第四講 二次函數(shù)（典例精講）（原卷版）

2023年中考數(shù)學典型例題系列之函數(shù)篇第四講二次函數(shù)（原卷版）一、二次函數(shù)的定義。一般地，形如（QUOTEa，b，c是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。注意：二次項系數(shù)，而QUOTEb，c可以為零。二、二次函數(shù)四種基本形式的圖像性質(zhì)。二次函數(shù)的基本表現(xiàn)形式：①；②；③；④；⑤.的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．第一種：二次函數(shù)的性質(zhì)（最基礎(chǔ)）。第二種：二次函數(shù)的性質(zhì)。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．第三種：二次函數(shù)的性質(zhì)。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值。向下X=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．第四種：二次函數(shù)的性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．三、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像和性質(zhì)。函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，四、二次函數(shù)的平移。步驟：（1）先將函數(shù)化成y=a(x-h)2+k，頂點坐標為（h,k）；（2）從函數(shù)y=ax2平移方法如下：“左加右減，上加下減”。平移前平移方向（m＞0)平移后口訣y=a(x-h)2+k向左平移m個單位“左加右減”“上加下減”向右平移m個單位向上平移m個單位向下平移m個單位五、二次函數(shù)圖像與系數(shù)a、b、c的關(guān)系。1.根據(jù)a、b、c的正負數(shù)判斷二次函數(shù)圖像。二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向及開口大小當時，拋物線開口向上當時，拋物線開口向下一次項系數(shù)b決定對稱軸的位置在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸。（同左異右b為對稱軸為y軸）常數(shù)項系數(shù)c決定拋物線與y軸的交點的位置當時，拋物線與軸的交點在軸上方當時，拋物線與軸的交點為坐標原點當時，拋物線與軸的交點在軸下方b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點；2.根據(jù)二次函數(shù)圖像判斷a、b、c關(guān)系式與0的關(guān)系。關(guān)系式實質(zhì)2a+b實質(zhì)式結(jié)合a的正負比較與1關(guān)系2a+b實質(zhì)式結(jié)合a的正負比較與-1關(guān)系a+b+c實質(zhì)是令x=1，看縱坐標正負a-b+c實質(zhì)是令x=-1，看縱坐標正負4a+2b+c實質(zhì)是令x=2，看縱坐標正負4a-2b+c實質(zhì)是令x=-2，看縱坐標正負六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況，圖象與軸的交點個數(shù)：①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根。②當時，圖象與軸只有一個交點；③當時，圖象與軸沒有交點。A：當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有；B：當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式。根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達式的幾種基本思路：=1\*GB3①一般式：當已知拋物線上的三點坐標時，可設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c；=2\*GB3②頂點式：當已知拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸與最大（小）值時，可設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x?h)2+k；=3\*GB3③交點式：當已知拋物線與x軸的兩個交點（x1，0），（x2，0）時，可設(shè)函數(shù)解析式為y=ax?x1(x?【考點一】二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。【典型例題1】（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點坐標是C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當時，y隨x的增大而增大【對應練習1】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．【對應練習2】（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線 C．拋物線的頂點坐標為 D．當時，y隨x的增大而增大【對應練習3】（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，兩點，則下列說法正確的是（

）A． B．點A的坐標為C．當時，y隨x的增大而減小 D．圖象的對稱軸為直線【典型例題2】（2022·湖北隨州·中考真題）對于二次函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．它的圖像與軸有兩個交點 B．方程的兩根之積為C．它的圖像的對稱軸在軸的右側(cè) D．時，隨的增大而減小【對應練習】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當函數(shù)值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典型例題3】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當時，的最小值為，則的值為（

）A．或4 B．或 C．或4 D．或4【典型例題4】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對【對應練習1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對應練習2】（2023秋·天津東麗·九年級?？计谥校┤?，，為二次函數(shù)的圖像上的三點，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【對應練習3】（2022秋·安徽蕪湖·九年級蕪湖市第二十九中學校考期中）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點.則關(guān)于，，大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【考點二】二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系綜合。【典型例題】（2022·四川資陽·中考真題）如圖是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點．有以下四個結(jié)論：①，②，③，④若頂點坐標為，當時，y有最大值為2、最小值為，此時m的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【對應練習1】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，與x軸正半軸的交點為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是拋物線上的三點，則y1<y2<y3．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【對應練習2】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【對應練習3】（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x﹣2）2﹣9，則下列結(jié)論中，正確的序號為（）①當x＝2時，y取得最小值﹣9；②若點（3，y1），（4，y2）在其圖象上，則y2＞y1；③將其函數(shù)圖象向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度所得拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x﹣5）2﹣5；④函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，且兩交點的距離為6．A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④【考點三】二次函數(shù)圖像的平移。【典型例題】（2022秋·天津河北·九年級統(tǒng)考期末）將拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后拋物線的頂點坐標是（）A． B． C． D．【對應練習1】（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）把拋物線的圖像向左平移1個單位，則平移后的拋物線是（）A． B．C． D．【對應練習2】（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的頂點坐標是______．【考點四】一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖像綜合?！镜湫屠}】（2023秋·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考期末）一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一個平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【對應練習1】（2022·山東臨沂·九年級?？茧A段練習）一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一個平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【對應練習2】（2019·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考中考模擬）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【對應練習3】（2022·河南南陽·模擬預測）若，則函數(shù)和在同一坐標系中的圖象大致為（

）A． B．C． D．【考點五】二次函數(shù)與一元二次方程?！镜湫屠}1】（2022·福建福州·校考一模）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則關(guān)于的一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【對應練習1】（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學?？家荒＃┤绻麙佄锞€的對稱軸是直線，與x軸的一個交點的坐標是，那么它與x軸的一個交點的坐標是（

）A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）【對應練習2】（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）二次函數(shù)的圖象與軸交點坐標是________．【典型例題2】（2022秋·山東東營·九年級校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，則k的取值范圍為___________．【對應練習1】（2022·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┒魏瘮?shù)的圖象與x軸只有一個公共點，則m的值為__________．【對應練習2】（2022春·九年級課時練習）若二次函數(shù)，當______時，與x軸有唯一的交點．【對應練習3】（2022·山東青島·山東省青島實驗初級中學?？寄M預測）函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象與坐標軸只有兩個交點，則______．【考點六】二次函數(shù)與不等式。【典型例題】（2022·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┒魏瘮?shù)．若，則自變量x的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【對應練習1】（2022·江蘇徐州·?？级＃┒魏瘮?shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)值時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【對應練習2】（2022春·九年級課時練習）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，當時，x的取值范圍是______．【對應練習3】（2022·四川成都·模擬預測）已知函數(shù)，當時，，則m的取值范圍是_______．【考點七】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式。【典型例題】（2022·甘肅蘭州·蘭州市外國語學校?？寄M預測）已知拋物線經(jīng)過，，三點．(1)求拋物線的表達式和頂點坐標．(2)請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在點處，并寫出平移后拋物線的表達式．【對應練習1】（2023秋·山東濟南·九年級期末）已知一個拋物線經(jīng)過點，和．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)求這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；【對應練習2】（2022·福建福州·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過點，．(1)求，的值；(2)若點，在二次函數(shù)圖像上，其中，當時，求的取值的范圍．【對應練習3】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線（其中a、c為常數(shù)，且）與x軸的一個交點為，與y軸交于點B，此拋物線頂點C的縱坐標為4．(1)求拋物線的解析式；(2)求的正切值；【考點八】二次函數(shù)的實際應用?！镜湫屠}1】建系。（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．那么噴頭高_______________m時，水柱落點距O點．【對應練習1】35．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考一模）如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面寬，當水位上升時，水面寬．(1)按如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的函數(shù)表達式；(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來，當船距離此橋，橋下水位正好在處，之后水位每小時上漲，當水位達到處時，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時，水面寬是多少？它能否安全通過此橋？【對應練習2】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會（也稱2022年北京冬奧會）于2022年2月4日至2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市．冬奧會上跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動．運動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運動員穿著滑雪板，經(jīng)過助滑后，從傾斜角的跳臺A點以速度沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時，由于受重力作用，運動員沿豎直方向會加速下落，因此，運動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運動員在B點著陸，，且．忽略空氣阻力，請回答下列問題：(1)求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少m？(2)以A為坐標原點建立直角坐標系，求該拋物線表達式；(3)若該運動員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【典型例題2】銷售問題。（2022·四川綿陽·東辰國際學校校考模擬預測）某景點投入40輛同型號電動代步車，準備成立代步車租賃公司，市運管所規(guī)定每輛代步車的日租金按10元的整數(shù)倍收取，但不得超過250元．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當每輛代步車的日租金不超過150元時，40輛代步車可以全部租賃出去；當每輛代步車的日租金超過150元時，每增加10元，租賃出去的代步車數(shù)量將減少2輛．已知租賃出去的代步車每輛一天各項支出共需20元，沒有租賃出