（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題9.1 直線的方程（含答案及解析）

專題9.1直線的方程題型一傾斜角與斜率題型二直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍題型三求直線的方程題型四直線的定點問題題型五直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題題型六直線平行或垂直題型七距離公式的應(yīng)用題型八對稱問題題型一 傾斜角與斜率例1．（2023春·湖北荊州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過兩點，，且其傾斜角為135°，則m的值為（

）A．0 B． C． D．例2．（2023春·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┲本€的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)1．（2023秋·高二課時練習(xí)）若如圖中的直線的斜率為，則（

）A． B． C． D．練習(xí)2．（2023秋·高三課時練習(xí)）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4練習(xí)3．（2023秋·高三課時練習(xí)）直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍是__________．練習(xí)4．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為，則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為________，________.練習(xí)5．（2022秋·高三課時練習(xí)）（多選）若直線與軸交于點，其傾斜角為，直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)45°后得直線，則直線的傾斜角可能為（

）A． B． C． D．題型二 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______例4．（2023秋·高三課時練習(xí)）直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)6．（2022秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．練習(xí)7．（2023秋·高三課時練習(xí)）如圖，已知兩點，過點的直線l與線段AB始終有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍．

練習(xí)8．（2023·全國·高三對口高考）已知點，若直線與的延長線（有方向）相交，則的取值范圍為_________．練習(xí)9．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知,，點是線段AB上的動點，則的取值范圍是______.練習(xí)10．（2022秋·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）若直線l經(jīng)過點，在x軸上的截距的取值范圍是，則直線l斜率的取值可能是（

）A． B． C．1 D．題型三 求直線的方程例5．（2023秋·高二課時練習(xí)）由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是；(4)經(jīng)過兩點；(5)在x軸上的截距是，傾斜角是；(6)傾斜角為，與y軸的交點到x軸的距離是3．例6．（2023·高三課時練習(xí)）已知直線l的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點，求直線l的一般式方程．練習(xí)11．（2023秋·高三課時練習(xí)）經(jīng)過點，且傾斜角為的直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．練習(xí)12．（2022秋·高三?？颊n時練習(xí)）直線和直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像有可能是（

）A．

B．

C．

D．

練習(xí)13．（2022秋·高三?？颊n時練習(xí)）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．練習(xí)14．（2023·全國·高三對口高考）過點作直線分別交，的正半軸于，兩點．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時，求直線的方程．練習(xí)15．（2023春·上海徐匯·高三上海中學(xué)?？计谥校┻^點作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．題型四 直線的定點問題例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線，當(dāng)變動時，所有直線恒過定點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例8．（2023·全國·高二對口高考）以下關(guān)于直線的說法中，不正確的是（

）A．直線一定不經(jīng)過原點B．直線一定不經(jīng)過第三象限C．直線一定經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．直線可表示經(jīng)過點的所有直線練習(xí)16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線，當(dāng)變動時，所有直線都通過定點（

）A． B． C． D．練習(xí)17．（2022秋·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知向量，，且．若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．練習(xí)18．（2023春·上海長寧·高三上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┲本€（）必過點________.練習(xí)19．（2023春·上海浦東新·高三上海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)成等差數(shù)列，則直線必過定點______.練習(xí)20．（2023春·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知O為坐標(biāo)原點，直線：與：交于點P，則的值為________．題型五 直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中?？计谥校┮阎本€的方程為．(1)求直線過的定點P的坐標(biāo)；(2)直線與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于點A，B，當(dāng)面積最小時，求直線的方程；例10．（2023秋·高三課時練習(xí)）過點且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．練習(xí)21．（2022秋·高三?？颊n時練習(xí)）過點(2，0)，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于6的直線方程是____.練習(xí)22．（2023·上海·高三專題練習(xí)）求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．練習(xí)23．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則直線的方程為__________.練習(xí)24．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省資中縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知直線，.(1)證明直線l過定點A，并求出點A的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過點A，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，求直線的方程.練習(xí)25．（2022秋·安徽六安·高三校考階段練習(xí)）若直線與直線平行，且在軸上的截距比在軸上的截距大，求直線的方程.題型六 直線平行或垂直例11．（2022秋·高二?？颊n時練習(xí)）與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（）.A． B．C． D．例12．（2023·高三課時練習(xí)）已知直線和，若，則___________．練習(xí)26．（2023·河南鄭州·?？寄M預(yù)測）已知直線與直線垂直，若直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．練習(xí)27．（2022秋·四川瀘州·高三統(tǒng)考期末）點與點關(guān)于直線l對稱，則l的方程是（

）A． B． C． D．練習(xí)28．（2023·全國·高三對口高考）直線和，當(dāng)________時，；當(dāng)________時，；當(dāng)________時，與相交．練習(xí)29．（2023秋·高三課時練習(xí)）已知直線平行于直線，且在y軸上的截距為，則m，n的值分別為__________和__________．練習(xí)30．（2023秋·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）已知直線，若且，則的值為（

）A． B．5 C． D．7題型七 距離公式的應(yīng)用例13．（2022秋·廣東揭陽·高三?？计谥校┲本€過點.求分別滿足下列條件的直線方程.(1)若直線與直線平行；(2)若點到直線的距離為1.例14．（2023·全國·高三對口高考）過點且和的距離相等的直線方程是_________．練習(xí)31．（2023春·河南洛陽·高三?？茧A段練習(xí)）兩條平行線，間的距離等于（

）A． B． C． D．練習(xí)32．（2022秋·高三單元測試）已知直線過點，且原點到這條直線的距離為1，則這條直線的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和練習(xí)33．（2022秋·高三校考課時練習(xí)）若點A在直線上，且點A到直線的距離為，則點A的坐標(biāo)為________________.練習(xí)34．（2023·全國·高三對口高考）過點且和的距離相等的直線方程是_________．練習(xí)35．（2023秋·高三課時練習(xí)）在直線上求一點P，使它到點的距離為5，并求直線PM的方程.題型八 對稱問題例15．（2022秋·高三?？颊n時練習(xí)）已知點A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2例16．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線的方程為.（1）若直線和直線關(guān)于點對稱，求直線的方程__________；（2）若直線和直線關(guān)于直線對稱，求直線的方程__________.練習(xí)36．（2023秋·上海奉賢·高三?？计谀┨拼娙死铐牭脑姟豆艔能娦小烽_頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A．2 B．3 C．4 D．5練習(xí)37．（2023春·上海閔行·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域為__________.練習(xí)38．（2022秋·高三單元測試）已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為，線段AC的垂直平分線為l.

(1)求直線l的方程;(2)點P在直線l上運動，當(dāng)|AP|+|BP|最小時，求點P的坐標(biāo).練習(xí)39．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）一條光線從點發(fā)出，經(jīng)過軸反射，反射光線經(jīng)過點.(1)求反射光線所在的直線方程；(2)求反射光線所在直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的大小.練習(xí)40．（2023·高三課時練習(xí)）若點關(guān)于直線對稱的點是，求a、b的值．

專題9.1直線的方程題型一傾斜角與斜率題型二直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍題型三求直線的方程題型四直線的定點問題題型五直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題題型六直線平行或垂直題型七距離公式的應(yīng)用題型八對稱問題題型一 傾斜角與斜率例1．（2023春·湖北荊州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過兩點，，且其傾斜角為135°，則m的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點斜率公式求解即可.【詳解】經(jīng)過兩點，的直線的斜率為，又直線的傾斜角為135°，∴，解得．故選：D例2．（2023春·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┲本€的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意知,若a=0

,則傾斜角為,若,則,①當(dāng)時，(當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”)，②當(dāng)時，(當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”)，，故，綜上，，故選：C.練習(xí)1．（2023秋·高二課時練習(xí)）若如圖中的直線的斜率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出三條直線的傾斜角，結(jié)合直線斜率的定義和正切函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，顯然，且，所以，又在上單調(diào)遞增，故，所以.故選：C練習(xí)2．（2023秋·高三課時練習(xí)）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通過直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的斜率與傾斜角的關(guān)系判斷③和④的正誤.【詳解】對于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；對于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時沒有斜率，所以②錯誤；對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；其中正確說法的個數(shù)為2.故選：B.練習(xí)3．（2023秋·高三課時練習(xí)）直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【分析】畫出直線的區(qū)域，由圖直觀看出直線的傾斜角范圍即可.【詳解】如圖：

當(dāng)直線l的斜率，直線l的傾斜角的取值范圍為：.故答案為：.練習(xí)4．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為，則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為________，________.【答案】/【分析】由已知結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系及兩角和與差的正切公式可求．【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為，則，由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為，，因為，，所以該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為為，．故答案為：，．練習(xí)5．（2022秋·高三課時練習(xí)）（多選）若直線與軸交于點，其傾斜角為，直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)45°后得直線，則直線的傾斜角可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由傾斜角的定義，分類討論作出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】解析：當(dāng)時，直線的傾斜角為（如直線AC旋轉(zhuǎn)至直線AD）；當(dāng)時，直線的傾斜角為（如直線AD旋轉(zhuǎn)至直線AB）.故選：BC.題型二 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______【答案】【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】如圖，，，，則，.因為，可表示點與線段上任意一點連線的斜率，由圖象可知，，所以有.故答案為：.例4．（2023秋·高三課時練習(xí)）直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結(jié)合圖形求解作答.【詳解】直線過點.如圖，

由題意，直線與線段總有公共點，即直線以直線為起始位置，繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)到直線即可，直線的斜率為，直線的斜率分別為，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范圍是.故選：D.練習(xí)6．（2022秋·江蘇連云港·高三校考階段練習(xí)）已知點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線的斜率，結(jié)合圖形得出的范圍．【詳解】直線過定點，且，由圖可知直線與線段沒有交點時，斜率滿足，解得，故選：B．練習(xí)7．（2023秋·高三課時練習(xí)）如圖，已知兩點，過點的直線l與線段AB始終有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍．

【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形求出直線的斜率，直線的斜率，即得直線斜率的取值范圍．【詳解】根據(jù)圖形，∵直線的斜率是，直線的斜率是，∴過點的直線與線段有公共點時，直線的斜率的取值范圍是．故答案為：．練習(xí)8．（2023·全國·高三對口高考）已知點，若直線與的延長線（有方向）相交，則的取值范圍為_________．【答案】【分析】先求出的斜率，再利用數(shù)形結(jié)合思想，分情況討論出直線的幾種特殊情況，綜合即可得到答案.【詳解】如下圖所示，

由題知，直線過點.當(dāng)時，直線化為，一定與相交，所以，當(dāng)時，，考慮直線的兩個極限位置.①經(jīng)過，即直線，則；②與直線平行，即直線，則，因為直線與的延長線相交，所以，解得，所以.故答案為：.練習(xí)9．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知,，點是線段AB上的動點，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)的幾何意義即可求解.【詳解】如圖所示：因為,，所以，，，因為點是線段AB上的動點，所以.故答案為：練習(xí)10．（2022秋·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）若直線l經(jīng)過點，在x軸上的截距的取值范圍是，則直線l斜率的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圖形求出直線l的斜率取值范圍，即可作答.【詳解】令點，依題意，直線l與x軸的交點在線段上（不含端點B，C），如圖，直線斜率，直線斜率，因此直線l的斜率或，所以直線l斜率的取值可能是或1.故選：BC題型三 求直線的方程例5．（2023秋·高二課時練習(xí)）由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是；(4)經(jīng)過兩點；(5)在x軸上的截距是，傾斜角是；(6)傾斜角為，與y軸的交點到x軸的距離是3．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)或【分析】（1）由點斜式可得結(jié)果；（2）由點斜式可得結(jié)果；（3）由截距式可得結(jié)果；（4）由兩點式可得結(jié)果；（5）由點斜式可得結(jié)果；（6）由斜截式可得結(jié)果.【詳解】（1）由點斜式得，即.（2）因為直線平行于軸，所以斜率等于，由點斜式得，即.（3）因為在x軸和y軸上的截距分別是；所以直線方程的截距式為：，即.（4）由兩點式得，即.（5）斜率，由點斜式得，即.（6）斜率為，因為直線與y軸的交點到x軸的距離是3，所以直線在軸上的截距為，所以所求直線方程為或，即或.例6．（2023·高三課時練習(xí)）已知直線l的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點，求直線l的一般式方程．【答案】或.【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的斜率，再利用點斜式方程求解作答.【詳解】直線l的傾斜角為，，當(dāng)為銳角時，，直線l的斜率，由直線點斜式方程得：，即，當(dāng)為鈍角時，，直線l的斜率，由直線點斜式方程得：，即，所以直線l的一般式方程為或.練習(xí)11．（2023秋·高三課時練習(xí)）經(jīng)過點，且傾斜角為的直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程.【詳解】由直線的傾斜角為知，直線的斜率，因此，其直線方程為，即.故選：A練習(xí)12．（2022秋·高三校考課時練習(xí)）直線和直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】化簡直線方程分別為和，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】化簡直線方程分別為和，顯然的斜率是的縱截距,的縱截距是的斜率，對于A中，由的圖象，可得，即；由的圖象，可得，即，顯然不成立；對于B中，由的圖象，可得，即；由的圖象，可得，即，顯然成立；對于C中，由的圖象，可得，即；由的圖象，可得，即，顯然不成立；對于D中，由的圖象，可得，即；由的圖象，可得，即，顯然不成立；故選：B.練習(xí)13．（2022秋·高三校考課時練習(xí)）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得點M的坐標(biāo)，由直線的兩點式方程求解.【詳解】點M的坐標(biāo)為(2,1),由直線的兩點式方程得,即.故選：D練習(xí)14．（2023·全國·高三對口高考）過點作直線分別交，的正半軸于，兩點．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時，求直線的方程．【答案】(1)，此時直線的方程為．(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，，則直線的方程為，依題意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此時、的值，從而求出直線方程；（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，分別求出，的坐標(biāo)，求出的方程，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出直線方程即可．【詳解】（1）依題意設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，代入得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，此時直線的方程為，即，所以，此時直線的方程為．（2）由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，此時直線的方程為，即．（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，令，解得，令，解得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，取最小值，此時直線的方程為．練習(xí)15．（2023春·上海徐匯·高三上海中學(xué)?？计谥校┻^點作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】當(dāng)斜率不存在時，不符合題意，當(dāng)斜率存在時，設(shè)所求直線方程為，進(jìn)而得出交點，根據(jù)點為兩交點的中點建立等式，求出的值，從而即可解決問題.【詳解】如果直線斜率不存在時，直線方程為：，不符合題意；所以直線斜率存在設(shè)為，則直線方程為，聯(lián)立直線得：，聯(lián)立直線得：，，所以直線與直線，直線的交點為：，又直線夾在兩條直線和之間的線段恰被點平分，所以，解得：，所以直線的方程為：，故選：B.題型四 直線的定點問題例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線，當(dāng)變動時，所有直線恒過定點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整理所得直線方程為，根據(jù)題意，即可求得結(jié)果.【詳解】把直線方程整理為，令，故，所以直線恒過定點為.故選：C.例8．（2023·全國·高二對口高考）以下關(guān)于直線的說法中，不正確的是（

）A．直線一定不經(jīng)過原點B．直線一定不經(jīng)過第三象限C．直線一定經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．直線可表示經(jīng)過點的所有直線【答案】B【分析】首先求出直線過定點坐標(biāo)，即可判斷A、D，再分、、三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B、C；【詳解】對于直線，令，解得，故直線恒過點，一定不經(jīng)過原點，故A正確；當(dāng)時直線即為，直線過二、三象限，當(dāng)時直線即為，若，則，，直線過一、二、三象限，若，則，，直線過二、三、四象限，所以直線一定過二、三象限，故B錯誤，C正確；因為直線恒過點，所以直線可表示經(jīng)過點的所有直線，故選：B練習(xí)16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線，當(dāng)變動時，所有直線都通過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線過定點問題分析運算.【詳解】直線可以為，表示過點，斜率為的直線，所以所有直線都通過定點為.故選：A.練習(xí)17．（2022秋·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知向量，，且．若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直可得數(shù)量積為0，得出軌跡方程即可求出軌跡過定點.【詳解】，，即，所以點的軌跡方程為，顯然不論取何值，總有滿足方程，即點的軌跡過定點，故選：A練習(xí)18．（2023春·上海長寧·高三上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┲本€（）必過點________.【答案】【分析】將直線方程化為形式求解即可.【詳解】直線方程（）可化為，（），∴由，解得，∴直線（）必過定點.故答案為：.練習(xí)19．（2023春·上海浦東新·高三上海師大附中校考階段練習(xí)）已知實數(shù)成等差數(shù)列，則直線必過定點______.【答案】【分析】由成等差數(shù)列，可得，即，故直線可得．【詳解】成等差數(shù)列，，，直線必過點．故答案為：．練習(xí)20．（2023春·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知O為坐標(biāo)原點，直線：與：交于點P，則的值為________．【答案】2【分析】根據(jù)兩直線經(jīng)過定點，即可根據(jù)和，利用斜率得垂直關(guān)系即可分情況求解.【詳解】直線過定點，過定點，當(dāng)時，兩直線的斜率分別為，，，故，從而；當(dāng)時，易求得，此時，綜上可知，．故答案為：2題型五 直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考期中）已知直線的方程為．(1)求直線過的定點P的坐標(biāo)；(2)直線與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于點A，B，當(dāng)面積最小時，求直線的方程；【答案】(1)；(2)【分析】（1）將直線的方程變形，列出方程組即可求解；（2）利用直線的截距式方程設(shè)出直線的方程，根據(jù)（1）的結(jié)論及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由題意，直線的方程可化為，聯(lián)立方程組解得，所以直線過的定點．（2）設(shè)直線，則，由（1）知，直線過的定點，可得，因為，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)且即時，等號成立，所以面積為，此時對應(yīng)的直線方程為，即．例10．（2023秋·高三課時練習(xí)）過點且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．【答案】或【分析】討論直線過原點和直線不過原點兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】當(dāng)直線過原點時，設(shè)，過點，則，即；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)，過點，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.練習(xí)21．（2022秋·高三?？颊n時練習(xí)）過點(2，0)，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于6的直線方程是____.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)條件列方程組求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，則解得則直線的方程為+=1，即.故答案為：練習(xí)22．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．【答案】或【分析】當(dāng)直線經(jīng)過原點時，直線的方程直接求出；當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的截距式為，把點P的坐標(biāo)代入即可得出．【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點時，直線的方程為，化為，當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的截距式為，把點代入可得：，解得，所以直線的方程為：，綜上所述，所求直線方程為或.故答案為：或.練習(xí)23．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則直線的方程為__________.【答案】或【分析】設(shè)直線方程為，則，解得的值，即得此直線方程.【詳解】設(shè)直線方程為，則，解得或直線的方程為或故答案為：或.練習(xí)24．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省資中縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知直線，.(1)證明直線l過定點A，并求出點A的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過點A，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，求直線的方程.【答案】(1)定點A的坐標(biāo)為(2)或【分析】（1）整理方程為，然后解方程組可得答案；（2）設(shè)出直線方程，求出截距，利用截距之間的關(guān)系列方程求解.【詳解】（1）直線可化為，則，解得，直線l過定點，且定點A的坐標(biāo)為；（2）直線過點，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，則當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時，符合題意，此時直線方程為，即；當(dāng)直線的橫縱截距均不為零時，設(shè)直線的方程為，代入點，得，解得，此時直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.練習(xí)25．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）若直線與直線平行，且在軸上的截距比在軸上的截距大，求直線的方程.【答案】【分析】由平行可設(shè)直線方程為，分和兩種情況，并結(jié)合題意列等式即可【詳解】直線與直線平行，則設(shè)其方程為，當(dāng)時，直線方程為，故可得在軸上的截距和在軸上的截距都是為，不滿足題意，當(dāng)時，方程化為截距式為，因為直線在軸上的截距比在軸上的截距大，所以，解得，直線的方程為.題型六 直線平行或垂直例11．（2022秋·高二?？颊n時練習(xí)）與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)垂直關(guān)系確定所求直線的斜率，設(shè)出直線方程后再根據(jù)橫截距確定與x軸的交點坐標(biāo)，進(jìn)而求得待定系數(shù)，確定答案.【詳解】因為所求的直線與直線垂直，所以，得.設(shè)所求直線為,又因為所求直線在x軸上的截距為2即過點，求得,所以所求直線的斜截式方程為，故選：B.例12．（2023·高三課時練習(xí)）已知直線和，若，則___________．【答案】3【解析】由由有，即可求，然后驗證、是否共線.【詳解】∵，有，∴，解得或，當(dāng)時，，，即、為同一條直線；當(dāng)時，，，即；∴，故答案為：3練習(xí)26．（2023·河南鄭州·校考模擬預(yù)測）已知直線與直線垂直，若直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，由誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，代入即可得出單.【詳解】因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，所以，所以.故選：D.練習(xí)27．（2022秋·四川瀘州·高三統(tǒng)考期末）點與點關(guān)于直線l對稱，則l的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出兩個定點的中點坐標(biāo)及這兩個定點確定的直線斜率作答.【詳解】過點與點直線的斜率為，則直線l的斜率為，點與點的中點為，所以直線l的方程為，即.故選：B練習(xí)28．（2023·全國·高三對口高考）直線和，當(dāng)________時，；當(dāng)________時，；當(dāng)________時，與相交．【答案】/0.5且【分析】利用直線平行、垂直、相交的性質(zhì)求解.【詳解】由題知，，，解得；，，解得；與相交，，解得且.故答案為：；；且練習(xí)29．（2023秋·高三課時練習(xí)）已知直線平行于直線，且在y軸上的截距為，則m，n的值分別為__________和__________．【答案】【分析】化簡兩直線為斜截式方程，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】由直線，整理得直線，整理得，因為兩直線平行，可得，又由在軸上的截距為，即，可得，所以.故答案為：；.練習(xí)30．（2023秋·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）已知直線，若且，則的值為（

）A． B．5 C． D．7【答案】B【分析】利用直線一般式下平行與垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以由，得，解得，由，得，解得，所以．故選：B．題型七 距離公式的應(yīng)用例13．（2022秋·廣東揭陽·高三?？计谥校┲本€過點.求分別滿足下列條件的直線方程.(1)若直線與直線平行；(2)若點到直線的距離為1.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)直線平行設(shè)出直線方程，代入點即可求出結(jié)果；（2）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，設(shè)出直線方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)，即可求出直線方程.【詳解】（1）設(shè)直線方程為將代入得，所求直線方程是（2）若直線的斜率不存在，則過的直線為，到點的距離為1，滿足題意；若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則的方程為.由點到直線的距離為1，可得.解得，所以直線方程為，即.綜上得所求的直線方程為或.例14．（2023·全國·高三對口高考）過點且和的距離相等的直線方程是_________．【答案】或【分析】當(dāng)斜率不存在時，驗證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時，設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】若斜率不存在時，過點的直線為，此時不滿足條件；若斜率存在時，設(shè)過點的直線，即．根據(jù)題意，可得，解得或，當(dāng)時，直線方程為，當(dāng)時，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或練習(xí)31．（2023春·河南洛陽·高三?？茧A段練習(xí)）兩條平行線，間的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩平行線間的距離公式求解即可.【詳解】依題意，將直線變?yōu)?，又，所以兩平行線間的距離為.故選：A.練習(xí)32．（2022秋·高三單元測試）已知直線過點，且原點到這條直線的距離為1，則這條直線的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為，原點到這條直線的距離為1，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，即，∵原點到這條直線的距離為1，∴，解得，∴直線的方程是，即，綜上，直線的方程是和.故選：A.練習(xí)33．（2022秋·高三?？颊n時練習(xí)）若點A在直線上，且點A到直線的距離為，則點A的坐標(biāo)為________________.【答案】或【分析】利用點在線上及點線距離公式得到關(guān)于A的坐標(biāo)的方程組，解之即可.【詳解】依題意，設(shè)點A的坐標(biāo)為，則有，解得或.故答案為：或.練習(xí)34．（2023·全國·高三對口高考）過點且和的距離相等的直線方程是_________．【答案】或【分析】當(dāng)斜率不存在時，驗證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時，設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】若斜率不存在時，過點的直線為，此時不滿足條件；若斜率存在時，設(shè)過點的直線，即．根據(jù)題意，可得，解得或，當(dāng)時，直線方程為，當(dāng)時，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或練習(xí)35．（2023秋·高三課時練習(xí)）在直線上求一點P，使它到點的距離為5，并求直線PM的方程.【答案】或，對應(yīng)直線PM的方程為或.【分析】利用點在直線上和兩點距離建立方程組求解點的坐標(biāo)，求出斜率，代入點斜式求解直線方程.【詳解】設(shè)，由題意，解得或，所以或，當(dāng)時，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即；當(dāng)時，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即.題型八 對稱問題例15．（2022秋·高三?？颊n時練習(xí)）已知點A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【答案】D【分析】利用點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】點A，B關(guān)于直線對稱，則，即，①且AB中點在已知直線上，代入得，②聯(lián)立①②組成的方程組，解得，故選：D.例16．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線的方程為.（1）若直線和直線關(guān)于點對稱，求直線的方程____