2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)

選擇題（共10小題）

1.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,點、B,C分別在地面。尸和墻面上，且邊48〃。。，若AC=1,

ZABC^a,則CO的長為（）

cosatana

A.-------B.-------

tanacosa

1

C.cosaXtanaD.----------------

cosaxtana

2.如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長

為200%的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）

D.100V3m

3.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為a,sina=|,堤壩高BC=15m,則迎水坡面AB的長度為（）

A.20mB.25mC.30mD.35m

4.某校數(shù)學(xué)“綜合與實踐”小組的同學(xué)想要測量校園內(nèi)文化長廊（如圖1）的最高點到地面的高度.如圖

2是其測量示意圖，五邊形A2OEC關(guān)于直線對稱，EF與AB,CD分別相交于點RG.測得

3m,CD=5m,ZABD=135°,ZBDE=92°,則文化長廊的最高點離地面的高度EF約為（）（結(jié)

果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin47°—0.73,cos47°^0.68,tan47°F.07）

E

圖1圖2

A.4.2mB.4.0mC.3.7mD.3.6m

5.如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tanA的值是)

344

A.-B.-C.一D.2

553

6.如圖，滑雪場有一坡角20。的滑雪道,滑雪道AC長為200米,則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB

A.----------B.---------C.200cos20°D.200sin20°

cos20°sin200

加米，坡度，則大廳兩層之間的

7.如圖是某商店營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖,已知扶梯的長度為i=W

距離為（

12,12,

租米C.——TH米D.-m米

135

8.在計算tanl50的值時，可以借用“數(shù)形結(jié)合”思想構(gòu)建幾何圖形的方法解決，如圖，在中,

ZC=90°,ZABC=30°,延長Q5到。使連接A。，得NZ)=15°，設(shè)AC=〃，貝A5

4c_1_2—遍

DB=2a,BC=y[3a,CD—(2+V3)a,RtAACD中tanl5=2—8?類

DC~2+V3―(2+V3)(2-V3)

比這種方法，可以得到tan22.5°的值為（）

___1

A.V2+1B.V2-1C.V2D.-

2

9.如圖，圖①、圖②分別是某種型號跑步機(jī)的實物圖與示意圖，已知游步機(jī)手柄AB與地面。E平行，端

板。長為1.5加，C。與地面OE的夾角/CZ）E=a,支架AC長為1%ZCAB=120°,則距步機(jī)手柄

A2所在直線與地面DE之間的距離為（）

圖①圖②

V31

T+l.SsinaB.一+l.Ssina

A.C2

V3T1

+l.ScosaD.一+l.Scosa

2

D.V2

二.填空題（共5小題）

II.某地為拓寬河道和提高攔水壩，進(jìn)行了現(xiàn)有攔水壩改造.如圖所示，改造前的斜坡力B=80舊米,

坡度為1：4；將斜坡AB的高度AE提高20米（即AC=20米）后，斜坡A3改造成斜坡CD,其坡度

為1：1.5.則改造后斜坡8的長為

12.如圖，與斜坡CE垂直的太陽光線照射立柱A5（與水平地面3尸垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上.若3C=3米，8=8.48米，斜坡的坡角NEB=32°,則立柱A3的高為

米（結(jié)果精確到0.1米）.

科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似值）

0.530

0.848

B

0.625

312

13.如圖，社小山的東側(cè)煉A處有一個熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30加/小就的速度沿與地面成75°角

的方向飛行，20機(jī)玩后到達(dá)點C處，此時熱氣球上的人測得小山西側(cè)點8處的俯角為30°,則小山東

西兩側(cè)A,8兩點間的距離為.

14.在RCABC中，己知NC=90°,AB=10,cosB=j,點M在邊AB上，點N在邊3c上，且AM=

BN,連接MN,當(dāng)△BMN為等腰三角形時，AM=.

15.如圖，A,B,C,。均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與C。相交于點P,則/AP。的正切值為

三.解答題（共5小題）

16.如圖，在修建某條地鐵時，科技人員利用探測儀在地面A、8兩個探測點探測到地下C處有金屬回聲.已

知A、8兩點相距8米，探測線AC,BC與地面的夾角分別是30°和45°,試確定有金屬回聲的點C

的深度是多少米？

17.廣州市民昵稱“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成.廣

州某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組幾位同學(xué)，在五一假期，利用測角儀測量“小蠻腰”的“身高”，他們在離塔底

A水平距離450米的地點8,測得塔身主體的頂端C的仰角為45°,天線桅桿的頂端。的仰角為53°

9'.

（1）根據(jù)題意，畫出幾何示意圖（塔身及天線與地面垂直）；

、、44

（2）求天線棉桿的IWJ度.（參考數(shù)據(jù)：tan53°9'七可,$譏53。9'右可）

18.在鄭州之林公園內(nèi)有一座如意雕塑（圖1）,它挺拔矗立在圓。前端，展現(xiàn)出了鄭東新區(qū)的美好藍(lán)圖

與如意和諧的愿望.綜合實踐小組想按如圖2所示的方案測量如意雕塑的高度①在如意雕塑前的

空地上確定測量點A,當(dāng)測量器高度AC為3加時，測得如意雕塑最高點E的仰角/￡。=45°；②保

持測量器位置不變，調(diào)整測量器高度A8為4.1機(jī)時，測得點E的仰角NE8G=44°.已知點A,B,C,

D,E,F,G在同一豎直平面內(nèi)，請根據(jù)該小組的測量數(shù)據(jù)計算如意雕塑的高度EE（結(jié)果精確到1/77.參

考數(shù)據(jù)：sin44°^0.69,cos44°^0.72,tan44°^0.97）

圖1

19.如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成.如圖2,是燈桿，是燈管支

架，燈管支架。與燈桿間的夾角/2。。=60°.綜合實踐小組的同學(xué)想知道燈管支架8的長度，他

們在地面的點E處測得燈管支架底部D的仰角為60°,在點F處測得燈管支架頂部C的仰角為30°,

測得AE=3s,EF=9m（A,E,在同一條直線上）.請解答下列問題：

（1）求燈管支架底部距地面高度4。的長（結(jié)果保留根號）；

（2）求燈管支架的長度（結(jié)果精確到0.1%,參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）.

圖1圖2

20.如圖，觀測點C在東西走向的海岸線CN上，觀測員發(fā)現(xiàn)某船在北偏東12°方向的A點，該船向正東

方向行駛10小時后，到達(dá)北偏東57°方向的8點.已知該船的行駛速度為40海里/時，求這艘船與海

岸線CN之間的距離.（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin33°心0.54,cos33°心0.84,tan33°仁0.65）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，在△ABC中，ZACB=90°，點B,。分別在地面。尸和墻面OQ上，且邊A3〃0Q,若AC=1,

ZABC=a,則CO的長為（）

cosatana

A.------B.------

tanacosa

1

C.cosaXtanaD.--------------

cosaxtana

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】A

Ar

【分析】在△中，在中，

ABCZACB=90°,ZABC=a,BC=t"anZ-ADCRtABOCOC=BC*cos/BCO,

即可作答.

【解答】解：在△A5C中，ZACB=90°,ZABC=a,

?R「==AC

??一tanZ-ABC—tana

9：AB//OQ,

：.ZBCO=ZABC=a,

在RtABOC中,AC=\,

cosa

』

°C=BUdCO=Xcosa=tana

故選：A.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義.

2.如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長

為200機(jī)的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（)

/

/"產(chǎn)-土'破2

A.50mB.50V3mC.100mD.100V3m

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知易得BC=100〃z,再根據(jù)垂直定義可得NACB=90°,然后在Rt^ABC中，利用銳角

三角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解答.

【解答】解:如圖：

???該金字塔的下底面是一個邊長為200根的正方形，

1

.?.BC=^x200=100(m),

'：AC±BC,

：.ZACB=90°,

在RtZkABC中，ZABC=60a,

.?.AC=BC?tan60°=100V3(m),

則金字塔原來高度為100口,

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為a,sina=|,堤壩高BC=15m,則迎水坡面AB的長度為()

B

c'A

A.20mB.25mC.30mD.35m

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦的定義計算，得到答案.

【解答】解：在RtZXABC中，sina=w

,BC3

則=7-

AB5

'：BC=l5m,

.\AB=25m,

故選：B.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.某校數(shù)學(xué)''綜合與實踐”小組的同學(xué)想要測量校園內(nèi)文化長廊（如圖1）的最高點到地面的高度.如圖

2是其測量示意圖，五邊形A8DEC關(guān)于直線E廠對稱，EF與AB,CD分別相交于點RG.測得AB=

3m,CD=5m,ZABD=135°,NBDE=92°,則文化長廊的最高點離地面的高度EF約為（）（結(jié)

果保留一位小數(shù),參考數(shù)據(jù)：sin47°&0.73,cos47°~0.68,tan47°處1.07）

A.4.2mB.4.0加C.3.7mD.3.6m

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；軸對稱的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】過點8作于點H,證明四邊形GF8H為矩形，得出GH=8P=15〃，/FBH=90°,

求出/。皮/=45°,得到班/=。7/=6尸=1加，求出NE￡)G=47°,再解直角三角形得出EG的長，再

由EF=EG+GF計算即可得出答案.

【解答】解：如圖所示，過點8作于點”，

11

由題意，^BF=^AB=1.5m,DG=^CD=2.5m,

TEb垂直平分AB,垂足為R跖垂直平分CD,與CQ交于點G,BHLCD,

:.NBFG=NFGH=NBHG=9C,

???四邊形GEB”為矩形，

???GH=BF=T.5m,/FBH=9U°,

：.DH=DG-GH=lm,

VZABD=135°,

:./DBH=45°,

：.BH=DH=GF=\m,

,：ZBDE=92°,

；?/EDG=47°,

FG

在RtAEDG中，tcm/EDG=需,

；.EG=OGtan47°?2.5X1.07^2.68G"),

.?.EF=￡G+GF^2,68+1<?3.7(m),

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識

點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tanA的值是()

B

【考點】解直角三角形.

【專題】計算題；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】C

【分析】如圖連接格點2D、CD.在RtZXAB。中求出NA的正切值.

【解答】解：如圖，連接格點8。、CD.

在RtAABD中，

tanA=而=可

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形，連接8。構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，滑雪場有一坡角20。的滑雪道，滑雪道AC長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度

A.---------B.---------C.200cos20°D.200sin20°

cos20°sin200

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦的定義進(jìn)行解答即可.

【解答】解：：s譏4=器，

?.AB=AC-sinZC=200sin200,

故選：D.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)

的定義是解題的關(guān)鍵.

7.如圖是某商店營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖，己知扶梯的長度為相米，坡度i=1,則大廳兩層之間的

距離為（）

A.一6米B.—zn米C.-m米D.一zn米

1312135

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；列代數(shù)式.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】設(shè)大廳兩層之間的距離為5尤米，根據(jù)坡度的概念用x表示出扶梯的水平寬度，再根據(jù)勾股定

理列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：設(shè)大廳兩層之間的距離為5x米，

:扶梯的坡度i=5：12,

扶梯的水平寬度為12x米，

由勾股定理得：（5尤）2+（12x）2—nr,

解得：x=^（負(fù)值舍去），

大廳兩層之間的距離為之機(jī)米，

13

故選：A.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，坡度是坡面的鉛直高度力和水平寬度/的

比.

8.在計算tanl5。的值時，可以借用“數(shù)形結(jié)合”思想構(gòu)建幾何圖形的方法解決，如圖，在RtA4C8中,

NC=90°,ZABC=30°,延長C8到。使BD=A8,連接A。，得/。=15°,設(shè)AC=a,則AB=

AC_1_7.-43

中=2—遮.類

DB=2a,BC=y/3a,CD=(2+V3)a,RtAACDtcml5DC=2+V3=(2+V3)(2-73)

比這種方法，可以得到tan22.5°的值為（）

1

A.V2+1B.V2-1C.V2D.

2

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】如圖，在等腰直角△ABC中，NC=90°,延長C2至點使得AB=BD,則設(shè)

AC=1,求出CD,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，在等腰直角△ABC中，ZC=90°,延長CB至點。，使得則/區(qū)4。=

ND,

：NABC=45°=/BAD+/D=2ND,

-22.5°,

設(shè)AC=1,則BC=1,AB=V2AC=V2,

CD=CB+BD=CB+AB^1+也

..”<。-,r>—4c_1_V2-1_萬.

??tan22.5—tan￡9=7777=-----產(chǎn)=---/—、,/——~=V2-1.

CD1+V2(1+V2)(V2-1)

故選：B.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會利用特殊直角三角形解決問題.

9.如圖，圖①、圖②分別是某種型號跑步機(jī)的實物圖與示意圖，已知游步機(jī)手柄AB與地面?！昶叫?，端

板CD長為15w,CO與地面。E的夾角NC￡）E=a,支架AC長為1加，ZCAB=120°,則距步機(jī)手柄

AB所在直線與地面。E之間的距離為（）

圖①圖②

V31

A.——+l.SsinaB.-+l.Ssina

22

V31

C.一+l.ScosaD.-+l.Scosa

22

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】過點C作CGLA8,交BA的延長線于點G,交。E的延長線于根據(jù)正弦的定義分別求出

CG、CH,計算即可.

【解答】解：如圖，過點C作CGLA8,交8A的延長線于點G,交。E的延長線于H,

,/手柄AB與地面DE平行，

J.CHLDE,

在RtZxCDH中，ZCDH=a,CD=L5m,

'：sinZCDH=^,

：.CH=CD'sinZCDH=1.5sma,

VZC4B=120°,

：.ZCAG^60°,

；.CG=AC.sin60°=苧，

距步機(jī)手柄AB所在直線與地面。吐間的距離為：（1.5sina+亨）米,

故選：A.

圖②

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】由題意得B8i=Ai8i=Ai￡）i,ZBBiZ）i=90°,設(shè)88i=Ai8i=AiOi=x,貝UB/i=魚乂，再

由正切的定義計算即可得解.

【解答】解：由題意得：BBi=AiBi=AiDi,ZBBiDi=90°,

設(shè)BBi=AiBi=AiDi=x,則：

BiDi=《A[B：+&%=V%2+x2=V2x,

.*1^1x

.n瓦k岳=nV,2

故選：A.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵要熟練掌握銳角A的對邊〃與鄰邊b的比

叫做的正切，記作tanA.即tanA=ZA的對邊除以/A的鄰邊=卡.

二.填空題（共5小題）

11.某地為拓寬河道和提高攔水壩，進(jìn)行了現(xiàn)有攔水壩改造.如圖所示，改造前的斜坡=80舊米,

坡度為1：4；將斜坡AB的高度AE提高20米（即AC=20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD其坡度

為1：1.5.則改造后斜坡CD的長為50回米.

C7

bssi

EDB

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】50m米.

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE,進(jìn)而求出CE,根據(jù)坡度的概念求出QE,根據(jù)勾股定理計算，

得到答案.

ZE1

【解答】解：在中，42=200米，——=

BE4

.,.設(shè)AE=x米，8E=4x米，

：.AB=y/AE2+BE2=V17x=80V17,

...x=80,

.,.AE=80米，

CE=AE+AC^100（米），

:斜坡CO的坡度為1：1.5,

.,.￡>E=150米,

由勾股定理得：CD=y/CE2+DE2=50713（米），

答：斜坡CD的長為5003米.

故答案為：50回米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，與斜坡CE垂直的太陽光線照射立柱48（與水平地面8尸垂直）形成的影子，一部分落在地面

上,另一部分落在斜坡上.若BC=3米,8=8.48米，斜坡的坡角NECP=32°,則立柱A3的高為20.8

米（結(jié)果精確到0.1米）.

科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似值）

0.530

IStil

0.848

312

0.625

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；平行投影.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】20.8.

【分析】延長交8產(chǎn)于點“，根據(jù)余弦的定義求出HC,進(jìn)而求出HB,再根據(jù)正切的定義計算即可.

【解答】解：如圖，延長4。交B尸于點",

在RtZXOCH中，CZ）=8.48米，ZDCH=32°,

nr

,：cosZDCH=j^,

DC8.48

：.HC==10（米）,

cosZDCH~0^848

；.BH=HC+BC=13（米）,

"：ZDCH+ZAHB=90°,ZA+ZAHB=90°,

AZA=ZDCH=32°,

在RtAAHB中,tanA=器，

：（米）,

.AB=tanAX704.6125F=20.8

故答案為:20.8.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，正確作出輔助線、掌握銳角三角函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，社小山的東側(cè)煉A處有一個熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30m/〃加的速度沿與地面成75°角

的方向飛行，20,"譏后到達(dá)點C處，此時熱氣球上的人測得小山西側(cè)點2處的俯角為30。，則小山東

西兩側(cè)A,2兩點間的距離為600匹.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】600V2.

【分析】作于。，根據(jù)速度和時間先求得AC的長，在中，求得NAC。的度數(shù)，再

求得的長度，然后根據(jù)乙8=30°求出A8的長.

【解答】解：如圖，過點A作AOLBC,垂足為。，

在中，ZACD=15°-30°=45°,

AC=30X20=600（米），

：.AD=AC-sm45°=300/（米）.

在中，

：/8=30°,

.?.AB=2AD=600V2（米）.

故答案為：600V2.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形并解直角

三角形，難度適中.

14.在Rt—BC中，已知NC=90°,AB=10,cosB=|,點M在邊AB上，點N在邊3c上，且

BN,連接MN,當(dāng)△BMN為等腰三角形時，AM=5?

【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】5或竺或史.

1111

【分析】分三種情況結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形討論求解即可.

【解答】解：當(dāng)2知=8雙時，如圖1,

圖I

；AM=BN,

：.BM=AM,

：.AM=\AB=5；

11

當(dāng)時，如圖2,作ME_LBC,貝U有BE==方力M,

圖2

'：BM=10-AM,且cosB=

1，

BE35aM3

---=-，即-------=一,

BM510-AM5

解得：AM=黑；

11

當(dāng)N8=NM時，如圖3,作NF_LAB,則有BF=和"=今(10—4M),

?：AM=BN,且cos8=m

BF31(10-i4M)3

—=即^--------=

BN5AM5

解得：AM=~

綜上所述，答案為：5或二或

1111

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，A,B,C,。均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點尸，則/AP。的正切值為3

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】3.

【分析】連接CM,DM根據(jù)題意可得CM//AB,從而可得/APD=/NCD,然后利用勾股定理的逆

定理證明△CNZ)是直角三角形，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：連接CM,DN,

A.D

M

N

CB

由題意得:

CM//AB,

：.ZAPD=ZNCD,

由題意得：

CN2=12+12=2,

。解=32+32=18,

82=22+42=20,

：.CN1+DN1=CD1,

...△CND是直角三角形，

tanXNCD=￡vv==3,

CNV2

...NAP。的正切值為：3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，在修建某條地鐵時，科技人員利用探測儀在地面A、3兩個探測點探測到地下C處有金屬回聲.已

知A、8兩點相距8米，探測線AC,8c與地面的夾角分別是30。和45°,試確定有金屬回聲的點C

的深度是多少米？

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】過C點作AB的垂線交直線AB于點D,構(gòu)建等腰RtABCD,在RtADAC中利用銳角三角函

數(shù)的定義即可求出AC=2CD.然后在Rt^D4c中利用勾股定理來求CD的長度.

【解答】解：如圖，作COLA8于點D

AZADC=90°.

..?探測線與地面的夾角分別是30°和45°,

：.ZDBC=45°,ND4C=30°.

:在Rt^ZJBC中，/￡)CB=45°,

：.DB=DC.

:在Rt^OAC中，ZDAC=30°,

：.AC^2CD.

:在RtZVMC中，ZADC=90°,AB=8,

由勾股定理，得AZ)2+C/)2=AC2.

(8+CD)2+CD2=(2CD)2.

ACD=4±4V3.

：CD=4-4日不合題意，舍去.

?.CD=(4+4V3)米.

有金屬回聲的點C的深度是(4+4百)米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)

鍵.

17.廣州市民昵稱“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成.廣

州某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組幾位同學(xué)，在五一假期，利用測角儀測量“小蠻腰”的“身高”，他們在離塔底

A水平距離450米的地點8,測得塔身主體的頂端C的仰角為45°,天線桅桿的頂端。的仰角為53°

9'.

(1)根據(jù)題意，畫出幾何示意圖(塔身及天線與地面垂直)；

(2)求天線棉桿的高度.(參考數(shù)據(jù)：tan53°9%:，s譏53。9'=3

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】計算題；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】（1）詳見解答；（2）150米.

【分析】（1）根據(jù)題意畫出示意圖；

（2）在Rt^ABC中，先求出AC,再在RtZXAB。中，利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AD,最后利

用線段的和差關(guān)系得結(jié)論.

【解答】解：（1）幾何示意圖如圖所示：

（2）在Rt/XABC中,

；NABC=45°,

AZACB=ZABC=45°.

；.AC=AB=450米.

在RtAABD中，

An

VtanZAB￡）=器

：.AD=tsinZABD^B

=tan53°9'-450

4

?|X450

=600（米）.

???CD=AD-AC

=600-450

=150（米）.

答：天線棉桿的高度為150米.

【點評】本題考查了解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的邊角間關(guān)系是解

決本題的關(guān)鍵.

18.在鄭州之林公園內(nèi)有一座如意雕塑（圖1）,它挺拔矗立在前端，展現(xiàn)出了鄭東新區(qū)的美好藍(lán)圖

與如意和諧的愿望.綜合實踐小組想按如圖2所示的方案測量如意雕塑的高度ER①在如意雕塑前的

空地上確定測量點4當(dāng)測量器高度AC為時，測得如意雕塑最高點E的仰角NECZ）=45°；②保

持測量器位置不變，調(diào)整測量器高度A3為4.1"z時，測得點E的仰角NEBG=44。.己知點A,B,C,

D,E,F,G在同一豎直平面內(nèi)，請根據(jù)該小組的測量數(shù)據(jù)計算如意雕塑的高度EF.（結(jié)果精確到參

考數(shù)據(jù)：sin44°—0.69,cos44°~0.72,tan44°—0.97）

圖1

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】如意雕塑的高度所約為40米.

【分析】延長C。交EF于延長8G交EF于M根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FM=AC=3米，F(xiàn)N=AB=

4.1米，CM=BN,MN=BC=1.1米，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：延長C￡）交EF于延長BG交EF于M

E

則FM=AC=3米，PN=AB=4.1米，CM=BN,

：.MN=BC=\A米，

設(shè)CM—BN—x米，

在RtZXBNE中，ZEBG=44°,

：.EN=BN-tan44°心0.97x米，

在RtZXECM中，ZECD=45°,

：.EM=CM'ian45°=x米，

；MN=EM-EN=x-0.97尤=LI米，

：.EM=CM=36.7（米），

EM+FM^36.7+3?^40（米），

答：如意雕塑的高度斯約為40米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.

19.如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成.如圖2,是燈桿，C。是燈管支

架，燈管支架8與燈桿間的夾角/2。。=60°.綜合實踐小組的同學(xué)想知道燈管支架8的長度，他

們在地面的點E處測得燈管支架底部。的仰角為60°,在點尸處測得燈管支架頂部C的仰角為30°,

測得AE=3s,EF=9m（A,E,尸在同一條直線上）.請解答下列問題：

（1）求燈管支架底部距地面高度AD的長（結(jié)果保留根號）；

（2）求燈管支架的長度（結(jié)果精確到O.Lw,參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）.

圖1圖2

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】(1)3V3m；

(2)1.7m.

【分析】(1)在中，根據(jù)特殊三角函數(shù)值的計算方法即可求解；

(2)如圖所示，延長尸C交AB于點G,可得△OGC是等邊三角形，再計算出的長度，在Rt^AFG

中，根據(jù)特殊三角函數(shù)值的計算方法即可求解.

【解答】解：(1)在Rt^ZME中，ZAED=60°,AE=3相，

.'.AD=AE-tan60°=3V3(m),

燈管支架底部距地面高度AD的長為38小.

(2)如圖所示，延長尸C交AB于點G,

VZDAE=90°,ZAFC=30°,

AZDGC=90°-ZAFC=60",

VZGZ)C=60°,

.?.ZDCG=180°-/GDC-/DGC=60°,

.?.△DGC是等邊三角形，

:.DC=DG,

'：EF=9m,AE=3m,

：.AF=AE+EF=nm,

在RtZXAFG中，

AG^AF-tan300=12x字=4陋m,

：.DCDG=AG-AD=473-3^3=B?1.7m,

燈管支架CD的長度約為1.7%.

【點評】本題主要考查解直角三角形的實際運用、等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握仰角俯角求直角三角

形，特殊三角函數(shù)值求邊長是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，觀測點C在東西走向的海岸線CN上，觀測員發(fā)現(xiàn)某船在北偏東12°方向的A點，該船向正東

方向行駛10小時后，到達(dá)北偏東57°方向的B點.已知該船的行駛速度為40海里/時，求這艘船與海

岸線CN之間的距離.（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin33°^0.54,cos33°心0.84,tan33°仁0.65）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】這艘船與海岸線CN之間的距離約為298海里.

【分析】作A。，8c于點。，BHLCN于點、H,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，作A。，8c于點。，BHLCN于點、H,

,：ZMCD=51°,ZMCA=U°,AB//CH,

：.ZACB=45°,/BCH=/ABC=33°,

.?.AD=Cr>=sinZABC?AB=400Xsin33°,BD=AB?cos33°=400Xcos33°,

：.BC=CD+BD=400X（sin33°+cos33°）/522（海里），

則B/7=BC?sin33°心298（海里），

答：這艘船與海岸線CN之間的距離約為298海里.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.列代數(shù)式

(1)定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式.

(2)列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義.列代數(shù)式時，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義.如

“除”與“除以”，“平方的差(或平方差)”與“差的平方”的詞義區(qū)分.②分清數(shù)量關(guān)系.要正確列

代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系.③注意運算順序.列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，

先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起

來.④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，

數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號.注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用.⑤正確進(jìn)行代換.列代數(shù)式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換.

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題

1.在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量.

2.要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“X”簡寫作“丫或

者省略不寫.

3.在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字