diǎn)的線段有，，共3條，同樣以為端點(diǎn)，以為端點(diǎn)，以為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個(gè)3，即4×3＝12（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有條線段．那么，若在一條直線上有5個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有條線段；若在一條直線上有個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有條線段．知識遷移：若在一個(gè)銳角內(nèi)部畫2條射線，，則這個(gè)圖形中總共有個(gè)角；若在內(nèi)部畫條射線，則總共有個(gè)角．學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個(gè)火車站，若一列火車往返過程中，必須停靠每個(gè)車站，則鐵路局需為這段線路準(zhǔn)備種不同的車票．【答案】610620【分析】問題：根據(jù)線段的定義以及閱讀部分提供的思路解答；知識遷移：結(jié)合問題部分的解題思路，再根據(jù)角的定義解答；學(xué)以致用：先計(jì)算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答．【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則；；；知識遷移：在內(nèi)部畫2條射線，則圖中有個(gè)不同的角，在內(nèi)部畫n條射線，則圖中有個(gè)不同的角；學(xué)以致用：5個(gè)火車站代表的所有線段的條數(shù)，，需要車票的種數(shù)：（種）．故答案為：6，10，，6，，20；【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段的計(jì)數(shù)問題，角的計(jì)數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．23．（2023秋·成都市七年級課時(shí)練習(xí)）如圖：已知，，圖中以O(shè)為頂點(diǎn)的所有角之和為_______．【答案】【分析】先找出所有以O(shè)為頂點(diǎn)的角，然后根據(jù)∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°，求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，以O(shè)為頂點(diǎn)的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB，∵∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°∴∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠AOB+∠COD+∠COE+∠COB+∠DOE+∠DOB+∠EOB=4∠AOB+2∠COE=300°故答案為：300°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的定義和角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找出以O(shè)為頂點(diǎn)的角．24．（2023秋·北京市七年級月考）如圖所示，能用一個(gè)字母表示的角有個(gè)，圖中所有小于平角的角有個(gè)．【答案】27【分析】根據(jù)角的概念和角的表示方法，依題意求得答案．【詳解】能用一個(gè)字母表示的角有個(gè)：，；小于平角的角有個(gè)：，，，，，，．故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念：從一點(diǎn)引出兩條射線組成的圖形就叫做角．角的表示方法一般有以下幾種：1．角個(gè)大寫英文字母；2．角個(gè)大寫英文字母；3．角小寫希臘字母；4．角阿拉伯?dāng)?shù)字．25．（2023秋·江蘇七年級課時(shí)練習(xí)）歸納與猜想：（1）觀察上圖填空：圖中有個(gè)角；圖中有個(gè)角；圖中有個(gè)角；（2）根據(jù)（1）題猜想：在一個(gè)角內(nèi)引條射線可組成個(gè)角．

【答案】【分析】根據(jù)角的定義，固定一條射線，剩余射線的條數(shù)即為可以與這條固定射線組成的角的個(gè)數(shù)．【詳解】

如圖所示，射線可以與射線，組成個(gè)角，射線可以與射線組成個(gè)角，所以圖中共有個(gè)角．如圖所示，射線可以與射線，，組成個(gè)角，射線可以與射線，組成個(gè)角，射線可以與射線組成個(gè)角，所以圖中共有個(gè)角．如圖所示，射線可以與射線，，，組成個(gè)角，射線可以與射線，，組成個(gè)角，射線可以與射線，組成個(gè)角，射線可以與射線組成個(gè)角，所以圖中共有個(gè)角．在一個(gè)角內(nèi)引條射線，則共有條射線，可以組成的角的個(gè)．故答案為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查角的定義，牢記角的定義（有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角）是解題的關(guān)鍵．26．（2023秋·安徽蚌埠·七年級校考期中）在同一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，那么4條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)，8條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．【答案】628【詳解】解：可先畫出三條、四條、五條直線相交，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，n(n?1)故答案為：6，2827．（2023秋·山東七年級月考）如圖，以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角；以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角用含的代數(shù)式表示．

【答案】36【分析】有公共頂點(diǎn)的n條射線，可構(gòu)成個(gè)角，依據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角；；以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有6個(gè)角；；以點(diǎn)為端點(diǎn)引5條射線時(shí)，共有個(gè)10角；；……以點(diǎn)為端點(diǎn)引條射線時(shí)，共有個(gè)角；故答案為：3，6，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的概念，掌握其規(guī)律是解題的關(guān)鍵：有公共頂點(diǎn)的n條射線，可構(gòu)成個(gè)角．28．（2023春·四川達(dá)州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知C，D是線段AB上的兩點(diǎn)，，．(1)圖中以點(diǎn)A，B，C，D中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有條；(2)設(shè)，求的長．【答案】(1)6(2)【分析】（1）直接列出所有的線段即可作答；（2）由，可得，即有，根據(jù)，可得，，即可求出，則問題隨之得解．【詳解】（1）線段有：，，，，，共6條，故答案為：6．（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點(diǎn)、線段和差運(yùn)算的性質(zhì)，從而完成求解．29．（2023秋·廣東梅州·七年級校考階段練習(xí)）基本事實(shí)：已知過兩點(diǎn)可以畫一條直線，我們得到了一個(gè)基本事實(shí)，若平面內(nèi)有不在同一直線上的個(gè)點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)，一共可以畫條直線；類比：如圖，已知，在AOB的內(nèi)部畫射線，則圖中共有個(gè)角；圖1實(shí)踐應(yīng)用：年月日，滬蘇通鐵路正式通車，加快了長三角交通一體化建設(shè)，滬蘇通鐵路銜接南通和上海，并在沿途增設(shè)張家港、常熟、太倉三個(gè)?？空?，如圖．若一動車往返于上海與南通之間，已知各站之間的路程均不相等．則共有____種不同的票價(jià)．(不考慮座位等級等其它因素)圖2【答案】基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線，3；類比：6；實(shí)踐應(yīng)用：10【分析】基本事實(shí)：根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，過兩點(diǎn)的直線有1條，過不在同一直線上的三點(diǎn)的直線有3條，類比：根據(jù)角的概念，表示出所有的角；實(shí)踐應(yīng)用：先求出線段的條數(shù)，從而確定票價(jià)的種數(shù)．【詳解】解：基本事實(shí)：已知過兩點(diǎn)可以畫一條直線，我們得到了一個(gè)基本事實(shí)兩點(diǎn)確定一條直線，若平面內(nèi)有不在同一直線上的個(gè)點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)，一共可以畫3條直線；故答案為：兩點(diǎn)確定一條直線，3；類比：圖中的角有：∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共6個(gè)，故答案為：6實(shí)踐應(yīng)用：根據(jù)線段的定義：可知圖中共有線段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10條，∴有10種不同的票價(jià)；故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)確定一條直線，線段的數(shù)量及角的數(shù)量，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題．解題的關(guān)鍵是需要掌握正確數(shù)線段及角的方法．30．（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段是多邊形的對角線，如圖是四邊形的對角線，請仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并確定二十三邊形．．．．．共有條對角線．

多邊形的頂點(diǎn)數(shù)456…從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)123…多邊形對角線的總條數(shù)259…【答案】230【分析】根據(jù)多邊形對角線的定義：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，即可求得答案．【詳解】解：由題意可得：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為4時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線有條，共有條，多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為5時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線有條，共有條，多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為6時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線有條，共有條，∴多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為n時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線有條，共有條，∴二十三邊形．．．．．共有條對角線．故答案為：230．【點(diǎn)睛】本題考查對角線的條數(shù)，結(jié)合已知條件求得從n邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)可作條對角線是解題的關(guān)鍵．31．（2023春·廣東七年級期中）四邊形有幾條對角線？五邊形、六邊形呢？試猜想，邊形有多少條對角線？運(yùn)用你的猜想解決下列問題．(1)十二邊形有多少條對角線？(2)一個(gè)多邊形有條對角線，這個(gè)多邊形是幾邊形？(3)小明經(jīng)計(jì)算得出一個(gè)多邊形有條對角線，他的計(jì)算正確嗎？(4)有條對角線的多邊形的內(nèi)角和是多少度？(5)你能說明你的猜想嗎？相信你能行，別忘了求助你的同學(xué)和老師．【答案】(1)十二邊形有54條對角線(2)一個(gè)多邊形有條對角線，這個(gè)多邊形是十邊形(3)錯誤(4)有條對角線的多邊形的內(nèi)角和是(5)猜想n邊形有條對角線【分析】（1）根據(jù)四邊形、五邊形、六邊形對角線條數(shù)，總結(jié)規(guī)律，得出十二邊形對角線的條數(shù)即可；（2）根據(jù)n邊形對角線有條，列出方程，求出n的值即可；（3）根據(jù)多邊形有條對角線求出邊數(shù)，然后作出判斷即可；（4）求出有條對角線的多邊形的邊數(shù)，然后求出內(nèi)角和即可；（5）根據(jù)四邊形、五邊形、六邊形對角線條數(shù)，得出n邊形對角線條數(shù)即可．【詳解】（1）解：四邊形有條對角線；五邊形有條對角線；六邊形有條對角線；則十二邊形有條對角線．（2）解：∵，∴一個(gè)多邊形有條對角線，這個(gè)多邊形為十邊形．（3）解：∵，，又∵，∴多邊形不可能有171條對角線，∴小明的計(jì)算錯誤．（4）解：∵，∴有條對角線的多邊形為八邊形，八邊形的內(nèi)角和為，∴有條對角線的多邊形的內(nèi)角和是．（5）解：四邊形有條對角線；五邊形有條對角線；六邊形有條對角線；……猜想n邊形有條對角線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形對角線問題，多邊形內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形、五邊形、六邊形的對角線條數(shù)尋找規(guī)律，得出n邊形有條對角線．32．（2023·北京·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料并填空．平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過這些點(diǎn)作直線，一共能作出多少條不同的直線？（1）分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成10條直線……（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表點(diǎn)的個(gè)數(shù)可作出直線條數(shù)21=33=46=510=…………n(3)推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n-1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即（4）結(jié)論：試探究以下幾個(gè)問題：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過任意三個(gè)點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出個(gè)三角形；當(dāng)僅有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出個(gè)三角形；當(dāng)僅有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出個(gè)三角形；……（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）點(diǎn)的個(gè)數(shù)可連成三角形個(gè)數(shù)345……n(3)推理：

（4）結(jié)論：【答案】（1）1，4，10（2）點(diǎn)的個(gè)數(shù)可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)31=44=510=n（3）見解析（4）結(jié)論：Sn=．【分析】（1）根據(jù)給的點(diǎn)數(shù)一一查出三角形即可；（2）根據(jù)引例學(xué)習(xí)，仿照引例解法，先定點(diǎn)，再定形的方法，3個(gè)點(diǎn)先取第一個(gè)點(diǎn)，三點(diǎn)任意一個(gè)有3種，第二個(gè)點(diǎn)從剩下的兩點(diǎn)任取一個(gè)有2種，第三個(gè)點(diǎn)只有1種，三角形有3×2×1個(gè)，會出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA，都是同一種三角形，由此得出，根據(jù)此法可得出4、5、…、n個(gè)點(diǎn)的結(jié)論；（3）平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但同一個(gè)三角形重復(fù)6次，再除以6即可；（4）根據(jù)（3）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)分別為A、B、C、可作1個(gè)三角形△ABC；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，四點(diǎn)分別為A、B、C、D可作4個(gè)三角形△ABC，△ABD，△ACD，△BCD；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)五點(diǎn)分別為A、B、C、D、E，可作10個(gè)三角形△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE；△BDE，△CDE．故答案為1,4,10．（2）填表如下：點(diǎn)的個(gè)數(shù)可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)31=44=510=n（3）推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但同一個(gè)三角形重復(fù)6次，故應(yīng)除以6，即Sn=．（4）結(jié)論：Sn=．【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律探索，閱讀理解，仔細(xì)閱讀，抓住點(diǎn)與線的規(guī)律，拓展點(diǎn)與三角形的規(guī)律，是學(xué)習(xí)的質(zhì)的飛躍，本題難度不大，是培養(yǎng)邏輯思維的好題．33．（2023春·海南·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察圖形，尋找對頂角（不含平角）．

(1)兩條直線相交于一點(diǎn)，如圖①，共有___________對對頂角；(2)三條直線相交于一點(diǎn)，如圖②，共有___________對對頂角；(3)四條直線相交于一點(diǎn)，如圖③，共有___________對對頂角；(4)根據(jù)探究：當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，共有___________對頂角．【答案】(1)2(2)6(3)12(4)【分析】（1）兩條直線相交于一點(diǎn)，形成2對對頂角；（2）三條直線相交于一點(diǎn)，形成6對對頂角，（3）4條直線相交于一點(diǎn)，形成12對對頂角；（4）依次可找出規(guī)律，若有條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對對頂角．【詳解】（1）解：對圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，圖①中對頂角有與，與，共2對；故答案為：2；

（2）圖②中對頂角有與，與，與，與，與，與，共6對；故答案為：6；（3）圖③中對頂角有與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，與，共12對；故答案為：12；（4），，，則可以推理得到條直線相交于一點(diǎn)共有對對頂角