專題03 相似三角形重要模型-手拉手模型（解析版）

專題03相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。手拉手模型相似是手拉手模型當(dāng)中相對于手拉手全等模型較難的一種模型，在實(shí)際的應(yīng)用和解題當(dāng)中出現(xiàn)時(shí)，對于同學(xué)們來說，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例1．（2023秋·福建泉州·九年級校考期末）問題背景：（1）如圖①，已知，求證：；嘗試應(yīng)用：（2）如圖②，在和中，，，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：（3）如圖③，D是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】問題背景（1）由題意得出，，則，可證得結(jié)論；嘗試應(yīng)用（2）連接，證明，由（1）知，由相似三角形的性質(zhì)得出，，可證明，得出，則可求出答案．拓展創(chuàng)新（3）過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明，得出，求出，由勾股定理求出，最后由直角三角形的性質(zhì)可求出的長．【詳解】問題背景（1）證明：，，，，，；嘗試應(yīng)用（2）解：如圖，連接，，，，由（1）知，，，∴，∵∴∴∵∴∴∴∴，拓展創(chuàng)新（3）解：如圖2，過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，，，，，又，，，又，，即，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）【模型呈現(xiàn)：材料閱讀】如圖，點(diǎn)，，在同一直線上，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，和均為等邊三角形，，交于點(diǎn)，對于上述問題，存在結(jié)論（不用證明）：（1）（2）可以看作是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成；…

【模型改編：問題解決】點(diǎn)，在直線的同側(cè)，，，，直線，交于，如圖1：點(diǎn)在直線上，①求證：；

②求的度數(shù)．

如圖2：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度．③補(bǔ)全圖形，則的度數(shù)為______；④若將“”改為“”，則的度數(shù)為______．（直接寫結(jié)論）【模型拓廣：問題延伸】如圖3：在矩形和矩形中，，，，連接，，求的值．

圖1

圖2

圖3【答案】【模型改編：問題解決】①見解析；②；③圖見解析，115°；④【模型拓廣：問題延伸】【分析】【模型改編：問題解決】①先證明，可得，再證明，可得；②由，可得，再結(jié)合三角形的外角可得答案；③連接并延長交于，同理可得：，，再結(jié)合三角形的外角可得答案；④先求解，結(jié)合③的思路可得答案；【模型拓廣：問題延伸】連接、，先證明，可得，，證明，可得，可得，從而可得答案．【詳解】【模型改編：問題解決】①∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴；②由①知，，∴，∴③補(bǔ)圖如下：連接并延長交于，

圖2同理可得：∴，∴，④∵，，∴，同理③可得，故答案為：；【模型拓廣：問題延伸】連接、，

圖3∵在矩形和矩形中，，，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的證明三角形相似是解本題的關(guān)鍵．例3．（2023春·湖北黃岡·九年級專題練習(xí)）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長．【答案】(1)(2)成立；理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時(shí)；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．例4．（2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，，．點(diǎn)D是所在平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：．(2)當(dāng)時(shí)，請判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系是_____，并僅就圖2的情形說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，且時(shí)，若，，點(diǎn)E在上方，求的長．【答案】(1)見解析，(2)，理由見解析(3)【分析】（1）先證明和是等邊三角形，再證明，可推出；（2）過A作與H，先根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理可求出，同理求出，可得出，證明，然后證明即可求解；（3）過E作于F，可判斷是等腰直角三角形，然后可求出，，的長度，由（2）同理可證出，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，又，∴和是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴；

（2）解：過A作與H，

∵，，∴，，∴，又由勾股定理得，∴，∴，同理，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即（3）解：如圖，

過E作于F，當(dāng)時(shí)，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）同理可證，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵在于正確尋找全等三角形或相似三角形．例5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點(diǎn)．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)交于點(diǎn)，

∵∴，故答案為：，．（2）結(jié)論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長至，使得，則是等腰直角三角形，

∵,∴，∵，∴∴，∴，∵，在中，，∴∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，在中，∴∴解得：，則，設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，∴在中，∴∴又，∴∴∴，∴∴，在中，∴，綜上所述，或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練運(yùn)用已知模型是解題的關(guān)鍵．例6．（2023·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）問題背景：一次小組合作探究課上，小明將一個(gè)正方形和等腰按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)、、在同一條直線上），其中．小組同學(xué)進(jìn)行了如下探究，請你幫助解答：初步探究（1）如圖，將等腰繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．請直接寫出與的關(guān)系；（2）如圖，將（1）中的正方形和等腰分別改成菱形和等腰，其中，，其他條件不變，求證：；深入探究：（3）如圖，將（1）中的正方形和等腰分別改成矩形和，其中且，其它條件不變．①探索線段與的關(guān)系，說明理由；②連接，若，，直接寫出________．【答案】（1），；（2）見解析；（3）①，，見解析；②500【分析】（1）由正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，得到BC=CD，CE=CF，證明△BCF≌DCE，得到BF=DE，∠CBF=∠CDE，結(jié)合對頂角相等，即可得到；（2）由菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，先證明，即可得到結(jié)論成立；（3）①由矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，先證明，得到與的數(shù)量關(guān)系，再由余角的性質(zhì)證明位置關(guān)系即可；②連接BD，先求出矩形的邊長，直角三角形的邊長，與（1）同理先證明，然后利用勾股定理，等量代換，即可得到．【詳解】解：（1）如圖：∵正方形和等腰中，∴BC=CD，CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，∴∠BCD+∠DCF=∠ECF+∠DCF，即∠BCF=∠DCE，∴△BCF≌DCE，∴，∠CBF=∠CDE，∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DFG=90°∴．（2）證明：如圖：，，四邊形為菱形，又，；（3）①在矩形中，，，又，；，設(shè)與交于點(diǎn)G，．②如圖：連接BD在矩形ABCD中，CD=AB=12，∵，，∴，BC=16，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF=∠CDE，∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DQG=90°，∴BF⊥DE；在直角△BCD中，有，在直角△BDQ中，；在直角△CEF中，，在直角△EFQ中，；∴；在直角△BEQ和直角△DFQ中，由勾股定理，則∵，，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，找到證明三角形相似和三角形全等的條件進(jìn)行解題．例7．（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）已知在ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時(shí)，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長．【答案】（1）；（2）成立，證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)論．證明，可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立．證明方法類似（1）．（3）首先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1中，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，，，，，，，，，．（3）如圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·北京順義·九年級?？计谥校┤鐖D，和都是等腰直角三角形，．連接BD，CE．則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可推出，，，從而可得出，，證明即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握三角形相似的判定條件是解題關(guān)鍵．2．（2023春·浙江金華·九年級校考期中）如圖，在中，，以，為邊分別向外作正方形和正方形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，由“”可證，可得，，利用勾股定理分別求出，的長，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，

，，，設(shè)，，，，，，，，，在和中，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江麗水·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作，，垂足分別為E，F(xiàn)．連接EF交線段CD于點(diǎn)O，若，，則的值為（

）．A． B．4 C． D．6【答案】B【分析】由題意易得出，即說明點(diǎn)C，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，得出，從而易證，得出．由題意可求出，即可求出．【詳解】解：∵，，∴，∴點(diǎn)C，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴，即．又∵，∴，∴，∴．∵，，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的知識，圓周角定理．確定點(diǎn)C，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，從而可得出證明的條件是解題關(guān)鍵．4．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在CA的延長線上，得到，連接，交于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推出，即可判斷①的正確性；通過點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓可以判斷出②③④的正確性．【詳解】解：由題意可得：，∵∴∵∴，故①正確；∵∴∵∴∴，∴點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓∵，∴是直徑，不是直徑∴，故②錯(cuò)誤；∵點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓∴，故③正確；∵點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓∴，∴，故④正確；∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理的推論以及相似的判定等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)G落在對角線上，延長交于點(diǎn)H，則的長為．

【答案】【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得到，，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，，接著證明，然后利用相似比求出，從而得到的長．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)G落在對角線上，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)、三角形相似的判定利用三角形相似比求線段的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)兩組對應(yīng)角分別相等的兩三角形相似得出是本題的關(guān)鍵．6．（2022·安徽·模擬預(yù)測）如圖，將邊長為3的菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)．若，則的長為．【答案】/0.75【分析】延長交BC的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CNDM交于點(diǎn)N，根據(jù)菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△AB≌△AD≌△DCM≌，求得＝＝2，CM＝＝1，再根據(jù)CNDM，得，，代入即可求解．【詳解】解：如圖，延長交BC的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CNDN交于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠B＝∠ADC＝∠，ABCD∴∠DCM＝∠B由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，∠ADC＝∠，∴△≌△∴∴∵∠CDM+∠ADC＝∠DA＋∠∴∴△AB≌△DCM≌，∴DM＝，∠M＝∠∴∵CNDM∴∽∴∵∴∴∵CNDM∴△CNE∽△DE∴∴∴CE＝故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到，連接，，則與的面積之比等于．【答案】【分析】先根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：在中，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，在和中，，，，即與的面積之比等于，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正切三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知，．

(1)求證：；(2)若，，求．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)的正切值得，即可證明相似．（2）先證明，進(jìn)而求出，再根據(jù)得出，即可求出．【詳解】（1）∵∴∵∴，∴∴（2）∵由（1），∴∵∴∴∵，∴∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定、特殊角三角函數(shù)值及勾股定理，根據(jù)特殊角得出對應(yīng)線段成比例是解題關(guān)鍵．9．（2023·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在線段上，在的同側(cè)作等腰和等腰，與、分別交于點(diǎn)P、M．求證：

(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，，，即可證；（2）由可得，即可證，可得．【詳解】（1）證明：∵等腰和等腰，∴，，，∴，，，∴，∴，（2）∵，∴，且，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．10．（2023秋·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題背景：如圖，在中，，，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，的延長線交于點(diǎn)．問題探究：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，證明．①先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)時(shí)，證明：；②再探究一般情形，如圖，當(dāng)不垂直時(shí)，證明：；拓展探究：（2）如圖3，若的延長線交的延長線于點(diǎn)時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示，，之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）①見解析，②見解析（2）【分析】①結(jié)論：．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再證明四邊形是正方形，可得結(jié)論．②結(jié)論不變，如圖2中，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)H．證明，可以推出，再利用正方形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：，證明方法類似②．【詳解】（1）①證明：∵，∴，在中，，，∵將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∵是中邊上的中線，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴②結(jié)論成立，證明：過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)H．則．

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∴，，，∵，，∴，∴，∴，，．∴．∴．∴四邊形是正方形．∴，∴．∵，，，∴．∴．∴．（2）解：．理由：如下圖所示，過作交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，

則四邊形是平行四邊形，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．11．（2022·河南·九年級專題練習(xí)）規(guī)定：有一角重合，且角的兩邊疊合在一起的兩個(gè)相似四邊形叫做“嵌套四邊形”，如圖，四邊形ABCD和AMPN就是嵌套四邊形．（1）問題聯(lián)想：如圖①，嵌套四邊形ABCD，AMPN都是正方形，現(xiàn)把正方形AMPN以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到正方形AM'P'N'，連接BM'，DN'交于點(diǎn)O，則BM'與DN'的數(shù)量關(guān)系為_____，位置關(guān)系為_____；（2）類比探究：如圖②，將（1）中的正方形換成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立嗎?若成立，請說明理由；若不成立，請給出正確的結(jié)論，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，將（1）中的嵌套四邊形ABCD和AMPN換成是長和寬之比為2:1的矩形，旋轉(zhuǎn)角換成α（90°＜α＜180°），其他條件不變，請直接寫出BM'與DN'的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【答案】（1），；（2）成立，不成立，與相交，且夾角為.理由見解析；（3），.【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABM’≌△AND’，進(jìn)而得到，∠ABM’=∠ADN’，再利用三角形內(nèi)角和可推出∠BOD=90°，即；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和菱形的性質(zhì)證明，再推出，故可求解；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)證明，得到，再推出即可求解．【詳解】（1）如圖設(shè)，交于點(diǎn)H，，∵四邊形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到正方形AM'P'N'，∴AB=AD,AM’=AD’,∴△ABM’≌△AND’，∴，∠ABM’=∠ADN’，∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°，又∠DHA=∠BHO∴，即故答案為：，；（2）成立，不成立，與相交，且夾角為.理由：設(shè)，交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得.∵四邊形，都是菱形，∴，，∴，∴，.又∵，∴；故與相交，且夾角為；（3），，理由如下：設(shè)，交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得.∵四邊形ABCD和AMPN是長和寬之比為2:1的矩形∴，，∴∴，∴，.又∵，∴∴，．【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形、矩形、菱形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用了類比的思想方法，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)．12．（2023·山東青島·模擬預(yù)測）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點(diǎn)F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點(diǎn)F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見解析(4)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)等原三角形的性質(zhì)可得平分，即可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；（2）證明，可得，根據(jù)等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，證明，，可得，即可得出；（4）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．【詳解】（1）等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：（2）在與中，又重合，故答案為：（3）同（2）可得，過點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，（4）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）問題提出

如圖1，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系.問題探究

（1）先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)時(shí)，直接寫出的大?。唬?）再探究一般情形，如圖1，求與的數(shù)量關(guān)系.問題拓展

將圖1特殊化，如圖3，當(dāng)時(shí)，若，求的值.

【答案】問題探究：（1）；（2）；問題拓展：【分析】問題探究：（1）作，交的延長線于點(diǎn)G，如圖，證明，得到，再通過線段的代換得出，即得，進(jìn)而求解；（2）延長并截取，如圖，證明，得到，，再通過線段的代換得出，即得，進(jìn)而求解；問題拓展：易得都是等邊三角形，可得，，進(jìn)而得，可證，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而可得，即可求解.【詳解】解：問題探究：（1）作，交的延長線于點(diǎn)G，如圖，則，，∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；

（2）延長并截取，連接，如圖，∵，，∴，∵，∴，

∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；

問題拓展：延長并截取，連接，如圖，由（2）可得，，∴都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，設(shè)，則，

∴，，，∴，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線、證明三角形全等與相似是解題的關(guān)鍵.14．（2023春·河南·九年級專題練習(xí)）由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的特殊多邊形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，兩個(gè)等腰直角三角形和中，，，，連接、，兩線交于點(diǎn)P，和的數(shù)量關(guān)系是；和的位置關(guān)系是；(2)【類比探究】如圖2所示，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以、為邊在的同側(cè)作正方形與正方形，連接分別交線段、于點(diǎn)M、N．①求的度數(shù)；②連接交于點(diǎn)H，直接寫出的值；(3)【拓展延伸】如圖3所示，已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，，和為同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，連接交于N，連接交于M，連接，直接寫出線段的最大值．【答案】(1)，(2)①；②(3)【分析】（1）證明，即可得到，，問題得證；（2）①連接、、，證明，再證明，即可得出結(jié)果；②證明，即有，即可求解；（3）證明為等邊三角形，就有MN=CN，由條件可以得出，即有，可得，設(shè)為x，則有，用相似三角形的性質(zhì)把用含x的式子表示出來，從而求出最大值．【詳解】（1）∵，∴，，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，故答案為：，；（2）①連接、、，AC

∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴；②∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（3）∵和為等邊三角形，∴，，．∴，即．∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形．∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)為x，則有，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，NC有最大值是，即點(diǎn)C在的中點(diǎn)時(shí)，線段最大，最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及二次函數(shù)的最值的運(yùn)用．在解答的過程中書寫全等三角形時(shí)對應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對應(yīng)的位置上，靈活運(yùn)用頂點(diǎn)式求最值．15．（2023秋·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習(xí)）類比探究【問題背景】已知D、E分別是的邊和邊上的點(diǎn)，且，則把繞著A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接和．

①如圖2，找出圖中的另外一組相似三角形__________②若，，，則__________．【遷移應(yīng)用】在中，，，D、E、M分別是、、中點(diǎn)，連接和．①如圖3，寫出和的數(shù)量關(guān)系__________；②如圖4，把繞著點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)D落在上時(shí)，連接和，取中點(diǎn)N，連接，若，求的長．

【創(chuàng)新應(yīng)用】如圖5：，，是直角三角形，，，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且，連接，請直接寫出的取值范圍．

【答案】【問題背景】①，②；【遷移應(yīng)用】①，②3；【創(chuàng)新應(yīng)用】【問題背景】①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)相似三角形的判定即可證明；②利用相似三角形的性質(zhì)求解；【遷移應(yīng)用】①根據(jù)正切的定義求得，即可得結(jié)論；②連接，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定，求出，根據(jù)三角形的中位線定理即可求得；【創(chuàng)新應(yīng)用】過點(diǎn)A作于點(diǎn)K，過點(diǎn)C作于點(diǎn)J，連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)三角形的面積公式求得，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，即可求得，，通過，即可可得結(jié)論．【詳解】解：①∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．②∵，∴，∴，∴．故答案為：．①如圖3中，在中，，，∴，∴，∵，，∴．故答案為：．②如圖4中，連接．

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴．如圖5中，過點(diǎn)A作于點(diǎn)K，過點(diǎn)C作于點(diǎn)J，連接．

∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的定義，三角形中位線定理，平行線分線段成比例，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，添加常用輔助線，構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，正方形和正方形（其中，連接，交于點(diǎn)，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）如圖2，矩形和矩形，，，，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，交于點(diǎn)，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1），（2）不成立，，，理由見解析【分析】（1）證明，即可求解；（2）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證明，即可求解；【詳解】解：（1）如圖1，

在正方形和正方形中，，，即，，，，，，，，；（2）不成立，新結(jié)論：，，理由如下：

如圖2，由（1）知，，，，，，，，，，即，，，，，；【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性