北京市海淀區(qū)中關村中學分校2025屆數(shù)學高一上期末經(jīng)典試題含解析

北京市海淀區(qū)中關村中學分校2025屆數(shù)學高一上期末經(jīng)典試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)2．若向量，則下列結論正確的是A. B.．C. D.3．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積為（）A. B.C. D.4．如果，，那么直線不通過A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．已知集合，則A. B.C. D.6．在平行四邊形ABCD中，E為AB中點，BD交CE于F，則=（）A. B.C. D.7．實驗測得四組（x，y）的值為（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），則y與x之間的回歸直線方程為（）A.B.C.D.8．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，若，，，則（）A. B.C. D.10．已知直線ax+by+c=0的圖象如圖，則()A.若c>0，則a>0，b>0B.若c>0，則a<0，b>0C.若c<0，則a>0，b<0D.若c<0，則a>0，b>0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值．若正數(shù)滿足，則的最大值為__________12．某工廠師徒二人各加工相同型號的零件2個，是否加工出精品均互不影響．已知師傅加工一個零件是精品的概率為，師徒二人各加工2個零件都是精品的概率為，則徒弟加工2個零件都是精品的概率為______13．設平行于軸的直線分別與函數(shù)和的圖像相交于點，，若在函數(shù)的圖像上存在點，使得為等邊三角形，則點的縱坐標為_________.14．若三棱錐中，,其余各棱長均為5，則三棱錐內(nèi)切球的表面積為_____15．若函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點________.16．設函數(shù)，若關于的不等式的解集為，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程.18．某淘寶商城在2017年前7個月的銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表，已知與具有較好的線性關系.月份銷售額（1）求關于的線性回歸方程；（2）分析該淘寶商城2017年前7個月的銷售額的變化情況，并預測該商城8月份的銷售額.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.19．已知函數(shù)為偶函數(shù)（1）求實數(shù)的值；（2）記集合，，判斷與的關系；（3）當時，若函數(shù)值域為，求的值.20．判斷并證明在的單調(diào)性.21．已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】分析：討論函數(shù)的性質，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域為，且即函數(shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)故選A.點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎題.2、C【解析】本題考查向量的坐標運算解答：選項A、選項B、選項C、，正確選項D、因為所以兩向量不平行3、D【解析】借助正方體模型還原幾何體，進而求解表面積即可.【詳解】解：如圖，在邊長為的正方體模型中，將三視圖還原成直觀圖為三棱錐，其中，均為直角三角形，為等邊三角形，，所以該幾何體的表面積為故選：D4、A【解析】截距,因此直線不通過第一象限,選A5、C【解析】分別解集合A、B中的不等式，再求兩個集合的交集【詳解】集合，集合，所以，選擇C【點睛】進行集合的交、并、補運算前，要搞清楚每個集合里面的元素種類，以及具體的元素，再進行運算6、A【解析】利用向量加法法則把轉化為，再利用數(shù)量關系把化為，從而可表示結果.【詳解】解：如圖，∵平行四邊形ABCD中，E為AB中點，∴，∴DF，∴，故選A【點睛】此題考查了向量加減法則，平面向量基本定理，難度不大7、A【解析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出樣本中心點，把樣本中心點代入所給四個選項中驗證，即可得答案【詳解】解：由已知可得，所以這組數(shù)據(jù)的樣本中心點為，因樣本中心必在回歸直線上，所以把樣本中心點代入四個選項中驗證，可得只有成立，故選：A.8、A【解析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因為，所以.故選：A.9、A【解析】可判斷在單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】當時，單調(diào)遞增，，，，.故選：A.10、D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直線在x，y軸上的截距分別為-，-.如圖，k<0，即-<0，所以ab>0，因為->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，則a>0，b>0；若c>0，則a<0，b<0;故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】對分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和，代入，解出的范圍，即可得解.【詳解】當，即時，，，因為，所以不成立；當，即時，，，不滿足；當，即時，，，由得，得，得；當，即時，，，由得，得，得，得；當，即時，，，不滿足；當，即時，，，不滿足.綜上所述：.所以得最大值為故答案為：【點睛】關鍵點點睛：對分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和是解題關鍵.12、##0.25【解析】結合相互獨立事件的乘法公式直接計算即可.【詳解】記師傅加工兩個零件都是精品的概率為，則，徒弟加工兩個零件都是精品的概率為，則師徒二人各加工兩個零件都是精品的概率為，求得，故徒弟加工兩個零件都是精品的概率為.故答案為：13、【解析】設直線的方程為，求得點，坐標，得到，取的中點，連接，根據(jù)三角形為等邊三角形，表示出點坐標，根據(jù)點在函數(shù)的圖象上，得到關于的方程，求出，進而可得點的縱坐標.【詳解】設直線的方程為，由，得，所以點，由，得，所以點，從而，如圖，取的中點，連接，因為為等邊三角形，則，所以，，則點，因為點在函數(shù)的圖象上，則，解得，所以點的縱坐標為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于先由同一參數(shù)表示出點坐標，再代入求解；本題中，先設直線，分別求出，坐標，得到等邊三角形的邊長，由此用表示出點坐標，即可求解.14、【解析】由題意得，易知內(nèi)切球球心到各面的距離相等，設為的中點，則在上且為的中點，在中，，所以三棱錐內(nèi)切球的表面積為15、【解析】函數(shù)的圖象可以看作的圖象先關于軸對稱，再向右平移4個單位得到，先求出關于軸的對稱點，再向右平移4個單位即得.【詳解】由題得，函數(shù)的圖象先關于軸對稱，再向右平移個單位得函數(shù)，點關于軸的對稱點為，向右平移4個單位是，所以函數(shù)圖象一定經(jīng)過點.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)的平移變換和對稱變換，考查了分析能力，屬于基礎題.16、【解析】根據(jù)不等式的解集可得、、為對應方程的根，分析兩個不等式對應方程的根，即可得解.【詳解】由于滿足，即，可得，所以，，所以，方程的兩根分別為、，而可化為，即，所以，方程的兩根分別為、，，且不等式解集為，所以，，解得，則，因此，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查一元二次不等式與方程之間的關系，即不等式解集的端點即為對應方程的根，本題在理解、、分別為方程、的根，而兩方程含有公共根，進而可得出關于實數(shù)的等式，即可求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）設圓的方程為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長公式，求得圓心到直線的距離為，分類直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，即可求得直線的方程.【小問1詳解】解：圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上，設圓的方程為，可得，解得，所以圓的方程為，即.【小問2詳解】解：由圓，可得圓心，半徑為，因為直線過點，且被圓截得的弦長為，可得，解得，即圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，可得直線的方程為，即由圓心到直線的距離為，解得，所以直線的方程為，即，綜上可得，所求直線方程為或.18、（1）；（2）預測該商城8月份的銷售額為126萬元.【解析】（1）根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)及平均數(shù)公式可求出與的值從而可得樣本中心點的坐標，求可得公式中所需數(shù)據(jù)，求出，再結合樣本中心點的性質可得，進而可得關于的回歸方程；（2）由（1）知，，故前個月該淘寶商城月銷售量逐月增加，平均每月增加萬，將，代入（1）中的回歸方程，可預測該商城月份的銷售額..試題解析：（1）由所給數(shù)據(jù)計算得，，，，，.所求回歸方程為.（2）由（1）知，，故前7個月該淘寶商城月銷售量逐月增加，平均每月增加10萬.將，代入（1）中的回歸方程，得.故預測該商城8月份的銷售額為126萬元.【方法點晴】本題主要考查線性回歸方程求法與實際應用，屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由恒成立，可得恒成立，進而得實數(shù)的值；（2）化簡集合，得；（3）先判定的單調(diào)性，再求出時的范圍，與等價即可求出實數(shù)的值.試題解析：（1）為偶函數(shù)，.（2）由（1）可知：，當時，；當時，.，.（3）.上單