簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積-2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講義

8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

【知識(shí)點(diǎn)一】空間幾何體的表面積

一般地，我們可以把多面體展開(kāi)成平面圖形，求出展開(kāi)圖中各個(gè)小多邊形的面積，然后相加即為多面

體的表面積.

1.直棱柱和正棱錐的表面積

（1）直棱柱的側(cè)面積

①側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.

②直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于直棱柱的底面周長(zhǎng)C,寬等于直棱柱的高兒因此,

直棱柱的側(cè)面積是SARU（W=c/z.

③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.

（2）正棱錐的側(cè)面積

①如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱

錐,正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.

②棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由各個(gè)側(cè)面組成的，展開(kāi)圖的面積就是棱錐的側(cè)面積.如果正棱錐的底面周長(zhǎng)

為c,斜高（即側(cè)面等腰三角腦底邊上的高）為〃'，它的側(cè)面積是S正午”,=5方’.

2.正棱臺(tái)的表面積

正棱維被平行于底面的平面所根，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái).與正棱錐的側(cè)面積公式類(lèi)似,

若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長(zhǎng)分別為c',C,斜高為〃'，則其側(cè)面積是S正植3例=氐。+。')〃'.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積

【推導(dǎo)圓錐側(cè)面積及表面積】底面周長(zhǎng)是2w,利用扇形面積公式得

S?(=gX271z/=7C”，S友=九戶+冗"=加(尸+/).

【推導(dǎo)圓臺(tái)側(cè)面積及表面積】由題圖知，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧

長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，則七=￡解得x=U~/.

x-rlKR—r

5用壞=5大扇形一$小威形=3。+/)乂2成一5乂2"=磯/?一力彳+利=北&+火)/，

所以S網(wǎng)口儡=冗(r+/?)/,S岡c衣=冗(八+”+/?/+/?2).

圖形表面積公式

、、底面積：S欣=2幾戶，

、\\________A

圓柱側(cè)面積：S惻=2?！保?/p>

/?1r

O?

表面積：5=2兀/。+/)

\\、

y底面積：S底=?！海?/p>

圓錐側(cè)面積：S?=71/7,

，/ri(______

/

旋轉(zhuǎn)體□I:----------表面積：S=7t?〃+/)

上底面面積：S上欣=口'2,

\\

\

>下底面面積：S下底=兀/，

圓臺(tái)

/111_______

/側(cè)面積：S惻=冗(//+”)，

□1______

表面積：S=n(r'2+/-2+r,/+r/)

【知識(shí)點(diǎn)21】空間幾何體的體積

一、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

1.柱體的體積公式上三題（5為底面面積，。為高）.

2.錐體的體積公式V=gs4（S為底面面積，/?為高）.

3.臺(tái)體的體積公式P=；（S'力（S',S為上、下底面面積，方為高）.

4.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

I____I

V=Sh=P=§（S''1=V=-jSh.

二、球的表面積和體積公式

1.球的表面積公式S=4兀乃便為球的半徑）.

4

2.球的體積公式修=?九火3

三、球體的截面的特點(diǎn)

1.球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓.

2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的

主要途徑.

【例1?1】已知正六棱柱的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,則它的表面積為（）

A.48（3+6）B.48（3+2后）

C.24（5/6+5/2）D.144

【例1-2】已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為4和16,側(cè)棱長(zhǎng)為10,則該棱臺(tái)的側(cè)面積為

（）.

A.80B.240C.320D.640

【變式1-1】已知正四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）的底面邊長(zhǎng)為3cm,側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是3辰加，

則這個(gè)正四棱柱的表面積為（）

A.90cm2B.36y/5cm2C.72cm21）.54cm2

【變式1-2】棱長(zhǎng)為1的正四面體的表面積為（）

A.百B.2百C.35/3D.4"

【例2-1］底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱柱的體積是（）

A.J3B.1C.-D.-

23

【例2-2］一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長(zhǎng)為31的直角三角形，俯視

圖是半徑為1圓心角為二的扇形，則該幾何體的表面積是（）

罷

【變式2-1］如圖，已知高為3的棱柱ABC-的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形,則三棱錐ABC

的體積為（）

【變式2-3】正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和京都等于2,則該四棱錐的體積為（）

26R2&r8nR

333

【變式2-4］如圖，正三棱錐P—ABC的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3.

（1）求正三棱錐尸—A3C的表面積;

（2）求正三棱錐P—A8C的體積.

【例3】若圓錐的軸截面是頂角為120。的等腰三角形,且圓錐的母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面枳為（）

A.岳B.2兀C.2岳D.4信

【變式3-1】圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180。，那

么圓臺(tái)的表面積是cm2.（結(jié)果中保留兀）

【變式3-2】把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）

A.10B.10^C.10V2D.58

【例4】已知圓錐的母線長(zhǎng)為5,底面周長(zhǎng)為6萬(wàn)，則它的體積為（）

A.10萬(wàn)B.12乃C.15萬(wàn)D.36〃

【變式4】將半徑為3,圓心角為弓的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）

A.乃B.2近幾C.3〃D.更2萬(wàn)

3

【例5-1】已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的表面積之比

為（）

nn工

A.B.c.D.71

~2271

【例5-2】已知一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，且這個(gè)正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為2五，

求這個(gè)球的表面積（）

A.4萬(wàn)B.8萬(wàn)C.12乃D.24萬(wàn)

【變式5-1】棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球的表面積為（）

4乃[-

A.4乃B.—C.12乃D,4&

【變式5-2】將一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件,則可能制作的最大零件的體積為（）

927n

A.9^cm3B.—Tran3C.9>/2^cm3D.―--乃cn?

【例6】如圖，一個(gè)無(wú)蓋的器皿是由棱長(zhǎng)為3的正方體木料從頂部挖掉一個(gè)直徑為2的半球而成（半

球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積S為（）

C.54+萬(wàn)D.54+3〃

【變式6】某組合體如圖所示，匕半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-EFGH.

正四棱錐P-EFG”的高為道，EF=2,AE=\>則該組合體的表面積為（）

A.20B.4上+12C.16D.46+8

【例7-1】（外接球）（1）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為2a,“，〃，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表

面積為.

［2）求球與它的外切等邊圓錐（軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐）的體枳之比.

【例3-3】在正三棱錐S-4BC中，SA=2V7,AB=6,則該三棱錐外接球的直徑為（）

A.7B.8C.9D.10

【例3-4］（球的截面問(wèn)題）已知過(guò)球面上三點(diǎn)A,B,C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且

AC=BC=6,45=4,求球的表面積與球的體積.

【變式3-1】一倒置圓錐體的母線長(zhǎng)為10cm,底面半徑為6cm.

（1）求圓錐體的高；

（2）一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余的空間.

【變式3-2］長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為小，木,V15,則它的外接球表面積為.

【變式3-3】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為m頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積

為_(kāi)______

【變式3-4】三棱錐夕一人6。中，互相垂直，PA-PB-i,"是線段5c上一動(dòng)

點(diǎn)，若直線40與平面P8C所成角的正切的最大值是:二，則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積是

2

（）

A.2冗B.4萬(wàn)C.8萬(wàn)D.167r

【變式3-5]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的外接球的表

俯視圖

16冗

A.——B.—C.4迅乃D.6兀

33

【變式3-6】三棱錐尸―ABC中，PCJ_平面48C,且A3=BC=CA=PC=2,則該三棱錐的

外接球的表面積是（）

冗.16728萬(wàn)

A.—B.4乃C.-------D.-------

333

課后練習(xí)題

1.長(zhǎng)方體的高為2,底面積等于12,過(guò)不相鄰兩側(cè)棱的截面（對(duì)角面）的面積為10,則此長(zhǎng)方體的

側(cè)而積為（）

A.12B.24C.28D.32

2.一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為退，則該正四棱錐的全面積為

A.8B.12C.16D.2C

3.由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)

都相等的四棱錐），四個(gè)側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為

A.80921B.4046m*

C.24276m3D.12138帆3

4.《九章算術(shù)》問(wèn)題十：今有方亭,下方五丈，上方四丈.高五丈.問(wèn)積幾何（今譯：已知正四棱臺(tái)

體建筑物（方亭）如圖，下底邊長(zhǎng)。=5丈，上底邊長(zhǎng)8=4丈.高。=5丈.問(wèn)它的體積是多少立方

.305320400

A.75B.---C.---D.

33亍

5.圓柱底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則圓柱側(cè)面積為（）

A.4乃B.37rC.5不D.2,7

6.已知圓柱的底面半徑為1,若圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為8萬(wàn)，則圓柱的高為_(kāi)___

7.把一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體木塊，切出一個(gè)最大體積的圓柱，則該圓柱的體積為（）

27r

A.B.乃C.2萬(wàn)D.4加

T

8.在正方體A8CO—A笈GR中，三棱錐4-的表面積為46，則正方體外接球的體積為

()

A.4&B.府C.32岳D.8限九

9.正三棱柱有一個(gè)半徑為J§cm的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.

A.96cm3B.54cm③C.27cm3D.185/3cm3

10.如圖所示，球內(nèi)切于正方體.如果該正方體的棱長(zhǎng)為a,那么球的體積為（)

C.—1).—71a

26

8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

【知識(shí)點(diǎn)一】空間幾何體的表面積

一般地，我們可以把多面體展開(kāi)成平面圖形，求出展開(kāi)圖中各個(gè)小多邊形的面積，然后相加即為多面

體的表面積.

1.直棱柱和正棱錐的表面積

（1）直棱柱的側(cè)面積

①的棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.

②直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于直棱柱的底面周長(zhǎng)％寬等于直棱柱的高兒因此，

直棱柱的側(cè)面積是Sa.^am=ch.

③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.

（2）正棱錐的側(cè)面積

①如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱

錐,正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.

②枝錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由各個(gè)側(cè)面組成的，展開(kāi)圖的面積就是棱錐的側(cè)面積.如果正棱錐的底面周長(zhǎng)

為。，斜高（即側(cè)面等腰三角形底邊上的高）為〃'，它的側(cè)面積是S正收件,.

2.正棱臺(tái)的表面積

正棱錐被平行于底面的平面所微，微面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái).與正棱錐的側(cè)面積公式類(lèi)似,

若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長(zhǎng)分別為c',C,斜高為〃'，則其側(cè)面積是S正植3例=氐。+。')〃'.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積

【推導(dǎo)圓柱側(cè)面積及表面積】Sn=2mi,S&=2w(r+/).

【推導(dǎo)圓錐側(cè)面積及表面積】底面周長(zhǎng)是2w,利用扇形面積公式得

S?(=gX271z/=7C”，S友=九戶+冗"=加(尸+/).

【推導(dǎo)圓臺(tái)側(cè)面積及表面積】由題圖知，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧

長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，則七=￡解得x=六/.

x-rlKK-r

5用壞=5大扇形一$小威形=3。+/)乂2成一5乂2"=兀［(左—0彳+利=北&+m/，

所以S?<7M=7t(r+/?)/,S園C在=幾(八+”+/?/+/?2).

表面積公式

底面積：S欣=2幾戶，

側(cè)面積：S惻=2兀”，

表面積：5=2兀?〃+/)

底面積：S成=冗/，

側(cè)面積：Sw=nrl,

表面積：S=7t?〃+/)

上底面面積：S上欣=口'2,

下底面面積：S下底=兀/，

側(cè)面積：S惻=冗(//+/?/),

表面積：S=n(r'2+?-24-r//+r/)

【知識(shí)點(diǎn)21】空間幾何體的體積

一、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

1.柱體的體積公式3MS為底面面積，〃為高）.

2.錐體的體積公式P=；S〃（S為底面面積，h為高）.

3.臺(tái)體的體積公式P=|（S'+，尹,S為上、下底面面積，力為高）.

4.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

V=Sh<^=夕=如+-\/F-S+5）A=^>y-Sh.

二、球的表面積和體積公式

1.球的表面積公式5=4兀乃便為球的半徑）.

4

2.球的體積公式修=?九火3

三、球體的截面的特點(diǎn)

1.球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓.

2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的

主要途徑.

【例1?1】已知正六棱柱的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,則它的表面積為（）

A.48（3+6）B.48（3+2后）

C.24（5/6+5/2）D.144

【解析】由題知側(cè)面積為6x6x4=144,兩底面積之和為2X@X42X6=48Q，所以表血枳

4

S=48（3+6）.故選：A.

【例1-2】已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為4和16,側(cè)棱長(zhǎng)為10,則該棱臺(tái)的側(cè)面積為

（）.

A.80B.240C.320D.640

【解析】由題意可知，該棱臺(tái)的側(cè)面為上下底邊長(zhǎng)為4和16,腰長(zhǎng)為10的等腰梯形

等腰梯形的高為：41（）2一16-4

2

等腰梯形的面積為：S'=gx（4+16）x8=80.,?棱臺(tái)的側(cè)面積為：S=36=3x80=240

本題正確選項(xiàng)：B

【變式1-1】已知正四棱柱（即底面是正方形的宜棱柱）的底面邊長(zhǎng)為3cm,側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是3限相，

則這個(gè)正四棱柱的表面積為（）

A.90cm2B.36y/5cm2C.72a/D.54cm2

【答案】A

【解析】由題意側(cè)棱長(zhǎng)為J（365一3：=6.所以表面積為:5=4x3x64-2x32=90（c/n2）.故選:

A.

【變式1-2】棱長(zhǎng)為1的正四面體的表面積為（）

A.6B.2石C.373D.46

【答案】A

【解析】如圖

由正四面體的概念可知，其四個(gè)面均是全等的等邊三角形，由其棱長(zhǎng)為1,

所以Ssc=l4氏4C?sin60°=］叵，所以可知：正四面體的表面積為4sAec=百，

/loC2/?t>C

故選：A

【例2-1］底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱柱的體積是（）

1

A.Vr3B.1C.—D.-

23

【答案】A

【解析】底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱柱的體積是（#x22）xl=6故選：A

【例2-2]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長(zhǎng)為久的直角三角形，俯視

圖是半徑為L(zhǎng)圓心角為受的扇形，則該幾何體的表面積是（）

輯

正視圖他視圖

俯視圖

A.史會(huì)廄B.%升遭C.叵》叵

【分析】試題分析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓錐的工，其中圓錐的底面半徑是1,高是

4

y/4—l=6,

從而可得該幾何體的表面積是考子梅，故選A.

榭

【變式2?1]如圖，已知高為3的棱柱ABC-A^C,的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形,則三棱錐4-ABC

的體積為（）

【答案】C

【解析】三棱錐用一ABC的體積為：l.sA&c/=』x'xlxlx迫乂3=@故選：C

3ABe3224

【變式2-3】正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2,則該四棱錐的體積為()

、2上R2>/2r8

333

【答案】c

【解析】???正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2,

1

V=Lsh=-x2x2=-

???該四棱錐的體積333.故選：c.

【變式2-4］如圖，正三棱錐戶一ABC的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3.

(I)求正三棱錐P—ABC的表面積；

(2)求正三棱錐尸—A3C的體積.

【答案】(1)6五+百；(2)叵.

3

【解析】(1)取的中點(diǎn)仇連接PD，

在Rt△尸B0中，可得PD=JPB?一BD?=2&?

:.S&PBC=*PD=2日

???正三棱錐的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，

???正三棱錐P-ABC的側(cè)面積是3sA*>pV”=60.

???正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，?..SAA8c?=gx2x2xsin600二道.

則正三棱錐P—ABC的表面積為60+6；

(2)連接40,設(shè)。為正三角形A8C的中心，則尸0_L底面48c.

且OD=—AD=■

33

在RtOPOD中，PO=ylPD2-OD2.

3

???正三棱錐P-ABC的體積為:S^AbCPO=^~.

【例3】若圓錐的軸截面是頂角為120°的等腰三角形，且圓錐的母線長(zhǎng)為2,則該圓錐的側(cè)面積為()

A.岳B.2兀C.2&D.4信

【答案】C

【解析】如圖圓錐的軸截面是頂角為120。，即NAPO=60。，AP=2,NPQ4=90°,

所以AO=J5，所以圓錐的側(cè)面積為萬(wàn)XAOXPA=24T.

故選：C.

【變式3-1】圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180。，那

么圓臺(tái)的表面積是cn?.（結(jié)果中保留n）

【答案】1100兀

【解析】如圖所示，

設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c,因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180。，

故C=TCX弘=27CX10,所以弘=20.

同理可得S8=40.所以力8=S8—S4=20,

所以S表面枳=S刪+S上+S]=冗（=1+，?2）>：48+冗/彳+冗”

=武10+20）X20+冗X1。2+元X2（）2=11007t（cm2）

故圓臺(tái)的表面積為110071cm2.

【變式3-2】把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）

A.10B.10A/3C.10>/2D.5x/3

【答案】B

【解析】半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為2/ZT=〃X20,

所以底面圓的半徑為尸10,

所以圓錐的高為力=12（）2—IO?=10后.

故選：B

【例4】已知圓錐的母線長(zhǎng)為5,底面周長(zhǎng)為6萬(wàn)，則它的體積為（）

A.10萬(wàn)B.12乃C.154D.36%

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為八高為力，

因?yàn)榈酌嬷荛L(zhǎng)為6乃，所以2萬(wàn)廠=64，解得〃=3,

又因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為5,所以爐4,所以圓錐的體積是丫=?。?〃=12笈故選：B

3

【變式4】將半徑為3,圓心角為與的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）

A.乃B.2也冗C.34D.刎2萬(wàn)

3

【答案】D

【解析】由扇形弧長(zhǎng)公式可求得弧長(zhǎng)L==x3=2萬(wàn)，.?.圓錐底面周長(zhǎng)為2乃，

3

「?圓錐底面半徑廠=1,.?.圓錐的高〃=J32_\=2應(yīng),

圓錐的體積V=—^r2.h=2071.

33

故選：D.

【例5-1】已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的表面積之比

為（）

A〃R"「豆n"

A.—B.-C.--71D.--冗

32212

【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為此則==

2

球的表面積為S1=4TFR23"/，正方體的表面積為S2=6/,

51_3

=—.故選：B

~S.~6a22

【例5?2】已知一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，且這個(gè)正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為2夜,

求這個(gè)球的表面積（）

A.4乃B.8乃C.12萬(wàn)D.24萬(wàn)

【解析】設(shè)該正三棱維為A—BCD,將三棱錐A—58補(bǔ)成正方體AEB產(chǎn)一GCHD，如卜.圖所示:

H

則正方體AEBF-GCHD的棱長(zhǎng)為衛(wèi)2&=2，該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2G，

9

所以，正三棱錐A-38的外接球直徑為2R=26，可得R=G，

該球的表面積為S=4;TR2=12乃.

故選：C.

【變式5-1】棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球的表面積為（）

4乃[-

A.4乃B.—C.12乃D,4&

【答案】C

【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，所以2/?=26,解得R=6，

所以球的表面積為：5=4〃/?2=12%.故選：C

【變式5?2】將一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）

997

A.9^cm3B.—^cm3C.9>/2^cm3D.--------^cm3

【答案】B

3

【解析】正方體的校長(zhǎng)為3cm,所以球體最大體積的半徑z?二一cm,

2

所以球的體積：V=3%，=2￡C7H3.故選：B

32

【例6】如圖，一個(gè)無(wú)蓋的器皿是由棱長(zhǎng)為3的正方體木料從頂部挖掉一個(gè)直徑為2的半球而成（半

球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積S為（）

C.54+萬(wàn)D.54+3%

【答案】C

【解析】器皿的表面積是棱長(zhǎng)為3的正方體的表面積減去半徑為1的圓的面積，再加上半徑為1的半

球的表面積，即器皿的表面積

S=6x（3x3）-^xl2+^x（4^-xl2）=54-^+2^=54+.

故選：C.

【變式6】某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐P—EFGH,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-EFGH.

正四棱錐P-E/G”的高為6，EF=2,AE=b則該組合體的表面積為（）

A.20B.4石+12C.16D.4相+8

【答案】A

【解析】由題意，正四棱錐尸一瓦6”的斜高為底1=2,該組合體的表面積為

2x2+4x2xl+4x—x2x2=20.

2

故選：A

【例7-1】（外接球）（1）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表

面積為.

12）求球與它的外切等邊圓錐（軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐）的體積之比.

【答案】（1）6na2

解析長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為叱2靖

得球的半徑為乎a,則球的表面積為4萬(wàn)償，2=6”次

（2）解如圖，等邊△力比?為圓錐的軸截面，截球面得圓0.

\——

/

/rnr

/.口=

設(shè)球的半徑龐1=〃'如=/?后=2如=2兄

:?AD=0A+0D=2R+R=3R,BD=AD^tan300

4111

，，球=可“川，rio=7Ji?9火力。=鼻丸（、/3M2x3A=3Ji",

JJJ

?,?/球：Vi?ffl.=49.

【例3-3】在正三棱錐S—ABC中，SA=2V7,AB=6,則該三棱錐外接球的直徑為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】作AA8C的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作外接圓的直徑CM,連接PM,則PM為三棱錐P-ABC的外接

球的直徑，如圖所示；

-AB=BC=CA=2

2_4

???CM=

sin60。一耳

又FCIT-HUABC

：.PC±CM

APM2=PC2+CM2=4+y=y,即尸M2=（2R）

—半，故選D.

【例3-4】（球的截面問(wèn)題）己知過(guò)球面上三點(diǎn)4B,C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且

AC=BC=6,48=4,求球的表面積與球的體積.

【答案】如圖所示，設(shè)球心為。，球半徑為R,作OOi_L平面力8c于點(diǎn)Oi,由于O4=O8=OC=&,

則01是△48。的外心，設(shè)M是48的中點(diǎn)，由于/C=8C,則OiCCM.設(shè)OM=x,易知0畫(huà)_1_/18,

則?！?卷百，

>,

/口

/□■：—

22

0\C=CM-0]^=^6-2-X.

又OM=O]C,/.山2+f=^62—22—x,解得x

O\A=O]B=O]C=^^-.

在RtZXOOM中，0|0=y,Z001^=90°,OA=R,

由勾股定理得⑨2+(乎卜R2,解得好乎，

4r-

則S雙=4兀A?=54兀,V雙=至/i3=27y1611.

【變式3-1】一倒置圓錐體的母線長(zhǎng)為10cm,底面半徑為6cm.

(1)求圓錐體的高；

(2)一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余的空間.

【答案】(1)設(shè)圓錐的高為力，底面半徑為兄母線長(zhǎng)為/,

則h=?T2-^=<\/102—62=8(cm).

⑵球放入圓錐體后的軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為八

/?

/1-11----

/■口,二

LA,,qOD0C

由9s△4S,得⑺一”

/11A/iC

r8—r

所以3=玉廠，解得T=3.

01U

因?yàn)閳A錐體剩余的空間為圓錐的體積減去球的體積，

所以『推一夕球=JxnX62X8--nX33

KJJ

=96n—36n=60n(cm3).

【變式3-2】長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為小，小,仃,則它的外接球表面積為

【答案】9元

【解析】設(shè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,C,

(cib=y[3,(4=小，

則｛兒=/，解得｛6=1,

[ac=3^，1。=乖，

???外接球半徑為止盧=*

???外接球表面積為4nX即=9n.

4

【變式3-3】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為。，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積

為.

【答案】三7兀一0

【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，均為a如圖，〃為三棱柱上底面

的中心，0為球心，易知小=羯坐8=孚&

7

所以球的半徑"=〃力滿足片=故S抄=4Ji.^=-31片.

乙15

【變式3-4】三棱錐尸一ABC中，PAPB,PC互相垂直，PA=PB=\,M是線段BC上一動(dòng)

點(diǎn)，若直線AM與平面P5C所成角的正切的最大值是二二，則三棱錐尸-A3C的外接球的表面積是

2

()

A.2萬(wàn)B.4"C.8乃D.164

【答案】B

【解析】M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM,???PAP8,PC互相垂直，???NAMP就是直線AM與

平面P8C所成角，當(dāng)尸例最短時(shí)，即尸M_LBC時(shí)直線AM與平面P8C所成角的正切的最大.

此時(shí)—=—,PM=—,在直角△PBC中，

PM23

PBPC=BCPMnPC=Vl+PC2x—=>PC=0.

3

三棱錐尸-ABC擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為J1+1+2=2,

???三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R=1,

???三棱錐P—A3C的外接球的表面積為4乃/?2=4%.選B.

【變式3-51一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的外接球的表

面積為（）

A."B.竺C.4岳D,岳

33

【解析】A

由已知中知幾何體的正視圖是個(gè)正三角形，側(cè)視圖和俯視圖均為三角形，可得該幾何體是有一個(gè)側(cè)

面尸AC垂直于底面，高為6，底面是一個(gè)等腰直角三角形的三棱錐，如圖，則這個(gè)幾何體的外接球

的球心。在高線PD上,且是等邊三角形PAC的中心，這個(gè)幾何體的外接球的半徑/?=-PD=—,

33

<廠、2

則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為S=4^R2=4^X辿=—，故選A.

33

【變式3-6】三棱錐P—A3C中,PC_L平面48C,且AB=3C=CA=PC=2,則該三棱錐的

外接球的表面積是（）

7t.16冗28乃

A.—B.4萬(wàn)C.------

33~Y

【答案】D

【解析】作A48C的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作外接圓的直徑CM,連接PM,則PM為三棱錐P-ABC的外接

球的直徑，如圖所示；

-AB=BC=CA=2

2_4

??.CM=

sin60°x/3

又PC_L平面ABC

；?PC工CM

.-.PM2=PC2+CM2=4+y=y,即/W2=（2R）2

，故選D.

課后練習(xí)題

1.長(zhǎng)方體的高為2,底面積等于12,過(guò)不相鄰兩側(cè)棱的截面（對(duì)角面）的面積為10,則此長(zhǎng)方體的

側(cè)面積為（）

A.12B.24C.28D.32

【答案】C

【解析】設(shè)長(zhǎng)方體底面矩形的長(zhǎng)與寬分別為則必=12.

又由題意知爐萬(wàn)x2=10,解得a=48=3或a=3,b=4.

故長(zhǎng)方體的側(cè)面積為2X（4+3）X2=28.

故選：C.

2.一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為百，則該正四棱錐的全面積為

A.8B.12C.16D.2C

【答案】B

【解