2018年高考知識(shí)點(diǎn)透析和經(jīng)典題型解析系列之計(jì)數(shù)原理及概率、隨機(jī)變量和分布

第九章錯(cuò)誤!計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)，分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

完成一件事的策略完成這件事共有的方法

分類

加法有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在

N=m+n種不同的方法

計(jì)數(shù)第2類方案中有〃種不同的方法

原理

分步

乘法需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有

N=mXn種不同的方法

計(jì)數(shù)〃種不同的方法

原理

［小題體驗(yàn)］

1.〈教材習(xí)題改編＞書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書,

第3層放有6本不同的體育書.從第1,2,3層分別各取1本書，則不同的取法種數(shù)為＜＞

A.3B.15

C.21D.120

解析:選D由分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3層分別各取1本書不同的取法總數(shù)為4X5X6

=120＜種＞.故選D.

2.〈斂材習(xí)題改編〉從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不

同取法的種數(shù)是.

解析：從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),

共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有N=3

+3=6種.

答案：6

1.分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情,類與類

之間是獨(dú)立的.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未

完成這件事，步與步之間是相關(guān)聯(lián)的.

［小題糾偏］

1.用0,1,2,…,9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為＜＞

A.243B.252

C.261D.279

解析：選B0,1,2,…,9共能組成9X10X10=900＜個(gè)＞三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

有9X9X8=648＜個(gè)〉,...有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900—648=252＜個(gè)〉.

2.如圖，從A城到5城有3條路；從3城到&城有4條路；從4城到C城有4條路,

從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有條不同的路線.

解析：不同路線共有3義4+4乂5=32＜條＞.

答案：32

錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！

［題組練透］

1.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本,同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋

友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有＜＞

A.4種B.10種

C.18種D.20種

解析：選B分兩種情況：①4位朋友中有2個(gè)人得到畫冊(cè)，有C錯(cuò)誤！=6＜種＞贈(zèng)送方

法；②4住朋友中只有1個(gè)人得到畫冊(cè)，有C錯(cuò)誤！=4＜種＞贈(zèng)送方法，所以不同的贈(zèng)送方法共

有6+4=10＜種＞，故選B.

2.橢圓錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=1的焦點(diǎn)在x軸上，且機(jī)e{l,2,3,4,5},2,3,4,5,6,7},則這樣的

橢圓的個(gè)數(shù)為.

解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以機(jī)〉”.以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，由分類加法計(jì)數(shù)原理,可分為

四類：第一類：，"=5時(shí)，使機(jī)＞〃,“有4種選擇；第二類：/w=4時(shí)，使有3種選擇；

第三類：,”=3時(shí)，使m＞n,n有2種選擇；第四類：m=2時(shí)，使m＞n,n有1種選擇.故符合

條件的橢圓共有10個(gè).

答案：1()

3.＜2017XX模擬〉在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為

解析：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,234,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目

條件的兩位數(shù)分別是8個(gè),7個(gè),6個(gè),5個(gè),4個(gè),3個(gè),2個(gè),1個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36＜個(gè)＞，故

共有36個(gè).

答案：36

［謹(jǐn)記通法］

利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)2個(gè)注意點(diǎn)

＜1＞根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；

＜2＞分類時(shí)，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).

錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!

［題組練透］

1.將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張,則不同分法的種數(shù)是

＜＞

A.2160B.720

C.240D.120

解析：選B分步來完成此事.第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8

種分法，則共有10*9乂8=72()＜種＞分法.

2.已知集合M={-3,—2,—1,0,1,2},尸＜“》＜“＞6"＞表示平面上的點(diǎn)，則尸可表示坐標(biāo)

平面上第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為＜＞

A.6B.12

C.24D.36

解析：選A確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：

第一步確定”,由于所以有3種方法；

第二步確定仇由于6＞0,所以有2種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3X2=6.故選A.

3.從一1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)人了＞=改2+桁+。的系數(shù)，則可組

成個(gè)不同的二次函數(shù),其中偶函數(shù)有_______個(gè)＜用數(shù)字作答＞.

解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著”,瓦caW0＞的一組取值,a的取法有3種力的取法有3種,c

的取法有2種,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3乂3義2=18＜個(gè)＞二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函

數(shù)，則6=0,同上可知共有3X2=6＜個(gè)＞偶函數(shù).

答案：186

［謹(jǐn)記通法］

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)3個(gè)注意點(diǎn)

＜1＞要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.

＜2＞各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.

＜3＞對(duì)完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定.

錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！

［典例引領(lǐng)］

1.如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰

區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為＜＞

A.24B.48

C.72D.96

解析：選C分兩種情況:

＜1＞A,C不同色，先涂A有4種,C有3種,E有2種,國(guó)。有1種，有4X3X2=24＜種＞涂法.

＜2＞A,C同色，先涂A有4種,E有3種,C有1種,8,0各有2種，有4*3*2*2=48＜種＞

涂法.

故共有24+48=72種涂色方法.

2.已知集合〃={1,2,3,4},集合A,B為集合M的非空子集，若對(duì)6修中恒成立,

則稱＜A,8＞為集合M的一個(gè)〃子集對(duì)"，則集合M的〃子集對(duì)〃共有個(gè).

解析：當(dāng)4={1}時(shí),8有23—1種情況；當(dāng)4={2}時(shí),8有22—1種情況；當(dāng)4={3}時(shí),8

有1種情況；當(dāng)4={1,2}時(shí),5有22-1種情況；當(dāng)4={1,3},{2,3},{1,2,3}時(shí)/均有1種情況.所

以滿足題意的"子集對(duì)”共有7+3+1+3+3=17〈個(gè)〉.

答案：17

［由題悟法］

兩個(gè)原理應(yīng)用的關(guān)鍵

＜1＞應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類還是分步.

＜2＞分類要做到〃不重不漏〃，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵.

＜3＞分步要做到"步驟完整"，步步相連才能將事件完成.

＜4＞較復(fù)雜的問題可借助圖表完成.

［即時(shí)應(yīng)用］

1.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)在一個(gè)

正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的”正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是

＜＞

A.48B.18

C.24D.36

解析：選D分類討論：

第一類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成”正交線面對(duì)"，這樣的"正交線面對(duì)"有

2X12=24v個(gè)〉；

第二類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成"正交線面對(duì)"，這樣的”正交線面

對(duì)”有12個(gè).

所以正方體中"正交線面對(duì)”共有24+12=36〈個(gè)〉.

2.如圖，用6種不同的顏色把圖中A,5,C,04塊區(qū)域分開,若相鄰區(qū)域不

能涂同一種顏色，則涂色方法共有種＜用數(shù)字作答＞.。

解析：從A開始涂色人有6種涂色方法,3有5種涂色方法,C有4種

涂色方法。有4種涂色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6義5義4乂4=480＜種＞涂色方

法.

答案：480

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

l.a,b,cAe共5個(gè)人,從中選1名組長(zhǎng)1名副組長(zhǎng)，但a不能當(dāng)副組長(zhǎng)，不同選法的種數(shù)是

＜＞

A.20B.16

C.10D.6

解析：選B當(dāng)a當(dāng)組長(zhǎng)時(shí),則共有1乂4=4＜種＞選法；當(dāng)a不當(dāng)組長(zhǎng)時(shí)，因?yàn)閍不能當(dāng)

副組長(zhǎng)，則共有4乂3=12＜種＞選法.因此共有4+12=16種選法.

2.一購(gòu)物中心銷售某種型號(hào)的智能手機(jī)，其中國(guó)產(chǎn)的品牌有20種,進(jìn)口的品牌有10種,

小明要買一部這種型號(hào)的手機(jī)，則不同的選法有＜＞

A.20種B.10種

C.30種D.200種

解析：選C分類完成此事，一類是買國(guó)產(chǎn)品牌，有20種選法，另一類是買進(jìn)口品牌，有10

種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有20+10=30＜種＞選法.

3.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B,CJ）中選

擇,其他四個(gè)號(hào)碼可以從0?9這十個(gè)數(shù)字中選擇〈數(shù)字可以重復(fù)〉，有車主第一個(gè)號(hào)碼（從左

到右〉只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號(hào)碼可選的所

有可能情況有＜＞

A.180種B.360種

C.720種D.960種

解析：選D按照車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二個(gè)號(hào)碼有3種選法,

其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法.因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有5X3X4X4X4=960＜

種〉.

4.從0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是.

解析：從1,3中取一個(gè)排個(gè)住，故排個(gè)位有2種方法；排百位不能是0,可以從另外3個(gè)

數(shù)中取一個(gè)，有3種方法；排十住有3種方法.故所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3X3X2=18.

答案：18

5.在2016年里約奧運(yùn)會(huì)百米決賽上,8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽.其中甲、乙、丙

三人必須在123,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有

種.

解析：分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員.

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排.安排方式有4X3X2=

24c種〉.

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道上安排，所以安排方式有

5X4X3X2Xl=12(k^>

,安排這8人的方式有24X120=2880＜種＞.

答案:2880

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

1.設(shè)集合4={-1,0,1},集合5={0,1,2,3},定義A*Z?={＜xj＞|xGAC〃,yGAUB},則A*B

中元素的個(gè)數(shù)是＜＞

A.7B.10

C.25D.52

解析：選B因?yàn)榧?={-1,0,1},集合3={0,1,2,3},所以AnB={0,l}4UB={-

1,0,1,2,3},所以x有2種取法,y有5種取法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得有2*5=10＜個(gè)＞.

2.從2,3,4,5,67,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則

可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為＜＞

A.56B.54

C.53D.52

解析：選D在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8乂7=56＜個(gè)＞對(duì)數(shù)值，但在這56個(gè)對(duì)

數(shù)值中,log24=Iog39,log42=Iog93,log23=log49,logj2=log94,即滿足條件的對(duì)數(shù)值共有56—4

=52＜個(gè)＞.

3.從集合{1,2,3,…,10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)

列的個(gè)數(shù)為＜＞

A.3B.4

C.6D.8

解析：選D當(dāng)公比為2時(shí),等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8;當(dāng)公比為3時(shí),等比數(shù)列可為

1,3,9;當(dāng)公比為錯(cuò)誤!時(shí),等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!時(shí)，也有4個(gè).故

共有8個(gè)等比數(shù)列.

4.＜2015XX高考〉用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶

數(shù)共有＜＞

A.144個(gè)B.120個(gè)

C.96個(gè)D.72個(gè)

解析：選B當(dāng)萬位數(shù)字為4時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2中任選一個(gè)，共有2A錯(cuò)誤!個(gè)偶數(shù)；當(dāng)

萬位數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2,4中任選一個(gè)，共有C錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤!個(gè)偶數(shù).故符合條件的偶

數(shù)共有2A錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤!=120＜個(gè)＞.

5.如圖是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，現(xiàn)q

在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰

區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有＜＞

A.24種B.72種

C.84種D.120種

解析：選C如圖，設(shè)四個(gè)直角三角形順次為A,B,CJ）,按KjXc

A—5—C-。順序涂色，

下面分兩種情況：

＜1＞A,C不同色＜注意：8,0可同色、也可不同色，。只要不與A,C同色，所以?？梢詮氖?/p>

余的2種顏色中任意取一色〉：有4*3*2義2=48＜種＞不同的涂法.

＜2＞A,C同色〈注意：8Q可同色、也可不同色，。只要不與A,C同色，所以?？梢詮氖Ｓ?/p>

的3種顏色中任意取一色〉：有4X3X1X3=36＜^＞不同的涂法.故共有48+36=84＜種＞

不同的涂色方法.故選C.

6.集合7={4力,,}={—5,—4,—2,1,4},若關(guān)于x的不等式ax2+Z＞x+c＜0恒有實(shí)數(shù)解，則

滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)是.

解析：依題意知，集合N最多有C錯(cuò)誤!=10＜個(gè)＞，其中對(duì)于不等式&+公+"0沒有實(shí)

數(shù)解的情況可轉(zhuǎn)化為需要滿足a＞0,且4=b2-4acW0,因此只有當(dāng)a,c同號(hào)時(shí)才有可能，共有2

種情況，因此滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)是10-2=8.

答案：8

7.在一個(gè)三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為"駝峰數(shù)"，比如

“102”,“546”為“駝峰數(shù)”.由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的"駝峰數(shù)〃有個(gè).

解析：十位上的數(shù)為1時(shí)，有213,214,312,314,412,413,共6個(gè),十位上的數(shù)為2時(shí)，有

324,423,共2個(gè)，所以共有6+2=8＜個(gè)＞.

答案：8

8.如圖所示，用五種不同的顏色分別給四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)

域必須涂不同顏色,若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有（八J：）

——稱

解析：按區(qū)域分四步：第一步△區(qū)域有5種顏色可選；第二步乃區(qū)域有4種顏色可選；

第三步,C區(qū)域有3種顏色可選；第四步，。區(qū)域也有3種顏色可選.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,

共有5*4義3乂3=180＜種＞不同的涂色方法.

答案：180

9.已知△45C三邊a,b,c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且a4方式c,如果。=25,則符合條件的三角形共

有個(gè).

解析：根據(jù)三邊構(gòu)成三角形的條件可知,c＜25+a.

第一類：當(dāng)a=l,b=25時(shí),c可取25,共1個(gè)值；

第二類，當(dāng)a=2,b=25時(shí),c可取25,26,共2個(gè)值；

當(dāng)a=25,b=25時(shí),c可取25,26,”?,49,共25個(gè)值;

所以三角形的個(gè)數(shù)為1+2H-----1-25=325.

答案：325

10.已知集合〃=錯(cuò)誤!，若則：

<l>y=ax2+bx+c可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)；

<2>y=ox2+bx+c可以表示多少個(gè)圖象開口向上的二次函數(shù).

解：<l>a的取值有5種情況乃的取值有6種情況,c的取值有6種情況，因此y=ax2+/)x

+c可以表示5X6X6=180〈個(gè)〉不同的二次函數(shù).

<2>y=ax2+bx+c的圖象開口向上時(shí),a的取值有2種情況力,c的取值均有6種情況，因

此y=ax2+bx+c可以表示2乂6*6=72<個(gè)>圖象開口向上的二次函數(shù).

三上臺(tái)階啟主選做志在沖刺名校

1.<2015XX高考〉己知集合A={<x,y>M+y2Wi4,yeZ},B={vx,y>||x|W2,b>|W2/,yG

Z},定義集合A十3={<xi+x2,yi+y2>l<xi,yi>eA,<x2,y2>e8},則A?B中元素的個(gè)數(shù)為

<>

A.77B.49

C.45D.30

解析：選CA={<x,y>M+y2近14,yGZ}={<x,y>|x=±lj=0;或x=0,y=±l;或x=

0j=0},

B={<x,j>||x|^2,ly|^2^,jeZ}={<x,j?|x=-2,-l,0,l,2；j=-2,-l,0,UM表示

點(diǎn)集.

由*1=—1,0,1/2=-2,—1,0,1,2,得*1+*2=—3,—2,—1,0,1,2,3,共7種取值可能.

同理，由yi=—l,0,l,y2=-2,—1,0,1,2,得力+以=-3,—2,—1,0,1,2,3,共7種取值可能.

當(dāng)xi+x2=-3或3時(shí),了1+竺可以為-2,—1,0,1,2中的一個(gè)值，分別構(gòu)成5個(gè)不同的點(diǎn)，

當(dāng)Xi+x2=—2,—1,0,1,2時(shí),yi+也可以為-3,—2,—1,0,1,2,3中的一個(gè)值，分別構(gòu)成7個(gè)

不同的點(diǎn)，

故A十5共有2乂5+5乂7=45<個(gè)>元素.

2.<2017XX十二校缺考>若m,n均為非負(fù)整數(shù)，在做m+n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位〈例

如：134+3802=3936>,則稱<叫〃>為"簡(jiǎn)單的”有序?qū)Γ鴐+n稱為有序?qū)?lt;叫心的值，那么

值為1942的〃簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是.

解析：第1步,1=1+0,1=0+1,共2種組合方式；

第2步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…,9=9+0,共10種組合方式；

第3步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5種組合方式；

第4步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3種組合方式.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，值為1942的"簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)為2X10X5X3=300.

答案：300

3.如圖所示,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一K

條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用,求共有多少不同的染

色方法.不23\…

解：可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分/＞

類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論.由題設(shè)，四棱錐S-4BC。的

頂點(diǎn)所染的顏色互不相同，它們共有5乂4義3=60＜種＞染色方法.當(dāng)S^,B染好時(shí)，不

妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法；若C染4,則D可染3

或5,有2種染法；若C染5,則?？扇?或4,有2種染法.可見，當(dāng)&4,8已染好時(shí),CQ還有

7種染法，故不同的染色方法有60X7=420＜種〉.

第二節(jié)X/排列與組合

1.排列與排列數(shù)

＜1＞排列：

從?個(gè)不同元素中取出個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個(gè)不同元

素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

＜2＞排列數(shù)：

從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從〃個(gè)不同元素中

取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作A錯(cuò)誤!.

2.組合與組合數(shù)

＜1＞組合：

從"個(gè)不同元素中取出個(gè)元素合成一組,叫做從"個(gè)不同元素中取出m個(gè)元

素的一個(gè)組合.

＜2＞組合數(shù)：

從〃個(gè)不同元素中取出，小5在〃＞個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中

取出小個(gè)元素的組合數(shù),記作C錯(cuò)誤!.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)

A錯(cuò)誤!=〃v〃一

公式-2>???v〃一=C錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!

錯(cuò)誤!

C錯(cuò)誤!=1；C錯(cuò)誤!=C錯(cuò)誤?。籆

性質(zhì)A錯(cuò)誤!=〃!；0!=1

錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!=C錯(cuò)誤！

備注〃，機(jī)￡N*且mW

［小題體驗(yàn)］

1.從3,5,7,11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a,瓦共可得到1g。一lgb的不

同值的個(gè)數(shù)是<>

A.6B.8

C.12D.16

解析：選C由于lga-lg*=lg錯(cuò)誤!，從3,5,7,11中取出兩個(gè)不同的數(shù)分別賦值給a

和》共有A錯(cuò)誤！=12種,所以得到不同的值有12個(gè).

2.〈數(shù)材習(xí)題改編〉甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙兩人所選的課程中恰

有1門相同的選法有種.

解析：依題意得知,滿足題意的選法共有C錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!?C錯(cuò)誤!=24種.

答案：24

3.〈敏材習(xí)題改編〉已知錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，則m=.

解析：由已知得，”的取值范圍為錯(cuò)誤!,原等式

可化為錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，整理可得加-23,n+42=0,解得,〃=21<舍去>或m=2.

答案：2

1.易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān),排列問題與順

序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān).

2.計(jì)算A錯(cuò)誤!時(shí)易錯(cuò)算為n<n—\><n—2>'''<n—m>.

3.易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)是一件事,而排列數(shù)是所有排列

的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù).

［小題糾偏］

1.方程3A錯(cuò)誤！=2A錯(cuò)誤!+6A錯(cuò)誤!的解為.

解析：由排列數(shù)公式可知

3x<x-1><X—2>=2<x+l>x+6x<x—1>,

且xGN*,

.".3<x—1><X—2>=2<x+l>+6<x_1>,

即3x2-17x+10=0,

解得x=5或x=錯(cuò)誤!（舍去>,；.x=5.

答案：5

2.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生,

那么不同的選派方案種數(shù)為.<用數(shù)字作答>

解析：法一：依題意可得有兩類選派方案：1名女生3名男生或2名女生2名男生，共

有C錯(cuò)誤！XC錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤！XC錯(cuò)誤!=8+6=14<種>滿足要求的方案.

法二：6人中選4人的方案有C錯(cuò)誤！=15種,沒有女生的方案只有1種,所以滿足要求

的方案有14種.

答案：案

錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!

［典例引領(lǐng)］

有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).

＜1＞選5人排成一排；

＜2＞排成前后兩排，前排3人，后排4人；

＜3＞全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；

＜4＞全體排成一排，女生必須站在一起；

＜5＞全體排成一排，男生互不相鄰.

解：＜1＞從7人中選5人排列，有A錯(cuò)誤！=7X6X5X4X3=2520c種〉.

＜2＞分兩步完成，先選3人站前排，有A錯(cuò)誤!種方法，余下4人站后排，有A錯(cuò)誤!種方法,

共有A錯(cuò)誤!?A錯(cuò)誤!=5040＜種＞.

＜3＞法一：〈特殊元素優(yōu)先法〉先排甲，有5種方法，其余6人有A錯(cuò)誤!種排列方法，共有

5*人錯(cuò)誤!=3600＜種＞.

法二：〈特殊位置優(yōu)先法〉首尾位量可安排另6人中的兩人，有A錯(cuò)誤!種排法，其他有A

錯(cuò)誤!種排法，共有A錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤!=3600＜種＞.

＜4＞＜捆綁法＞將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有A錯(cuò)誤!種方法，再將女生全

排列，有A錯(cuò)誤!種方法，共有A錯(cuò)誤!?A錯(cuò)誤！=576＜種＞.

＜5＞＜插空法＞先排女生，有A錯(cuò)誤!種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位

安排男生，有A錯(cuò)誤!種方法，共有A錯(cuò)誤!?A錯(cuò)誤!=1440＜種＞.

［由題悟法］

求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排

捆綁法

列

對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元

插空法

素排列的空當(dāng)中

定序問題除

對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制,排列后，再除以定序元素的全排列

法處理

間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法

［即時(shí)應(yīng)用I

1.＜2017?東北四市聯(lián)考〉甲、乙兩人要在一排8個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人

的兩旁都有空座，則不同的坐法有＜＞

A.10種B.16種

C.20種D.24種

解析：選C一排共有8個(gè)座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個(gè)空座.

?.?要求每人左右均有空座,.?.在6個(gè)空座的中間5個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就坐，即有

A錯(cuò)誤！=20〈種〉坐法.

2.用（）到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為＜＞

A.324B.648

C.328D.360

解析：選C首先應(yīng)考慮“0",當(dāng)（）排在個(gè)位時(shí)，有A錯(cuò)誤!=9乂8=72＜個(gè)＞，當(dāng)（）排在十

位時(shí)，有A錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤！=4＞8=32＜個(gè)＞.當(dāng)不含0時(shí)，有A錯(cuò)誤!-A錯(cuò)誤！=4X8X7=224＜

個(gè)〉,由分類加法計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有72+32+224=328＜個(gè)＞.

3.用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之

間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

解析：〈捆綁法〉首先排兩個(gè)奇數(shù)1,3有A錯(cuò)誤!種排法，再在2,4中取一個(gè)數(shù)放在1,3排

列之間，有C錯(cuò)誤!種方法，然后把這3個(gè)數(shù)作為一個(gè)整體與剩下的另一個(gè)偶數(shù)全排列，有A

錯(cuò)誤!種排法，即滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤!=8.

答案：8

錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！

［典例引領(lǐng)］

某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名,若選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種

選派方法？

＜1＞男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；

＜2＞至少有1名女運(yùn)動(dòng)員.

解：＜1＞任選3名男運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為C錯(cuò)誤!，再選2名女運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為C錯(cuò)誤!，共有

C錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=120＜種＞方法.

＜2＞法一：〈直接法〉至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：

1女4男,2女3男,3女2男,4女1男，

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為

C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!=246＜種＞.

法二：〈間接法〉"至少有1名女運(yùn)動(dòng)員"的反面是"全是男運(yùn)動(dòng)員"，因此用間接法求解,

不同選法有C錯(cuò)誤!一C錯(cuò)誤!=246＜種＞.

［由題悟法］

1.解決組合應(yīng)用題的2個(gè)步驟

＜1＞整體分類要注意分類時(shí),不重復(fù)不遺漏，用到分類加法計(jì)數(shù)原理；

＜2＞局部分步用到分步乘法計(jì)數(shù)原理.

2.解決含有附加條件的組合問題的2種方法

通常用直接法或間接法，應(yīng)注意對(duì)〃至少"最多""恰好"等詞的含義的理解，對(duì)于涉及"至

少“至多"等詞的組合問題，既可考慮反面情形即間接求解，也可以分類研究進(jìn)行直接求解.

［即時(shí)應(yīng)用］

1.若從1,2,3,…,9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有

＜＞

A.60種B.63種

C.65種D.66種

解析：選D9個(gè)整數(shù)中共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個(gè)

數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，故不同的取法有C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!

C錯(cuò)誤！=66＜種＞.

2.＜2016?XX模擬〉甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中至少有

1門不相同的選法共有＜＞

A.30種B.36種

C.60種D.72種

解析：選A甲、乙兩人從4門課程中各選修2門有C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！=36＜種＞選法，甲、

乙所選的課程中完全相同的選法有6種,則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共

有36—6=30＜種＞.

3.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要

求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為.

解析：第一類，含有1張紅色卡片,不同的取法有C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！=264＜種＞.第二類，不

含有紅色卡片，不同的取法有C錯(cuò)誤！一3c錯(cuò)誤!=220-12=208＜種〉.由分類加法計(jì)數(shù)原理

知，不同的取法共有264+208=472＜種＞.

答案：472

錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！

排列與組合是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多

為容易題或中檔題.

常見的命題角度有：

＜1＞簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問題；

＜2＞分組、分配問題.［鎖定考向］

［題點(diǎn)全練］

角度一：簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問題

1.＜2016XX省八ifr置點(diǎn)高考質(zhì)費(fèi)檢測(cè)〉將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友,

每位小朋友至少分到一個(gè)籃球,且標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法

種數(shù)為＜＞

A.15B.20

C.30D.42

解析:選C四個(gè)籃球中兩個(gè)分到一組有C錯(cuò)誤!種分法，三個(gè)籃球進(jìn)行全排列有A錯(cuò)誤！

種分法，標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小朋友有A錯(cuò)誤!種分法，所以有C錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤!一A

錯(cuò)誤！=36—6=30種分法.

角度二：分組'分配問題

2.＜2017?XX市五校聯(lián)考＞將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、XX大學(xué)

這3所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方法共有＜＞

A.150種B.180種

C.240種D.540種

解析：選A先將5人分成三組,3,1,1或2,2,1,共有C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤！X錯(cuò)誤!=25＜種＞,

再將每組學(xué)生分到3所學(xué)校有A錯(cuò)誤!=6種分法，共有25X6=150＜種＞不同的保送方法.

［通法在握］

1.解決簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問題的思路

＜1＞根據(jù)附加條件將要完成事件先分類.

＜2＞對(duì)每一類型取出符合要求的元素組合，再對(duì)取出的元素排列.

＜3＞由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總數(shù).

2.分組'分配問題的求解策略

＜1＞對(duì)不同元素的分配問題.

①對(duì)于整體均分,解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后

一定要除以A錯(cuò)誤!為均分的組數(shù)〉，避免重復(fù)計(jì)數(shù).

②對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相

等，則分組時(shí)應(yīng)除以機(jī)！，分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù).

③對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等,所以不

需要除以全排列數(shù).

＜2＞對(duì)于相同元素的"分配”問題，常采用的方法是"隔板法〃.

［演練沖關(guān)］

1.某校為了提倡素質(zhì)教育，豐富學(xué)生們的課外生活，分別成立繪畫、象棋和籃球興趣小

組，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生報(bào)名參加，每人僅參加一個(gè)興趣小組，每個(gè)興趣小組至少有一

人報(bào)名，則不同的報(bào)名方法有＜＞

A.12種B.24種

C.36種D.72種

解析：選C由題意可知，從4人中任選2人作為一個(gè)整體，共有C錯(cuò)誤！=6＜種＞，再把這

個(gè)整體與其他2人進(jìn)行全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)活動(dòng)小組，有A錯(cuò)誤！=6＜種＞情況，所以共有6X6=

36＜種＞不同的報(bào)名方法.

2.將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)

小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有＜＞

A.12種B.10種

C.9種D.8種

解析：選A將4名學(xué)生均分為2個(gè)小組共有錯(cuò)誤!=3＜種＞分法；將2個(gè)小組的同學(xué)

分給2名教師共有A錯(cuò)誤！=2＜種＞分法，

最后將2個(gè)小組的人員分配到甲、乙兩地有A錯(cuò)誤！=2＜種＞分法.

故不同的安排方案共有3X2X2=12〈種〉.

3.＜2017XXXX，、校笫二次聯(lián)考〉若無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)滿足條件：①個(gè)位數(shù)字與十

位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是＜＞

A.540B.480

C.360D.200

解析：選D由個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有C

錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤！=50＜種＞排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是奇數(shù)，有C

錯(cuò)誤！=4＜種＞滿足題意的選法，故滿足題意的三位數(shù)共有50*4=200＜個(gè)＞.

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長(zhǎng)助理,則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入

選的不同選法的種數(shù)為＜＞

A.85B.56

C.49D.28

解析：選C分兩類：甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選，甲、乙均入選且丙沒有入

選，計(jì)算可得所求選法種數(shù)為C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!=49.

2.世界華商大會(huì)的某分會(huì)場(chǎng)有A,&C三個(gè)展臺(tái),將甲、乙、丙、丁共4名〃雙語〃志愿者

分配到這三個(gè)展臺(tái),每個(gè)展臺(tái)至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)

有＜＞

A.12種B.10種

C.8種D.6種

解析：選D：甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái),...可以把甲與乙捆在一起，看成一個(gè)人,

然后將3個(gè)人分到3個(gè)展臺(tái)上進(jìn)行全排列，即有A錯(cuò)誤!種,...甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)

的不同分法的種數(shù)有A錯(cuò)誤！=6種.

3.＜2017-XX市兩區(qū)七校調(diào)研〉某校從8名教師中選派4名同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教＜

每地1名教師〉,其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有＜＞

A.900種B.60()種

C.300種D.150種

解析：選B依題意，就甲是否去支教進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，甲去支教，則乙不去支教,

且丙也去支教，則滿足題意的選派方案有C錯(cuò)誤!-A錯(cuò)誤！=240＜種＞;第二類，甲不去支教，且

丙也不去支教，則滿足題意的選派方案有A錯(cuò)誤！=360＜種＞，因此，滿足題意的選派方案共有

240+360=600＜種＞，選B.

4.＜2017XX調(diào)研〉三對(duì)夫妻站成一排照相，則僅有一對(duì)夫妻相鄰的站法總數(shù)是＜＞

A.72B.144

C.240D.288

解析:選D第一步，先選一對(duì)夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素A,有C錯(cuò)誤!

A錯(cuò)誤!=6＜種＞排法；第二步，再選一對(duì)夫妻，從剩下的那對(duì)夫妻中選擇一個(gè)插入到剛選的夫

妻中，把這三個(gè)人捆綁在一起看作另一個(gè)復(fù)合元素B,有C錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!=8＜種＞排法；

第三步，將復(fù)合元素4,5和剩下的那對(duì)夫妻中剩下的那一個(gè)進(jìn)行全排列，有A錯(cuò)誤！=6＜種＞排

法，由分步計(jì)數(shù)原理，知三對(duì)夫妻排成一排照相，僅有一對(duì)夫妻相鄰的排法有6X8X6=288＜

種〉，故選D.

5.將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少一人，則甲、乙在

同一路口的分配方案共有＜＞

A.18種B.24種

C.36種D.72種

解析：選C不同的分配方案可分為以下兩種情況：

①甲、乙兩人在一個(gè)路口，其余三人分配在另外的兩個(gè)路口，其不同的分配方案有C錯(cuò)誤！

A錯(cuò)誤！=18＜種＞;

②甲、乙所在路口分配三人，另外兩個(gè)路口各分配一個(gè)人，其不同的分配方案有C錯(cuò)誤!A

錯(cuò)誤！=18＜種〉.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的分配方案共有18+18=36＜種＞.

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1.＜2017?XX市海斫＞將2名女教師,4名男教師分成2