七年級數(shù)學(xué)下冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：不等式與不等式組

專題10《不等式與不等式組》解答題重點(diǎn)題型分類

專題簡介：本份資料專攻《不等式與不等式組》中“求一元一次不等式組中待定字母的值的

情況”、“利用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題”、“方程組與不等式組相結(jié)合解決實(shí)

際問題”、“利用不等式計(jì)算獲利問題”、“運(yùn)用一元一次不等式組進(jìn)行方案設(shè)計(jì)”解答題

重點(diǎn)題型；適用于老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用或者考前刷題時(shí)使用。

考點(diǎn)1:求一元一次不等式組中待定字母的值的情況

方法點(diǎn)撥：

小等式組（a>b）解集在數(shù)軸上的情況不等式組的解集口訣

x>a

①4-4—x>a同大取大

-x<a

—*——>x<b同小取小

鉗.x<bba

x<a

③4---*--------Ab<%<a大小交叉中間找

-x>bb------a

-x>a

④V——*------1------>無解（空集）大小分離無處找

、x〈bba

\2x—m>\

1.已知關(guān)于X的不等式組°,1

[3x-2"?<-1

（1）如果不等式組的解集為6<x<7,求加的值;

（2）如果不等式組無解，求加的取值范圍；

【答案】（1）11；（2）m<5

m+17777—1

【分析】（1）解兩個(gè)不等式得出X>亍且,根據(jù)不等式組的解集為6<X<7得

加+1,

----=6

2

解之可得答案;

2m-1

3

（2）根據(jù)不等式組無解，利用“大大小小找不到“可得，解之可得答案?

【詳解】解：（1）由2X-W>1,得：,

解不等式3x-2加<-1,得：x<-^—,

???不等式組的解集為6<x<7,

m+\

----二o

2

?**].I9

2mr

--------=7

[3

解得m=11；

(2)?.?不等式組無解，

.m+12m—1

"23，

解得見，5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找;

大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

2.對于任意實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算：a#b=a-3b+l,等式右邊是通常的加減運(yùn)算.例

如：3#5=3-3x5+7.

(1)求5#x>0解集；

(2)若3加<2#x<7有解,求x的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若x的解集中恰有3個(gè)整數(shù)解，求加的取值范圍.

2

【答案】(1)x<4；(2)-<x<3-m;(3)-l<w<0

【分析】(1)根據(jù)新定義得出關(guān)于x的不等式，解之即可；

(2)根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式組，再分別求解即可得出其解集；

(3)由不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)得出關(guān)于根的不等式組，再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解：(1)由題意得5-3x+7>0,

解得x<4；

⑵由社思，侍：[2-3x+7>3加②'

解不等式①，得：X>§，

解不等式②，得：x<3-m,

則不等式組的解集為;

(3)?.?該不等式組有3個(gè)整數(shù)解，

?■-3<3-m<4,

解得-心機(jī)<0.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同

大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

3.已知不等式;(x-加)>.

⑴若其解集為x>3,求加的值；

(2)若滿足x>3的每一個(gè)數(shù)都能使已知不等式成立，求加的取值范圍.

【答案】(1)"?=1.5；(2)m>\.5

【分析】(1)根據(jù)已知等式求出加的范圍即可；

(2)根據(jù)題意確定出7〃的范圍即可.

【詳解】解：(1)不等式整理得:x-加>6-3加，

解得:x>6-2m,

由不等式的解集為x>3,

得到6-2加=3,

解得:加=1.5;

(2)由滿足x>3的每一個(gè)數(shù)都能使已知不等式成立,

得到6-2加＜3,

解得:加21.5

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

fx+a>0

4.若不等式組?.有3個(gè)整數(shù)解，則。的取值范圍是多少.

[1—2x>x—2

【答案】2<a<3

【分析】先求出不等式組解集，然后再根據(jù)已知不等式組有3個(gè)整數(shù)解，列出不等式組確定

。的取值范圍即可.

fx+a>0①

【詳解】解：

[1—2x>x—2^2)

解不等式①得：x與a,

解不等式②x<l,

??.不等式組的解集為

???不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，

*'?-3V-ag-2,

解得：2<a<3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式(組)，不等式組的整數(shù)解等知識點(diǎn)，能根據(jù)不

等式組的解集得出關(guān)于。的不等式組是解答本題的關(guān)鍵.

2x+15x—3

------------------<1

5.不等式組36的解集是關(guān)于x的一元一次不等式辦>-1解集的一部分，求。

|21歸5

的取值范圍.

【答案】--<a<\

2x+l5x-31

------------------<I

【分析】先求出不等式組36的解集為-l<xW3,然后分別討論當(dāng)。>0時(shí),

『歸5

2x+l5x-31

------------------<I

當(dāng)。<0時(shí)，當(dāng)。=0時(shí)，不等式辦>-1的解集，然后根據(jù)不等式組36的解集

|2x-l|<5

是關(guān)于x的一元一次不等式辦>-1解集的一部分進(jìn)行求解即可.

2x+l5x-3

------------------<1①

【詳解】解：36

|2x-l歸5②

解不等式①得：x>-l,

解不等式②得：-2WxW3,

??.不等式的解集為-1<XW3,

ax>-l,

二當(dāng)4〉0時(shí)，X>

a

2x+l5x-31

------------------<I

???不等式組36的解集是關(guān)于x的一元一次不等式辦>-1解集的一部分,

『歸5

0<?<1；

同理當(dāng)。<0時(shí)，x<--,

a

2x+l5x-31

------------------<I

???不等式組36的解集是關(guān)于x的一元一次不等式辦>-1解集的一部分,

『I。

a

—<a<0；

3

當(dāng)。=0時(shí)，0>-1恒成立，即關(guān)于X的一元一次不等式的解集為一切實(shí)數(shù)，

2x+l5x-31

------------------<I

此時(shí)也滿足不等式組36的解集是關(guān)于x的一元一次不等式解集的一

|2x-l|<5

部分，

二綜上所述，——<a<\.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟

練掌握解不等式的方法.

6.已知關(guān)于x的不等式4(x+2)-2>5+3。的解都能使不等式>"Q；+3)成立,

求a的取值范圍.

【答案】

【分析】先求出不等式4(x+2)-2>5+3a的解集，再根據(jù)不等式>"(2；+3)用。

表示出x的取值范圍，最后解不等式組即可求出a的取值范圍.

【詳解】解：解不等式4(x+2)-2>5+3a得：也

(3〃+l)xa(2x+3)

解得：X.

3a-l9a

一4T

解得:%，

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式，正確理解不等式的解集是解此題的關(guān)鍵.

4(2x-l)+2>lx,

7.已知關(guān)于x的不等式組6x-a,

x<--------+1.

I7

(1)若該不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，求。的取值范圍；

(2)若不等式組有解，且它的解集中的任何一個(gè)值均不在5的范圍內(nèi)，求。的取值范

圍.

【答案】(1)1<6/<2；(2)2<a<5

【分析】(1)先求出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解求出整數(shù)解，

得出關(guān)于a的不等式組，從而求解；

(2)結(jié)合不等式組有解及它的解集中的任何一個(gè)值均不在無》5的范圍內(nèi)，得出關(guān)于。的不

等式組，從而求解.

【詳解】解：⑴解不等式4(2x-l)+2>7x,得x>2.

解不等式無<如』1,%x<l-a,

7

???該不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，

??.這三個(gè)整數(shù)解為3,4,5.

5<7-a<6.

?1?1<a<2.

（2）?.?該不等式組有解，由（1）知7-a>2.

???該不等式組的解集為2<x<7-a.

又它的解集中的任何一個(gè)值均不在x25的范圍內(nèi)，

■"-7-a<5.

[7-a>2

解不等式組/〈得符合題意的。的取值范圍為2Wa<5.

[7-aV5

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組和不等式的整數(shù)解，根據(jù)題意列出不等式，熟知

“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

8.若一個(gè)不等式（組）/有解且解集為a<x<b（a<b）,則稱個(gè)為《的解集中點(diǎn)值，若/

的解集中點(diǎn)值是不等式（組）8的解（即中點(diǎn)值滿足不等式組），則稱不等式（組）5對于

不等式（組）A中點(diǎn)包含.

[2x-3>5

（1）已知關(guān)于x的不等式組44,以及不等式&-l<x<5,請判斷不等式3

[6—x>0n

對于不等式組/是否中點(diǎn)包含，并寫出判斷過程；

（2）已知關(guān)于X的不等式組C：<1AQ]和不等式。：I17.,若。對于不

[3x-16<9m-l[3x-13<5m

等式組。中點(diǎn)包含，求冽的取值范圍.

[x>2n[x-n<5

（3）關(guān)于X的不等式組E：c（〃<加）和不等式組產(chǎn)：C0，若不等式組產(chǎn)

[x<2m[2x-m>3n

對于不等式組E中點(diǎn)包含，且所有符合要求的整數(shù)加之和為9,求"的取值范圍.

【答案】（1）不等式8對于不等式組工是中點(diǎn)包含，見解析；（2）-3<加<16；（3）

l<n<2

【分析】（1）先解不等式組再按照要求求中點(diǎn)，再判斷中點(diǎn)是否在3不等式中即可.

（2）先解不等式組C、D,再根據(jù)C組的中點(diǎn)在。不等式組中建立不等式，再解出m取值

范圍.

（3）先解不等式組￡、F,再根據(jù)E組的中點(diǎn)在尸不等式組中建立不等式，再解出機(jī)取值

范圍，再根據(jù)符合要求的整數(shù)加之和為9,縮小機(jī)取值范圍從而確定n取值范圍.

（2x-3>5

【詳解】（1）解不等式組/：<得4<x<6,

[6-x>0n

二中點(diǎn)值為x=5

又rx=5在不等式8：T<x45范圍內(nèi)，

不等式8對于不等式組/是中點(diǎn)包含

（2）解不等式C得：加-3<x<3加+5

m-3+3m+5

二不等式組c中點(diǎn)為:---------=2m+l

2

解不等式。得：加一4<了<獨(dú)言

v2m-1位于機(jī)-4和5"+13之間

3

，時(shí)4<2加-1〈迦江

3

解得：-3<m<16

（3）解不等式組E得：2n<x<2mf則中點(diǎn)值為什加

解不等式組尸得：加產(chǎn)令<5+〃

3n+m

-----<n+m<5+n

2

m<5

n<m

???所有符合要求的整數(shù)m之和為9

???加可取43,2

1<H<2

【點(diǎn)睛】本題考查新定義概念的運(yùn)用與求解，實(shí)際還是在考查不等式組的解法和不等式的性

質(zhì)，掌握好不等式組的解法和不等式性質(zhì)是本題解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)2：利用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題

方法點(diǎn)撥：列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似，即：（1）審:

認(rèn)真審題，找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小

于”、“不大于”、“不小于”等含義；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）

列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；

（5）答：寫出答案，并檢驗(yàn)答案是否符合題意。

1.在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)加-4,；川+：）在第二象限，求加的取值范圍.

【答案】-3〈加<2

【分析】根據(jù)第二象限點(diǎn)的符號特征（-,+）,可列出關(guān)于m的不等式組，求解即可.

2m-4<0①

【詳解】解：根據(jù)題意，列不等式組1齊。②

—m+

12

解不等式①，得乙<2,

解不等式②，得〃?>-3,

.?.別的取值范圍是-3<wt<2.

【點(diǎn)睛】本題考查了象限點(diǎn)及一元一次不等式組，由象限點(diǎn)的符號列出不等式組是解題的關(guān)

鍵.

2.眾志成城抗疫情，全國人民在行動(dòng).某公司決定安排大、小貨車共20輛，運(yùn)送260噸物

資到/地和8地，支援當(dāng)?shù)乜箵粢咔?每輛大貨車裝15噸物資，每輛小貨車裝10噸物資,

這20輛貨車恰好裝完這批物資.已知這兩種貨車的運(yùn)費(fèi)如下表：

目的地車型4地（元/輛）8地（元/輛）

大貨車9001000

小貨車500700

現(xiàn)安排上述裝好物資的20輛貨車中的10輛前往/地，其余前往3地，設(shè)前往/地的大貨

車有x輛，這20輛貨車的總運(yùn)費(fèi)為y元.

（1）這20輛貨車中，大貨車、小貨車各有多少輛？

（2）求〉與x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍；

⑶若運(yùn)往N地的物資不少于140噸，求總運(yùn)費(fèi)y的最小值.

【答案】（1）大貨車、小貨車各有12與8輛

（2）y=100x+15600（2<x<10,x為整數(shù)）

（3?的最小值16400元

【分析】（1）設(shè)大貨車、小貨車各有機(jī)與〃輛，根據(jù)題意列二元一次方程組，解方程組求

解即可；

（2）根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意寫出不等式組的解集，即可求得x的取值范

圍；

（3）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值即可

（1）設(shè)大貨車、小貨車各有機(jī)與“輛,

15加+10〃=260

由題意可知:

m+n=20

m=12

解得:

〃=8

答：大貨車、小貨車各有12與8輛

（2）設(shè)到/地的大貨車有x輛，

則到/地的小貨車有（10-x）輛，

到8地的大貨車有（12-x）輛，

到8地的小貨車有（x-2）輛，

.,少=900x+500(10-x)+1000(12-x)+700(x-2)

100x+15600,

10-x>0

依題意,

x—220

2<x<10

其中2WxW10,x為整數(shù).

(3)運(yùn)往/地的物資共有［15x+10(10-x)］噸,

15x+10(10-x)>140,

解得：解8,

?--8<x<10,x為整數(shù)，

?.?左=100>0,，當(dāng)x=8時(shí)，y有最小值，此時(shí)>=100x8+15600=16400元，

答：總運(yùn)費(fèi)最小值為16400兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用是解

題的關(guān)鍵.

3.已知某校六年級學(xué)生超過130人，而不足150人，將他們按每組12人分組，多3人，將

他們按每組8人分組，也多3人，該校六年級學(xué)生有多少人？

【答案】147

【分析】由12和8的最小公倍數(shù)為24,可設(shè)該校六年級學(xué)生有(24x+3)人，根據(jù)“該校六

年級學(xué)生超過130人，而不足150人”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得

出x的取值范圍，結(jié)合x為正整數(shù)即可確定x的值，再將其代入(24x+3)中即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：「IZ和8的最小公倍數(shù)為24,

???設(shè)該校六年級學(xué)生有(24x+3)人.

24x+3>130

依題意，得:

24x+3<150

71

解得：5—<x<6—.

24o

又?.*為正整數(shù)，

■?■x=6,

.??24x+3=147(人).

答：該校六年級學(xué)生有147人.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組.解題的關(guān)鍵在于通過確定兩數(shù)的最小公倍數(shù)得到數(shù)

量關(guān)系，正確的列不等式組.

4.如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬20cm,長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬

19

度比為2:1.如果要使彩條所占面積是圖案面積的二，應(yīng)如何設(shè)計(jì)彩條的寬度？

【答案】豎彩條的寬度為1c加，橫彩條的寬度為2c加.

【分析】可設(shè)豎彩條的寬是沅如則橫彩條的寬是根據(jù)彩條所占面積是圖案面積的

三19可列方程求解，同時(shí)要考慮x的取值范圍.

【詳解】解：設(shè)豎彩條的寬為XC加，則橫彩條的寬為2xc加，則有：

j30-2x>0

[20-4x>0'

解得：0<x<5,,

且（30一2x）（20一4x）=30x20x]l一④，

整理得：x2-20x+19=0,

解得：肛=1,X2=19（不合題意，舍去），

2x=2.

答：豎彩條的寬度為1cm,橫彩條的寬度為2cm.

【點(diǎn)睛】此題考查的是一元二次方程的應(yīng)用：面積類問題及不等式組的應(yīng)用，掌握實(shí)際問題

中的等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.

5.某地為促進(jìn)淡水養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，決定對淡水魚的養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼，以使淡水魚的價(jià)格

控制在6?12元/kg之間.據(jù)市場調(diào)查，如果淡水魚的市場價(jià)格為。元/kg,政府補(bǔ)貼為1元

/kg,那么要使每日市場的淡水魚供應(yīng)量與需求量正好相等，/與。應(yīng)滿足關(guān)系式

100（a+/8）=270-3a.為使市場價(jià)格不高于10元/kg,政府補(bǔ)貼至少應(yīng)為多少？

【答案】政府補(bǔ)貼至少應(yīng)為0.4元

t

【分析】先將f與。應(yīng)滿足關(guān)系式100Ca+t-8）=270-30化為a=l°7：03叫然后根據(jù)

市場價(jià)格64罟浮￡w10,列出不等式求出最小值.

1

【詳解】提示：由題設(shè)，解得a=l°7：030a

1HK1070-100/?

根rt據(jù)[rt題意，得zn6AW———<110.

解：*與a應(yīng)滿足關(guān)系式100Ca+t-8）=270-3a,

1070-100/

r.a=--------------

103

.,1070-100/.

則n有64———<110,

解得：0.4<f<4.52.

答：政府補(bǔ)貼至少應(yīng)為0.4元/飯.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出不等式組,

求解不等式.

6.某長方體形狀的容器長5cm.寬3cm,高10cm.容器內(nèi)原有水的高度為3cm,現(xiàn)準(zhǔn)備向

它繼續(xù)注水.用廠（單位：cmD表示新注入水的體積，寫出「的取值范圍.

【答案】0<K<105.

【分析】水的總體積不能超過容器的總體積，列出不等式組求解.

【詳解】解：根據(jù)題意列出不等式組：

（V>0

[5x3x3+r<5x3xl0

解得：0<r<105.

【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式組的應(yīng)用，讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式組是解決本

題的關(guān)鍵.

7.某校計(jì)劃安排七年級全體師生參觀紅旗渠風(fēng)景區(qū)，現(xiàn)有36座和48座兩種客車（不包括

駕駛員座位）供選擇租用，若只租用36座客車若干輛，則正好坐滿；若只租用48座客車，

則能比租36座的客車少租1輛，且有1輛車沒有坐滿，但超過了30人，該校七年級共有師

生多少人？

【答案】該校七年級共有師生180人.

【分析】設(shè)需租用36座客車x輛，則該校七年級共有師生36x人，根據(jù)“若只租用48座客

車，則能比租36座的客車少租1輛，且有一輛車沒有坐滿，但超過了30人”，即可得出關(guān)

于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，結(jié)合x為整數(shù)即可確定x的值，將

其代入36x中即可求出該校七年級共有師生人數(shù).

【詳解】解：設(shè)需租用36座客車x輛，則該校七年級共有師生36x人，

36x>48（x-2）+30

由題意得:

36x<48（x-l）

解得：4<X<y,

又,:X為整數(shù)，

?'-x=5,

/.36x=36x5=180,

答：該校七年級共有師生180人.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確

列出一元一次不等式組.

8.如圖，是△4BC的高，5E平分乙42c交/C于點(diǎn)E.點(diǎn)下為射線C3上的動(dòng)點(diǎn)，連接

EF.

(1)若z￡8C=30。，Z1：Z2=1：2,乙FEC=6Q°.求證：EF\\AD；

(2)設(shè)zFEC=x。，Z2=6O°,當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，試求出x的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)0<x<60或90cx<150

【分析】(1)求出乙42C、41、42的度數(shù)，推出N2="EC,根據(jù)“同位角相等，兩直線平

行“即可證明EFWAD；

(2)先求出NC的度數(shù)，再分N尸EC和乙由C是鈍角兩種情況，根據(jù)不等式即可求出x的取

值范圍.

【詳解】解：(1)-；BE平分乙4BC,乙EBC=30。,

??.ZA8C=2NE8C=2X30°=60°,

?-AD是MBC的高，

；.UDB=UDC=90°,

在及4Ao中，

根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。得：

41=180°-90°-60°=30°.

vzl：z2=l：2,

.??42=60。，

???乙2=4比。=60。，

：.EF\\AD.

(2)vzs4Z)C=90o,z2=60°,

.-.zC=30°,

???要使△斯。是鈍角三角形，有兩種情況:

①"EC是鈍角，

.?zC=30。，

???90。〈乙砥CV150。，

即90<x<150.

②乙印。是鈍角，

..zC=30。，

?"FC=180。-x0-30。=150。-x°

.?.90°<150o-xo<180°,

角軍得：-30<x<60,

又TX>0,

?1?0<x<60.

綜上所述x的取值范圍為：0<xV60或90cx<150.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)與判定，鈍角三角

形的定義，理解以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：方程組與不等式組相結(jié)合解決實(shí)際問題

方法點(diǎn)撥：列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似，即：（1）審:

認(rèn)真審題，找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小

于”、“不大于”、“不小于”等含義；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）

列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；

（5）答：寫出答案，并檢驗(yàn)答案是否符合題意。

fx+>=2左+3

1.已知：方程組c_2,的解中，X是非負(fù)數(shù)，了是正數(shù).求整數(shù)上的值.

[2x-y=-1

【答案】0,1,2

'—k+2

x=-------

3

【分析】先加減消元法解二元一次方程求出力>根據(jù)x是非負(fù)數(shù)，歹是正數(shù).列不

7k+7

士匚20①

等式組:「解不等式組求出-1〈左W2即可.

X'o②

3

x+y=2左+3①

【詳解】解:

2x-y=-3k-l@

①+②得3x=-k+2,

解得X=*^,

,—左+2八、、7k+7

把'=---代入①得：=——

一女+2

x=-----

所以方程組的解為一3/「

???％是非負(fù)數(shù)，歹是正數(shù).

'320①

3

吆〉0②，

I3

解不等式得①人<2,

解不等式的②發(fā)>-1,

二-1〈左W2,

???左為整數(shù)，

整數(shù)/的值為O1,2.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解法，列不等式組與解不等式組，根據(jù)范圍確定整數(shù)解,

掌握二元一次方程組的解法，加減消元法與代入消元法，列不等式組與解不等式組，根據(jù)范

圍確定整數(shù)解是解題關(guān)鍵.

2.閱讀下列材料：

解答“已知無-y=2,且x>l,y<0,試確定x+y的取值范圍“有如下解法，

解：Tx-y=2,又?尤>1,；沙+2>1,即>>-1.

又y<0,-1<^<0...@

同理，得：1cx<2…②

由①+②，得-1+1<y+x<0+2,；.x+y的取值范圍是0<x+y<2.

請按照上述方法，完成下列問題：

f2x+y-l

已知關(guān)于x、y的方程組\,的解都為非負(fù)數(shù).

[x-y=5—3。

(1)求。的取值范圍.

(2)已知2a-6=-1,求a+6的取值范圍.

(3)已知若：<加<1,且后1,求。+6的取值范圍(用含機(jī)的代數(shù)式表

示).

311

【答案】(1)小42；(2)—<a+b<7；(3)3-m<a-\-b<4-m

22

【分析】（1）先把4當(dāng)作已知求出小天的值，再根據(jù)X、V的取值范圍得到關(guān)于4的一元

一次不等式組，求出。的取值范圍即可；

（2）根據(jù)閱讀材料所給的解題過程，分別求得db的取值范圍，然后再來求a+b的取值

范圍；

（3）根據(jù)（1）的解題過程求得4、6取值范圍，結(jié)合限制性條件得出結(jié)論即可.

f2x+y=1fx-2-a

【詳解】解：（1）解方程組[,得。，，

[x-y=5-3a[y=2a-5

?.?方程組的解都為非負(fù)數(shù)，

J2-a>0

,[2a-3>0'

3

解得2；

（2）v2tz-b=-1,

b-\

解得4劭35,

11,

3

(3)'-'a-b=m,—<a<2,

2

33

即巳-m<b<2-m,

2

??-3-m<a-\-b<4-m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的求解，不等式的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題

的關(guān)鍵.

3.（1）閱讀下面問題的解答過程并補(bǔ)充完整.

問題：實(shí)數(shù)%,歹滿足%—歹=2,x+y=af且%>1,歹<0,求。的取值范圍.

a+2

[x-y=2X~2

解：列關(guān)于工,歹的方程組，解得又因?yàn)閤>l,歹<0,所以

\x+y=aa-2

y=----

2

a+2

------>1

(2)已知、一歹=4,且x>3,y<i,求X+》的取值范圍；

(3)若。，6滿足3/+5同=7,S=2a2-3\b\,求S的取值范圍.

2114

【答案】(1)0<a<2；(2)2<x+y<6-(3)S?—

【分析】(1)先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分即可；

(2)根據(jù)(1)閱讀中的方法解題即可求解；

(3)先根據(jù)3/+5⑸=7求出⑸的值，再代入S=2/-3⑸中即可得到關(guān)于。的二次函數(shù),

根據(jù)Y的取值范圍，求出S的取值范圍.

【詳解】解：⑴、

*<2②

I2

解不等式①得：o>0,

解不等式②得：a<2,

不等式組的解集為0<a<2,

故答案為：0<a<2；

(2)①設(shè)x+y=a,則匕"

Q+4

X=------

解得：工，

x>3,y<1,

a+4c

------>3

.’2

|<2-4'

-------<1

[2

解得：2<a<6,

即2<x+y<6；

(3)由3a2+5|b|=7得

則解得

.'.0?a2,,

將1切=，^，代入S=202-3⑸中,

:0?a2,,—,

71

.?.當(dāng)/=0時(shí)，s取最小值為5=-二；

、[,27iCTfrt曰_L./士ALC1972114

當(dāng)。一=1r時(shí)t，S取取大值為S=MX]-《=可，

.?.S的取值范圍為：J21，，s，14

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集求出不等式組

的解集.

4.某地區(qū)為籌備一項(xiàng)慶典，計(jì)劃搭配a2兩種園藝造型共50個(gè)擺放在迎賓大道兩側(cè)，已

知搭配一個(gè)/種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉30盆；搭配一個(gè)2種造型需甲種花卉40

盆，乙種花卉60盆，且搭配一個(gè)/種造型的花卉成本是270元，搭配一個(gè)3種造型的花卉

成本是360元.

（1）試求甲、乙兩種花卉每盆各多少元？

（2）若利用現(xiàn)有的2295盆甲種花卉和2190盆乙種花卉進(jìn)行搭配，則有哪幾種搭配方案？

【答案】（1）甲種花卉每盆3元，乙種花卉每盆4元；（2）共3種方案：第一種方案：A

種造型27個(gè)，B種造型23個(gè)；第二種方案：A種造型28個(gè)，B種造型22個(gè)；第三種方案:

4種造型29個(gè)，3種造型21個(gè)

【分析】（1）設(shè)甲種花卉每盆x元，乙種花卉每盆y元，由題意列出關(guān)于xy的二元一次方

程組并解方程組可以得到解答；

（2）設(shè)需要搭配。個(gè)/種造型，則需要搭配8種造型（50-a）個(gè)，由題意得到關(guān)于。的

不等式組，求出不等式組的整數(shù)解即可得到問題解答.

【詳解】解：（1）設(shè)甲種花卉每盆x元，乙種花卉每盆y元，

50x+307=270

依題意得:

40x+60y=360

x=3

y=4

答：甲種花卉每盆3元，乙種花卉每盆4元;

（2）設(shè)需要搭配。個(gè)/種造型，則需要搭配3種造型（50-a）個(gè),

50a+40(50-a)<2295

依題意得:

30a+60(50-a)<2190

解得27<a<29.5,

■-a為正整數(shù)，

；。=27或28或29.

第一方案：/種造型27個(gè)，2種造型23個(gè)；

第二種方案：/種造型28個(gè)，5種造型22個(gè)；

第三種方案：A種造型29個(gè)，B種造型21個(gè)

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的綜合應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程

組的解法和求一元一次不等式組整數(shù)解的方法是解題關(guān)鍵.

5.為更好地推進(jìn)我市生活垃圾分類工作，改善城市生態(tài)環(huán)境，某小區(qū)準(zhǔn)備購買A、B兩種

型號的垃圾箱，通過市場調(diào)研得知：購買3個(gè)A型垃圾箱和2個(gè)B型垃圾箱共需540元，

購買2個(gè)A型垃圾箱比購買3個(gè)B型垃圾箱少用160元.

（1）求每個(gè)A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？

（2）該小區(qū)物業(yè)計(jì)劃用不多于2100元的資金購買A、B兩種型號的垃圾箱共20個(gè)，則該

小區(qū)最多可以購買B型垃圾箱多少個(gè).

【答案】（1）100元；120元（2）5個(gè)

【分析】（1）設(shè)每個(gè)A型垃圾箱x元，B型垃圾箱y元，列出二元一次方程組進(jìn)行計(jì)算即

可；

（2）設(shè)購買B型垃圾箱m個(gè)，則購買A型垃圾箱（20-m）個(gè)，列出不等式計(jì)算即可；

【詳解】解：（1）設(shè)每個(gè)A型垃圾箱x元，B型垃圾箱y元，依題意有

]3x+2y=540

[3y-2x=160,

解侍[（x八=1020-

故每個(gè)A型垃圾箱100元，B型垃圾箱120元；

（2）設(shè)購買B型垃圾箱m個(gè)，則購買A型垃圾箱（20-m）個(gè)，依題意有

120m+100（20-m）＜2100,

解得m＜5

故該小區(qū)最多可以購買B型垃圾箱5個(gè).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式與方程組的結(jié)合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

6.請閱讀求絕對值不等式國＜3和國＞3的解集過程.

對于絕對值不等式國＜3,從圖1的數(shù)軸上看：大于-3而小于3的絕對值是是小于3的，所

以國＜3的解集為一3Vx＜3；

對于絕對值不等式同＞3,從圖2的數(shù)軸上看：小于-3而大于3的絕對值是是大于3的，所

以國＞3的解集為》＜-3或x＞3.

-3<x<3x<-3x>3

—............................

"5"4-3"2_1012o45-5-4-3-2-1012345

圖1圖2

2x—"V=477/—5

已知關(guān)于X、p的二元一次方程組rc的解滿足k+y|W3,其中〃7是負(fù)整數(shù)，

求加的值.

【答案】-4或-3或-2或-1.

【分析】根據(jù)題意由|x+“V3得出-3Wx+yg3,解二元一次方程組，得出x+y=m-1,得到不

等式組-3&m-lW3,求出m值，結(jié)合m為負(fù)整數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】解：?小+443,

/.-3<x+y<3,

12x-y=4加-5①

[x+4j=-7m+2(2)'

①+②得：3x+3y=-3m-3,

.?-x+y=-m-l,

則-3￡m-lW3,

解得：-4WmW2,

又m是負(fù)整數(shù)，

.?.m的值為-4或-3或-2或-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組和絕對值的意義，能正確去掉絕對值符號是解此題

的關(guān)鍵.

7.閱讀下列材料：

解答“已知了-了=2,且x>l,y<0,試確定無+V的取值范圍”有如下解法：

解：-.■x-y=2,.-.x=y+2.

又TX〉：!，.?.y+2>l.

又I<"0.…①

同理，可得：l<x<2.…②

(T)+(2),得—1+1<X+JV<0+2.即0<》+><2,

c+y的取值范圍是o<x+y<2.

請按照上述方法，完成下列問題：

(1)已知x-y=4,且x>3,了<1,求x+V的取值范圍；

(2)已知0-6=機(jī)，且關(guān)于X、了的方程組『二’=：。中尤<0,y>0.①求。的取值范

[x+2>=5。-8

圍；②求。+6的取值范圍（結(jié)果用含羽的式子表示）.

3

【答案】（1）2<x+y<6■,（2）@—<a<2,@3-m<a+b<4-m

【分析】（1）仿照閱讀材料求出x+y的取值范圍；

（2）解出一元一次不等式組，仿照閱讀材料求出a和a+b的取值范圍.

【詳解】解：（1）■.-x-y=4,

：.x—y+4,

又x>3,

,-.y+4>3,

y>-1,

又"1,

….①

同理，可得3c尤<5….②

（T）+（2）,得-1+3<X+J/<1+5,

即2<x+y<6,

■■-x+y的取值范圍是2<x+y<6,

故答案為：2<x+y<6；

（x=a-2

（2）解方程組得，、

[y=2。-3

x<0,y>0,

二a—2<0,2?！?>0,

3

解得，!<?<2,

a-b=m,

■■b=a-m,

貝！]3—a<2a—a<4—7〃,

.,■3—m<a+b<4—m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式和一元一次不等式組的解法，掌握一元一次不等式的

解法、理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵.

8.為開展“校園讀書活動(dòng)”，雅禮中學(xué)讀書會(huì)計(jì)劃采購數(shù)學(xué)文化和文學(xué)名著兩類書籍共100

本.經(jīng)了解，購買20本數(shù)學(xué)文化和50本文學(xué)名著共需1700元，30本數(shù)學(xué)文化比30本文

學(xué)名著貴450元.（注：所采購的同類書籍價(jià)格都一樣）

（1）求每本數(shù)學(xué)文化和文學(xué)名著的價(jià)格；

（2）若校園讀書會(huì)要求購買數(shù)學(xué)文化本數(shù)不少于文學(xué)名著，且總費(fèi)用不超過2780元，請求

出所有符合條件的購書方案.

【答案】（1）每本數(shù)學(xué)文化的價(jià)格為35元，每本文學(xué)名著的價(jià)格為20元；（2）見解析.

【分析】（1）設(shè)每本數(shù)學(xué)文化的價(jià)格為x元，每本文學(xué)名著的價(jià)格為y元，根據(jù)“購買20

本數(shù)學(xué)文化和50本文學(xué)名著共需1700元，30本數(shù)學(xué)文化比30本文學(xué)名著貴450元”，即

可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購買數(shù)學(xué)文化m本，則購買文學(xué)名著（100-m）本，根據(jù)購買數(shù)學(xué)文化本數(shù)不少于

文學(xué)名著且總費(fèi)用不超過2780元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出關(guān)

于m的取值范圍，結(jié)合m為整數(shù)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）設(shè)每本數(shù)學(xué)文化的價(jià)格為x元，每本文學(xué)名著的價(jià)格為y元，

20x+50y=1700

依題意，得:

30x-30尸450

尤=35

解得:

y=20

答：每本數(shù)學(xué)文化的價(jià)格為35元，每本文學(xué)名著的價(jià)格為20元.

（2）設(shè)購買數(shù)學(xué)文化m本，則購買文學(xué)名著（100-m）本,

m>100-m

依題思，得：|35m+20（100-m）<2780）

解得：50<m<52.

?；m為整數(shù)，

二共有三種購書方案，

方案1：購進(jìn)數(shù)學(xué)文化50本，文學(xué)名著50本；

方案2：購進(jìn)數(shù)學(xué)文化51本，文學(xué)名著49本；

方案3：購進(jìn)數(shù)學(xué)文化52本，文學(xué)名著48本.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是:

（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一

元一次不等式組.

考點(diǎn)4：利用不等式計(jì)算獲利問題

方法點(diǎn)撥：（1）了解售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤、利潤率的關(guān)系：利潤=銷售額一成本;

銷售額=售價(jià)X數(shù)量；利潤=成本X利潤率成本；（2）根據(jù)題中關(guān)鍵句子及

字眼找不等關(guān)系：“大于”“小于”等字眼找不等關(guān)系；通過分析解題過程,

思考和總結(jié)解題的步驟；（3）掌握利用一元一次不等式解決實(shí)際問題的步驟。

1.某商店需要購進(jìn)甲、乙兩種商品共180件其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：（注：獲利=售價(jià)進(jìn)價(jià)）

（1）若商店計(jì)劃銷售完這批商品后能獲利1240元，問甲、乙兩種商品應(yīng)分別購進(jìn)多少件？

（2）若商店計(jì)劃投入資金少于5040元，且銷售完這批商品后獲利多于1312元，請問有哪

幾種購貨方案？并直接寫出其中獲利最大的購貨方案.

甲乙

進(jìn)價(jià)（元/件）1435

售價(jià)（元/件）2043

【答案】（1）甲種商品購進(jìn)100件，乙種商品購進(jìn)80件.（2）有三種購貨方案，見解析,

其中獲利最大的是方案一.

【分析】（1）等量關(guān)系為：甲件數(shù)+乙件數(shù)=180；甲總利潤+乙總利潤=1240.

（2）設(shè)出所需未知數(shù)，甲進(jìn)價(jià)x甲數(shù)量+乙進(jìn)價(jià)x乙數(shù)量＜5040；甲總利潤+乙總利潤〉

1312.

【詳解】解：（1）設(shè)甲種商品應(yīng)購進(jìn)x件，乙種商品應(yīng)購進(jìn)y件.

+y=180[x=100

根據(jù)題意得：L解得：sn.

[6x+8〉=1240[y=80

答：甲種商品購進(jìn)100件，乙種商品購進(jìn)80件；

（2）設(shè)甲種商品購進(jìn)a件，則乙種商品購進(jìn)（180-。）件.根據(jù)題意得：

J14fl+35（180-a）＜5040

16a+8（180-a）