第一講萬有引力定律（原卷版）

第一講萬有引力定律知識梳理一、開普勒定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上開普勒第二定律(面積定律)任何一個行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)行星繞太陽運行軌道半長軸a的立方與其公轉(zhuǎn)周期T的平方成正比二、萬有引力定律1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3．適用條件(1)公式適用于質(zhì)點間的相互作用，當(dāng)兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點。(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，r是兩球心間的距離。知識訓(xùn)練考點一、開普勒定律的理解1．行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理．2．由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點速度最大，遠日點速度最?。?．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間．例1、(2022·濰坊二模)中國首個火星探測器“天問一號”已于2021年2月10日成功環(huán)繞火星運動。若火星和地球可認為在同一平面內(nèi)繞太陽同方向做圓周運動，運行過程中火星與地球最近時相距R0、最遠時相距5R0，則兩者從相距最近到相距最遠需經(jīng)過的最短時間約為()A．365天 B．400天C．670天 D．800天例2、(多選)如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0，若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過M、Q到N的運動過程中()A．從P到M所用的時間等于eq\f(T0,4)B．從Q到N階段，機械能逐漸變大C．從P到Q階段，速率逐漸變小D．從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功課堂隨練訓(xùn)練1、某行星沿橢圓軌道繞太陽運行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個對稱點．若行星運動周期為T，則該行星()A．從a到b的運動時間等于從c到d的運動時間B．從d經(jīng)a到b的運動時間等于從b經(jīng)c到d的運動時間C．a(chǎn)到b的時間tab>eq\f(T,4)D．c到d的時間tcd>eq\f(T,4)訓(xùn)練2、(2021·安徽六安市示范高中教學(xué)質(zhì)檢)國產(chǎn)科幻巨作《流浪地球》開創(chuàng)了中國科幻電影的新紀(jì)元，引起了人們對地球如何離開太陽系的熱烈討論．其中有一種思路是不斷加速地球使其圍繞太陽做半長軸逐漸增大的橢圓軌道運動，最終離開太陽系．假如其中某一過程地球剛好圍繞太陽做橢圓軌道運動，地球到太陽的最近距離仍為R，最遠距離為7R(R為加速前地球與太陽間的距離)，則在該軌道上地球公轉(zhuǎn)周期將變?yōu)?)A．8年B．6年C．4年D．2年考點二、萬有引力定律的理解及應(yīng)用1．地球表面的重力與萬有引力地面上的物體所受地球的吸引力產(chǎn)生兩個效果，其中一個分力提供了物體繞地軸做圓周運動的向心力，另一個分力等于重力。(1)在兩極，向心力等于零，重力等于萬有引力；(2)除兩極外，物體的重力都比萬有引力小；(3)在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力，F(xiàn)向和mg，這兩個分力剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq\f(GMm,R2)－mRωeq\o\al(2,自)。2．地球表面上的重力加速度(1)設(shè)在地球表面附近的重力加速度為g(不考慮地球自轉(zhuǎn))，由mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝Geq\f(M,R2)。(2)設(shè)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)。3．萬有引力的“兩點理解”和“兩個推論”(1)兩點理解①兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力．②地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個分力．(2)星體內(nèi)部萬有引力的兩個推論①推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0.②推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對它的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).考向1萬有引力定律的理解和簡單計算例1、(2019·全國卷Ⅱ·14)2019年1月，我國嫦娥四號探測器成功在月球背面軟著陸．在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是()考向2不同天體表面引力的比較與計算例2、(2021·高考山東卷，T5)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業(yè)實現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經(jīng)歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為()A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶1考向3重力和萬有引力的關(guān)系例3、某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為()A．eq\f(4π2,g1T2) B．eq\f(4π2,g2T2)C． D．例4、一飛船圍繞地球做勻速圓周運動，其離地面的高度為H，若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R。則飛船所在處的重力加速度大小()A．eq\f(Hg,R) B．eq\f(Rg,H＋R)C．eq\f(R2g,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(H＋R))2) D．eq\f(H2g,R2)考向4地球表面與地表下某處重力加速度的比較與計算例5、假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2課堂隨練訓(xùn)練1、(2020·全國卷Ⅲ)“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，某段時間可認為繞月做勻速圓周運動，圓周半徑為月球半徑的K倍。已知地球半徑R是月球半徑的P倍，地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的Q倍，地球表面重力加速度大小為g。則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為()A.eq\r(\f(RKg,QP)) B．eq\r(\f(RPKg,Q))C.eq\r(\f(RQg,KP)) D．eq\r(\f(RPg,QK))訓(xùn)練2、(2020·全國卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5訓(xùn)練3、某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為m?？蒲腥藛T研究同一物體在該行星上的重力時，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為()A． B．C． D．訓(xùn)練4、萬有引力定律和庫侖定律都滿足與距離的二次方成反比的規(guī)律，因此引力場和電場之間有許多相似的性質(zhì)，在處理有關(guān)問題時可以將它們進行類比。例如電場中引入電場強度來反映電場的強弱，其定義式為E=，在引力場中可以用一個類似的物理量來反映引力場的強弱。設(shè)地球質(zhì)量為m地，半徑為R，地球表面處重力加速度為g，引力常量為G。如果一個質(zhì)量為m的物體位于距地心2R處的某點，則下列表達式中能反映該點引力場強弱的是()A． B．G C．G D．考點三天體質(zhì)量和密度的計算

1．利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.①由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).②天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2．利用運行天體(以已知周期為例)測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T.①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2).②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).③若衛(wèi)星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，故只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．例1、(2021·全國乙卷，18)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖3所示?？茖W(xué)家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為()圖3A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M例2、(多選)(2021·八省聯(lián)考遼寧卷)“嫦娥五號”探測器繞月球做勻速圓周運動時，軌道半徑為r，速度大小為v。已知月球半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響。下列選項正確的是()A．月球平均密度為eq\f(3v2,4πGR2)B．月球平均密度為eq\f(3v2r,4πGR3)C．月球表面重力加速度為eq\f(v2,R)D．月球表面重力加速度為eq\f(v2r,R2)例3、假設(shè)在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過時間t物體落回月面，上升的最大高度為h。已知月球半徑為R、引力常量為G，不計一切阻力，則月球表面的重力加速度大小為，月球的密度為。

課堂隨練訓(xùn)練1、(2022·葫蘆島一模)若銀河系內(nèi)每個星球貼近其表面運行的衛(wèi)星的周期用T表示，被環(huán)繞的星球的平均密度用ρ表示。ρ與eq\f(1,T2)的關(guān)系圖像如圖所示，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。則該圖像的斜率約為()A．1.4×1010kg2/(N·m2)B．1.4×1011kg2/(N·m2)C．7×10－10N·m2/kg2D．7×10－11N·m2/kg2訓(xùn)練2、(多選)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關(guān)系如圖中虛線所示。假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則()A．M與N的密度相等B．Q的質(zhì)量是P的3倍C．N的密度是M的3倍D．Q的質(zhì)量是P的6倍訓(xùn)練3、已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，地球視為質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響。(1)北京時間2020年3月9日，中國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星，此次發(fā)射的是北斗第2顆地球靜止軌道衛(wèi)星(又稱地球同步衛(wèi)星)，它離地的高度為h，求此衛(wèi)星進入地球靜止軌道后正常運行時的速度v的大小(不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響)；(2)為考察地球自轉(zhuǎn)對重力的影響，某研究者在赤道時，用測力計測得一小物體的重力是F1，在南極時，用測力計測得該小物體的重力為F2，求地球的質(zhì)量M。(已知地球的自轉(zhuǎn)周期為T)同步訓(xùn)練1、根據(jù)開普勒第一定律可知：火星繞太陽運行的軌道是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。下列說法正確的是()A．太陽對火星的萬有引力大小始終保持不變B．火星運動到近日點時的加速度最大C．火星在橢圓上運動，速率相等的點總有兩個D．火星繞太陽運行過程中萬有引力始終不做功2、(多選)地球的某衛(wèi)星的工作軌道為圓軌道，軌道高度為h，運行周期為T。若還知道引力常量G和地球半徑R，僅利用以上條件能求出的是()A．地球表面的重力加速度B．地球?qū)υ撔l(wèi)星的吸引力C．該衛(wèi)星繞地球運行的速度D．該衛(wèi)星繞地球運行的加速度3、(2020·全國卷Ⅱ)若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運動的衛(wèi)星的周期是()A．eq\r(\f(3π,Gρ)) B．eq\r(\f(4π,Gρ))C．eq\r(\f(1,3πGρ)) D．eq\r(\f(1,4πGρ))4、(2020·江蘇高考)(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應(yīng)用公式進行的推論正確的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍5、(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處．若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處．已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計．則()A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶806、假設(shè)某探測器在著陸火星前貼近火星表面運行一周用時為T，已知火星的半徑為R1，地球的半徑為R2，地球的質(zhì)量為M，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則火星的質(zhì)量為()A．eq\f(4π2R13M,gR22T2)B．eq\f(gR22T2M,4π2R13)C．eq\f(gR12,G)D．eq\f(gR22,G)7、若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶eq\r(7).已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R，不考慮氣體阻力．由此可知，該行星的半徑約為()A．eq\f(1,2)RB．eq\f(7,2)RC．2RD．eq\f(\r(7),2)R8、將一質(zhì)量為m的物體分別放在地球的南、北兩極點時，該物體的重力均為mg0；將該物體放在地球赤道上時，該物體的重力為mg.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，已知引力常量為G，則由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的質(zhì)量為eq\f(gR2,G)C．地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度為eq\f(3g,4πGR)9、(2021·全國甲卷·18)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m．已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m10、若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體．“蛟龍?zhí)枴毕聺撋疃葹閐，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的加速度大小之比為(質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部物體的萬有引