專題02 最值模型之將軍飲馬（遛馬、過(guò)橋）模型（原卷版）

專題02最值模型之將軍飲馬（遛馬、過(guò)橋）模型將軍遛馬模型和將軍過(guò)橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型和將軍過(guò)橋（造橋）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），只要將線段按照長(zhǎng)度方向平移即可，即可以跨越長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡(jiǎn)單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造橋）再也不是問(wèn)題！模型1.將軍遛馬模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類(lèi)的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：如圖1如圖2（1）如圖1，過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·西安·統(tǒng)考一模）問(wèn)題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)E、F分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且AE＝1；BF＝2．（1）如圖①，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP、PF，則EP+PF的最小值為；（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且PM＝2，現(xiàn)要求計(jì)算出EP、PM、MF和的最小值．九年級(jí)一班某興趣小組通過(guò)討論得出一個(gè)解決方法：在DA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E'，使AE'＝AE，再過(guò)點(diǎn)E'作AB的平行線E'C，在E'C上E”的下方取點(diǎn)M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點(diǎn)即為M，再在邊AB上點(diǎn)M的上方取P點(diǎn)，且PM＝2，此時(shí)EP+PM+MF的值最小．但他們不確定此方法是否可行，便去請(qǐng)教數(shù)學(xué)田老師，田老師高興地說(shuō)：“你們的做法是有道理的”．現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)敘述作出草圖并計(jì)算出EP+PM+MF的最小值；問(wèn)題解決：（3）聰聰?shù)陌职质枪╇姽镜木€路設(shè)計(jì)師，公司準(zhǔn)備架設(shè)一條經(jīng)過(guò)農(nóng)田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個(gè)村同時(shí)輸電．如圖所示，農(nóng)田區(qū)兩側(cè)AB與CD平行，且農(nóng)田區(qū)寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據(jù)架線要求，在農(nóng)田區(qū)內(nèi)的線路要與AB垂直．請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职衷O(shè)計(jì)出最短的線路圖，并計(jì)算出最短線路的長(zhǎng)度．（要求：寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，結(jié)果保留根號(hào)）例2．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．例3．（2023年山東中考三模）如圖，在菱形中，，在邊上有一線段由向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，在的左側(cè)，，連接，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C．7 D．8例4．（2023年陜西中考模試）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是．例5．（2023·江蘇·?？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，連接對(duì)角線AC，將△ADC沿射線CA的方向平移得到△A'D'C'，分別連接BC'，AD'，BD'，則BC'＋BD'的最小值為．例6．（2023下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，連接，，，則的最小值為．模型2.將軍過(guò)橋（造橋）模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類(lèi)的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（圖2）．問(wèn)題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)兩條河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？圖4圖5圖6考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價(jià)于AP+QM+NB最小，對(duì)于這彼此分離的三段，可以通過(guò)平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）當(dāng)A'、Q、M、B'共線時(shí)，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023.浙江八年級(jí)期中）同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)一些平行線的性質(zhì)，其實(shí)平行線的性質(zhì)還有一些：（1）如圖1，如果，在a上任取一點(diǎn)P，作PQ⊥b于點(diǎn)Q，則線段PQ的長(zhǎng)度叫a，b之間的距離.如果在a上再取一點(diǎn)M，作MN⊥b于點(diǎn)N，則線段MN可以看成由線段PQ平移得到，即MN=PQ，這就得到平行線的又一條性質(zhì)：平行線間的距離處處相等．根據(jù)平移還有哪些線段相等.（2）剛在（1）中提到的平行線性質(zhì)在河上建橋也有廣泛的應(yīng)用：如圖2，直線a，b表示一條河的兩岸，且.現(xiàn)在要在這條河上建一座橋．使村莊A經(jīng)橋過(guò)河到村莊B．現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)設(shè)計(jì)：小明：作AD⊥a，交a于點(diǎn)D，交b于點(diǎn)C．在CD處建橋.路徑是A-C-D-B．小紅：作AD⊥a，交a，b于點(diǎn)D，點(diǎn)C；把CD平移至BE，連AE，交b于G，作GF⊥a于F.在FG處建橋．路徑是A-G-F-B．問(wèn)：小明、小紅誰(shuí)設(shè)計(jì)的路徑長(zhǎng)較短？再用平移等知識(shí)說(shuō)明理由.（3）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計(jì)在FG處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，凌晨3點(diǎn)某船從舊橋下到新橋下，到達(dá)后立即返回，來(lái)回穿梭于兩橋之間，船在靜水每小時(shí)16千米，水流每小時(shí)4千米，在當(dāng)晚23點(diǎn)時(shí)有人看見(jiàn)船在離舊橋80千米處行駛求這兩橋之間的距離.例2．（2022上·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)聯(lián)考自主招生）如圖有一條直角彎道河流，河寬為2，、兩地到河岸邊的距離均為1，，，，現(xiàn)欲在河道上架兩座橋、，使最小，則最小值為

A． B． C．14 D．12例3．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．例4．（2023.廣東省深圳市八年級(jí)期中）如圖，已知平行四邊形ABCO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D，AD=4，OC=10，∠A=60°，線段EF垂直平分OD，點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與E'關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BP、E'M，則BP+PM+ME'的長(zhǎng)度的最小值為．例6．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是________．

例6．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作且分別交對(duì)角線、直線于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E為正方形中邊上的一點(diǎn)，且，，M、N分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，則的最小值為（

）

A．8 B．8 C．8 D．122．（2023下·安徽滁州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，邊的長(zhǎng)分別為4和3，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，且，連接，當(dāng)點(diǎn)E在邊上移動(dòng)時(shí)，的最小值為（

）

A．7 B． C．10 D．3．（2023下·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為10的正方形對(duì)角線上有E，F(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，則最小值為（

）

A． B． C． D．104．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，則的最小值為（

）

A．8 B． C． D．5．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？既＃┰谶呴L(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E、F是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，連接、，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．6．（2023下·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，河的兩岸有，兩個(gè)水文觀測(cè)點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測(cè)得，兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

7．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．

8．（2023.廣東省深圳市九年級(jí)期中）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與E′關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BP、E′M．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____；（2）當(dāng)BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)____；9．（成都市2022-2023學(xué)年八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)．將直線：向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，，則折線的長(zhǎng)的最小值為．10．（2023上·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，D，E為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，若，則的最小值為．

11．（2023上·福建漳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，P，Q為邊上的兩點(diǎn)，且，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為．12．（2023下·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，，，連接，且，平分交與于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，若線段（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）在線段上運(yùn)動(dòng)，，連接，，則的最小值為．13．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形中，，．若點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F，則點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為．

14．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，則的最小值為．15．（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E在AB上，BE＝2，點(diǎn)M，N為AC上動(dòng)點(diǎn)，且，連接BN，EM，則四邊形BEMN周長(zhǎng)的最小值為．16．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)函數(shù)的圖象上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則四邊形的周長(zhǎng)最小值是．17．（2023.廣東八年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖所示，某條護(hù)城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達(dá)處，須經(jīng)過(guò)兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃蹋?qǐng)確定兩座橋的位置．

18．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）問(wèn)題提出如圖①，在中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．（2）問(wèn)題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，才能使從A到B的路徑最短．博琳小組針對(duì)該問(wèn)題展開(kāi)討論，小旭同學(xué)認(rèn)為：過(guò)A作河岸的垂線，使，為河寬，連接，與河的一岸交于點(diǎn)N，此時(shí)在點(diǎn)N處建橋，可使從A到B的路徑最短．你認(rèn)為小旭的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題解決：如圖③，在矩形中，．E、F分別在上，且滿足，．若邊長(zhǎng)為10的正方形在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)取值最小時(shí)，求的長(zhǎng)．19．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、