2024年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算（解析版）

專題16正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算核心知識(shí)點(diǎn)精講

復(fù)習(xí)目標(biāo)

了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)

面積及全面積；

2.結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；

通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

考點(diǎn)一、正多邊形和圓

1、正多邊形的有關(guān)概念：

(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)正多邊形的中心一一正多邊形的外接圓的圓心.

(3)正多邊形的半徑一一正多邊形的外接圓的半徑.

(4)正多邊形的邊心距一一正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.(正多邊形內(nèi)切圓的半徑)

(5)正多邊形的中心角一一正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角.

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n》3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.

(3)把圓分成n(nN3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外

切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.

(4)任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.

3、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心.當(dāng)

邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.

(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相

似比的平方.

(4)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.

要點(diǎn)詮釋：

(1)正n邊形的有n個(gè)相等的外角,而正n邊形的外角和為360度,所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是隨；

n

所以正n邊形的中心角等于它的外角.

(2)邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長(zhǎng)的比等于它們邊長(zhǎng)(或半徑、邊心距)的比.面積比等于它們邊長(zhǎng)(或

半徑、邊心距)平方的比.

考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算

1.圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：$=開我2，周長(zhǎng)C=2zrR.

圓心角為＞嚴(yán)、半徑為R的弧長(zhǎng)？-皿.

180

圓心角為內(nèi)。，半徑為R,弧長(zhǎng)為/的扇形的面積=少‘上：=【開；.

3602

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為/的圓柱的體積為兀爐/，側(cè)面積為2兀卻，全面

積為2加7+2加^

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為/,高為方的圓錐的側(cè)面積為天河，全面積為

兀用+解2,母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有&?+力2=尸?

要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于扇形面積公式,關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的」一，即」.乂兀必=三￡’；

360360360

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就

可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式31M.-1紙，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式￡=」必有點(diǎn)類

似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：==—=^^R=-]R-

M36021802

典例引領(lǐng)

【題型1：正多邊形有關(guān)計(jì)算】

【典例1】將刻度尺按如圖所示的方式放置在正六邊形ABCDE尸上，頂點(diǎn)C,尸分別對(duì)應(yīng)直尺上的刻度12

和4,則AB與CP之間的距離為()

D

E<B

A.8B.2石C.4A/3D.4【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知

識(shí)；設(shè)正六邊形的中心為。，連接Q4,過A作AGJLCb于點(diǎn)G；由已知得b=8,則。4=。4=4,且

ZAOF=60°,得，AO尸是等邊三角形，則得G產(chǎn)=2,AF=4,由勾股定理即可求得AG,即AB與Cf之

間的距離.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為。，連接。4,如圖，過A作AGLCR于點(diǎn)G,

???頂點(diǎn)C,F分別對(duì)應(yīng)直尺上的刻度12和4,

5=12-4=8,

???多邊形ABCDE廣為正六邊形，

360°

OA=OF=4,ZAOF=——=60°,

6

49方是等邊三角形，

/.AF=4,ZOAF=60°

「AG.LCF,

二GF=2,ZG4F=30°,

由勾股定理得AG=^AF2-GF2=2y/3，

“4日空1=12。。

ZOAB=120°-ZOAF=60°=ZAOF,

/.AB//CF,

-/AG1CF,

即AB與CT之間的距離為2指.

故選：B.

即時(shí)檢測(cè)

1.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于C。，P是外E上一點(diǎn)，則ND"的度數(shù)為（）

A.72°B.54°C.36°D.30°

【答案】C

【分析】本題考查了正五邊形的中心角的計(jì)算，圓周角定理的應(yīng)用，連接ODQC,求得ZDOC=券360°=72。,

結(jié)合圓周角定理，ZDFC=-ZDOC,計(jì)算即可.

2

【詳解】連接。ROC

.?,正五邊形ABCDE內(nèi)接于尸是片￡上一點(diǎn),

360°

ZDOC=^-=72。,

NDFC」NDOC=36。,

2

故選C.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正八邊形ABCDEFG”的中心與原點(diǎn)。重合，AH〃龍軸，交y

軸于點(diǎn)M.將繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45。，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)、點(diǎn)H坐標(biāo)為（根,〃），則

加+〃與0的關(guān)系是（）

A.m+n<0B,m+n=QC.m+nX)D.無法確定

【答案】C

【分析】先計(jì)算正八邊形ABCDEFG以的中心角為45。，確定循環(huán)節(jié)為8,根據(jù)規(guī)律確定H的最終位置，連

接0H,則/。加H=90。,/河0〃=22.5。,/〃〃0=67.5,繼而判定即”>他判定即可.

【詳解】根據(jù)題意，得正八邊形ABCDEFGH的中心角為45。，

第1次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)H與點(diǎn)G重合;

第2次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”與點(diǎn)F重合;

第3次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”與點(diǎn)E重合;

第4次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)H與點(diǎn)。重合;

第5次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”與點(diǎn)C重合;

第6次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”與點(diǎn)B重合;

第7次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合;

第8次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)H與點(diǎn)”重合;

故循環(huán)節(jié)為8,

故第2023次旋轉(zhuǎn)時(shí)，2023+8=252…7,

的最終位置與點(diǎn)A重合，位于第二象限，

連接OH,

根據(jù)題意，得NOMH=90°,ZMOH=22.5°,ZMHO=67.5,

故OM>MH即ri>0>m.

故7"+心0,

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角，數(shù)字的規(guī)律探解，熟練掌握數(shù)字規(guī)律探解是解題的關(guān)鍵.

3.周長(zhǎng)相等的正方形與正六邊形的面積分別為R、邑，、和邑的關(guān)系為（）

A.=2S2B.5］：邑=3#:16C.SJ$=6：3D.

【答案】D

【分析】設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為。，根據(jù)周長(zhǎng)相等，計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)，后計(jì)算面積即可.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a,

如圖1所示：四邊形ABCD是正方形，

f6a3a

：.AB=——=——,

42

S=S正方形ABC?=A"=—?—=—a2.

1{止刀71>ADCZ,/224

如圖2,過。作OGL5C,G為垂足.

六邊形ABCDEF是正六邊形，

360°

/.ZBOC=^-=60°,

6

VOB=OC,

A50。是等邊三角形，

OB=OC=BC=a,BG=-BC=-a,

22

:OG=ylOB2-BG2=-a,

2

?ex_二1百_3g2

???=b、YBoc=0x5〃?2〃=~~~Q

.sc_92.3A/32_w.0

??S,.=-a.-----a—73.2?

1242

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正方形、正六邊

形的周長(zhǎng)都相等設(shè)出其邊長(zhǎng)，求出其邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，最后再分別求出其面積進(jìn)行求解即可.

典例引領(lǐng)

【題型2：正多邊形與圓有關(guān)面積的計(jì)算】

【典例2】如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為2,以頂點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓，則陰影部分的面積為

A.—B.—C.兀D.y【答案】D

55

【分析】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計(jì)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)

并牢記扇形的面積計(jì)算公式.先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：.?.正五邊形的外角和為360。,

每一個(gè)外角的度數(shù)為360。+5=72。,

二正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為180。-72。=108。,

???正五邊形的邊長(zhǎng)為2,

0108-^-x226

$陰影=360=丁'

故選：D.

即時(shí)蛉淚

1.如圖，正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為4,以頂點(diǎn)A為圓心，A3的長(zhǎng)為半徑畫圓，求陰影部分的面積一

（結(jié)果保留兀）.

H/

【答案】6兀

【分析】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計(jì)算，先求解N/4鉆=135。，再利用扇形面積公式計(jì)算即

可.

【詳解】解：由題意得，4￡鉆=空丁幽=135。，AH^AB=4,

O

1357tx4?

■q

??Q陰影部分=6兀,

360

故答案為：6兀.

2.如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)V,N分別在對(duì)角線跳1和。/上，且BM:ME=FN:NC=1:3,則

SOBC:SDMN的值為（）

234

A.1B.—C.—D.—【答案】D

345

【分析】作Oa1BC交BC于H,連接AD,BF,交MN于點(diǎn)、G,AD與即相交于點(diǎn)K,設(shè)AB=1,則07/=走,

2

同時(shí)可說明MN為_8。尸的中位線，MMN=—BF=BK=OH=>OG=—OK=—OA=—,分別求出兩

22244

個(gè)三角形的面積，可得答案.

【詳解】解：在正六邊形ABCDEF中，設(shè)AB=1,

作OH，BC交BC于H,連接AD,BF,交MN于點(diǎn)、G,AD與昉相交于點(diǎn)K,

:.OH=\乂也=叵,

22

??SQBC=耳乂U萬二彳，

BM：ME=FN：NC=1：3,

:.BM=MO,FN=NO,

:.MN為以加的中位線，

:.MN=-BF=BK=OH=—,OG=\OK=\oA=\,

22244

DG=OD+OG=-,

4

。155A/3

.?■^WD=-x-xT=—

■■SOBC：的值為：同:空=七,

4165

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，表示出兩個(gè)三

角形的面積是解題的關(guān)鍵.

3

3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm,點(diǎn)。為對(duì)角線交點(diǎn)，以各邊中點(diǎn)為圓心，1cm為半徑依次作二圓,

4

連接點(diǎn)。和的中點(diǎn)區(qū)則圖中陰影部分的面積為.

【分析】過點(diǎn)。作交于點(diǎn)F，由題意，結(jié)合圖形特征，圖中陰影部分的面積為S正方物皿-4

即可列式作答.

【詳解】解：過點(diǎn)。作交于點(diǎn)F,如圖所示：

OE1BC,

-：OF±AB,

四邊形FBEO是正方形，

那么圖中陰影部分的面積為：S正方形FBEO-：S尸-：S圓/=：x2x2-：萬xf=1一；乃(cm?),

故答案為：［1一；萬卜1n2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓面積以及正方形面積內(nèi)容，觀察出陰影面積是S正方形FBEO-；SF是解題的關(guān)鍵.

【題型3：正多邊形綜合運(yùn)用的計(jì)算】

【典例3】我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的"割圓術(shù)"，即利用圓的內(nèi)接正多邊形

逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所

失矣如圖，。的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)"，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)＜。的面積，可得萬的估計(jì)

值為（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】

【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算.過A作于求得/AC?的度數(shù)，

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到求出三角形的面積，于是得到正六邊形的面積，根據(jù)圓的面積公式即可

得到結(jié)論.

即時(shí)檢測(cè)

1.楚雄市，隸屬于云南省楚雄彝族自治州，彝族人民喜歡用月琴演奏他們?cè)谏a(chǎn)生活中喜怒哀樂的情感，

月琴也是彝族人民歷史悠久的傳統(tǒng)樂器之一.彝族月琴有圓形、梨形、六角形、八角形等不同的形狀，它

由兩個(gè)面板、手板、長(zhǎng)勁頭、弦扭、縛弦組成，弦扭通常用大紅花樹制作.現(xiàn)要制作一個(gè)六角月琴，需計(jì)

算六角月琴一個(gè)面板的面積，六角月琴的面板是一個(gè)正六邊形ABCDE尸，若已知正六邊形ABCDE尸內(nèi)接于

A.3gB.當(dāng)C.6GD.*【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形與圓，過點(diǎn)。作OH，CD于點(diǎn)根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出NCOD=60。，得

到△COD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CH,根據(jù)勾股定理求出OH,根據(jù)三角形的面積公式

計(jì)算即可得到答案，掌握正六邊形的中心角的求法、等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,

,/六邊形ABCDEF為正六邊形，

360°

ZCOD=——=60°,

6

A△COD為等邊三角形，

/.CD=OC=1,

,/OH工CD,

CH=DH=—CD=—,

22

/.0H=yj0C2-CH2=—,

2

正六邊形A8CDEF的面積為：J-xlx^x6=—,

222

故選：B.

⑴如圖L若N3=60。，連接49并延長(zhǎng)交.。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)H.

①弧的度數(shù)為：;3〃與CH的數(shù)量關(guān)系是：.

②請(qǐng)你僅使用無刻度的直尺在圖1中作出一個(gè)正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果

用實(shí)線表示）；

（2）如圖2,若/B4c=36。，E是AB的中點(diǎn)，請(qǐng)你僅使用無刻度的直尺在圖2中，作一個(gè)。的內(nèi)接正五邊

形（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示）.【答案】（1）①60。；BH=CH.②見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，正多邊形和圓以及復(fù)雜作圖等知識(shí).

（1）①連接8。，根據(jù)垂徑定理逆定理證明AD/3C,再證明」.ABC是等邊三角形可得

期=?！?/8/1。=30。,可得480￡>=60。，從而可得結(jié)論；②連接CO,延長(zhǎng)80,CO,交。于點(diǎn)E,R根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)得ZABE=NCBE=ZBCF=ZACF=ZBAD=ZCAD=30°,可得

AE=EC=CD=DB=BF=FA,ZAFB=ZFBD=Z.BDC=ZDCE=ACEA=ZEAF=120°,故可得正六邊形

AFBDCE；

(2)根據(jù)圓周角的定理及同弧所對(duì)的圓周角相等得到NAOB=NAOC=144。，再根據(jù)EP是中點(diǎn)得到

ZAOD=ZCOD=ZAOH=ZBOH=72°,得NBOC=72。,根據(jù)三線合一性得到弧相等，弦相等，最后即可

得到五邊形AHBCD即為所求.

【詳解】(1)①連接80，

,/AB=AC,

AB=AC,

:AZ）過圓心。，

AD±BC,

?「AB=AC"=60。，

二?ABC是等邊三角形，

ABAC=NBCA=60°,BH=CH^-BC

2

ABAD=ACAD=-ABAC=30°,

2

ABOD=2ABAD=60°.

故答案為：60°,BH=CH;

②如圖，正六邊形AFBDCE即為所作；

(2)如圖，正五邊形AHBCD即為所求作.

A

好嬴

了礎(chǔ)過關(guān)

1.如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于C。，則/AO5的度數(shù)是（）

A.45°B.60°C.72°D.90°【答案】C

【分析】根據(jù)正〃邊形的中心角的計(jì)算公36式0°"（〃為正整數(shù)，〃23）解答即可.

n

【詳解】解：...正五邊形鉆CDE內(nèi)接于O,

360°

???正五邊形ABCDE的中心角NAOB=飛一=72°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正〃邊形的中心角的計(jì)算公式360型°-（"為正整數(shù)，n>3）是解題的

n

關(guān)鍵.

2.如圖，點(diǎn)A,B,C,。為正”邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)。為正”邊形的中心.若NADB=20。，貝1|〃=（）

A.七B.八C.九D.十【答案】C

【分析】本題考查正多邊形與圓和圓周角定理，根據(jù)圓周角定理可得正多邊形的邊AB所對(duì)的圓心角

ZAOB=40°，再根據(jù)正多邊形的一條邊所對(duì)的圓心角的度數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系可得答案.

【詳解】解：正多邊形的外接圓為O,

點(diǎn)。為正”邊形的中心.ZADB=20°,

ZAOB^2ZADB^40°,

”=弛=9,

40°

故選：C.

3.半徑為1的圓內(nèi)接正六角形的邊心距為.

【答案】

22

【分析】連接。4、08,作根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到，ASO是等邊三角形，利用垂徑定

理及勾股定理即可求出邊心距OH.

【詳解】解：如圖，連接。4、03,作

???六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形,

360°

ZAOB=——=120°

6

又..OA=OB

ABO是等邊三角形,

AB=OA=1,

-：OH±AB,

AH^-,

2

OH=

故答案為T

【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理.解題中熟記正六邊形的性質(zhì)得到/AC?=60。

是解題的關(guān)鍵，由此即可證得ABO是等邊三角形，利用勾股定理解決問題.

4.如圖，正六邊形ABCDEF,連接3￡）,則/班見的度數(shù)為.

【答案】90。/90度

【分析】本題考查正多邊形求角度，涉及正六邊形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形判定與性質(zhì)等知

識(shí)，熟練掌握正多邊形內(nèi)角與外角性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在正六邊形ABCDEF,各條邊均相等、各個(gè)內(nèi)角均相等，

360°

ZCDE=ZC=180°-^—=120°,

BC=BD,

.?.ZfiDE=120°—30°=90°,

故答案為：90°.

5.我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的"割圓術(shù)"，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓

的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣如

圖，。的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)"，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)O的面積，可得乃的估計(jì)值為

（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】之⑶正

22

【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算.過A作于求得/AQB的度數(shù)，

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM,求出三角形的面積，于是得到正六邊形的面積，根據(jù)圓的面積公式即可

得到結(jié)論.

6.如圖，正六邊形ABCDE尸的邊長(zhǎng)為1,以對(duì)角線AC為直徑作圓，則圖中陰影部分的面積為.

【分析】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助

線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì).過點(diǎn)B作于點(diǎn)G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AG=CG,

ZBAC=1(180°-120°)=30°,根據(jù)勾股定理求出AG=JA。-BG?=岑,得出

S陰影一；義追*；='"一￥即可.

【詳解】解：過點(diǎn)B作5G_LAC于點(diǎn)G,如圖所示:

六邊形ABCDE尸為正六邊形，

360°

ZABC=180°--------=120°,AB=CB=1,

6

AG^CG,ZBAC=1(180°-120°)=30°,

BG=-AB^-,

22

AG=^AB2-BG2=—,

2

AC=2AG=K,

-S陰影一gXTTX

故答案為：—.

84

能力提開

1.如圖，要擰開一個(gè)邊長(zhǎng)為a=2cm的正六邊形螺帽，則扳手張開的開口6至少為（）

■

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓為。，連AE,OA,BE,則點(diǎn)。在BE上，

.正六邊形ABCDEF,

：,AB=AF=EF=a,ZF=ZE4B=120°,

.■.ZB4￡=120°-30o=90°,

在RtZxBE尸中，AB=2cm,ZAEB=1x60°=30°,

AE=6AB=2A/§CHI,

即b=26cm，

故選：B.

2.如圖，正六邊形ABCDE尸內(nèi)接于（O,。的半徑為1,則AB的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】本題考查了圓內(nèi)接多邊形以及弧長(zhǎng)公式，連接。4,0B,求出圓心角NAO3的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)

公式，即可解題.

【詳解】解：連接Q4,0B,如圖所示：

多邊形ABCDEF為正六邊形,

ZAOB=360°x-=60°,

6

故答案為：A.

3.如圖，AF是正五邊形ABCDE外接圓的一條直徑，則NC。尸的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和圓周角定理即可求出答案.本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識(shí),

能正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示，連接AC,AD,

：.?ADF90?,

???正五邊形ABCDE,

（5-2）-180°

ZABC==108°

5

?「四邊形ABC。是的內(nèi)接四邊形,

ZADC=180°-ZABC=72°,

ZCDF=900-ZADC=18°.

故選A.

4.如圖，AB是。的直徑，AC與。交于點(diǎn)尸，弦AO平分/BAC,DE1AC,垂足為E若Q的半

徑為2,ZR4C=60°,則線段EF的長(zhǎng)為（）

A

25

A.1B.y/sC.--D.——

68

【答案】A

【分析】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的判定與性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；

連接。。，過。作OG，A尸于G,得到AF=2AG,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AG=］。4=1,得到AF=2,

推出四邊形49。尸是菱形，得到DR〃OA,DF=OA=2,于是得到結(jié)論.

【詳解】解：連接OO,過。作OGLAb于G,

A

AD平分/B4C,

.\ZOAD=ZCADf

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

.\ZODA=ZCAD9

??.OD//AC,

:.AF=2AG,

ZBAC=6D°,OA=2f

/.AG=-OA=1,

2

:.AF=2,

:.AF=OD,

AF//ODf

二?四邊形40。方是平行四邊形，

QAF=AOf

???四邊形49。尸是菱形，

:.DF//OA,DF=OA=2,

ZEFD=ZBAC=60°f

:.EF=-DF=\,

2

故選：A.

5.如圖，半徑為1的。是正方形ABC。，正六邊形OEFBG”的外接圓，則外片的長(zhǎng)為（）

O匕----

B<--，G

71717t71

A.—B.—C.—D.——

361224

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形與圓，弧長(zhǎng)公式，連接EO,AO,B。,根據(jù)題意得出NAQE=30。，然后根據(jù)弧

長(zhǎng)公式，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接EO,AO,B。，

耳/---

-----

21

依題意，ZSOE=-x360°=120°,ZAOB=-x360°=90°,

64

/.NAOE=30。

,?t/、f30TC

注￡的長(zhǎng)為旃乃xl=z，

故選：B.

6.如圖，五邊形ABCDE為,：。的內(nèi)接正五邊形，點(diǎn)尸為劣弧OE上的任意一點(diǎn)（不與DE重合），則ZEPD

的度數(shù)是（）

A.136°B.1440C.145°D.150°

【答案】B

【分析】本題主要考查了正多邊形和圓、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).連接OD,OE,BE,BD,根據(jù)正

五邊形的性質(zhì)可得/DOE=72。，再由圓周角定理可得/。2￡=；/。。石=36。，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接

???五邊形ABCDE為.O的內(nèi)接正五邊形，

360°

/.ZDOE=—^=72°,

：.ZDBE=-ZDOE=36°,

2

四邊形BEPD是一。的內(nèi)接四邊形，

ZEPD=180°-ZDBE=144°.

故選：B

7.如圖，點(diǎn)。是正方形AB'C'。'和正五邊形ABCDE的中心，連接A。、CD交于點(diǎn)P,則NAPD=（)

A.72°B.81°C.76°D.80°

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形與圓，掌握正多邊形與圓的性質(zhì)，圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理是正確解答

的前提.

根據(jù)正多邊形與圓的性質(zhì)以及圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接AC、OA,OC、OD.OD',。是正方形AB'C'。’和正五邊形ABCDE的外接圓，

正方形AB'C'。'內(nèi)接于O,

11360°

ZACD'=-ZAOD'=-x——=45°,

224

又.正五邊形ABCDE內(nèi)接于O,

11360°

ZCAD=-ZCOD=-x——=36°,

225

ZAPL/=ZCAD+ZACiy=36°+45°=81°,

故選：B.

8.如圖，正六邊形48coEF內(nèi)接于。O,連接A。、CE交于點(diǎn)G,DG=2.

A

D

⑴求正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng);

⑵求陰影部分的面積.

【答案】(1)4

唔-46

【分析】本題考查正多邊形和圓，扇形面積的計(jì)算；

(1)根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及正三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)由扇形面積、三角形面積公式以及圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：如圖，連接0C,則CG_LOD,

?,?正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。，

COZ)是正三角形，

../COD=60。，

CG1OD,

OG=DG=-OD=2,

2

:.OC=2OG=4,

即正六邊形的邊長(zhǎng)為4；

(2)在及COD中，OG=2,NCOG=60。,

CG=OG-tan60°=y/3OG=26,

S陰影部分—S扇形COD-SCOD

4一4技

9.如圖，AB是，。的直徑，延長(zhǎng)弦8。到點(diǎn)C,使0c=%),連接AC,過點(diǎn)。作。E1AC,垂足為E.

A

O

瓦

CD

'F

⑴判斷直線。E與。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)若。的半徑為6,za4c=60。，延長(zhǎng)匹交A3延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，求陰影部分的面積.

【答案】⑴直線OE與。的位置關(guān)系是相切，見解析

⑵184-6〃

【分析】(1)連接OD,根據(jù)三角形的中位線得出。D〃AC,推出OD1OE,根據(jù)切線的判定推出即可;

(2)求出/。。尸=60。，N尸=3。。，求出根據(jù)陰影部分的面積等于三角形的面積減去扇形。03

的面積，分別求出后，相減即可.

【詳解】(1)解：直線DE與的位置關(guān)系是相切，理由：

連接。。，

AO^BO,BD=DC,

：.0D//AC,

DELAC,

:.DEYOD,

0。為半徑，

直線。E是，O的切線，

即直線OE與。的位置關(guān)系是相切;

(2)解：；OD//AC,ZBAC=60°,

ZDOB=ZA=60°,

DE是，;O切線，

:.ZODF=90°,

.?./尸=30°,

:.FO=2OD=12,

由勾股定理得：DF=6y/3,

6

，陰影部分的面積S=SODF-S扇形及OB=；x6x64-‘°蒜=18＞-6%.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，扇形的面積，三角形的面積，三角形的中

位線等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用.

10.四邊形ABCD內(nèi)接于CO,AB=AD,AC是O的直徑，過點(diǎn)A作

⑴如圖1,求證：是」。的切線；

⑵如圖2,當(dāng)AB=2&ZBAD=60°連接。。并延長(zhǎng)，分別交AM,至于點(diǎn)E,F,交于點(diǎn)G.求

圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

(2)2退一：萬.

【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，切線的判定，勾股定理，求扇形的面積，解題的關(guān)鍵是靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

(1)由圓周角定理證明NABC=NADC=90。，再證明RtABC絲RtADC(HL),推出AC是80的垂直平分

線，證明ACLMN,即可證明四是＜。的切線；

(2)證明班)是等邊三角形，利用垂徑定理求得AF=6，ZAOG=60°,利用直角三角形的性質(zhì)求得

49=2,在RtZiAE。中，求得AE=2/，再利用S陰影=S3EO扇形&G即可求解.

【詳解】(1)證明：,；46:是＜O的直徑，

ZABC=ZADC=90°,

AB=AD,AC=ACf

RtABC^RtAZ)C(HL),

BC=CD,

AC是BD的垂直平分線,

「MN//BD,

ACLMN,

MN是1。的切線；

(2)解：AB=AD,/BAD=60。,

..△AB。是等邊三角形，

???OF經(jīng)過圓心O,

■■DFYAB,

AF=BF=-AB=yl3,ZAOG=60°,ZOAF=30°,

2

AO^lOF,

由勾股定理得AO=2,

在RtaAEO中，ZAEO=30°,

OE=2AO=4,AE=d4一寸=2咫),

.r,??]c/7c60%X22[-2

一S陰影=S^AEO一$扇形AOG=—x2V3x2芯0—=2V3--.

DMI

1.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于＜O,分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外

作半圓.若A5=4,5C=5,則陰影部分的面積是（）

$-20

C.207D.20

【答案】D

【分析】根據(jù)陰影部分面積為2個(gè)直徑分別為AB,8C的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對(duì)角線

長(zhǎng)的圓的面積即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接AC,

,矩形ABCD內(nèi)接于)0,A8=4,BC=5

AC2=AB-+BC2

陰影部分的面積是S矩版mczi+nx

S矩形MCD+兀X；(AB2+8C2-AC2)

S矩形ABC。

=4x5=20,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截

面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸,。,〃均為正六邊形的

頂點(diǎn).若點(diǎn)尸，。的坐標(biāo)分別為卜263）,（0,-3）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

【答案】A

【分析】連接尸尸，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為。，由正六邊形的性質(zhì)及點(diǎn)P的坐標(biāo)可求得。的值，即可求得點(diǎn)M

的坐標(biāo).

【詳解】解：連接PF,如圖，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為。，

ZABC=120°,

ZABO=60°,

ZAOB=90°,

：.ZBAO=30°,

OB——aiOA=,

22

AC=CE=s/3d,OF=OB+BF=—,

2

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜2石,3）,

.包=3

2，

即a=2；

OE=OC+CE=^^-=3^3,EM=2,

2

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3百，-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，含