2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：指數(shù)型函數(shù)取對(duì)數(shù)問題（解析版）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)指數(shù)型函數(shù)取對(duì)數(shù)問題（解

析版）

指數(shù)型函數(shù)取對(duì)數(shù)問題

考情分析

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，在導(dǎo)數(shù)解答題中有些指數(shù)型函數(shù)，直接求導(dǎo)運(yùn)算非常復(fù)雜或

不可解，這時(shí)常通過取對(duì)數(shù)把指數(shù)型函數(shù)轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)型函數(shù)求解，特別是涉及到形如版㈤的函數(shù)取對(duì)數(shù)可

以起到化繁為簡(jiǎn)的作用，此外有時(shí)取對(duì)數(shù)還可以改變式子結(jié)構(gòu)，便于發(fā)現(xiàn)解題思路，故取對(duì)數(shù)的方法在

解高考導(dǎo)數(shù)題中有時(shí)能大顯身手.

解題秘籍

（-）等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)把乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算，再構(gòu)造函數(shù)

通過兩邊取對(duì)數(shù)可把乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,這種運(yùn)算法則的改變或能簡(jiǎn)化運(yùn)算,或能改變運(yùn)算式子

的結(jié)構(gòu)，從而有利于我們尋找解題思路，因此兩邊取對(duì)數(shù)成為處理乘方運(yùn)算時(shí)常用的一種方法.有時(shí)對(duì)

數(shù)運(yùn)算比指數(shù)運(yùn)算來得方便，對(duì)一個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)是解決含有指數(shù)式問題的常用的有效方法.

題1（2024屆遼寧省大連市高三上學(xué)期期初考試）己知函數(shù)/（C）=I11：；1.

（1）討論/（2）的單調(diào)性；

⑵若（eel）三（也2）的（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且劣i>0,劣2>0,力1W力2,證明：xl+xl>2.

?1?

(二)等式或不等式兩邊同時(shí)颯運(yùn)算運(yùn)睇化為加法運(yùn)算，

形如/(a)g(b)=h(c)(f(a)>O,g(b)>0,/(c)>0)或/(a)g(b)>h(c)的等式或不等式通過兩邊取對(duì)數(shù),

可以把乘積運(yùn)算,轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算,使運(yùn)算降級(jí).

2(2024居遼寧盾名校聯(lián)JL高三上學(xué)期聯(lián)考)已知a>0,bE函數(shù)/(力)=ax\lnx\和g(力)=b\lnx+1|

的圖像共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且/(力)有極大值1.

(1)求。的值以及b的取值范圍；

(2)若曲線g=/(力)與y=g(*)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為的，g,g,且為iVc2Vg.證明：-^^-<e26-2.

?2?

(=)把比較a,b(a>0,b>0)轉(zhuǎn)化為比較Ina.lnb的大小

比較兩個(gè)指數(shù)式的大小，有時(shí)可以通過取對(duì)數(shù),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，如比較nn+1,(n+iy

(nGN,,n>2)的大小，可通過取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為比較(n+l)lnn,nln(n+1)的大小，再轉(zhuǎn)化為比較與I

回竽3的大小，然后可以構(gòu)造函數(shù)代⑼=巫，利用/(。)的單調(diào)性比較大小.

n+1x

如一天，小錘同學(xué)為了比較lnl.1與擊的大小，他首先畫出了y=In。的函數(shù)圖像，然后取了離1.1很近

的數(shù)字1,計(jì)算出了？/=Inc在c=1處的切線方程,利用函數(shù)9=In,與切線的圖像關(guān)系進(jìn)行比較.

(1)請(qǐng)利用小錘的思路比敕InLl與盍大小

(2)現(xiàn)提供以下兩種類型的曲線沙=3+6,沙=g+力,試?yán)眯″N同學(xué)的思路選擇合適的曲線，比較兀,，

e3的大小.

?3?

典例展示

吼!(2021全國(guó)甲卷高考試題)已知a>0且a/1,函數(shù)="Q>0).

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求/(①)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線夕=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

吼2(2023屆新三第三次迨應(yīng)性檢測(cè))已知函數(shù)/(2)=a/+(a+l)Tn2—1,g(0=萼.

(1)討論g(c)的單調(diào)性；

(2)若方程/Q)=^e^+xinx-1有兩個(gè)不相等的實(shí)根g,g,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并證明/也>的

-4■

0]3已知函數(shù),/(2)=Inz—x+m,mER.

(i)求/(>)的極值；

⑵若/(2)有兩個(gè)零點(diǎn)a,b,且aV6,求證：e(6+y)<2em.

腳］4設(shè)函數(shù)/(,)=Tn'.

⑴設(shè)4、0且不+辦=1,求證:對(duì)任意的電、x2>0,總有AiXi+A2X2成立；

72

(2)設(shè)瑞>0,4>0(i=1,2,…,n)，且224=1,求證：修/…誠(chéng)(4便---F4必叱

i=i

?5?

0]5已知函數(shù)/(2)=ex,g(x)=s+alnz.aGR

(1)討論g(0的單調(diào)性；

(2)若/(2)+2a?>g(a;)+re。,對(duì)任意xG(l,+oo)恒成立，求a的最大值;

畫色已知函數(shù)/(0=rdne.

(1)討論/Q)的單調(diào)性；

⑵設(shè)a,6為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且d=鞏證明：2<+

eab

,6,

題目R已知函數(shù)/㈤=21n;r+a,(aeR).

(1)求函數(shù)/(c)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0<a<(時(shí)，證明：函數(shù)/(,)有兩個(gè)零點(diǎn)；

(3)若函數(shù)gQ)=/(/)—aa?—，有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)其中a；i<a；2),證明：電?曷>e.

題目]可形如夕=/Q嚴(yán)0的函數(shù)稱為幕指函數(shù)，幕指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，可以利用對(duì)數(shù)法:在函數(shù)解析式兩邊取

對(duì)數(shù)得Iny=lnf(x)M=g(x)lnf(x')，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得"=g(x)lnf(x)+g(a?)，于是y'=產(chǎn)

y/⑺

g'(c)ln/(c)+g(c)已知/(劣)=2已如宓，g㈤=T2+l.

⑴求曲線g=/Q)在力=1處的切線方程；

⑵若h(x)=f(x),求h[x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求證:V%e(0,+8),/(力)>g(/)恒成立.

題目?已知函數(shù)/3)=上%0>0).

(1)求/(,)的極值點(diǎn).

(2)若有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)為,22(0<21<曲)滿足/(為)=/(電)=e".

⑴求％的取值范圍

9_e.-I

(ii)證明濾Te《e2

題目已知/(2)=In,—x,g(x)=mx+m.

(1)記F(rc)=/(0+g{x),討論F{x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)記G(c)=/Q)+m,若G(z)有兩個(gè)零點(diǎn)a,b,且a<b.

請(qǐng)?jiān)冖佗谥羞x擇一個(gè)完成.

①求證：2建一1>上+b；

o

②求證：2em-1<—+a

a

?8?

題目回已知底乩/（；1；）=，?。。。，（其中6為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)9=/（，）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若a>0,函數(shù)g=/（力）—a有兩個(gè)零點(diǎn)劣，劣2,求證：冠+后>2e.

題目《已知函數(shù)/（劣）=aW（QWO）存在極大值十.

（1）求實(shí)數(shù)Q的值；

（2）若函數(shù)F（力）=/（力）一小有兩個(gè)零點(diǎn)/0C2（力1W/2），求實(shí)數(shù)館的取值范圍，并證明：x1-\-x2>2.

?9?

題目V］已知函數(shù)于(x)=x(e2x—a),g(力)=bx+Ina?.

⑴若g=26是曲線g=/(力)的切線，求。的值；

(2)若gQ)有兩不同的零點(diǎn)，求b的取值范圍；

(3)若b=1,且/(劣)—g［x)>1恒成立，求a的取值范圍.

題目5］已知函數(shù)/(劣)=Q/lnc,Qe_R.

(1)當(dāng)Q=1時(shí)，

①求/(⑼的極值；

②若對(duì)任意的都有/(/)>一ex,nz>0,求nz的最大值；

x

2

(2)若函數(shù)g(力)=/(/)+力?有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的，g,求證：xrX2>e.

?10?

-9^j已知函數(shù)/（rc）=xlnx—ax2-x,g[x}=,aGR.

（1）討論gQ）的單調(diào)性；

（2）設(shè)/Q）有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,22（，1<電），證明：2；，2>e3.（e=2.71828?■-為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

〔題目口^已知函數(shù)/3）=e”—吟色—a（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）若a=1,求/（劣）在宏=1處的切線方程；

⑵若/（⑼的兩個(gè)零點(diǎn)分別為如如證明：e2ff—叩2Vo.

?11?

題目已知函數(shù)以/)=力一aln/(aGR).

(1)若從/)有兩個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍；

2

(2)若方程力e”一a(ln/+a?)=0有兩個(gè)實(shí)根力八力2,且力聲力2,證明：eXi+X2>----

劣1/2

【題目叵已知函數(shù)Inc+2

(1)若，=1是/(，)的極值點(diǎn)，求力的值,并討論了(2)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí)，證明：力>)>2.

?12?

指數(shù)型函數(shù)取對(duì)數(shù)問題

蝴分析

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，在導(dǎo)數(shù)解答題中有些指數(shù)型函數(shù)，直接求導(dǎo)運(yùn)算非常復(fù)雜或

不可解，這時(shí)常通過取對(duì)數(shù)把指數(shù)型函數(shù)轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)型函數(shù)求解，特別是涉及到形如/⑺的函數(shù)取對(duì)數(shù)可

以起到化繁為簡(jiǎn)的作用，此外有時(shí)取對(duì)數(shù)還可以改變式子結(jié)構(gòu)，便于發(fā)現(xiàn)解題思路，故取對(duì)數(shù)的方法在

解高考導(dǎo)數(shù)題中有時(shí)能大顯身手.

解題秘籍

（一）等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)把乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算，再構(gòu)造函數(shù)

通過兩邊取對(duì)數(shù)可把乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,這種運(yùn)算法則的改變或能簡(jiǎn)化運(yùn)算,或能改變運(yùn)算式子

的結(jié)構(gòu)，從而有利于我們尋找解題思路，因此兩邊取對(duì)數(shù)成為處理乘方運(yùn)算時(shí)常用的一種方法.有時(shí)對(duì)

數(shù)運(yùn)算比指數(shù)運(yùn)算來得方便，對(duì)一個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)是解決含有指數(shù)式問題的常用的有效方法.

題1（2024屆遼寧看大連市赤三上學(xué)期期前才就）己知函數(shù)人①）=嗎；1.

（1）討論”2）的單調(diào)性；

⑵若（eel）三（也2）的（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且劣i>0,劣2>0,力1W力2,證明：M+忘>2.

【解析】（1）函數(shù)/（力）=E*+1的定義域?yàn)椋?,+8）,求導(dǎo)得則/（x）=—上號(hào)，由/'（力）=0得力=1,

Q力ax2

若avo,當(dāng)ov—v1時(shí),/'（比）vo,則y（x）單調(diào)遞減，當(dāng)/>1時(shí)，/'（力）>o,則y（x）單調(diào)遞增，

若a>0,當(dāng)0V比V1時(shí)，/'（①）>0,則f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)比>1時(shí),f（x）V0,則/（x）單調(diào)遞減;

所以當(dāng)aV0時(shí)，函數(shù)/（力）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/（力）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減.

（2）由（改1）g=（eg）*'兩邊取對(duì)數(shù)得力2（ln/i+l）=①i（lng+l）,即I"""1=E力2+I,

力1力2

由（1）知，當(dāng)Q=1時(shí)，函數(shù)/（名）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減，

/（^）max=/（l）=1,而/g）=0,%>1時(shí),/（%）>0恒成立,

因此當(dāng)@=1時(shí)，存在電,力2且0<的<1</2,滿足/（g）=/（◎）,

若力26[2,+8）,則冠+舄>滋>4>2成立；

若力26（1,2）,則2一—26（0,1）,記gQ）=/（%）-y（2-rr）,xE（1,2）,

則。㈤=f'（x）+r（2-z）=—警-*2-]）>_筆_ln（2j）=」n[-（工丁+1]>Q；

x（2—x）xxx

即有函數(shù)gQ）在（1,2）上單調(diào)遞增，g{x}>g⑴=0,即/（劣）>/（2—x）,

于是/Qi）=/（力2）>/（2-力2）,

而626（1,2）,2—（。J）,力?。?,1）,函數(shù)于⑸在（0,1）上單調(diào)遞增，因此g>2—電，即g+g>2,

?1?

又曷+1>=261,晟+1>2V^2—2/2,則有4+1+舄+1>2(g+力2)>4,則力:+舄>2,

所以就+曷>2.

(二)等式或不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)把乘積運(yùn)算運(yùn)第轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)翼，

形如/(a)g(b)=h(c)(f(a)>O,g(b)>0,/(c)>0)或/(a)g(b)>h(c)的等式或不等式通過兩邊取對(duì)數(shù),

可以把乘積運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算,使運(yùn)算降級(jí).

2(2024屆遼寧省名校聯(lián)JL高三上學(xué)期聯(lián)考)已知a>0,bE_R,函數(shù)/(⑦)=ax\lnx\和g(力)=“Inc+1|

的圖像共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且/(⑼有極大值1.

(1)求Q的值以及b的取值范圍；

(2)若曲線沙=/(C)與g=g(劣)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為力1，g，g,且?VgVg.證明：-^^-<e26-2.

一一電

【解析】(1)因?yàn)閍>0,力e(0,+oo)，所以當(dāng)力>1時(shí)，/(力)=ax\nxff\x)—alnx4-a>0,

所以/(力)在[1,+8)上單調(diào)遞增，無極大值；

當(dāng)力￡(0,1)時(shí)，/(力)=—axlnxf/(x)=—a(lnx+1),

所以當(dāng)力G(0，!)時(shí)，/(劣)>0,/(力)單調(diào)遞增，

當(dāng)力e(■!■」)時(shí)，/⑺<0,y(x)單調(diào)遞減，

所以力=工為極大值點(diǎn)，

e

所以/(工)——a?—,In—=1,解得a=e.

\e'ee

因?yàn)閒⑸,g(N)圖像共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以方程￡磯11力|=b\lnx+1|有三個(gè)不等正實(shí)根.

設(shè)/;=Inx+1,則1=e*T，且當(dāng)力>0時(shí)，力與力一?一■對(duì)應(yīng)，

所以問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于力的方程叫土一1|="力|有三個(gè)不等實(shí)根.

又0不滿足方程e￡|t一1|=b\t\,

所以方程卜有三個(gè)實(shí)根.

設(shè)九(右)=..1卜，則函數(shù)九(力)=..1卜與函數(shù)g=b的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)力>1或力V0時(shí)，無⑴=?Je",

...〃?)=廿一方+16〉0,所以無⑴在(-00,0),[1,+8)上單調(diào)遞增；

t

.,(t—1)6"

當(dāng)0V力VI時(shí)，h7z(xt)-----,

?2?

12T+1

片⑴etVO,所以九⑴在(0,1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)力時(shí)，h(t)>0,而h(l)=0;

當(dāng)tT-CO時(shí)，h(t)=(1—0，

無論力>0還是力V0,當(dāng)力->0時(shí)，都有八(土)=|1—會(huì)卜”~>+8,

當(dāng)—+8時(shí)，無⑴=(1一十)e」+oo.

根據(jù)以上信息，畫出函數(shù)無?)的大致圖像如下圖所示，

y=h(t)

-2-1O

-1

所以當(dāng)&>0時(shí)，函數(shù)九(力)=FJ.與函數(shù)g=b的圖像有三個(gè)交點(diǎn),

故b的取值范圍為(0,+8).

(2)證明：要證一-——V62b2,只需證2]ng—Ing+lnciV2b—2,

只需證2(lng+l)—(In62+I)+(lnxi+1)<2b.

設(shè)(1)中方程的b=[上三個(gè)根分別為h,大2,t3,

且友〈與〈力3,U=In@+1,i=1,2,3,

從而只需證明2力3—12+力V2b.

又由⑴的討論知力1<0,0<t2<1,t3>1.

下面先證明e”>力+1,設(shè)夕(力)=ex—x—1,

則d(力)=e^—1.

當(dāng)力>0時(shí)，”(力)>0,0(宏)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

當(dāng)力V0時(shí),63)<0,(p(x)在(—oo,0)上單調(diào)遞增，

所以9(/)>?(0)=0,所以當(dāng)力W0時(shí)，ex>力+1,

從而當(dāng)力W0,力W1時(shí)，h(t)=『/卜>『J](t+1).

又由⑴知1(%)在(—oo,0),(l,+oo)上單調(diào)遞增，九⑴在(0,1)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)t>l時(shí)，九⑴〉。1——令b=l—十，解得力=匕+唱+4,

由％出)=b<從比乎H)得t3<近乎亙；

當(dāng)0<力<1時(shí),九⑴〉十T,令b=：T,解得――6+沖+4,

1

由岫):b<從一+嚴(yán)力得t2>一+^;

當(dāng)t<0時(shí),h(t)>t-+,令b=t-解得t=6-乎+4,

由以幻=b<從白二番亙)得《白二番豆.

6+

綜上，2t3-t2+tt<b+V^+4~~^+4+=2b,得證.

(=)把比較a,b(a>0,b>0)轉(zhuǎn)化為比較lna,lnb的大小

比較兩個(gè)指數(shù)式的大小，有時(shí)可以通過取對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，如比較八叫(九+1)”

(nGN,,n>2)的大小，可通過取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為比較(n+l)lnn,nln(n+1)的大小，再轉(zhuǎn)化為比較

n

皿力)的大小，然后可以構(gòu)造函數(shù)/(,)=巫，利用/(,)的單調(diào)性比較大小.

n+1x

吼◎一天，小錘同學(xué)為了比較lnl.1與擊的大小，他首先畫出了？/=In,的函數(shù)圖像，然后取了離1.1很近

的數(shù)字L計(jì)算出了夕=In,在c=1處的切線方程，利用函數(shù)夕=Inc與切線的圖像關(guān)系進(jìn)行比較.

(1)請(qǐng)利用小錘的思路比較lnl.1與上大小

⑵現(xiàn)提供以下兩種類型的曲線沙=3+6,9=如+3試?yán)眯″N同學(xué)的思路選擇合適的曲線，比較清

X1

e3的大小.

【解析】(1)構(gòu)造函數(shù)/(力)=Inx—6+1,由f?)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減，得/(力)<

f(l)=0,即In力W力-1,取力=1,得lnl.1<0.1

⑵通過取對(duì)數(shù),把比較7re,e3的大小轉(zhuǎn)化為比較eln兀與3的大小，即比較In兀與在大小

選g=g+b,令"=Inx與。=號(hào)+》公切于e

xx

Ine=丹+b

e2_e2,_3

則有，1_2a=a=_R=q

ee3

e2上3

?■y-------

2T22

?4?

記g(0=ln”g—*g，?=?一三=丁

/.g(c)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+oo)上單調(diào)遞增,

gQ)>g(e)=0,；.Inrr>一忘+4

2x2

.i、e,,3十13e23

In7t>---------7+不，下1正：k-----r>—

2兀2222兀2e

只需證％京丹

..3e?3⑵72尸=J。(2.72)2

,e2/2.72x(3.1)?-92x(3.1)2

只需證(?

<0.88,(0.88)2=0.7744

O.JL

而《=0.777>0.7744,；.In7t>旦，即Ke>e3

9e

選,y=kx+力，通過取對(duì)數(shù)，把比較7re,e3的大小轉(zhuǎn)化為比較eln7U與3的大小，即比較In兀與大小，即較

In-與一--大小

7Te

fin—=k—+t

令y=Inx與g=kc+力切于［■，則有<ee=>fc=e,t=—2,：,y=ex—2

e[e=k

令g{x}—Inx—ex+2,g'(力)=——e=————

???g（M在（0，!）上單調(diào)遞增，在（5+oo）上單調(diào)遞減,

g(力)Wg(—}=0,\nx&e/-2,當(dāng)x=—取等

\e/e

.tIn工<——2下證——2V——,只需證￡■+&V2

7u7U兀e7ue

3in

T+Sv2.72+/V0.88+詈,

兀e3.1

*.*2——與=0.8>0.88,In—-V——,In7u>—,兀。>e3.

997Tee

典例展示

011（2021全國(guó)甲卷iU考試題）已知a>0且a/1,函數(shù)/㈤="Q>0）.

a

⑴當(dāng)a=2時(shí),求/Q）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線g=/（力）與直線沙=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求Q的取值范圍.

?5?

【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí),/Q)=。⑺=2"2；yin2="2。(212),

2(2)4

令r(,)=。得2=焉，當(dāng)。<必<熹時(shí)，/3)>0,當(dāng)立〉熹時(shí)，/(①)<o,

函數(shù)/(①)在(o,七］上單調(diào)遞增；［焉，+8)上單調(diào)遞減；

(2)/(,)=—=1oax—cO=adna=aln,==二。,設(shè)函數(shù)g(x)=上空，

axxax

則g'Q)=1.嚴(yán),令。'(力)=0,得/=6,

在(0,e)內(nèi)g'(力)>0,g(力)單調(diào)遞增;

在(e,+oo)上g<6)V0,g(力)單調(diào)遞減；

?,g(力)max-g(e)—e，

又g(l)=0,當(dāng)I趨近于+8時(shí)，g{x)趨近于0,

所以曲線g=于(X)與直線g=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線y=g(c)與直線0=譚二有兩個(gè)交點(diǎn)的充分

必要條件是0V上四V，,這即是0Vg(Q)Vg(e),

ae

所以a的取值范圍是(l,e)U(e,+oo).

網(wǎng)12(2023居新It青三第三次連應(yīng)性檢測(cè))已知函數(shù)/(工)=a/+(a+DTn/—1,g(0=與.

(1)討論g(c)的單調(diào)性；

2

(2)若方程/Q)=/6+句11，一1有兩個(gè)不相等的實(shí)根如g,求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明/+效>」.

力便2

【解析】(1)因?yàn)間(x)=a4+(a+l)lna?——,

x

所以以,)=。+3+==("+1)(廣+1)3>0),

XXX

當(dāng)a>0時(shí)，g{x}>0,所以g(/)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)aV0時(shí)，令g’(劣)>0,得0〈力〈一十;令"(劣)V0,得力>—―,

所以g(,)在區(qū)間(0,—上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一十,+8)上單調(diào)遞減，

綜上當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)a<0時(shí)，*)在區(qū)間(0,―十)上單調(diào)遞增，在區(qū)間

(—--,+00)上單調(diào)遞減.

(2)方程/(力)=x2ex-\-xlnx-1,即ac+alnx=ce",等價(jià)于aln(xex)=xex,

令力=力e*>0,其中a;>0,則alnt=力，顯然r1,

,6,

令腐)=看,則〃⑴=%!，

所以九⑴在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，且由力-0時(shí)九⑴<0可得在區(qū)間(0,1)±h(t)<0,

人(力)在區(qū)間(1,6)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以九(%)極小值=九(e)=e,

因?yàn)榉匠逃冖?x2ex-\-xlnx—1有兩個(gè)實(shí)根力1,力2,

所以關(guān)于土的方程。=有兩個(gè)實(shí)根九12,且ti—616叼,t—ge”?，所以a6(e,+oo),

Int2

2

2

要證e%+*2>----------,即證力追"力2才>e,即證堆2>e?,只需證int1-\-\nt2>2,

力僮2

因?yàn)?所以2二1,；二;n,,整理可得"=與普，

］

{t2—alnt2由+12=磯1血1+111力2)。一12In力—In12

不妨設(shè)ti>力2>。，則只需證lnti+lnt2——^-―^-ln—>2,

11—力2

質(zhì)2(『幻2借-1)

12

令s=g>1,p(s)=Ins—2(s1)，其中S>1,

t25+1

因?yàn)閐(s)=l——^=-^R>0,所以0(s)在區(qū)間(l,+8)上單調(diào)遞增，

s(s+l)2s(s+l)2

所以/z(s)>無⑴=0,故e*|+%>_?一.

力巡2

03已知函數(shù)，/(力)=In/一力+m,mER,

(1)求/O)的極值；

⑵若/(力)有兩個(gè)零點(diǎn)Q,b,且aVb,求證:e(b+~^~)<2em.

【解析】(1)函數(shù)/(⑼的定義域?yàn)?0,+8),/'0)=：—1.

當(dāng)0<,<1時(shí)，/(乃>0,則/㈤在(0,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)力>1時(shí)，/'⑸V0,則/⑺在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(6)的極大值為/(I)=m—l,無極小值.

(2)令/(力)=0,則？?2=力一Inx.

設(shè)九(6)—X—In力(力>0),

則h\x)=1——=—

xx

易知函數(shù)八(力)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增.

又/i(l)=1,所以h(x)>1,

?7?

又/(2)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以巾>1.

因?yàn)閍Vb,所以O(shè)VaVlVb.

要證e(b+<2em,即證2em-1>b+^-,

\b，b

即證ln2+m—1>In0/—ln(b2+l)—Infe.

又/(b)=0,則a=b—Infe,

故即證ln2+b—Inb—1>ln(b2+l)—Inb,

即證In2—l>ln(b2+l)—b.

設(shè)力(b)=ln(&2+l)—b,b>1,

則，⑹=-1=—(7I

b2+lb2+l<Q

所以t(b)在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

所以t(b)<力⑴=ln2—1,

故e(b+2)V2記得證.

m4設(shè)函數(shù)/(力)=-lii/.

(1)設(shè)4、/)2>0且九+入2=1,求證:對(duì)任意的力1、/2>0,總有燎巡1+4/2成立；

n

(2)設(shè)為>0,4>0(i=1,2,…,九)，且224=1,求證：/物n匯&A/i+4gH---b/lnTn.

i=i

【解析】⑴證明：迎$&46]+42/20111(力優(yōu)，)ln(/l1Ti+/l2^2)=/Mn/i+/)21n力2&ln(A1x1-\-A2X2)

e/(4電+癡)+M(宏2).

不妨設(shè)0V力14力2，

令g(力)=行(%)+—(22)—+義242)=ln(4i/+)2g)—/IJn%—/^In力2,其中0V/&22,

444巡一4(/1便+/)262)A^X-Ax-AX2)/U2O一62)/c

貝g\x)=-------------=------------------=--------r------2---=-------------W0,

AiX+A2X2X(4便+/(262)1(46+辦/2)6(41+義2/2)力

所以，函數(shù)gQ)在區(qū)間(0,宏2〕上單調(diào)遞減，

因?yàn)楱D一(0,①2),則g(力1)>g(62)=Ing—lng=0,

所以，g(/i)—ln(/l何i+z^g)—/WnNiTzln12>0，即Alnoi+zyng&ln{A1x1+A2X2)，

所以，當(dāng)九、/12>0且4+/12=1,對(duì)任意的電、/2>0,總有那改<4力]+相成立.

n

⑵證明：電>0,4>o(i=l,2,…,71),且匯4=1,

i=l

要證名優(yōu)機(jī)…/4九/1+/)2力2H---F/ln^n-

即證41n/i+zl21n/2+—F/lnlnTn<ln(/h；i+4262+—九/力,

即巡1+不電+…+加以)+%/(宓2)+…+4/(以)，

?8?

當(dāng)71=2時(shí)，由（1）可知，不等式成立，

假設(shè)當(dāng)n=M%>2,%eN*）時(shí)不等式成立，

即/（曲ci+蒞鈾+???+晨秋）W+時(shí)3）+…+4/㈤）,

則當(dāng)n=k+1時(shí)，設(shè)x'k=—xk+xk+1,

七十4+1七十^k+1

由（1）可得/（或）W萬―/（隊(duì)）+萬告」/（a+1）,

人k十Ak+14十&+1

則/（/1巡1+/12/2+…+兒軟+4+口"1）=/（/1巡1+/12/2+???+4一1秋_1+（兒+4+1）城）

&九/（◎）+???+4—1/（>—1）+（4+4+i）/（4）<4/（0）+?,?+4/（秋）+4+1/（3+i）,

這說明當(dāng)口=%+1時(shí)，結(jié)論也成立，

故對(duì)任意的neN*,/（1巡1+1262H----^兒力九）<4/（21）+4/（g）H—（穌），

所以,一ln（4i01+/I262H----F/lna;n）4-4iln劣1一---/lnlnj;n,

因止匕,/IxlnXi+^ln^H--F/lnlm;n^ln（Ax1-\-A2X2^~—F/lna:n）,

n

故當(dāng)電>0,4>0（i=l,2,???,?i）,且54=1時(shí)，*云…珞&在Ci+z^gH----l-Anxn.

i=i

5已知函數(shù)/（力）=e=g（力）—x-\-aln劣,aER

（1）討論gQ）的單調(diào)性；

（2）若/（力）+2%>g（力）+力、對(duì)任意力6（1,+8）恒成立，求a的最大值；

【解析】（1）。（力）=1+—=2土包（力>0）,

XX

當(dāng)a>0時(shí)，/（力）>0,gQ）在（0,+8）上單調(diào)遞增;

當(dāng)aV0時(shí)，令￡（/）>0,解得力>—a，令/（力）V0,解得0V力<—a,

/.g㈤在（0,—Q）上單調(diào)遞減，在（-a,+oo）上單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，g{x）在（0,+oo）上單調(diào)遞增；

當(dāng)QV0時(shí)，。（力）在（0,-Q）上單調(diào)遞減，在（-Q,+OO）上單調(diào)遞增；

（2）/（力）+2/>g（力）+/即為ex-\-x>alnx+力0,即e^+lne,\lnxa-\-xa,

設(shè)h{x）—In6+x（x>0）,則h'（x）=—+1='+1,

xx

易知函數(shù)/z（c）在（0,+oo）上單調(diào)遞增，

而/z（e"）>%（"）,所以e"）/（兩邊取對(duì)數(shù)），即2>alruc,當(dāng);r>1時(shí)，即為aW亮,

設(shè)（p{x）=-j^-（z>1）,則（p{x）=,

m⑦Inx

易知函數(shù)武力）在（0,e）上單調(diào)遞減，在（e,+oo）上單調(diào)遞增，

.\03）>0（e）=e,

,a<e,即a的最大值為e.

?9?

何|6已知函數(shù)/（力）=/ln/.

（1）討論/Q）的單調(diào)性；

⑵設(shè)a,6為兩個(gè)不相等的正數(shù),且a』。,證明上<1.

【解析】⑴/'3）=ln/+l,定義域?yàn)椋?,+8）,

由f（x）=0,解得x=—,

e

由/'（力）>0,解得T>—,

e

由f（x）<0,解得0V力V工，

e

所以/（力）的單調(diào)遞增區(qū)間為（十:,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0，!

⑵???Q,b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且d=ba,

blna=alnb,即-In-=31n3,

aabb

由(1)可知/(力)min==—|-，且/⑴=0,力T0時(shí),/(力)—0,

則令力i=L，力2=1，

ab

春。），

貝I力1,力2為/（力）=%的兩根■，且ke

、1

不妨設(shè)劣?。?.一61>一，

e

先證?V%1+/2，即證力2>看一,即證/（力2）=/（g）-3^1）,

令九㈤可㈤-，即證在力e（0,§）上，無（力）>0,

H⑸=/'(/)—/(-|--2)=Inx+ln(-|--/)+2=]n(_/2+菅/)

則+2,

h!(x)在(0,工)上單調(diào)遞增，即〃㈤<〃C）=0,

h!（x）V0在（0,1）上恒成立,即h（x）在

i二0,

”3)>/（―力即可得電>.如

再證/1+62V1,即證工V62V1—Xi,

e

由⑴/㈤單調(diào)性可得證/(g)=/(◎)</(1-^),

令(p(x)=/(x)-/(I-x),xe(0,1),

(p{x)—Inx+ln(l—x)+2=ln(—d+rr)+2,

43)在(0,十)上單調(diào)遞增，

?10?

（p{x}=T0,0’（力）＜0,

所以存在g使得d（g）=0,

即當(dāng)為G（0,g）時(shí)，8’（劣）＜0,0（/）單調(diào)遞減,

當(dāng)力G時(shí)，d（力）＞0,0（劣）單調(diào)遞增，

又有宏-＞0,?（/）＜0,

所以0（力）＜。恒成立,

61+12V1，

則2〈支+上＜1，即可證得?

eab

題目可已知函數(shù)/3）=/ln6+Q,（QGR）.

（1）求函數(shù)/（力）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)OVaV!時(shí)，證明：函數(shù)/（c）有兩個(gè)零點(diǎn)；

（3）若函數(shù)g（/）=/（力）—ax2—x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)的，力2（其中力i＜力2），證明：力「涕〉e3.

【解析】（1）/'（C）=In力+1,（劣＞0）,

當(dāng)0V%V■時(shí)，/'（/）V0,當(dāng)力〉~|■時(shí)，/'（力）＞0,

所以函數(shù)/Q）在（。，十）上遞減，在（,,+QO）上遞增，

所以函數(shù)/（⑸的單調(diào)區(qū)間為（。，?）和（《，+8）；

（2）證明：由⑴知/O）min=/g）=-十+/

因?yàn)镺VaV?,所以/（!）VO,

又當(dāng)力t0+時(shí)，/（力）＞0,/（e）=e+a＞0,

所以函數(shù)在（0,｝）上存在一個(gè)零點(diǎn)，在（十,e）上存在一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)/（①）有兩個(gè)零點(diǎn)；

（3）證明：g（x）=/（0?）—ax2—x=/In力---ax2—x+a,（n＞0）,

則9（力）=In6—2a6,

因?yàn)楹瘮?shù)g（力）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)如了2（其中力i＜/2）,

所以lnj；i=2ag,\nx2—2ax2,

要證/ra?2>e3等價(jià)于證In(力r滋)>Ine3,

即證lnx1+21nx2>3,

所以3Vln/i+2hi力2=2a/I+4Q力2=2a(Xi+2T2),

因?yàn)?VXi<x2,

所以2a>—,

61+262

又lnj；i=2。/1,inx2—2ax2,

予In型

作差得In-=a(力1—力2)，所以Q=-----,

6221一力2

21n型&

所以原不等式等價(jià)于要證明一生〉一

Xi~X211+2力2

即21n色(叱頊，

令力=也工e(0,1),

力2

則上不等式等價(jià)于要證：21n%<若)工)(0，1)，

令Mt)=21nt—3'+；)上C(0,1),

則h\t)=-..........=2J+8>o,ie(0,1),

3t(±+2)2t?+2)2、，八

所以函數(shù)h(t)在(0,1)上遞增，

所以八(力)V拉⑴=0,

所以21ntV(0,1),

所以Xi,太>e3.

題目叵形如“=/3)刎的函數(shù)稱為幕指函數(shù)，幕指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，可以利用對(duì)數(shù)法:在函數(shù)解析式兩邊取

對(duì)數(shù)得Iny=lnf(x)sM—g(x)lnf(x)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得幺=g'(c)ln/(2：)+g(x)，于是y—/(①)"到

y/⑺

d(c)ln/(±)+g(x)；；；］?已知/(工)=26?"",g(x)=x2+l.

(1)求曲線g=/3)在C=1處的切線方程；

(2)若h(x)=f(x),求九(力)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求證：V力G(0,+8),/(力)>g(/)恒成立.

【解析】⑴由賽指函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式得f3)=2ex}nx(lnx+1),

所以/(1)=2,又f(l)=2,

所以，曲線g=/(力)在)=1處的切線方程為g=2力.

?12?

⑵九(力)=/Q)=2exlnx(lnT+l),x€(0,+oo),

則h!(x)=2(功1nxin2+1)+2?1")(1口比+1/

=2[ellM(lna;+l)](lnc+1)+2(erfM)?[

=2elte[(lnx+1)2+^]>0,

所以h{x}的單調(diào)增區(qū)間為(0,+oo),無單調(diào)減區(qū)間.

(3)構(gòu)造F{x)=/(re)-g(x),xG(0,+oo),

則F'(x)—f{x}—g{x)—2exlnx(lnx+1)—2c,

令H(x)=Fr(x)=2ea:IlKF(ln?+1)—2x,xE(0,+co),

所以H\x)=2?me(lnc+l)2+e(^l)te-l],

因?yàn)閍;—1與Inrc同號(hào)，所以(/一l)lnz>0,所以e(rc-1>lna：—1>0,

又e”Rlnc+I)?>0,所以H\x)>0,

所以J/Q)即F'Q)為(0,+oo)上增函數(shù)，

又因?yàn)镕'(l)=0,

所以，當(dāng)①6(0,1)時(shí)，F(xiàn)\x)VF'⑴=0;

當(dāng)cC(l,+oo)時(shí)，尸㈤>F'⑴=0.

所以，F(xiàn)(s)為(0,1)上減函數(shù)，為(1,+8)上增函數(shù)，

所以，F(xiàn)(x)min=F(l)=0,

即F(x)=f(x)-g(x)>0,

因此，Va;G(0,+co)JQ)>g(c)恒成立，即證.

〔題目因已知函數(shù)