原子核的殼模型

§8.2、原子核的殼模型（Shellmodel）1、原子中電子的殼層結(jié)構(gòu)在原子中，處于中心的原子核對(duì)于周?chē)碾娮觼?lái)講可以看作是點(diǎn)電荷，它的庫(kù)侖場(chǎng)是有心力場(chǎng)。可以近似的認(rèn)為每個(gè)電子是在核和其它電子所組成的平均場(chǎng)中各自獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)平均場(chǎng)是一種有心場(chǎng)。根據(jù)量子力學(xué)，電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由四個(gè)量子數(shù)n,l,,來(lái)描述。

n---主量子數(shù)

l---軌道角動(dòng)量量子數(shù)

,---軌道磁量子數(shù)和自旋磁量子數(shù)

n取正整數(shù)：n=1,2,3,……

對(duì)一定的n,l取值,l=0,1,2,…n-1，共n。對(duì)一定的l,取值：

=l,l-1,l-2,…,-l

共2l+1

對(duì)一個(gè),=±1/2

對(duì)于庫(kù)侖場(chǎng)，在不考慮電子自旋與軌道運(yùn)動(dòng)相互作用的情況下，電子的能量狀態(tài)由n和l決定。

對(duì)某一個(gè)確定的n,l相同的狀態(tài)，能量都一樣，因而某一給定l的2l+1個(gè)狀態(tài)，能量都相同。由泡利不相容原理，對(duì)于自旋s=1/2的電子，它服從泡利原理。這樣，在能量相同的同一個(gè)l能級(jí)上總共可以容納2(2l+1)個(gè)電子。對(duì)于l=0,1,2,3,4,5,6,7,分別用s,p,d,f,g,h,I,j,…表示

∴對(duì)于s能級(jí)，最多容納的電子數(shù)N=2

對(duì)于p能級(jí)，N=6

對(duì)于d能級(jí)，N=10

對(duì)于f能級(jí)，N=14

對(duì)于g能級(jí)，N=18

對(duì)于h能級(jí)，N=22

對(duì)于i能級(jí)，N=26

對(duì)于j能級(jí)，N=30

由于內(nèi)層電子對(duì)外層電子的屏蔽作用，實(shí)際的有心場(chǎng)與庫(kù)侖場(chǎng)有所不同，所得的能級(jí)次序見(jiàn)下表。

由于處于最低能級(jí)最穩(wěn)定，但由于泡利原理的限制，每一能級(jí)最多只能填充N(xiāo)=2（2l+1）個(gè)電子。這樣就可把電子按從低能級(jí)往高能級(jí)的次序逐個(gè)填充，從而形成所謂殼層結(jié)構(gòu)。滿殼層時(shí)的電子數(shù)為2，10，18，36，54，86，它們正是惰性氣體氦、氖、氬、氪、氙、氡的原子序數(shù)。2、核內(nèi)存在殼層結(jié)構(gòu)的條件如果原子核中也存在類(lèi)似于原子的殼層結(jié)構(gòu)，則須滿足下列條件：

1）、在每一個(gè)能級(jí)上，容納核子的數(shù)目應(yīng)當(dāng)有一定的限制。

2）、核內(nèi)存在一個(gè)平均場(chǎng)，對(duì)于接近球形的原子核，這個(gè)平均場(chǎng)是一種有心場(chǎng)。3）、每個(gè)核子在核內(nèi)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)當(dāng)是各自獨(dú)立的。第一個(gè)條件是滿足的，由于中子和質(zhì)子都是自旋為1/2的粒子，所以都服從泡利原理，從而每個(gè)中子和質(zhì)子的能級(jí)容納核子的數(shù)目受到一定的限制。中子和質(zhì)子有可能各自組成自己的能級(jí)殼層。后兩個(gè)條件看來(lái)很難滿足，這是由于原子核的情況與原子的情況有很大的不同。第一，原子中的庫(kù)侖力是一種長(zhǎng)程力，而原子核中核子之間的作用力主要是短程力，因而原子核中不象原子中那樣存在一個(gè)明顯的有心力。第二，核中的核子的密度與原子中的電子密度相比，大得不可比擬，以致核子在核中的平均自由程可以比核半徑小得多，于是可以想象核子間似應(yīng)不斷發(fā)生碰撞，因而很難理解在核子中的運(yùn)動(dòng)可以是各自獨(dú)立的。正由于上述二方面的原因，核內(nèi)存在殼層結(jié)構(gòu)受到懷疑，以致在很長(zhǎng)時(shí)期殼層模型沒(méi)有得到發(fā)展。3、核的殼模型的基本思想

1）、原子核中雖然不存在與原子中相類(lèi)似的不變的中心場(chǎng)，但我們可以把原子核中的每個(gè)核子看作是在一個(gè)平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，這個(gè)平均場(chǎng)是所有其他核子對(duì)一個(gè)核子作用場(chǎng)的總和。對(duì)于接近球形的原子核，可以認(rèn)為這個(gè)平均場(chǎng)是個(gè)有心場(chǎng)。2）、泡利原理不但限制了每一能級(jí)所容納核子的數(shù)目，作為泡利原理應(yīng)用的引伸，原子核中核子與核子的碰撞也受到極大限制。因?yàn)樘幱诨鶓B(tài)的原子核，它的低能態(tài)填滿了核子。如果兩個(gè)核子發(fā)生碰撞使核子狀態(tài)改變，則根據(jù)泡利原理，這兩個(gè)核子只有去占據(jù)未被核子所占有的態(tài)，這種碰撞的幾率是很小的。這就使得單個(gè)核子還能保持原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即單個(gè)核子能在核中獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。所以，殼模型也叫獨(dú)立粒子模型。4、球形核中單粒子勢(shì)及單粒子能級(jí)1）、體系的哈密頓量及平均勢(shì)多核子系統(tǒng)的Schr?dinger方程為：

其中：H為原子核的哈密頓算符，一般形式為：式中：T（i）——第i個(gè)粒子的動(dòng)能算符

V（ij）——兩個(gè)粒子之間的相互作用勢(shì)能對(duì)于原子核體系，Schr?dinger方程的嚴(yán)格求解是難以辦到的根據(jù)殼模型的基本思想，引進(jìn)一個(gè)平均勢(shì)場(chǎng)V(i),代替第i個(gè)核子所受到的來(lái)自其他(A-1)個(gè)粒子的平均勢(shì)，則體系的哈密頓量為：其中：為粒子運(yùn)動(dòng)哈密頓量

為剩余相互作用求解Schr?dinger方程的一種近似途徑是選擇一個(gè)較好的平均勢(shì)V(i),使剩余相互作用和相比很小，可當(dāng)作微擾來(lái)處理。在獨(dú)立粒子近似下，忽略剩余相互作用，則Schr?dinger方程變?yōu)椋合到y(tǒng)得總能量為：系統(tǒng)的波函數(shù)就是單粒子波函數(shù)的乘積

由此可見(jiàn)，在殼模型的假定下，就把一個(gè)多體問(wèn)題化成單粒子在平均勢(shì)場(chǎng)下運(yùn)動(dòng)的單體問(wèn)題。對(duì)于球形核或幻數(shù)附近核，平均單粒子勢(shì)可取中心勢(shì)，這種勢(shì)只跟核子與勢(shì)場(chǎng)中心的距離有關(guān)，而與方向無(wú)關(guān)?？紤]到原子核具有一個(gè)比較明顯的表面，且核力又是短程的，那么當(dāng)核內(nèi)的核子離開(kāi)表面的距離大于核力作用范圍時(shí)，此核子受到周?chē)俗幼饔玫膬袅榱?，即平均?shì)應(yīng)為常數(shù)。最簡(jiǎn)單的中心場(chǎng)勢(shì)為方阱勢(shì)，諧振子勢(shì)及Woods-Saxon勢(shì)，下面分別討論：（1）、球方阱勢(shì)R---勢(shì)阱半徑

V0---勢(shì)阱深度（2）、球形諧振子勢(shì)（V0=Constant）m--核子質(zhì)量（3）、Woods-Saxon勢(shì)一般?。浩渲校篤0<0,為常數(shù)；c，a>0說(shuō)明：①、球方勢(shì)阱的物理意義表示核子在原子核內(nèi)部和外部都不受力，只在核的邊界上才受到很強(qiáng)的向里的力。②、諧振子勢(shì)阱則表示核子在原子核的中心附近不受力，當(dāng)核子從核中心附近向外移動(dòng)時(shí)，受到一個(gè)逐漸變強(qiáng)的向里的力。③、諧振子勢(shì)沒(méi)有把核力的作用范圍限于核內(nèi)，直角勢(shì)阱則認(rèn)為核子從核的邊界往外移動(dòng)時(shí)所受的向里的力會(huì)發(fā)生從極大到零的突變，這些都與實(shí)際情況不相符合。④、直角勢(shì)阱把核子從核的邊界往里移動(dòng)時(shí)所受向里的力的變化描寫(xiě)的太快，這只是一種極端的近似，而諧振子勢(shì)阱則把這種變化描寫(xiě)的又太慢了。⑤、Woods-Saxon勢(shì)阱是一種比較合理的勢(shì)阱，但用這種勢(shì)阱進(jìn)行處理在數(shù)學(xué)上十分麻煩。⑥、理論計(jì)算表明，不同勢(shì)阱的選擇對(duì)推得能級(jí)的次序影響極小。2）、球形諧振子勢(shì)阱下單粒子運(yùn)動(dòng)能級(jí)為了符合實(shí)驗(yàn)，一般取利用量子力學(xué)，求得單粒子運(yùn)動(dòng)的能量其中：l=0,1,2,3,…的能級(jí)分別用s,p,d,f,…表示，在球形諧振子勢(shì)阱下，單粒子運(yùn)動(dòng)的能級(jí)由決定，又決定于v和l①當(dāng)=0，則，v=1,l=0

即=0的能級(jí)只有1s一個(gè)狀態(tài)②當(dāng)=1，則，v=1,l=1=1的能級(jí)只有1p一個(gè)狀態(tài)

=2,有兩組v和l

④=3，有兩種狀態(tài)

=4，有三種狀態(tài)

…

…

根據(jù)泡利原理，同一l的狀態(tài)最多能容納2(2l+1)個(gè)同類(lèi)核子，從而可以得出諧振子勢(shì)阱中同類(lèi)核子填滿相應(yīng)能級(jí)時(shí)的總數(shù)。由下表看出諧振子勢(shì)阱只給出前面三個(gè)幻數(shù)：2，8，20，其它幻數(shù)沒(méi)有出現(xiàn)。3）、直角方阱勢(shì)下單粒子的運(yùn)動(dòng)能級(jí)在直角方阱勢(shì)下：?jiǎn)魏俗舆\(yùn)動(dòng)的能量利用量子力學(xué)求得為：式中：是貝塞爾函數(shù)的根。

k——核子的波數(shù)的數(shù)值見(jiàn)上表所示，它決定了能級(jí)次序。

在直角勢(shì)阱中能級(jí)的退化得到部分消除，不同狀態(tài)（v,l）具有不同的能量，而且能級(jí)的的次序也與諧振子情形不同，它也只能給出三個(gè)幻數(shù)：2，8，20，其他幻數(shù)同樣不能出現(xiàn)。

下頁(yè)圖給出兩種勢(shì)阱得出的能級(jí)次序，兩邊標(biāo)有各種量子態(tài)以及各能級(jí)能容納的核子數(shù)，方括號(hào)中的數(shù)字表示從最低能級(jí)直到該能級(jí)可容納的核子總數(shù)。由于核子在真正核場(chǎng)中的能級(jí)應(yīng)介于兩者之間，這種能級(jí)可以對(duì)以上兩種能級(jí)用內(nèi)插法粗糙地求得。由圖可見(jiàn)，內(nèi)插法獲得的能級(jí)同樣不能得出所有幻數(shù)，也只能出現(xiàn)前三個(gè)：2，8，20.5、自旋—軌道耦合在諧振子勢(shì)阱和方勢(shì)阱的討論中，我們都沒(méi)有考慮核子的自旋和軌道耦合問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)表明，核子的自旋—軌道耦合不但存在，而且這種耦合作用是很強(qiáng)的。

1949年，在大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)的啟示下，M.G.MayerandJ.H.D.Jensen獨(dú)立提出了強(qiáng)自旋—軌道耦合模型，使問(wèn)題的解決有了關(guān)鍵性的突破。他們把方勢(shì)阱和諧振子勢(shì)看成兩種極端的情況，取平均后加上一項(xiàng)強(qiáng)自旋—軌道耦合項(xiàng)。從而使單粒子能級(jí)發(fā)生了大的分裂得到全部幻數(shù)。由于核子的自旋—軌道角動(dòng)量的耦合，核子的能量不僅取決于軌道角動(dòng)量l的大小，而且取決于軌道角動(dòng)量相對(duì)于自旋的取向。與平行時(shí)(總角動(dòng)量j=l+1/2)和反平行時(shí)（j=l-1/2）的能量是不同的。因此，考慮自旋軌道耦合后，同一條l的能級(jí)將劈成兩條。在原子物理中，自旋—軌道耦合引起的能級(jí)劈裂解釋了電子能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)。在原子中，由于電子的自旋—軌道耦合較弱，j=l±1/2的兩個(gè)能級(jí)的間隔與相鄰能級(jí)的距離相比是較小的，一般不會(huì)改變?cè)瓉?lái)能級(jí)的次序。對(duì)于原子核，由于核子的自旋-軌道耦合是很強(qiáng)的，所劈裂的兩個(gè)能級(jí)j=l±1/2的間隔很大，而且與（2l+1）成正比，隨l的增加而增大，以致改變?cè)瓉?lái)的能級(jí)次序。自旋—軌道相互作用的一般形式為：∴由于的作用而附加的能級(jí)為：其中：<f(r)>表示為對(duì)徑向波函數(shù)求平均值。則相同l，不同j的能級(jí)分裂為：由此可見(jiàn)：①、由于力的引入而部分解除了原來(lái)的簡(jiǎn)并。②、l一定的能級(jí)分裂為的兩個(gè)能級(jí)，分裂距離正比于(2l+1)，即l越大，分裂越厲害。③、由實(shí)驗(yàn)值知道能級(jí)在能級(jí)的下面，所以要求f(r)<0。④、適當(dāng)選擇自旋—軌道耦合強(qiáng)度f(wàn)(r)后，就可以解釋全部的幻數(shù)。對(duì)于原子情況：這里V(r)可取庫(kù)侖勢(shì)：對(duì)于原子核的情況f(r)近似取同樣的形式。這里∴∵∴但由此f(r)得到的單粒子能級(jí)不符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，數(shù)值太小，為了符合單粒子能級(jí)的實(shí)驗(yàn)值，取下面半經(jīng)驗(yàn)公式：

考慮自旋—軌道耦合后，同一的能級(jí)分成了兩條，對(duì)于新的能級(jí)，應(yīng)以（v,l,j）三個(gè)量子數(shù)來(lái)表征。由于在空間可有2j+1個(gè)不同的取向，所以這些新的能級(jí)是2j+1度退化的。根據(jù)泡利原理，它們各自可容納2j+1個(gè)同類(lèi)核子?？紤]自旋—軌道耦合后的能級(jí)圖如下頁(yè)所示，圖中左邊橫線表示由諧振子和直角勢(shì)阱的能級(jí)內(nèi)插得到的能級(jí)。說(shuō)明：①、新的能級(jí)用（v,l,j）三個(gè)量子數(shù)來(lái)表示。例如：能級(jí)：表示:v=1,l=1,j=②、由于能級(jí)的劈裂，組成了新的原子核殼層，它們給出了全部幻數(shù)。③、兩個(gè)幻數(shù)間的能級(jí)，形成一個(gè)主殼層，主殼層內(nèi)的每一個(gè)能級(jí)叫做支殼層。④、主殼層之間的能量間隔較大，支殼層之間的能量間隔較小。⑤、新的主殼層的形成，是由于有些能級(jí)劈裂特別大，如：50，82，126三個(gè)幻數(shù)分別落在1g,1h,1i的分裂處。⑥、同一主殼層內(nèi)可以有宇稱(chēng)不同的能級(jí)，當(dāng)l為偶數(shù)時(shí)宇稱(chēng)為正，當(dāng)l為奇數(shù)時(shí)，宇稱(chēng)為負(fù)；而且相鄰能級(jí)的j值可以相差很大。⑦、質(zhì)子和中子各有一套能級(jí)，如下頁(yè)圖。圖中顯示的能級(jí)次序，不表示能級(jí)間距的定量關(guān)系。實(shí)際上，由于質(zhì)子間具有庫(kù)侖斥力，質(zhì)子的能級(jí)比相應(yīng)中子的能級(jí)更高一些，能級(jí)間距要大一些，特別是當(dāng)核子數(shù)較多時(shí)更是這樣。⑧、殼結(jié)構(gòu)理論預(yù)言，82以后的質(zhì)子幻數(shù)可能是114；126以后的中子幻數(shù)是184。因此，根據(jù)理論預(yù)言，質(zhì)子數(shù)為114和中子數(shù)為184的原子核是雙幻核。該核及其附近的一些核，可能具有相當(dāng)大的穩(wěn)定性，它們比普通核還重，所以稱(chēng)為超重核，這種超重核至今還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。6、對(duì)關(guān)聯(lián)上面討論，主要是基于包括自旋—軌道耦合在內(nèi)的平均場(chǎng)，以及核子可以獨(dú)立地在這平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的假設(shè)。核子之間的相互作用除了平均場(chǎng)部分外，還有剩余相互作用：

在剩余相互作用?res中最重要的成分是同類(lèi)核子間的短程吸引力，這種兩個(gè)配對(duì)核子之間的短程吸引作用稱(chēng)為對(duì)關(guān)聯(lián)。所謂配對(duì)是指兩個(gè)核子所處的狀態(tài)，僅是磁量子數(shù)m的符號(hào)相反，其他量子數(shù)均相同。若用k表示狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)；-k表示另一狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)，而其中三個(gè)量子數(shù)均與k相同，只是磁量子數(shù)m有相反的符號(hào)。則對(duì)關(guān)聯(lián)主要發(fā)生在狀態(tài)k和-k的粒子間。通常稱(chēng)狀態(tài)的粒子數(shù)為占有數(shù)。根據(jù)泡