專題18反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用（重點突圍）

專題18反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用考點一反比例函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用考點二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應(yīng)用考點三反比例函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用考點四反比例函數(shù)與菱形的綜合應(yīng)用考點五反比例函數(shù)與正方形的綜合應(yīng)用考點一反比例函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用例題：（2022·江西·崇仁縣第二中學(xué)二模）如圖，在等腰三角形AOB中，AO=AB，點O是平面直角坐標(biāo)系原點，點A在反比例函數(shù)的圖象上，已知OA=5，OB=6．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)過點A作AP垂直O(jiān)A，交反比例函數(shù)的圖象于點P，交x軸于點C．①求直線AC的解析式；②求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=(x＞0)；(2)①直線AC的解析式為y=x+；②點P的坐標(biāo)為（，）．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出點A的坐標(biāo)即可解決問題；（2）①利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得CD，即可求得C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；②解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得點P的坐標(biāo)．（1）解：作AD⊥OB于D，∵AO=AB，OA=5，OB=6．∴OD=BD=3，∴AD==4，∴A（3，4），把A（3，4）代入y=(x＞0)，可得k=12，∴反比例函數(shù)的解析式為y=(x＞0)；（2）解：①∵AC⊥OA，∴△OAC是直角三角形，∵AD⊥OC，∴∠OAD+∠DAC=90°，∠OAD+∠DOA=90°，∴∠DAC=∠DOA，∴Rt△DAC∽Rt△DOA，∴，∴AD2=OD?CD，即16=3?CD，∴CD=，∴OC=OD+CD=，∴C（，0），∴設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，把A、C的坐標(biāo)代入得，，解得，∴直線AC的解析式為y=x+；②解得或，∴點P的坐標(biāo)為（，）．【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求得A的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點與坐標(biāo)原點重合，若點B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點A的反比例函數(shù)表達(dá)式為____________．【答案】【分析】如圖所示，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，證明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，設(shè)點B的坐標(biāo)為（a，b），則點A的坐標(biāo)為（b，a），再由點B在反比例函數(shù)，推出，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，則∠ACO=∠ODB=90°，由題意得OA=OB，∠AOB=90°，∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，∴∠CAO=∠DOB，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴AC=OD，OC=BD，設(shè)點B的坐標(biāo)為（a，b），則AC=OD=a，OC=BD=b，∴點A的坐標(biāo)為（b，a），∵點B在反比例函數(shù)，∴，∴，∴，∴經(jīng)過點A的反比例函數(shù)表達(dá)式為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處模擬預(yù)測）如圖，把一個等腰直角三角形ACB放在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，點C(﹣2,0)，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________．【答案】【分析】過點B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE=OC，連接CE，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求∠CEO=45°，CE=2，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得∠ECA=∠OAC=22.5°，可證CE=AE=2，由“AAS”可證△OAC≌△DCB，可得AO=CD=2+2，OC=BD=2，可得點B坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE=OC，連接CE，∵點C(2,0)，∴CO=2，∴CO=EO=2，∴∠CEO=45°，CE=2，∵△BAC為等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，∵∠OCA+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△OAC和△DCB中，∴△OAC≌△DCB(AAS)，∴AO=CD，OC=BD=2，∵y軸平分∠BAC，∴∠CAO=22.5°，∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，∴∠ECA=∠OAC=22.5°，∴CE=AE=2，∴AO=2+2=CD，∴DO=2，∴點B坐標(biāo)為(2,2)，∵點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴k=(2)×2=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，求得B的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．3．（2022·陜西省西安高新逸翠園學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，點B、D都在x軸上，點A、C都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點C的橫坐標(biāo)為________．【答案】##【分析】過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作AF⊥x軸于點F，設(shè)OE=m，則點A（m，m），點B（2m，0），再利用點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，求出m，點B的坐標(biāo)；又設(shè)BF=n，，則點C（2m+n，n），再利用點C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象，求出n，點C的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作AF⊥x軸于點F，∵△OAB是等腰直角三角形，∴OE=AE=BE，設(shè)OE=m，則點A（m，m），點B（2m，0），∵點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴，解得：(舍去)，∴點B（2，0），同理∵△BCD是等腰直角三角形，∴BF=CF，設(shè)BF=n，則點C（2+n，n）．∵點C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴，解得：(舍去)，∴．故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點，直角頂點在軸上，雙曲線經(jīng)過邊的中點，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)是等腰直角三角形，軸，得到是等腰直角三角形，再根據(jù)求出A點，C點坐標(biāo)，根據(jù)中點公式求出D點坐標(biāo)，將D點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求得k．【詳解】∵是等腰直角三角形，軸．∴；．∴是等腰直角三角形．∴．故：，．．將D點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式．．故答案為：．【點睛】本題考查平面幾何與坐標(biāo)系綜合，反比例函數(shù)解析式；本體解題關(guān)鍵是得到是等腰直角三角形，用中點公式算出D點坐標(biāo)．5．（2022·貴州銅仁·九年級期末）如圖1，點A（0，8）、點B（2，a）在直線y＝﹣2x＋b上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點B．(1)求a和k的值；(2)將線段AB向右平移m個單位長度（m＞0），得到對應(yīng)線段CD，連接AC、BD．①如圖2，當(dāng)m＝3時，過D作DF⊥x軸于點F，交反比例函數(shù)圖象于點E，求的值；②在線段AB運動過程中，連接BC，若△BCD是以BC為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的m的值．【答案】(1)a＝4，k＝8(2)①；②4或5【分析】（1）先將點A坐標(biāo)代入直線AB的解析式中，求出a，進而求出點B坐標(biāo)，再將點B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得出結(jié)論；（2）①先確定出點D(5，4)，進而求出點E坐標(biāo)，進而求出DE，EF，即可得出結(jié)論；②先表示出點C，D坐標(biāo)，再分兩種情況：Ⅰ、當(dāng)BC=CD時，判斷出點B在AC的垂直平分線上，即可得出結(jié)論；Ⅱ、當(dāng)BC=BD時，先表示出BC，用BC=BD建立方程求解即可得出結(jié)論．（1）解：∵點A(0，8)在直線y＝﹣2x＋b上，∴﹣2×0＋b＝8，∴b＝8，∴直線AB的解析式為y＝﹣2x＋8，將點B（2，a）代入直線AB的解析式y(tǒng)＝﹣2x＋8中，得﹣2×2＋8＝a，∴a＝4，∴B(2，4)，將B(2，4)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝(x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）解：①由（1）知，B(2，4)，k＝8，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，當(dāng)m＝3時，∴將線段AB向右平移3個單位長度，得到對應(yīng)線段CD，∴D(2＋3，4)，即：D(5，4)，∵DF⊥x軸于點F，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點E，∴E(5，)，∴DE＝4﹣＝，EF＝，∴＝＝；②如圖，∵將線段AB向右平移m個單位長度(m＞0)，得到對應(yīng)線段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A(0，8)，B(2，4)，∴C(m，8)，D(m＋2，4)，∵△BCD是以BC為腰的等腰三角形，∴Ⅰ、當(dāng)BC＝CD時，∴BC＝AB，∴點B在線段AC的垂直平分線上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、當(dāng)BC＝BD時，∵B(2，4)，C(m，8)，∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，即：△BCD是以BC為腰的等腰三角形，滿足條件的m的值為4或5．【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，軸于點，軸于點，是線段的中點，，．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，，，求的面積；(3)是線段上的一個動點，是線段上的一個動點，試探究是否存在點，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合條件點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)5(3)存在，或或【分析】（1）先求出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）分別算出，，的面積，利用即可得到答案；（3）分三種情況，當(dāng)，時；當(dāng)，時；當(dāng)，時，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案．（1）解：由題意可知，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵是線段的中點，∴，∵，∴點的坐標(biāo)為，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵，，，∴；（3）解：存在分三種情況，∵，∴直線的表達(dá)式為．①如圖1，當(dāng)，時，設(shè)點，則∵∴平分．∴，解得∴∴；②如圖2，當(dāng)，時，設(shè)點．∵平分，∴，∴∴∴∴；③如圖3，當(dāng)，時，點與點重合，∴，∴，∴，綜上所述，存在點使得是等腰直角三角形，其坐標(biāo)為或或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分三種情況求出點的坐標(biāo)．考點二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應(yīng)用例題：（2022·河南南陽·八年級期中）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，0），C（1，2）是平行四邊形OABC的兩個頂點，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點B．(1)求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)將平行四邊形OABC沿著x軸翻折，點C落在點D處，判斷點D是否在反比例函數(shù)的圖像上，并說明理由；(3)在x軸上是否存在一點P，使是以O(shè)C為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點D在反比例函數(shù)的圖像上，理由見解析(3)（，0）或（，0）或P（2，0）【分析】（1）過C作CE⊥x軸于E，過B作BF⊥x軸于F，證明△CEO≌△BFA得到OE=AF，CE=BF，求出點B坐標(biāo)即可求得m值；（2）根據(jù)翻折性質(zhì)求得點D坐標(biāo)，將點D坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中判斷即可；（3）先求出OC，分OP=OC、CP=OC兩種情況求解即可．（1）解：過C作CE⊥x軸于E，過B作BF⊥x軸于F，則∠CEO=∠BFA=90°，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OCAB，OC=AB，∴∠COE=∠BAF，∴△CEO≌△BFA（AAS），∴OE=AF，CE=BF，∵A（2，0），C（1，2），∴AF=OE=1，BF=CE=2，OA=2，∴OF=OAAF=1，則點B坐標(biāo)為（1，2），將點B（1，2）代入，得：m=2，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：點D在反比例函數(shù)的圖像上，理由為：根據(jù)翻折性質(zhì)得點D坐標(biāo)為（1，2），∵當(dāng)x=1時，=2，∴點D在反比例函數(shù)的圖像上；（3）解：存在，如圖，∴，當(dāng)OP=OC時，OP=，則P1（，0）或P2（，0），當(dāng)CP=OC時，OP3=2OE=2，則點P3（2，0），綜上，滿足條件的點P坐標(biāo)為（，0）或（，0）或P（2，0）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及平行四邊形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校九年級期末）如圖，平行四邊形ABCD的BC邊過原點O，頂點D在x軸上，反比例函數(shù)的圖象過AD邊上的A，E兩點，已知平行四邊形ABCD的面積為8，，則k的值為______．【答案】2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的特征，利用平行線分線段成比例，及三角形的面積列出方程求解．【詳解】解：過點A作AF⊥x軸于點F，過點E作EH⊥x軸于點H，則AFEH，則：，△DEH∽△DAF，∴，設(shè)A（x，y），則E（3x，y），則AF＝y(tǒng)，OF＝x，OH＝3x，EH＝y(tǒng)，∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x，∵平行四邊形ABCD的面積為8m，則△AOD的面積是4，則△ODE的面積是，∴×y×4x＝，∴xy＝2，∴k＝xy＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查看反比例函數(shù)的k的意義，結(jié)合平行線分線段成比例列方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建泉州·八年級期中）如圖，點D是平行四邊形內(nèi)一點，軸，軸，且，，，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A、D兩點，則k的值是______．【答案】12【分析】作AM⊥y軸于M，延長BD，交AM于E，設(shè)BC與y軸的交點為N，證明△AOM≌△CBD（AAS），得出OM=BD=2，根據(jù)△ABD的面積求出AE=4，設(shè)D點橫坐標(biāo)為m，表示出D（m，6），則A點坐標(biāo)為（m+4，2），據(jù)反比例函數(shù)的定義得出關(guān)于m的方程，即可求出m和k的值．【詳解】解：作AM⊥y軸于M，延長BD，交AM于E，設(shè)BC與y軸的交點為N，如下圖所示：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OABC，OA=BC，∴∠AOM=∠CNM，∵BDy軸，∴∠CBD=∠CNM，∴∠AOM=∠CBD，∵CD與x軸平行，BD與y軸平行，∴∠CDB=90°，BE⊥AM，∴∠CDB=∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM=BD=2，∵S△ABD=BD?AE=4，∴AE=4，∵∠ADB=135°，∴∠EDA=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=4，∴D點縱坐標(biāo)為6，設(shè)D點橫坐標(biāo)為m，∴D點坐標(biāo)為（m，6），A點坐標(biāo)為（m+4，2），∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過A、D兩點，∴k=6m=（m+4）×2，解得m=2，k=12．故答案為：12．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合，表示出A、D的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021·河北保定·九年級期末）如圖，平行四邊形OABC的邊OC在y軸上，對角線AC，OB交于點D，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點D．(1)求k值和點D的坐標(biāo)；(2)求平行四邊形OABC的周長．【答案】(1)，D(6，10)；(2)【分析】（1）將A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出k的值，從而得到反比例函數(shù)解析式為．根據(jù)題意可知，由平行四邊形的性質(zhì)可知，代入反比例函數(shù)解析式即可求出，即得出D點坐標(biāo)；（2）由A點坐標(biāo)可求出OA的長，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，即可求出OC的長，最后根據(jù)平行四邊形的周長公式計算即可．（1）∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，解得：．∴反比例函數(shù)解析式為．∵平行四邊形OABC的邊OC在y軸上，且對角線AC，OB交于點D，∴，∴．∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，∴，∴D(6，10)；（2）∵，∴．∵，，且∴．∴，∴．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．4．（2022·河南南陽·八年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點A、C在反比例函數(shù)的圖象上，頂點B、D在軸上．已知點、．(1)直接寫出點C、D的坐標(biāo)；(2)求反比例函數(shù)的解析式；(3)求平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的長；(4)求平行四邊形ABCD的面積S．【答案】(1)C(3，2)；D（5，0）(2)(3)；(4)【分析】（1）由題意，點A、C，點B、D關(guān)于原點對稱，即可得出答案；（2）直接將點代入反比例函數(shù)，即可求出解析式；（3）直接根據(jù)B、D的坐標(biāo)得到BD的長，過點A作AE⊥x軸于E，有勾股定理可求出OA的長，即可得出AC的長；（4）由，即可求解．（1）解：由題意點A、C，點B、D關(guān)于原點對稱，且、，∴C(3，2)；D（5，0）．（2）∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點（3，2），∴反比例函數(shù)的解析式為．（3）；過點A作AE⊥x軸于E，在Rt△AEO中，，∴．（4）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)，平行四邊形，熟練運用反比例函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．5．（2021·湖南永州·九年級期中）如圖1，O為坐標(biāo)原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，點A的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過點A，與BC相交于F．(1)若，求反比例函數(shù)的關(guān)系式．(2)若點F為BC的中點，且△AOF的面積S=9，求OA的長和點C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖2），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO．是否存在這樣的點P、使以P、O、A為頂點的三角形是以O(shè)A為斜邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)OA＝5，(3)存在，P（4，2）或P（1，2）【分析】（1）把點A坐標(biāo)代入解析式，即可求解；（2）根據(jù)反比函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義可得，從而得到，，進而得到點F的坐標(biāo)為（6a，2a），可得到，求出a，即可求解；（3）先證得四邊形OBFE為平行四邊形，可求出點E，然后分兩種情況討論，即可求解．（1）解∶∵點A的坐標(biāo)為，，∴點A的坐標(biāo)為，把代入得：k=48，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為；（2）解：分別過點A，F(xiàn)，C作x軸的垂線交x軸于點D，E，G，AD交OF于點H．∵點A，F(xiàn)在反比例函數(shù)圖像上，∴又，，∵△AOF的面積S=9，四邊形OACB是平行四邊形，，，∵點A的坐標(biāo)為，AC∥x軸，∴點C的縱坐標(biāo)為4a，點F為BC的中點，k=12a2，∴點F的縱坐標(biāo)為2a，∴點F的橫坐標(biāo)為，點F的坐標(biāo)為（6a，2a），，解得a＝1，∴點A（3，4），F(xiàn)（6，2），OD＝3

AD＝4，OA＝5，∵，∴AC=OB＝，∴點，即；（3）解：存在，根據(jù)題意得：∠APO=90°，∵四邊形OACB為平行四邊形，∴OE∥BF，OA=BC，∵EF∥OB，∴四邊形OBFE為平行四邊形，∴OE=BF，∵BF=CF，∴AE=OE=，∴PE=，由（2）得：點A（3，4），∴點E，∴ON=，EN=2，如圖，當(dāng)點P在線段OA的右側(cè)上時，過點P作PM⊥x軸于點M，過點E作EN⊥x軸于點N，∵EN⊥x軸，PM⊥x軸，∴EN∥PM，∴四邊形ENMP為平行四邊形，∴PE=MN=，PM=EN=2，∴OM=4，∴點P（4，2）；如圖，當(dāng)點P在線段OA的作側(cè)上時，過點P作PT⊥x軸于點T，過點E作ES⊥x軸于點S，同理：四邊形PEST為平行四邊形，∴PT=ES=2，TS=PE=，OS=，∴OT=1，∴點P（1，2）；綜上所述，點P的坐標(biāo)為（4，2）或（1，2）．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇連云港·八年級期末）如圖1，已知，，平行四邊形的邊、分別與軸、軸交于點、，且點為中點，雙曲線為常數(shù)，上經(jīng)過、兩點．(1)求的值；(2)如圖2，點是軸正半軸上的一個動點，過點作軸的垂線，分別交反比例函數(shù)為常數(shù)，圖像于點，交反比例函數(shù)的圖像于點，當(dāng)時，求點坐標(biāo)；(3)點在雙曲線上，點在軸上，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，試求出滿足要求的所有點的坐標(biāo)．【答案】(1)4(2)(3)或或【分析】（1）過點D作DM⊥y軸于點M，根據(jù)ED=EA，△EDM≌△EAO，得到AO=DM=1，從而得到D（1，k），是點A向右平移2個單位，向上平移k個單位得到，將點B（0，2）作同樣的平移即可得到點C（2，2+k），根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，得到k=2(2+k)，求解即可．（2）根據(jù)（1）可確定點C（2，2），確定直線BC解析式為y=2x2，從而確定點F（1，0），過點F作FH⊥MN于點H，根據(jù)FM=FN，得到MH=HN即，設(shè)點G（0，t），則，構(gòu)造等式，求解即可．（3）根據(jù)點A（1，0），B（0，2），設(shè)Q（0，n），P（m，），運用平移思想，分A平移得到Q和A平移得到P兩種情形計算即可．（1）如圖1，過點D作DM⊥y軸于點M，∵A（1，0），∴OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴△EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，∵點D在第一象限，且在反比例函數(shù)上，∴D（1，k）．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴D（1，k）是點A向右平移2個單位，向上平移k個單位得到，∴將點B（0，2）作同樣的平移即可得到點C（2，2+k），∴k=2(2+k)，解得k=4．（2）如圖2，連接FM、FN．根據(jù)（1）可確定點C（2，2），∵點B（0，2），∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx2，∴2=2k2，解得k=2，∴直線BC解析式為y=2x2，∴2x2=0，解得x=1，∴點F（1，0），過點F作FH⊥MN于點H，∴H的橫坐標(biāo)為1，,根據(jù)FM=FN，∴MH=HN即，設(shè)點G（0，t），則，∴，∴，解得t=，故點G坐標(biāo)為（0，）．（3）∵點A（1，0），B（0，2），設(shè)Q（0，n），P（m，），∵四邊形ABPQ是平行四邊形，∴平行四邊形的對邊平行且相等，當(dāng)A平移得到Q時，∵點A（1，0），Q（0，n），∴點A向右平移1個單位，當(dāng)n＞0時，向上平移n個單位得到Q，如圖3所示，∴點B向右平移1個單位，向上平移n個單位得到P，∵B（0，2），∴點P（1，2+n），∵P在反比例函數(shù)上，∴1×（2+n）=4，解得n=6，此時點Q(0，6)；當(dāng)n＜0時，向下平移|n|個單位得到Q，如圖4所示，∴點B向右平移1個單位，向下平移|n|個單位得到P，∵B（0，2），∴點P（1，2+|n|），∵P在反比例函數(shù)上，∴1×（2+|n|）=4，解得n=6，n=6(舍去)，此時點Q(0，6)；當(dāng)A平移得到P時，∵點A（1，0）平移得到P（m，），則B（0，2）平移得到Q（0，n），∴m=1，故點P（1，4），即點A向下平移4個單位，當(dāng)點B向下平移4個單位，得到（0，6），當(dāng)點B向上平移4個單位，得到（0，2），如圖5所示，此時點Q(0，6)或（0，2）綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（0，6）或（0，6）或（0，2）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式和性質(zhì)，分類思想，平移思想，熟練掌握待定系數(shù)法，反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平移思想是解題的關(guān)鍵．考點三反比例函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用例題：（2022·江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校八年級期中）如圖1，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的第一象限內(nèi)的圖像上，OA＝6，OC＝4，動點P在y軸的右側(cè)，且滿足S△PCO＝S矩形OABC．(1)若點P在這個反比例函數(shù)的圖像上，求點P的坐標(biāo)；(2)若點Q是平面內(nèi)一點，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，請你直接寫出滿足條件的所有點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)點P的坐標(biāo)為(2)點Q的坐標(biāo)為（11，）或（11，）或（－1，）或（－1，）【分析】（1）首先根據(jù)點B坐標(biāo)，確定反比例函數(shù)的解析式，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（m>0），根據(jù)S△PCO＝S矩形OABC構(gòu)建方程，即可求解；（2）分兩種情形：當(dāng)四邊形CBQP是菱形時，當(dāng)四邊形CBPQ是菱形時，分別求解，即可解決問題．（1）解：∵四邊形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，∴點B的坐標(biāo)為（6，4），∵點B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的第一象限內(nèi)的圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（m>0），∵S△PCO＝S矩形OABC，∴，即，∵點P在這個反比例函數(shù)的圖像上，∴點P的縱坐標(biāo)為，∴點P的坐標(biāo)為；（2）解：由（1）可知點P的橫坐標(biāo)為5，∴設(shè)點Q的坐標(biāo)為（a，b），點P的坐標(biāo)為（5，c），分兩種情況：當(dāng)四邊形CBQP是菱形時，如圖2，由菱形和矩形的性質(zhì)可知，PC=BC=OA＝6，∴，即，解得，∴點P的坐標(biāo)為（5，）或（5，），∵，∴點Q的縱坐標(biāo)為，∵PQ=PC=6，∴，解得，∴點Q的坐標(biāo)為（11，）或（11，）；②當(dāng)四邊形CBPQ是菱形時，如圖3，由菱形和矩形的性質(zhì)可知，PB=BC=OA＝6，∴，即，解得，∴點P的坐標(biāo)為（5，）或（5，），∵，∴點Q的縱坐標(biāo)為，∵PQ=BC=6，∴，解得，∴點Q的坐標(biāo)為（－1，）或（－1，）；綜上，點Q的坐標(biāo)為（11，）或（11，）或（－1，）或（－1，）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合問題、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想解決問題．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x軸，且，，點A的坐標(biāo)為（2，6）．將矩形向下平移，若矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，則矩形的平移距離a的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，得到平移后A與C在反比例函數(shù)圖象上，從而根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征解決此題．【詳解】解：如圖．由題意知，矩形平移到圖示的位置時，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象．∵AB=2，AD=4，平移前點A的坐標(biāo)為（2，6），∴平移后A坐標(biāo)為（2，6a），平移后點C的坐標(biāo)為C（6，4a）．∴2（6a）=6（4a）．∴a=3．故選：B．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)、平移，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖，矩形OABC被三條直線分割成六個小矩形，若D、E是CO邊上的三等分點，反比例函數(shù)剛好經(jīng)過小矩形的頂點F、G，若圖中的陰影矩形面積，則反比例系數(shù)k的值為__．【答案】10【分析】根據(jù)題意求得，進而即可根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得k的值．【詳解】是CO邊上的三等分點，，，反比例函數(shù)剛好經(jīng)過小矩形的頂點，，故答案為：10．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的面積，求得矩形OAGD的面積是關(guān)鍵．3．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，矩形的邊、分別在軸、軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的圖象上，且．將矩形以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)后得到矩形，函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過的中點，交于點．(1)求該反比例函數(shù)關(guān)系式；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出點B的坐標(biāo)為（2，），進一步求得N（2+，2），代入曲線方程中即可得出k的值，便可得出反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)k的值可得出點M、點B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△OBM=S△AOB+S梯形ABMDS△DOM=S梯形ABMD，故可得出△OBM的面積．（1）矩形的邊、分別在軸、軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的圖象上，且，點的坐標(biāo)為，，將矩形以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)后得到矩形，，，，函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過的中點，，，，解得，反比例函數(shù)的解析式為；（2），，，把代入得，，，，．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化旋轉(zhuǎn)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，求得B、M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川雅安·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點是邊的中點，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，交于點．(1)求的值及直線的解析式；(2)在軸上找一點，使的周長最小，求此時點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求的面積．【答案】(1)，直線解析式為(2)的周長最小時，(3)【分析】（1）先求出D點坐標(biāo)，然后再代入反比例函數(shù)解析式可求得k；然后再確定點E得坐標(biāo)，再通過待定系數(shù)法即可解答；（2）先求出關(guān)于軸對稱點為，連接D′E交x軸于點P，此時△PDE周長最小，再運用待定系數(shù)法求得直線的解析式，直線與x軸的交點即為P點坐標(biāo)；（3）先求出直線DE與x軸交點Q的坐標(biāo)，再求出PE的長，然后結(jié)合點D、點E的坐標(biāo)可求得、,最后根據(jù)求解即可．（1）解：∵，，∴．又∵點是邊的中點，∴，∴

反比例函數(shù)解析式為，∵為上一點，得．∴，∴，設(shè)直線解析式為得：，解得，∴直線解析式為．（2）解：關(guān)于軸對稱點為，連接D′E交x軸于點P，此時△PDE周長最小，設(shè)直線解析式為得，解得，∴直線解析式為

∴直線與軸交點為，∴的周長最小時，．（3）解：直線解析式為，設(shè)其與軸的交點為，當(dāng)y2=0，可得x=6∴的坐標(biāo)為，

∵，∴，又∵，，∴，∴

，∴．【點睛】本題屬于反比例綜合題，主要考查了反比例函數(shù)解析式、最短路徑以及三角形的面積等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇宿遷·八年級期末）如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖像上，，，動點在軸的上方，且滿足．(1)若點在這個反比例函數(shù)的圖像上，求點的坐標(biāo)；(2)連接、，求的最小值；(3)若點是平面內(nèi)一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)，，或【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得出點的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征可求出的值，進而可得出反比例函數(shù)解析式，由可求出點的縱坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征可求出點的坐標(biāo)；（2）作點關(guān)于直線的對稱點，連接'交直線于點，利用兩點之間線段最短可得出此時取得最小值，由點的坐標(biāo)可求出點的坐標(biāo)，再利用勾股定理即可求出的最小值；（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，由線段的長及點的縱坐標(biāo)可得出只能為邊，分點在點的上方及點在點的下方兩種情況考慮：①當(dāng)點在點的上方時，由可求出的值，進而可得出點，的坐標(biāo)，結(jié)合可得出點，的坐標(biāo)；②當(dāng)點在點的下方時，由可求出的值，進而可得出點，的坐標(biāo)，結(jié)合可得出點，的坐標(biāo)．綜上，此題可得解．(1)解：∵四邊形是矩形，，，∴點的坐標(biāo)為，，∵點在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，設(shè)點的縱坐標(biāo)為，∵，∴，∴，當(dāng)時，，解得：，∴當(dāng)點在這個反比例函數(shù)的圖像上，點的坐標(biāo)為；(2)如圖1，由（1）可知，點在直線上，作點關(guān)于直線的對稱點，連接'交直線于點，∵點和點關(guān)于直線的對稱，∴直線垂直平分，∴，∴，即此時取得最小值，最小值為的長，∵點的坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)為，∵點的坐標(biāo)為，，∴．∴的最小值為．(3)∵軸，，點的縱坐標(biāo)為，∴不能為對角線，只能為邊，設(shè)點的坐標(biāo)為，分兩種情況考慮，如圖2所示：①當(dāng)點在點的上方時，由，∴，解得：，，∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，又∵，且軸，∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為；②當(dāng)點在點的下方時，由，∴，解得：，，∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，又∵，且軸，∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．綜上所述：當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是菱形時，點的坐標(biāo)為，，或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、軸對稱最短問題，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，學(xué)會用分類討論的方法思考問題．6．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，四邊形OABC是矩形，點A的坐標(biāo)為（0，6）點C的坐標(biāo)為（4，0），點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B出發(fā)，同時點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)點P與點B重合時，點P、Q同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．(1)當(dāng)t=1時，請直接寫出△BPQ的面積為；(2)當(dāng)△BPQ與△COQ相似時，求t的值；(3)當(dāng)反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象經(jīng)過點P、Q兩點時．①求k的值；②點M在x軸上，點N在反比例函數(shù)y=的圖象上，若以點M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的M的坐標(biāo)．【答案】(1)3(2)當(dāng)△BPQ與△COQ相似時，t的值為或(3)①；②當(dāng)以點M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標(biāo)為（，0）【分析】（1）由點，的運動速度，可找出當(dāng)時點，的坐標(biāo)，進而可得出，的長，再利用三角形的面積公式可求出此時的面積；（2）由可知分兩種情況考慮，①當(dāng)時，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出值；②當(dāng)時，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出值．綜上，此問得解；（3）①由題意可得出點，的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于，的方程，解之即可得出結(jié)論；②由①可得出點，的坐標(biāo)，分為邊及為對角線兩種情況考慮：當(dāng)為邊時，利用平行四邊形的性質(zhì)可求出值，進而可得出點的坐標(biāo)，由點，重合可得出此種情況不存在；當(dāng)為對角線時，利用對角線互相平分可求出的值，進而可得出點，的坐標(biāo)．綜上，此問得解．（1）當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，，．故答案為：3；（2）當(dāng)運動時間為秒時，，，．與相似，，分兩種情況考慮：①當(dāng)時，，即，解得：，，經(jīng)檢驗，，是原分式方程的解，符合題意，；②當(dāng)時，，即，解得：，，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意，；綜上所述：當(dāng)與相似時，的值為或．（3）①依題意，得：點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點、兩點，，，．②由①可知：點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，．分兩種情況考慮：當(dāng)為邊時，，，點的坐標(biāo)為，此時點，重合，不符合題意，此種情況不存在；當(dāng)為對角線時，，，點的坐標(biāo)為，，點的坐標(biāo)為，．綜上所述：當(dāng)以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標(biāo)為，．【點睛】本題考查了三角形的面積、相似三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出當(dāng)時點，的坐標(biāo)；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于的方程；（3）①利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于，的方程組；②分為邊及為對角線兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求出點，的坐標(biāo)．考點四反比例函數(shù)與菱形的綜合應(yīng)用例題：（2022·四川遂寧·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)的圖像上，點D的坐標(biāo)為（4，3），設(shè)AB所在直線解析式為．(1)求反比例和一次函數(shù)解析式．(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個單位，在平移中若反比例函數(shù)圖像與菱形的邊AD始終有交點，求m的取值范圍．(3)在直線AB上是否存在M、N兩點，使以MNOD四點的四邊形構(gòu)成矩形？若不存在，請說明理由，若存在直接求出M、N（點M在點N的上方）兩點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)0≤m≤(3)點N坐標(biāo)為（，）；點M的坐標(biāo)為（，）【分析】（1）延長AD交x軸于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理得到A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)平移性質(zhì)，只需求得點D平移后落在反比例函數(shù)圖像上時的坐標(biāo)即可求解；（3）延長AD交x軸于F，過點N作NH⊥y軸于H，證明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得點N坐標(biāo)，設(shè)M（x，），利用中點坐標(biāo)公式即可求出點M坐標(biāo)．（1）解：延長AD交x軸于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD=AD，AD∥OB，則AF⊥x軸，∵點D坐標(biāo)為（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，即OB=AD=5，∴A（4，8），B（0，5），∴k=4×8=32，∴反比例函數(shù)的解析式為；將A、B坐標(biāo)代入中，得，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：由題意知，將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個單位，使得點D落在反比例函數(shù)的圖像D′處，∵點D平移后的坐標(biāo)為D′（4+m，3），∴，∴m=，∴滿足條件的m的取值范圍為0≤m≤．（3）解：存在，理由為：如圖，延長AD交x軸于F，過點N作NH⊥y軸于H，則∠NHO=∠OFD=90°，由題意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，則∠NOB=∠FOD，又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，∴△ONB≌△OFD（AAS），∴S△ONB=S△OFD，則，∴NH=，∵點N在直線AB上，∴當(dāng)x=時，，∴點N坐標(biāo)為（，）；設(shè)M（x，），則x+0=+4，解得：x=，，∴點M的坐標(biāo)為（，）．【點睛】本題是反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合題，涉及菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、平移性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學(xué)校八年級期中）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為4的菱形頂點與原點重合，點在軸的正半軸上，點在函數(shù)的圖象上，________．【答案】【分析】延長AD交x軸于F，求出DF和OF，即可求出A點的坐標(biāo)，再代入函數(shù)解析式求出k即可【詳解】解：延長AD交x軸于F，∵四邊形ABOD是菱形，∴AD=OD=4，∵∴∴，∴，又，AD∥OB，∴A點的坐標(biāo)是（，6），代入y=得：k=6×=，故答案為：【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和菱形的性質(zhì)等知識點，能求出反比例函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇南京·二模）如圖，菱形ABCD的邊BC在x軸上，頂點A，D分別在函數(shù)，的圖像上．若，則A的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】過點D作DE⊥x軸于點E，設(shè)DE=n，則，，即可得出，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)可求出n的值，進而問題可求解．【詳解】解：過點D作DE⊥x軸于點E，如圖所示：設(shè)DE=n，由四邊形ABCD是菱形可知：，∴點A、D的縱坐標(biāo)為n，∵頂點A，D分別在函數(shù)，的圖像上，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴點；故答案為．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合、含30度直角三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)與幾何的綜合、含30度直角三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點在軸上，，兩點的坐標(biāo)分別為，，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求該反比例函數(shù)的解析式及的值；(2)判斷點是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．【答案】(1)，(2)點在該反比例函數(shù)的圖象上，理由見解答【分析】（1）因為點在雙曲線上，所以代入點坐標(biāo)即可求出雙曲線的函數(shù)關(guān)系式，又因為點在雙曲線上，代入即可求出的值；（2）先求出點的坐標(biāo)，判斷即可得出結(jié)論．（1）解：將點代入中，得，反比例函數(shù)的解析式為，將點代入中，得；（2）解：因為四邊形是菱形，，，，，，由（1）知雙曲線的解析式為；，點在雙曲線上．【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用表示出點的坐標(biāo)．4．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學(xué)校八年級期中）如圖1，菱形頂點在軸上，頂點在反比例函數(shù)上，邊交軸于點，軸，，．(1)求．(2)如圖2，延長交軸于點，問是否在該反比例函數(shù)上存在的點，坐標(biāo)軸上的點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．【答案】(1)k＝；(2)Q點坐標(biāo)為（?3，0），（7，0），（0，4）或（0，）．【分析】（1）設(shè)EC＝x，則AE＝2EC＝2x，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得AB＝5，BE＝5?x，在Rt△ABE中用勾股定理求出EC＝2，AE＝4，表示出點C、D的坐標(biāo)，列方程?＝4即可求出k；（2）先求出直線AB的解析式，得F點坐標(biāo)，設(shè)P點坐標(biāo)（m，），分情況討論：①Q(mào)在x軸上，設(shè)為（n，0），②Q在y軸上，設(shè)為（0，n），根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列式求出n，即可得到點Q坐標(biāo)．(1)解：設(shè)EC＝x，則AE＝2EC＝2x，在菱形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝5，則BE＝5?x，∵AD∥x軸，∴BC∥x軸，∴AE⊥BC，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，得，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴EC＝2，AE＝4，∴C（2，），D（5，），∴?＝4，解得：k＝；(2)∵k＝，∴C（2，?），D（5，?），∴A（0，?），B（?3，?），設(shè)直線AB的解析式：y＝kx＋b，代入A，B點坐標(biāo)，得，解得：，∴直線AB的解析式：．當(dāng)時，x＝2，∴F（2，0），設(shè)P（m，），存在以A、F、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∵Q在坐標(biāo)軸上，①Q(mào)在x軸上，設(shè)Q（n，0），當(dāng)AF，PQ為對角線時，2＝m＋n，?＝，解得：，∴Q（?3，0），當(dāng)AP，F(xiàn)Q為對角線時，得m＝n＋2，?＝0，解得：（舍），當(dāng)AQ，F(xiàn)P為對角線，得n＝m＋2，?＝，解得：，∴Q（7，0）；②當(dāng)Q在y軸上，設(shè)Q（0，n），當(dāng)AF，PQ為對角線時，m＝2，?＝n，解得：，∴Q（0，4），當(dāng)AP，F(xiàn)Q為對角線時，得m＝2，?＝n，解得：，∴Q（0，），當(dāng)AQ，F(xiàn)P為對角線，得m＋2＝0，＝n?，解得：（舍），綜上，Q點坐標(biāo)為（?3，0），（7，0），（0，4）或（0，）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式、平行四邊形的性質(zhì)以及解一元二次方程的方法是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖，菱形ABCD的頂點A、B分別在y軸與x軸正半軸上，C、D在第一象限，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點D．(1)若，①求反比例函數(shù)的解析式；②證明：點C落在反比例函數(shù)的圖象上；(2)若，，求菱形ABCD的邊長．【答案】(1)①；②見解析(2)【分析】（1）①過點D做y軸垂線交于點F，由為菱形得，，進而求得，從而求得即可求出反比例函數(shù)的解析式；②過點C做x軸垂線交于點G，先求得，即可判斷C落在反比例函數(shù)的圖象上；（2）設(shè)，則，，從而求得BD=2BE=2，得進而有，解得，即可求解．（1）①解：過點D做y軸垂線交于點F，∵為菱形，∴，，易證四邊形AOBE、AEDF為矩形∴，∴，∴②證明：過點C做x軸垂線交于點G，易證四邊形AEBO、ACGO為矩形∴，∴，∴C落在反比例函數(shù)的圖象上；（2）解：∵，，DB=2BE，AC=2AE，∴設(shè)，則，，∴BD=2BE=2，∴∵D在反比例函數(shù)上，∴，∴，∴，∴菱形ABCD的邊長為6．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，求反比例函數(shù)的解析式以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，菱形OABC的點B在y軸上，點C坐標(biāo)為（12，5），雙曲線的圖象經(jīng)過點A．(1)菱形OABC的邊長為____；(2)求雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；(3)①點B關(guān)于點O的對稱點為D點，過D作直線l垂直于y軸，點P是直線l上一個動點，點E在雙曲線上，當(dāng)P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形時，求點E的坐標(biāo)；②將點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點Q，當(dāng)點Q落在雙曲線上時，求點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)13(2)反比例函數(shù)解析式為(3)①點E的坐標(biāo)為（12，5）；（4，15）；（，25）；②點Q的坐標(biāo)為（3，20）【分析】（1）如圖所示，連接AC交y軸于J，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由點C的坐標(biāo)為（12，5），得到AJ=JC=12，OJ=BJ=5，則；（2）先求出A點坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（3）①分AB為以P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論求解即可；②過點A作AT⊥PD于T，過點Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后證明△APT≌△QRA得到AT=RQ=15，則Q點的橫坐標(biāo)為3，由此求解即可．（1）解：如圖所示，連接AC交y軸于J，∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，∵點C的坐標(biāo)為（12，5），∴AJ=JC=12，OJ=BJ=5，∴，故答案為：5；（2）解：∵AJ=JC=12，OJ=BJ=5，∴點A的坐標(biāo)為（12，5），∵反比例函數(shù)經(jīng)過點A（12，5），∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；（3）解：①設(shè)E點坐標(biāo)為（m，），∵OJ=BJ=5，∴OB=10，∴B點坐標(biāo)為（0，10），∵點B關(guān)于點O的對稱點為D點，∴D點坐標(biāo)為（0，10），∴直線l為，設(shè)P點坐標(biāo)為（a，10）當(dāng)AB是以P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形的對角線時，∵線段AB與線段PE的中點坐標(biāo)相同，∴，∴，∴點E的坐標(biāo)為（，25）；如圖所示，當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，即以P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形為時，∵與的中點坐標(biāo)相同，∴，∴，∴的坐標(biāo)為（12，5）；同理可以求出當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，即以P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形為時，點的坐標(biāo)為（，15）；綜上所述，當(dāng)E點坐標(biāo)為（，5）或（4，15）或（，25）時，以P、E、A、B四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形；②如圖所示，過點A作AT⊥PD于T，過點Q作QR⊥AT于R，∵點A的坐標(biāo)為（12，5），直線l為，∴AT=15，∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，∴∠APT=∠QAR，又∵AP=QA，∴△APT≌△QRA（AAS），∴AT=RQ=15，∴Q點的橫坐標(biāo)為3，∵Q在反比例函數(shù)上，∴，∴點Q的坐標(biāo)為（3，）．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．考點五反比例函數(shù)與正方形的綜合應(yīng)用例題：（2022·江蘇淮安·八年級期末）如圖，A、B分別是軸正半軸上和軸正半軸上的點，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C．(1)若點C坐標(biāo)為（2，3），則的值為______；(2)若A、B兩點坐標(biāo)分別A（2，0），B（0，2）；①則的值為______；②此時點D______（填“在”、“不在”或者“不一定在”）該反比例函數(shù)的圖象上；(3)若C、D兩點都在函數(shù)的圖象上，直接寫出點C的坐標(biāo)為______．【答案】(1)6(2)①8，②在；(3)（1，2）【分析】（1）運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式中的的值即可；（2）①求出C點坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法即可；②由題意可得D點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定可得C、D點的坐標(biāo)特點，即可得到點C的坐標(biāo)（1）∵點C坐標(biāo)為（2，3），反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，∴；（2）①連接AC，過點C作CE⊥y軸，過點D作CF⊥x軸，如圖所示，∵A、B兩點坐標(biāo)分別A（2，0），B（0，2）∴OA=OB=2∵∴，在正方形ABCD中，AC為對角線∴，，∴C點的橫坐標(biāo)為2∴∴∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C∴②由上小問可知，反比例函數(shù)的解析式為，∵，∴∵CF⊥x軸∴∴∵正方形ABCD，∴∴∴∴將代入反比例函數(shù)的解析式得，，∴點D在該反比例函數(shù)的圖象上（3）過點C作CE⊥y軸，過點D作CF⊥x軸，∵CE⊥y軸，CF⊥x軸，∴，∵正方形ABCD，∴∴，∴在和中，，∴≌（AAS）∴，同理可得出：≌∴，設(shè)，∴，∵C、D兩點都在函數(shù)的圖象上∴∴∴，∴解得：或（不合題意，舍去）∴點C的坐標(biāo)：【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及全等三角形的判定和性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，得出C、D點的坐標(biāo)特點是本題的特點．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·星海實驗中學(xué)八年級期末）如圖，是射線上一點，過作軸于點，以為邊在其右側(cè)作正方形，過的雙曲線交邊于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點B的坐標(biāo)為（m，0），則點A的坐標(biāo)為（m，），把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，得到反比例函數(shù)的解析式為y＝，結(jié)合正方形的性質(zhì)，得到點C，點D和點E的橫坐標(biāo)，把點E的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，得到點E的縱坐標(biāo)，求出線段DE和線段EC的長度，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)點B的坐標(biāo)為（m，0），則點A的坐標(biāo)為（m，），∴線段AB的長度為，點D的縱坐標(biāo)為，∵點A在反比例函數(shù)上，∴k＝，即反比例函數(shù)的解析式為：y＝，∵四邊形ABCD為正方形，∴正方形ABCD的邊長為，點C，點D和點E的橫坐標(biāo)為m＋，把x＝代入y＝得：y＝，即點E的縱坐標(biāo)為，∴EC＝，DE＝，∴，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和正方形的性質(zhì)，正確掌握待定系數(shù)法和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為3，AD邊在x軸負(fù)半軸上，反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖像經(jīng)過點B和CD邊中點E，則k的值為______．【答案】9【分析】設(shè)B(m，3)，把E點的坐標(biāo)用含m的代數(shù)式表示出來．把B、E兩點的坐標(biāo)都代入y=中，先求出m的值，則可求出k的值．【詳解】設(shè)B(m，3)，則C((m3，3)，∵E點是CD的中點，∴(m3，).∵B、E都在y=的圖像上，∴，

解得m=3，∴B(3，3)，∴k=3×3=9，故答案為9．【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式．熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇·南通市八一中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸，y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形，雙曲線在第一象限經(jīng)過點D，將正方形向下平移m個單位后，點C剛好落在雙曲線上，則m＝________________．【答案】3【分析】過點C作軸于點F，過點D作軸于點E，作于G，求出D點坐標(biāo)，代入雙曲線，求出雙曲線的解析式，再求出C點坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)，得到平移后C點的新坐標(biāo)，代入雙曲線即可求出m的值【詳解】如圖，過點C作軸于點F，過點D作軸于點E，作于G，直線y＝﹣2x+4與x軸，y軸分別相交于點A、B，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即四邊形ABCD是正方形，在和中，

,D點坐標(biāo)為（6，2），把D