2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1簡單幾何體學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE1簡潔幾何體考綱定位重難突破1.相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡潔物體的結(jié)構(gòu)．2.駕馭簡潔幾何體的分類．3.在描述和推斷簡潔幾何體結(jié)構(gòu)特征的過程中，培育學(xué)生的視察實力和空間想象實力.重點：簡潔旋轉(zhuǎn)體、簡潔多面體的結(jié)構(gòu)特征及有關(guān)概念的識別與推斷．難點：棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁[自主梳理]一、簡潔幾何體1．簡潔幾何體包括：簡潔旋轉(zhuǎn)體、簡潔多面體．2．簡潔旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線圍著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．3．簡潔多面體：若干個平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體．圍成多面體的各個多邊形叫作多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫作多面體的棱；棱與棱的公共點叫作多面體的頂點．二、幾種簡潔旋轉(zhuǎn)體名稱定義圖形表示相關(guān)概念球以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作球面，球面所圍成的幾何體叫作球體，簡稱球球心：半圓的圓心；球的半徑：連接球心和球面上隨意一點的線段；球的直徑：連接球面上兩點并且過球心的線段圓柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱高：在旋轉(zhuǎn)軸上這條邊的長度；底面：垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓錐以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐側(cè)面：不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫作側(cè)面的母線圓臺以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓臺三、幾種簡潔多面體名稱圖形表示結(jié)構(gòu)特征側(cè)面的形態(tài)棱柱兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行平行四邊形正棱柱底面是正多邊形的直棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)矩形棱錐有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形三角形正棱錐底面是正多邊形，且各側(cè)面全等的棱錐全等的等腰三角形棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的幾何體梯形正棱臺用正棱錐截得的棱臺全等的等腰梯形[雙基自測]1．下列關(guān)于棱柱的說法中正確的是()A．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面肯定不是平行四邊形B．棱柱的一條側(cè)棱的長叫作棱柱的高C．棱柱的兩個相互平行的平面肯定是棱柱的底面D．棱柱的全部面中，至少有兩個面相互平行解析：由棱柱的定義，知A不正確，例如長方體；只有直棱柱才滿意選項B，故B不正確，C不正確，例如正六棱柱的相對側(cè)面相互平行；D明顯正確．故選D.答案：D2．下列圖形中，不能折成三棱柱的是()解析：C項中兩個底面均在上面，因此不能折成三棱柱．答案：C3.下列說法中正確的是()A．圓臺是直角梯形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成的B．圓錐是直角三角形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成的C．圓柱不是旋轉(zhuǎn)體D．圓臺可以看作是平行于底面的平面截一個圓錐而得到的底面與截面之間的部分解析：圓臺是直角梯形繞其垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)而成的，故A錯誤；圓錐是直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成的，故B錯誤；圓柱是旋轉(zhuǎn)體，故C錯誤，D正確．答案：D4．有下列說法：①球的半徑是連接球面上隨意一點和球心的線段；②球的直徑是球面上隨意兩點間的線段；③用一個平面截一個球，得到的是一個圓；④空間中到肯定點距離相等的點的集合是一個球．其中正確的有.解析：①球是半圓繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)面所圍成的封閉的幾何體，不難理解，半圓的直徑就是球的直徑，半圓的圓心就是球心，半圓的半徑就是球的半徑，因此①正確；假如球面上兩點的連線經(jīng)過球心，則這條線段就是球的直徑，因此②錯誤；球是一個幾何體，平面截它應(yīng)得到一個面而不是一條曲線，所以③錯誤；空間中到肯定點距離相等的點的集合是一個球面，而不是一個球體，所以④錯誤．答案：①授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第2頁探究一旋轉(zhuǎn)體概念及其結(jié)構(gòu)特征的理解[典例1]推斷下列說法是否正確，請說明理由：(1)一個等腰直角三角形分別繞其兩條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的兩個圓錐是相同的兩個圓錐；(2)圓柱的隨意兩條母線所在的直線是平行的；(3)用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；(4)球是以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體；(5)球的半徑是球面上隨意一點與球心的連線；(6)圓錐頂點與底面圓周上隨意一點的連線是圓錐的母線．[解析](1)正確．由于等腰直角三角形的兩條直角邊相等，所以分別繞兩條直角邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個圓錐的底面大小及母線長度、高等都相等，所以是兩個相同的圓錐．(2)正確．由圓柱母線的定義知，圓柱的隨意兩條母線是平行的．(3)錯誤．用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，則不能得到一個圓錐和一個圓臺．(4)正確．由球的定義易知該說法正確．(5)正確．由球的定義可知，球面上隨意一點與球心的連線都是半徑．(6)正確．由圓錐母線的定義知，圓錐頂點與底面圓周上隨意一點的連線都是母線．圓柱、圓錐、圓臺、球的簡潔性質(zhì)如下表所示：圓柱圓錐圓臺球底面兩底面平行且半徑相等的圓面圓面兩底面平行且半徑不相等的圓面無側(cè)面綻開圖矩形扇形扇環(huán)不行綻開母線平行且相等相交于頂點延長線交于一點無平行于底面的截面與兩底面半徑相等的圓面與底面半徑不相等的圓面與兩底面半徑不相等的圓面無軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面1.如圖，已知一個正三角形和它的內(nèi)切圓，將陰影部分繞直線l旋轉(zhuǎn)180°，請說出所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征．解析：正三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)180°得到的幾何體是圓錐，圓面繞直線l旋轉(zhuǎn)180°得到的幾何體是球體，所以得到的幾何體是圓錐挖去一個與圓錐底面和側(cè)面均相切的球的簡潔組合體．探究二簡潔多面體的概念及結(jié)構(gòu)特征的理解[典例2]如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1.(1)這個長方體是棱柱嗎？假如是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？假如是，推斷是幾棱柱并找出棱柱的底面；假如不是，請說明理由．(3)幾何體A1EFD1-ABCD是棱臺嗎？[解析](1)是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面它們相互平行且都是四邊形，其余各面都是矩形，當(dāng)然是平行四邊形，并且四條側(cè)棱相互平行．(2)截面BCFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE左下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面．(3)因為AA1，DD1不相交，所以AA1，DD1，BE，CF延長后不交于一點，因此不是棱臺．推斷幾何體是否為棱錐、棱臺的方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例干脆推斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)干脆法：棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個相互平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點2．視察下列各圖的結(jié)構(gòu)特征，指出其中的棱柱、棱錐和棱臺，并進行分類和符號表示．解析：題圖中(1)(2)(3)均為棱柱，其中(1)為四棱柱，記作四棱柱ABCD-A1B1C1D1；(2)為六棱柱，記作六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1；(3)為五棱柱，記作五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1.圖中(4)(5)(6)均為棱錐，其中(4)為三棱錐，記作三棱錐P-ABC；(5)為四棱錐，記作四棱錐P-ABCD；(6)為五棱錐，記作五棱錐P-ABCDE.圖中(7)(8)均為棱臺，其中(7)為四棱臺，記作四棱臺ABCD-A′B′C′D′；(8)為三棱臺，記作三棱臺ABC-A1B1C1.探究三簡潔幾何體的有關(guān)計算[典例3]把一個長、寬分別為8π和4π的長方形卷成一個圓柱，求圓柱的軸截面的面積．[解析](1)若以8π為母線，則高為8π，底面周長為4π，設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝4π.所以r＝2，所以軸截面的面積S＝8π×4＝32π.(2)若以4π為母線，則高為4π，底面周長為8π，設(shè)底面圓的半徑為r，則有2πr＝8π，所以r＝4，所以軸截面的面積S＝4π×8＝32π.由(1)(2)，知所求圓柱的軸截面的面積為32π.簡潔幾何體中的計算策略1．解決旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)量的計算問題，關(guān)鍵是作出軸截面，在軸截面中，通過矩形、三角形、梯形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進行計算求解．2．棱錐、棱臺的基本量的計算，一般都是轉(zhuǎn)化到棱錐的三個特征直角三角形，棱臺的三個特征直角梯形中解決．3．一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm(1)求圓臺的高；(2)求截得此圓臺的圓錐的母線長．解析：(1)過圓臺的軸作截面，則截面為等腰梯形，記為ABCD，如圖所示．作AM⊥BC于點M.記圓臺的上、下底面的圓心分別為O1，O，連接O1O.由已知可得上底面半徑O1A＝2cm，下底面半徑OB＝5cm，且腰長AB＝12cm，所以AM＝eq\r(122－32)＝3eq\r(15)(cm)，即圓臺的高為3eq\r(15)cm.(2)如圖，延長BA，OO1，CD交于點S，設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l.則由△SAO1∽△SBO，可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20cm，即截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.旋轉(zhuǎn)體中的計算問題[典例](本題滿分12分)一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在圓錐內(nèi)部有一個高為(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；(2)當(dāng)x為何值時，S最大？[規(guī)范解答](1)如圖為幾何體的軸截面，設(shè)圓柱的底面半徑為rcm，則eq\f(r,2)＝eq\f(6－x,6)，……①得r＝eq\f(6－x,3)，………………3分所以S＝－eq\f(2,3)x2＋4x.………………6分(2)S＝－eq\f(2,3)x2＋4x＝－eq\f(2,3)(x－3)2＋6，②………………10分所以當(dāng)x＝3時，Smax＝6cm2.………………12分[規(guī)范與警示]①處利用相像三角形確定圓柱底面半徑和高是解題的關(guān)鍵點．②處求S最大值時簡潔失分，一是轉(zhuǎn)化不對造成失分，二是不知如何求而失分．[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第4頁1．下列幾何體是棱臺的是()解析：A項中的幾何體的四條側(cè)棱延長后不相交于一點；B、C兩項中的幾何體的截面與底面不平行；只有D項中的幾何體符合棱臺的定義與特征．答案：D2．若正棱錐的側(cè)棱長與底面邊長相等，則該棱錐肯定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐解析：當(dāng)棱錐的底面是正六邊形時，有且只有底面的中心到正六邊形的各頂點的距離與正六邊形的邊長相等，故正六棱錐的側(cè)棱長與底面邊長肯定不相等．答案：D3．將一個等腰梯形圍著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是________．解析：把等腰梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形，由旋轉(zhuǎn)體的定義可知所得的幾何體為一個圓柱和兩個圓錐．答案：一個圓柱和兩個圓錐4．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392cm2