第13講勾股定理八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（華師大版）（教師版）

第13講勾股定理目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1．掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想；2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長(zhǎng)（只限于常用的數(shù)）；3．通過(guò)對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．4.理解勾股定理的逆定理，并能與勾股定理相區(qū)別；5.能運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形；6.理解勾股數(shù)的含義；7.通過(guò)探索直角三角形的判定條件的過(guò)程，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和邏輯推理能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么．【微點(diǎn)撥】（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線(xiàn)段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的．（3）理解勾股定理的一些變式：，，．【即學(xué)即練1】1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【點(diǎn)撥】利用勾股定理來(lái)求未知邊長(zhǎng)．【解析】解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，所以．所以＝13．（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，所以．所以＝10．【總結(jié)】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式．知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以．【微點(diǎn)撥】勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．【即學(xué)即練2】閱讀下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．由圖1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把圖1中的四個(gè)全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請(qǐng)你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：由圖2可以得到，整理，得，所以．【解析】證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．【總結(jié)】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行組合圖形．知識(shí)點(diǎn)03勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【微點(diǎn)撥】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.【即學(xué)即練3】判斷由線(xiàn)段組成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【點(diǎn)撥】判斷三條線(xiàn)段能否組成直角三角形，關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理的逆定理：看較短的兩條線(xiàn)段的平方和是否等于最長(zhǎng)線(xiàn)段的平方．若是，則為直角三角形，反之，則不是直角三角形．【解析】解：（1）∵，，∴．∴由線(xiàn)段組成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴．∴由線(xiàn)段組成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴，．∵，，∴．∴由線(xiàn)段組成的三角形是直角三角形．【總結(jié)】解此類(lèi)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷，即首先確定最大邊，然后驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，再根據(jù)結(jié)果判斷是否為直角三角形．知識(shí)點(diǎn)04如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.【微點(diǎn)撥】當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【即學(xué)即練4】類(lèi)型一幾何判斷三角形形狀如圖，已知四邊形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積．【點(diǎn)撥】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，應(yīng)想到連接AC，則在Rt△ABC中即可求出△ABC的面積，也可求出線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三邊長(zhǎng)，判斷這個(gè)三角形的形狀，進(jìn)而求得這個(gè)三角形的面積．【解析】解：連接AC，在△ABC中，因?yàn)椤螧＝90°，AB＝3，BC＝4，所以，所以AC＝5，在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，所以，即．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以．【總結(jié)】有關(guān)四邊形的問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解，本題是勾股定理及逆定理的綜合考察．類(lèi)型二代數(shù)判斷三角形形狀已知：為的三邊且滿(mǎn)足，試判斷的形狀.【解析】解：∵∴∴，∴△ABC是直角三角形.【總結(jié)】此類(lèi)問(wèn)題中要判斷的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把題目中已知的條件等式進(jìn)行變形，從而得到三角形的三邊關(guān)系.對(duì)條件等式進(jìn)行變形常用的方法有配方法，因式分解法等.知識(shí)點(diǎn)05勾股數(shù)滿(mǎn)足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.【微點(diǎn)撥】（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）（n≥1，是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；能力拓展能力拓展考法01勾股定理類(lèi)型01直角三角中利用角求邊1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，＝6，＝10，∴，∴＝8．（2）設(shè)，，∵∠C＝90°，＝32，∴．即．解得＝8．∴，．類(lèi)型02利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度2、如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線(xiàn)AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長(zhǎng)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】D；【解析】解：設(shè)AB＝，則AF＝，∵△ABE折疊后的圖形為△AFE，∴△ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，在Rt△ABC中，，解得．【總結(jié)】折疊問(wèn)題包括“全等形”、“勾股定理”兩大問(wèn)題，最后通過(guò)勾股定理求解．類(lèi)型03利用勾股定理求面積3、如圖，直線(xiàn)l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）A．6B．5C．11D．16【點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積．【答案】D【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，

∴∠ACB=∠DEC，

在△ABC和△CDE中，

∵∴△ABC≌△CDE

∴BC=DE

∵∴∴b的面積為5+11=16，故選D．【總結(jié)】此題巧妙的運(yùn)用了勾股定理解決了面積問(wèn)題，考查了對(duì)勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵．類(lèi)型04、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題4、有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門(mén)，如果把竹竿豎放就比門(mén)高出1尺，斜放就恰好等于門(mén)的對(duì)角線(xiàn)，已知門(mén)寬4尺，求竹竿高與門(mén)高．【點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門(mén)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，可與門(mén)的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門(mén)高．【解析】解：設(shè)門(mén)高為x尺，則竹竿長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）答：門(mén)高7.5尺，竹竿高8.5尺．【總結(jié)】本題考查勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中是解答本題的關(guān)鍵．考法02判斷三角形形狀類(lèi)型01、勾股定理的逆定理1、如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過(guò)3秒時(shí)，△BPQ的面積為多少cm2.【點(diǎn)撥】本題先設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算求解．【解析】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長(zhǎng)為36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過(guò)3秒時(shí)，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故過(guò)3秒時(shí)，△BPQ的面積為18cm2．【總結(jié)】本題是道綜合性較強(qiáng)的題，需要學(xué)生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公式結(jié)合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵．隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力．2、如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，把△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判斷△DEC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求∠ADB的度數(shù)．【點(diǎn)撥】把△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，注意旋轉(zhuǎn)只是三角形的位置變了，三角形的邊長(zhǎng)和角度并沒(méi)有變，并且旋轉(zhuǎn)的角度60°，因此出現(xiàn)等邊△BDE，從而才能更有利的判斷三角形的形狀和求∠ADB的度數(shù)．【解析】解：（1）根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)不變性，AD=EC，BD=BE，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC和△DBE均為等邊三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2；故△DEC為直角三角形．（2）∵△DEC為直角三角形，∴∠DEC=90°，又∵△BDE為等邊三角形，∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°．【總結(jié)】此題考查了旋轉(zhuǎn)后圖形的不變性、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．解答（2）時(shí)要注意運(yùn)用（1）的結(jié)論．類(lèi)型02勾股定理逆定理的應(yīng)用3、已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿(mǎn)足，且a+b+c=12，請(qǐng)你探索△ABC的形狀．【解析】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【總結(jié)】此題借用設(shè)比例系數(shù)k的方法，進(jìn)一步求得三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形的形狀．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．如圖，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分線(xiàn).已知AB=5，AD=3，則BC的長(zhǎng)為（）A．5B．6C．8D．10【答案】C；【解析】勾股定理．2．若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，4，，則的值可能有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B；【解析】可能是直角邊，也可能是斜邊．3．小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米,當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高是()A．12米B．10米C．8米D．6米【答案】A；【解析】設(shè)旗桿的高度為米，則，解得米．4．Rt△ABC中，斜邊BC＝2，則的值為()A．8 B．4 C．6 D．無(wú)法計(jì)算【答案】A；【解析】．5．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC邊上的高線(xiàn)，DC＝2，則BD等于()A．4B．6 C．8 D．5【答案】B；【解析】AD＝8，,∴BD=6．6．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC邊上除B、C點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，則代數(shù)式AP2+PB?PC等于（）A．25B．15C．20D．30【答案】A.【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，∴BD=CD，根據(jù)勾股定理得：PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，∴AP2+PB?PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．故選A.題組B能力提升練7．如圖，△ABC中，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長(zhǎng)度為（）A．10B．11C．12D．13【答案】C【解析】∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D為AB中點(diǎn)，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，,所以BE=12.8．如圖，長(zhǎng)方形AOBC中，AO=8，BD=3，若將矩形沿直線(xiàn)AD折疊，則頂點(diǎn)C恰好落在邊OB上E處，那么圖中陰影部分的面積為（）A.30B．32C．34D．16【答案】A【解析】由題意CD＝DE＝5，BE＝4，設(shè)OE＝，AE＝AC＝，所以，，陰影部分面積為．9．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線(xiàn)，，上，且，之間的距離為2,，之間的距離為3,則的值是（）A．68B．20C．32D．47【答案】A【解析】如圖，分別作CD⊥交于點(diǎn)E，作AF⊥，則可證△AFB≌△BDC，則AF＝3＝BD,BF＝CD＝2＋3＝5，∴DF＝5＋3＝8＝AE，在直角△AEC中，勾股定理得．10．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12,則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．42B．32C．42或32D．37或33【答案】C【解析】高在△ABC內(nèi)部，第三邊長(zhǎng)為14；高在△ABC外部，第三邊長(zhǎng)為4，故選C．11．如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為b，那么（a+b）2的值是_________．【答案】25；【解析】根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理a2+b2=13，四個(gè)三角形的面積=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，聯(lián)立解得：（a+b）2=13+12=25．12．已知長(zhǎng)方形ABCD，AB＝3，AD＝4，過(guò)對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O做BD的垂直平分線(xiàn)EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)______________．【答案】；【解析】連接BE，設(shè)AE＝，BE＝DE＝，則，．題組C培優(yōu)拔尖練13．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為（）A． B． C． D． 【答案】C【解析】解：根據(jù)題意：第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2；第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：；第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：，…第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是，所以S2015的值是（）2012，故選C.14．如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持