湖南省湖南天壹名校聯(lián)盟湖湘名校教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

機密★啟用前湖湘名校教育聯(lián)合體·2024年下學(xué)期高一10月大聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，2.已知，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.3.已知全集，，則集合的非空真子集個數(shù)為（）A.32 B.31 C.30 D.294.已知，，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知命題：，，命題：，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題6.已知命題：，：，若是的必要條件，則正整數(shù)的值為（）A.1 B.2 C.3 D.47.2024年9月1日上午，以“新質(zhì)動力?創(chuàng)綠未來”為主題的2024世界動力電池大會在萬里長江第一城、中國動力電池之都——四川宜賓開幕，該大會發(fā)布了一系列新技術(shù)、新產(chǎn)品，有效凝聚了行業(yè)共識，為推動技術(shù)迭代、深化開放合作、促進(jìn)產(chǎn)業(yè)集聚、助力綠色發(fā)展，以及動力電池及新能源汽車高質(zhì)量發(fā)展作出了積極貢獻(xiàn)，為此某高中對高一1班全班男生進(jìn)行了關(guān)于對人工智能，新能源汽車、綠色能源是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項，經(jīng)統(tǒng)計有21人對人工智能感興趣，17人對新能源汽車感興趣，10人對綠色能源感興趣，同時對人工智能和新能源汽車感興趣的有12人，同時對新能源汽車和綠色能源感興趣的有6人，同時對人工智能和綠色能源感興趣的有5人，三種都感興趣的有2人，則該班男生人數(shù)為（）A.27 B.28 C.29 D.308.已知，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.假設(shè)“集合學(xué)得好不等式學(xué)得就好”是真命題，那么下列命題正確的是（）A.集合學(xué)得好不等式不一定學(xué)得好 B.不等式學(xué)得好集合不一定學(xué)得好C.不等式學(xué)得不好集合一定學(xué)得不好 D.集合學(xué)得不好不等式一定學(xué)得不好10.設(shè)集合，其中，則（）A. B. C. D.11.已知不等式的解集為，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.13.已知集合，，且，則的取值范圍是______.14.若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值集合為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）設(shè)命題：關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，：關(guān)于的方程無實數(shù)根.（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）若為假命題且為真命題，求的取值范圍.16.（15分）已知正數(shù)，滿足.（1）求的最大值；（2）證明：.17.（15分）在學(xué)習(xí)完基本不等式與一元二次方程這一章節(jié)后，某校高一數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)全班同學(xué)在數(shù)學(xué)課堂上做了一個有趣的實驗，該實驗的目的主要是體現(xiàn)不等式在實際生活中的應(yīng)用.老師要求同學(xué)們準(zhǔn)備了一張周長為的矩形紙片（其中），將沿向折疊，折過去后交于點.如果在保持矩形周長不變且折過去后交于點的情況下，適度改變的長度，問：的面積是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，說明理由.18.（17分）已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.19.（17分）定義為不大于的最大整數(shù)，例如，.已知集合，且，，.（1）若，求（用列舉法表示）；（2）若，求真子集個數(shù)的最大值；（3）已知（），若正整數(shù)滿足對任意，當(dāng)時都有，求的最小值.

湖湘名校教育聯(lián)合體·2024年下學(xué)期高一10月大聯(lián)考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則1.【答案】D【解析】根據(jù)全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，可得：命題：，的否定為，，故選D.2.【答案】A【解析】由題意可得，故，故選A.3.【答案】C【解析】由題意可得，，故，故集合的元素個數(shù)為5，故非空真子集個數(shù)為，故選 C.4.【答案】A【解析】由題易知，故恒成立，故A正確；對于B，令，，易得不成立，故B錯誤；對于C，時易得C錯誤；令，易得D錯誤，故選A.5.【答案】B【解析】對于命題，當(dāng)時，，故為假命題，是真命題；對于命題，當(dāng)時，為真命題，是假命題，故選：B.6.【答案】A【解析】解不等式得，即，由是的必要條件，得，解得，故正整數(shù)的值為1，故選A.7.【答案】A【解析】由集合的容斥原理可得有5人只對人工智能感興趣，2人只對新能源汽車感興趣，1人只對綠色能源感興趣，同時對人工智能和新能源汽車感興趣但對綠色能源不感興趣的有10人，同時對人工智能和綠色能源感興趣但對新能源汽車不感興趣的有4人，同時對新能源汽車和綠色能源感興趣但對人工智能不感興趣的有3人，三種都感興趣的有2人，則該班男生人數(shù)為.故選：A.8.【答案】D【解析】由題意可得，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，故選D.9.【答案】BC【解析】設(shè)：集合學(xué)得好，：不等式學(xué)得好，由題意，“若，則”為真命題，A，D錯誤.如果將集合學(xué)得好的學(xué)生定義為集合，不等式學(xué)得好的學(xué)生定義為集合，則，或許存在，但，故B正確；設(shè)為全集，則，故C正確；故選：BC.10.【答案】ABC【解析】對于A，因為，故，即，所以A正確；對于B，因為，故，即，故B正確；對于C，因為，所以，即，所以C正確；對于D，因為，所以，故，所以D錯誤，故選：ABC.11.【答案】BCD【解析】由題意可得和為方程的兩根，且，所以，即，，故A錯誤；又，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，因為，所以，故B正確；而，故C正確；因為，且，所以，即，故D正確.故選：BCD.12.【答案】2【解析】因為，所以或，若，，不滿足互異性；若或2，又，所以，故答案為：2.13.【答案】（以集合的形式寫出答案，只要結(jié)果正確均給分）【解析】由題意可得，則有，∴.故答案為：.14.【答案】【解析】因為，故原式可等價于恒成立，由題意當(dāng)時，∵，則，由于的圖象開口向上，則不恒成立，當(dāng)時，由可解得，而方程有兩個不相等的實數(shù)根且異號，所以必定是方程的一個正根，則，∵，則可解得，故答案為：.15.【解析】（1）由題意關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根是真命題，所以，即或.（2）由題意關(guān)于的方程無實數(shù)根是真命題，所以，即.因為為假命題且為真命題，故，即.綜上所述，的取值范圍為.16.【解析】（1）因為，所以，故，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)、時等號成立；（2）因為即，所以，因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)、時取等號.17.【解析】由題意可知，矩形（）的周長為，設(shè)，則，設(shè)，則，，由為直角三角形及勾股定理可得，∴，..當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，此時，滿足，故時，取最大面積.18.【解析】（1）由可得，解得或，所以集合，時，集合，且，故.（2）解法一：若“”是“”的充分不必要條件，故是的真子集.當(dāng)時，，即時，滿足是的真子集；當(dāng)時，則滿足且不能同時取等號，解得.綜上所述，的取值范圍為.解法二：若“”是“”的充分不必要條件，故是的真子集.則只需滿足