專題01 數(shù)與式一（有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式35題）（解析版）

專題01數(shù)與式一（有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式35題）（解析版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，內(nèi)容包含有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式部分共35題。一、單選題，10題1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）中國是最早認(rèn)識(shí)正數(shù)和負(fù)數(shù)的國家，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽就提出了負(fù)數(shù)的概念，如果將零下記作，那么表示（

）A．零上 B．零下 C．零上 D．零下【答案】A【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義即可求解．【詳解】解：如果將零下記作，那么表示零上故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ひ荒＃╅喿x理解：我們知道，引進(jìn)了無理數(shù)后，有理數(shù)集就擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集：同樣，如果引進(jìn)“虛數(shù)”實(shí)數(shù)集就擴(kuò)展到“復(fù)數(shù)集”現(xiàn)在我們定義：“虛數(shù)單位”，其運(yùn)算規(guī)則是：，，，，，，，則（）A．1 B． C．i D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出變化規(guī)律，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：∵，，，，，，，∴每4個(gè)數(shù)據(jù)一循環(huán)，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義，正確理解題意是解題關(guān)鍵．3．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把點(diǎn)代入拋物線，解三元一次方程組即可求解．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與三元一次方程組的綜合，掌握二次函數(shù)的代入法，解三元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）下列計(jì)算中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項(xiàng)以及完全平方公式逐項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】解：A．，故選項(xiàng)A不符合題意；B．，故選項(xiàng)B不符合題意；C．，故選項(xiàng)C符合題意；D．，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項(xiàng)以及完全平方公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，二次根式的化簡等計(jì)算即可．【詳解】解：A、，故正確，符合題意；B、，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，二次根式的化簡，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·上海靜安·九年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┮阎?，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可用x表示y，由分式的性質(zhì)，即可求得．【詳解】解：由，得，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，會(huì)用表示是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法則及合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：A．，不符合題意；B．，不符合題意；C．，符合題意；D．，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減乘除運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法和除法法則及合并同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣【答案】B【分析】根據(jù)正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，進(jìn)行比較．【詳解】最小的數(shù)是﹣2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了比較實(shí)數(shù)的大小，要熟練掌握任意兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法．（1）正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而?。?．（2023下·上海浦東新·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列各數(shù)中無理數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：∵是無理數(shù)，∴A正確；∵是有理數(shù)，∴B錯(cuò)誤；∵＝2是有理數(shù)，∴C錯(cuò)誤；∵＝3是有理數(shù)，∴D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)，無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）下列無理數(shù)中，在與0之間的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進(jìn)行估算解答即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴此項(xiàng)不合題意；B、∵，∴，∴此項(xiàng)合題意；C、∵，∴∴此項(xiàng)不合題意；D、∵，∴∴此項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，解答此題要明確，無理數(shù)是不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．二、填空題，9題11．（2024上·上海靜安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）0.5的倒數(shù)是．【答案】2【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，可得答案．【詳解】解：0.5的倒數(shù)是2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握倒數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．12．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）冬季某日中午12時(shí)的氣溫是3，經(jīng)過10小時(shí)后氣溫下降8，那么該時(shí)刻的氣溫是．【答案】【分析】用進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，得：該時(shí)刻的氣溫是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用．熟練掌握有理數(shù)的減法法則，是解題的關(guān)鍵．13．（2023·上海徐匯·上海市徐匯中學(xué)?？家荒＃┮阎?，那么.【答案】/0.4【分析】根據(jù)合比性質(zhì)、倒數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】解：∵，

故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了合比性質(zhì)、倒數(shù)的定義.熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）化簡：【答案】/【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，先計(jì)算乘法，在合并同類項(xiàng)，熟練運(yùn)用計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故答案為：．15．（2023上·上海松江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果，那么代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得出，再把要求的式子轉(zhuǎn)化成，然后代入計(jì)算即可求解，熟練掌握比例的性質(zhì)并對(duì)代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．16．（2023上·上海閔行·九年級(jí)上海市文來中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：，那么．【答案】/【分析】本題考查代入求值，負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪，先運(yùn)用負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪運(yùn)算法則化簡，然后代入求值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，∴，故答案為：．17．（2023上·上海長寧·九年級(jí)上海市婁山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知舞臺(tái)AB長10米，如果報(bào)幕員從點(diǎn)A出發(fā)站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)P處，且AP＜BP，則報(bào)幕員應(yīng)走米報(bào)幕（結(jié)果精確到0.1米）．【答案】3.8【分析】根據(jù)黃金分割的定義，先求出PB=AB，再根據(jù)AP=AB﹣PB計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)，AP＜BP，∴PB=AB=×10=5﹣5（米），∴AP=AB﹣PB=10﹣（5﹣5）=15﹣5≈3.8（米）．故答案為：3.8．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．18．（2023上·上?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，那么．【答案】6【分析】設(shè)，則，然后代入求得n，進(jìn)而求得a、b、c的值，最后代入計(jì)算即可；掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，則，則，解得：；∴，∴．故答案為6．19．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）方程=1的解是．【答案】x=2【詳解】=1，兩邊平方得，2x﹣3=1，解得，x=2；經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的根；故答案為x=2．考點(diǎn)：解無理方程.三、解答題，16題20．（2024上·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：．(1)求代數(shù)式的值；(2)當(dāng)時(shí)，求a、b的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．令即可求解．（1）把代入即可求值；（2）把代入求出的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：，令，原式；（2）解：，令，故，解得，21．（2021·上海·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：【答案】2【分析】根據(jù)分指數(shù)運(yùn)算法則，絕對(duì)值化簡，負(fù)整指數(shù)運(yùn)算法則，化最簡二次根式，合并同類二次根式以及同類項(xiàng)即可．【詳解】解：，=，=，=2．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，分指數(shù)運(yùn)算法則，絕對(duì)值符號(hào)化簡，負(fù)整指數(shù)運(yùn)算法則，化最簡二次根式，合并同類二次根式與同類項(xiàng)，掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則與運(yùn)算順序，分指數(shù)運(yùn)算法則，絕對(duì)值符號(hào)化簡，負(fù)整指數(shù)運(yùn)算法則，化最簡二次根式，合并同類二次根式與同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．22．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：【答案】【分析】根據(jù)立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算可進(jìn)行求解．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．23．（2023上·上海普陀·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，求的值．【答案】26【分析】設(shè)，則，再代入可求出k，從而可得a，b，c的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，代數(shù)式的求值，方程思想的應(yīng)用，熟練的利用比例的基本性質(zhì)進(jìn)行解題是關(guān)鍵．24．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）某市全面實(shí)施居民“階梯水價(jià)”．當(dāng)累計(jì)水量超過年度階梯水量分檔基數(shù)臨界點(diǎn)后，即開始實(shí)施階梯價(jià)格計(jì)價(jià)，分檔水量和單價(jià)見下表：分檔戶年用水量（立方米）自來水單價(jià)（元/立方米）污水處理單價(jià)（元/立方米）第一階梯0~220（含220）2.251.8第二階梯220~300（含300）4第三階梯300以上6.99注：應(yīng)繳的水費(fèi)＝戶年用水量×（自來水單價(jià)＋污水處理單價(jià)）仔細(xì)閱讀上述材料，請(qǐng)解答下面的問題：(1)如果小葉家全年用水量是220立方米，那么她家全年應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？(2)居民應(yīng)繳納水費(fèi)y（元）關(guān)于戶年用水量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，求第二階梯（線段）的表達(dá)式；(3)如果小明家全年繳納的水費(fèi)共計(jì)1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？【答案】(1)她家全年應(yīng)繳納水費(fèi)891元(2)(3)他家全年用水量是270立方米【分析】（1）根據(jù)題意列出算式計(jì)算即可；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)繳納的水費(fèi)1181元得出用水量在第二階梯范圍內(nèi)，然后將代入（2）中求出的函數(shù)解析式進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：（元），答：她家全年應(yīng)繳納水費(fèi)891元．（2）解：設(shè)線段的表達(dá)式為，把，代入得：，解得：，∴線段的表達(dá)式為．（3）解：∵，∴小明家全年用水量處于第二階梯，把代入得：，解得：，答：他家全年用水量是270立方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合．25．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）“中國石化”推出促銷活動(dòng)，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價(jià)降低0.30元．假設(shè)這張加油卡的面值能夠一次性全部用完．(1)他實(shí)際花了多少錢購買會(huì)員卡？(2)減價(jià)后每升油的單價(jià)為y元/升，原價(jià)為x元/升，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不用寫出定義域）(3)油的原價(jià)是7.30元/升，求優(yōu)惠后油的單價(jià)比原價(jià)便宜多少元？【答案】(1)900(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）由題意知，，整理求解即可；（3）當(dāng)，則，根據(jù)優(yōu)惠后油的單價(jià)比原價(jià)便宜元，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，（元），答：實(shí)際花了900元購買會(huì)員卡；（2）解：由題意知，，整理得，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（3）解：當(dāng)，則，∵，∴優(yōu)惠后油的單價(jià)比原價(jià)便宜元．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法應(yīng)用，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于理解題意，正確的列出算式和一次函數(shù)解析式．26．（2023·上海·模擬預(yù)測(cè)）先化簡，再求值：．其中，實(shí)數(shù)的相反數(shù)是它本身．【答案】，0【分析】先根據(jù)分式的混合計(jì)算法則化簡，然后求出a的值，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：，∵實(shí)數(shù)的相反數(shù)是它本身，∴，即，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值，相反數(shù)的定義，熟知分式的混合計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．27．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值的化簡計(jì)算即可．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值的化簡，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．28．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．【答案】【分析】原式分別運(yùn)用有理數(shù)的乘方、化簡絕對(duì)值、分母有理化以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則化簡各項(xiàng)后，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：===【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．29．（2023上·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算；.【答案】【分析】由、二次根式化簡、特殊角的三角函數(shù)值化簡后，再進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，最簡二次根式的化法，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．30．（2023上·上海長寧·九年級(jí)上海市婁山中學(xué)校考期中）計(jì)算：【答案】【分析】先把式子化最簡，再把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，完全平方公式，二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握牢記特殊角的三角函數(shù)值．31．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）計(jì)算：【答案】0【分析】先分別計(jì)算絕對(duì)值，冪的乘方的逆運(yùn)算與冪的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分母有理化，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值，冪的乘方的逆運(yùn)算與冪的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分母有理化．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．32．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）解方程組：．【答案】或【分析】先將方程變成完全平方式開方降次后得到新的方程組，選擇加減消元法解答即可．【詳解】∵，∴，∴或，解得或，故原方程組的解為或．【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的解法，靈活運(yùn)用完全平方公式，加減消元法計(jì)算是解題的關(guān)鍵．33．（2024上·上海長寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小明為測(cè)量河對(duì)