2025屆河北省深州市中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆河北省深州市中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.2.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.63.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且,過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題:①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)僅有一個(gè);②若是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為;③無(wú)論過點(diǎn)的直線在什么位置,總有;④若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點(diǎn)在同一條直線上.其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.5.閱讀下側(cè)程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為31,則①處應(yīng)填的數(shù)字為A.4 B.5 C.6 D.76.設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7.?dāng)?shù)列{an},滿足對(duì)任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.998.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.10.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知中內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.14.“”是“”的__________條件.(填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)15.已知“在中,”,類比以上正弦定理,“在三棱錐中,側(cè)棱與平面所成的角為、與平面所成的角為,則________.16.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí),同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下:等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624(1)由該題中頻率分布直方圖求測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);(2)其他條件不變,在評(píng)定等級(jí)為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測(cè)試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測(cè)試得分仍低于80分的概率;(3)用分層抽樣的方法,從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再?gòu)倪@10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對(duì)邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),求證:.20.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個(gè)有序集合組,其中.記集合中元素的個(gè)數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí),求的值;利用數(shù)學(xué)歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.21.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,是棱中點(diǎn).(1)已知點(diǎn)在棱上,且平面平面,試確定點(diǎn)的位置并說明理由;(2)設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí),直線與平面所成角最大?并求最大角的正弦值.22.(10分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其短半軸長(zhǎng)為1,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上,且.(1)證明:直線與圓相切;(2)設(shè)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),求的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對(duì)角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.2、C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡(jiǎn),結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.3、C【解析】

①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標(biāo);②:做關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為,通過分析可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值,由兩點(diǎn)間的距離公式,可求此時(shí)最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計(jì)算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進(jìn)而可判斷三點(diǎn)在同一條直線上.【詳解】解:對(duì)于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點(diǎn)有二個(gè),故①不正確;對(duì)于②,不妨設(shè),則關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,故②正確;對(duì)于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補(bǔ),所以,故③正確.對(duì)于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點(diǎn)在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點(diǎn)的斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題,結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時(shí)取最小值.4、A【解析】

結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】考點(diǎn):程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)求S的值,我們用表格列出程序運(yùn)行過程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示:Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i<5時(shí)退出,故選B.6、C【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法,考查指數(shù),對(duì)數(shù)不等式的解法,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由為定值,可得,則是以3為周期的數(shù)列,求出,即求.【詳解】對(duì)任意的,均有為定值,,故,是以3為周期的數(shù)列,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.8、B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值,顯然時(shí),,時(shí),,因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.9、D【解析】

先根據(jù)已知條件求解出的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因?yàn)?,?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,則,化簡(jiǎn)得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性,可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問題.10、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的最值,判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因?yàn)榈淖畲笾禐?,所以在點(diǎn)處取得最大值,則,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.12、A【解析】

由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求出得答案.【詳解】,,則,的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.14、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.15、【解析】

類比,三角形邊長(zhǎng)類比三棱錐各面的面積,三角形內(nèi)角類比三棱錐中側(cè)棱與面所成角.【詳解】,故,【點(diǎn)睛】本題考查類比推理.類比正弦定理可得,類比時(shí)有結(jié)構(gòu)類比,方法類比等.16、55【解析】

由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當(dāng)n=1時(shí),,當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)64,65;(2);(3).【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出,平均數(shù),中位數(shù);(2)設(shè)“第1次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件,由條件概率公式可求出;(3)從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談,其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為,“合格”的學(xué)生數(shù)為6;由題意可得,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計(jì)算公式即可得出概率,進(jìn)而得出分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】由題意知,樣本容量為,.(1)平均數(shù)為,設(shè)中位數(shù)為,因?yàn)?,所以,則,解得.(2)由題意可知,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有24人,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有12人.設(shè)“第1次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件,則,所以.(3)在評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人,則“不合格”的學(xué)生人數(shù)為,“合格”的學(xué)生人數(shù)為.由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1.,.所以的分布列為0510151.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理先進(jìn)行代換,然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結(jié)合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因?yàn)?,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論單調(diào)性(2)欲證,只需證,構(gòu)造函數(shù),證明,這時(shí)需研究的單調(diào)性,求其最大值即可【詳解】解:(1)的定義域?yàn)?,,①?dāng)時(shí),由得,由,得,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),由得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;③當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時(shí),由,得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí),欲證,只需證,令,,則,因存在,使得成立,即有,使得成立.當(dāng)變化時(shí),,的變化如下:0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因?yàn)?,所以,所?即,所以當(dāng)時(shí),成立.【點(diǎn)睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法,難題.20、;證明見解析.【解析】

當(dāng)時(shí),集合共有個(gè)子集,即可求出結(jié)果;分類討論,利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當(dāng)時(shí),集合共有個(gè)子集,所以;①當(dāng)時(shí),,由可知,,此時(shí)令,,,,滿足對(duì)任意,都有,且;②假設(shè)當(dāng)時(shí),存在有序集合組滿足題意,且,則當(dāng)時(shí),集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè),因?yàn)槭?的整數(shù)倍,所以令,,,,且恒成立,即滿足對(duì)任意,都有,且,綜上,原命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查集合的自己個(gè)數(shù)的研究,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,屬于難題.21、(1)為中點(diǎn),理由見解析;(2)當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí),直線與平面所成角最大,最大角的正弦值.【解析】

(1)為中點(diǎn),可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明,,從而證明平面平面;(2)以A為原點(diǎn),分別以,,所在直線

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