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文檔簡介
上海市交大附中2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,則A.2 B.3C.4 D.52.在正項等比數(shù)列中,,,則()A27 B.64C.81 D.2563.如果向量,,共面,則實數(shù)的值是()A. B.C. D.4.曲線與曲線的A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等5.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說:“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言,務要分明依次第,孝和休惹外人傳.”意為:“996斤棉花,分別贈送給8個子女做旅費,從第一個孩子開始,以后每人依次多17斤,直到第8個孩子為止.分配時一定要依照次序分,要順從父母,兄弟間和氣,不要引得外人說閑話.”在這個問題中,第5個孩子分到棉花為()A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤6.在等差數(shù)列中,,,則()A. B.C. D.7.已知不等式解集為,下列結論正確的是()A. B.C. D.8.經過點A(0,-3)且斜率為2的直線方程為()A. B.C. D.9.在正方體中中,,若點P在側面(不含邊界)內運動,,且點P到底面的距離為3,則異面直線與所成角的余弦值是()A. B.C. D.10.已知直線過拋物線C的焦點,且與C的對稱軸垂直,與C交于A,B兩點,P為C的準線上一點,若的面積為36,則等于()A.36 B.24C.12 D.611.已知橢圓的右焦點為F,短軸的一個端點為P,直線與橢圓相交于A、B兩點.若,點P到直線l的距離不小于,則橢圓C離心率的取值范圍為()A. B.C. D.12.若函數(shù)在區(qū)間單調遞增,則的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,且,則_____________14.已知直線與圓交于,兩點,則的最小值為___________.15.已知數(shù)列an滿足,則__________16.不等式的解集是_______________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線C:上一點與焦點F的距離為(1)求和p的值;(2)直線l:與C相交于A,B兩點,求直線AM,BM的斜率之積18.(12分)如圖,在棱長為2的正方體中,,分別為線段,的中點.(1)求點到平面的距離;(2)求平面與平面夾角的余弦值.19.(12分)已知數(shù)列為等差數(shù)列,公差,前項和為,,且成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項公式(2)設,求數(shù)列的前項和20.(12分)某公司從2020年初起生產某種高科技產品,初始投入資金為1000萬元,到年底資金增長50%.預計以后每年資金增長率與第一年相同,但每年年底公司要扣除消費資金x萬元,余下資金再投入下一年的生產.設第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.(1)用x表示,,并寫出與的關系式;.(2)若企業(yè)希望經過5年后,使企業(yè)剩余資金達3000萬元,試確定每年年底扣除的消費資金x的值(精確到萬元).21.(12分)設P是拋物線上一個動點,F(xiàn)為拋物線的焦點.(1)若點P到直線距離為,求的最小值;(2)若,求的最小值.22.(10分)已知橢圓的離心率為,過左焦點且垂直于長軸的弦長為.(1)求橢圓的標準方程;(2)點為橢圓的長軸上的一個動點,過點且斜率為的直線交橢圓于兩點,證明為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用復數(shù)的除法運算求出,進而可得到.【詳解】,則,故,選B.【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算,考查了復數(shù)的模,屬于基礎題2、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比,進而求得答案.【詳解】設的公比為,則(負值舍去),所以.故選:C.3、B【解析】設,由空間向量的坐標運算可得出方程組,即可解得的值.【詳解】由于向量,,共面,設,可得,解得.故選:B.4、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距,即可判斷【詳解】解:曲線表示焦點在軸上,長軸長10,短軸長為6,離心率為,焦距為8曲線表示焦點在軸上,長軸長為,短軸長為,離心率為,焦距為8對照選項,則正確故選:【點睛】本題考查橢圓的方程和性質,考查運算能力,屬于基礎題5、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】依題意得,八個子女所得棉花斤數(shù)依次構成等差數(shù)列,設該等差數(shù)列為,公差為d,前n項和為,第一個孩子所得棉花斤數(shù)為,則由題意得,,解得,故選:A6、B【解析】利用等差中項的性質可求得的值,進而可求得的值.【詳解】由等差中項的性質可得,則.故選:B.7、C【解析】根據(jù)不等式解集為,得方程的解為或,且,利用韋達定理即可將用表示,即可判斷各選項的正誤.【詳解】解:因為不等式解集為,所以方程的解為或,且,所以,所以,所以,故ABD錯誤;,故C正確.故選:C.8、A【解析】直接代入點斜式方程求解即可詳解】因為直線經過點且斜率為2,所以直線的方程為,即,故選:9、A【解析】如圖建立空間直角坐標系,先由,且點P到底面的距離為3,確定點P的位置,然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖,以為坐標原點,以所在的直線分別為軸,建立空間直角坐標系,則,所以,所以,所以,因為,所以平面,因為平面平面,點P在側面(不含邊界)內運動,,所以,因為點P到底面的距離為3,所以,所以,因為,所以異面直線與所成角的余弦值為,故選:A10、C【解析】設拋物線方程為,根據(jù)題意由求解.【詳解】設拋物線方程為:,因為直線過拋物線C的焦點,且與C的對稱軸垂直,所以,又P為C的準線上一點,所以點P到直線AB的距離為p,所以,解得,所以,故選:C11、D【解析】設橢圓的左焦點為,由題可得,由點P到直線l的距離不小于可得,進而可求的范圍,即可得出離心率范圍.【詳解】設橢圓的左焦點為,P為短軸的上端點,連接,如圖所示:由橢圓的對稱性可知,A,B關于原點對稱,則,又,∴四邊形為平行四邊形,∴,又,解得:,點P到直線l距離:,解得:,即,∴,∴.故選:D.【點睛】關鍵點睛:本題考查橢圓離心率的求解,解題的關鍵是由橢圓定義得出,再根據(jù)已知條件得出.12、A【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,轉化為導函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立,進而求出結果.【詳解】由題意得:在區(qū)間上恒成立,而,所以.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由,可得,,,從而利用換底公式及對數(shù)的運算性質即可求解.【詳解】解:因為,所以,,,又,所以,所以,所以,故答案為:.14、【解析】先求出直線經過的定點,再求出圓心到定點的距離,數(shù)形結合即得解.【詳解】由題得,所以直線經過定點,圓的圓心為,半徑為.圓心到定點的距離為,當時,取得最小值,且最小值為.故答案為:815、2019【解析】將已知化為代入可以左右相消化簡,將已知化為,代入可以上下相消化簡,再全部代入求解即可.【詳解】由知故所以故答案為:201916、或【解析】將分式不等式,轉化為一元二次不等式求解【詳解】因為,所以,解得或.故答案為:或【點睛】本題主要考查分式不等式的解法,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)結合拋物線的定義以及點坐標求得以及.(2)求得的坐標,由此求得直線AM,BM的斜率之積.【小問1詳解】依題意拋物線C:上一點與焦點F的距離為,根據(jù)拋物線的定義可知,將點坐標代入拋物線方程得.【小問2詳解】由(1)得拋物線方程為,,不妨設A在B下方,所以.18、(1);(2).【解析】(1)以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系.可根據(jù)題意寫出各個點的坐標,進而求出平面的法向量和的坐標,點到平面的距離.計算即可求出答案.(2)由(1)知平面的法向量,在把平面的法向量表示出來,平面與平面夾角的余弦值為,計算即可求出答案.【小問1詳解】以為原點,為軸,為軸,為軸,建立如下圖所示的空間直角坐標系.由于正方體的棱長為2和,分別為線段,的中點知,.設平面的法向量為..則..故點到平面的距離.【小問2詳解】平面的法向量,平面與平面夾角的余弦值.19、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)成等比數(shù)列,有,即求解.(2)由(1)可得,,∴,再利用裂項相消法求和.【詳解】(1)由成等比數(shù)列,得,即,整理得,∵,∴,∴,即(2)由(1)可得,,∴,故【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運算和裂項相消法求和,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)x=348【解析】(1)根據(jù)題意直接得,,進而歸納出;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的求和公式可得,結合即可計算出d的值.【小問1詳解】由題意知,,,;【小問2詳解】由(1)可得,,則,所以,即,當時,,解得,當時,萬元.故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時,5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元.21、(1);(2)4.【解析】(1)利用拋物線的定義可知,將問題問題轉化為求的最小值,即求.(2)判斷點B在拋物線的內部,過B作垂直準線于點Q,交拋物線于點,利用拋物線的定義求解即可.【詳解】解析(1)依題意,拋物線的焦點為,準線方程為.由已知及拋物線的定義,可知,于是問題轉化為求的最小值.由平面幾何知識知,當F,P,A三點共線時,取得最小值,最小值為,即的最小值為.(2)把點B的橫坐標代入中,得,因為,所以點B在拋物線的內部.過B作垂直準線于點Q,交拋物線于點(如圖所示).由拋物線的定義,可知,則,所以的最小值為4.【點睛】本題考查了拋物線的定義,理解定義是解題的關鍵,屬于基礎題.22、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)借助題設條件建立方程組求解;(2)依據(jù)題設運用直線與橢圓的位置關系探求.試題解析:(1)由,可得橢圓方程.(2)設
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