2025屆上海市上海外國語大學附屬中學高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆上海市上海外國語大學附屬中學高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，2．已知等比數列中，，，則首項（）A. B.C. D.03．設，為雙曲線的上，下兩個焦點，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．已知等差數列的公差為，則“”是“數列為單調遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.6．若數列滿足，，則數列的通項公式為（）A. B.C. D.7．過坐標原點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．即空氣質量指數，越小，表明空氣質量越好，當不大于100時稱空氣質量為“優(yōu)良”.如圖是某市3月1日到12日的統(tǒng)計數據.則下列敘述正確的是A.這天的的中位數是B.天中超過天空氣質量為“優(yōu)良”C.從3月4日到9日，空氣質量越來越好D.這天的的平均值為9．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或10．已知直線與圓交于A，B兩點，O為原點，且，則實數m等于（）A. B.C. D.11．等差數列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.2712．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點.設異面直線與所成的角為，則的最大值為____14．如圖是一個邊長為4的正方形二維碼,為了測算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內隨機投擲1600個點,其中落入白色部分的有700個點,據此可估計黑色部分的面積為______________15．在的展開式中，含項的系數為______（結果用數值表示）16．已知數列是公差不為零的等差數列，，，成等比數列，第1，2項與第10，11項的和為68，則數列的通項公式是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題的題設條件中.問題：等差數列的公差為，滿足，________?（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和得到最小值時的值.18．（12分）已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實數的取值范圍19．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說明理由，20．（12分）在對某老舊小區(qū)污水分流改造時，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價為248元/平方米，池底的建造單價為80元/平方米，池蓋的建造單價為100元/平方米，建造此污水處理池相關人員的勞務費以及其他費用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關規(guī)定執(zhí)行，計算時忽略不計）（1）現有財政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設計污水處理池的長和寬，使總費用最低？最低費用為多少萬元？21．（12分）已知拋物線的焦點與曲線的右焦點重合.（1）求拋物線的標準方程；（2）若拋物線上的點滿足，求點的坐標.22．（10分）已知點F是拋物線和橢圓的公共焦點，是與的交點，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點，與橢圓交于，，點關于軸的對稱點為.求的最大值及相應的.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.2、B【解析】設等比數列的公比為q，根據等比數列的通項公式，列出方程組，即可求得，進而可求得答案.【詳解】設等比數列公比為q，則，解得，所以.故選：B3、A【解析】設，表示出，由勾股定理列式計算得，然后在，再由勾股定理列式，計算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，得，所以，在中，，即.故選：A【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)4、C【解析】利用等差數列的定義和數列單調性的定義判斷可得出結論.【詳解】若，則，即，此時，數列為單調遞增數列，即“”“數列為單調遞增數列”；若等差數列為單調遞增數列，則，即“”“數列為單調遞增數列”.因此，“”是“數列為單調遞增數列”的充分必要條件.故選：C.5、D【解析】原不等式等價于，根據的圖象判斷函數的單調性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數的圖象可知：在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，；當時，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.6、B【解析】根據等差數列的定義和通項公式直接得出結果.【詳解】因為，所以數列是等差數列，公差為1，所以.故選：B7、D【解析】求出直線直線過的定點A，由題意可知垂足是落在以OA為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點,由過坐標原點作直線的垂線，垂足為，可知：落在以OA為直徑的圓上，而以OA為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點到原點距離的平方，而圓過原點，圓上點到原點的最遠距離為，但將原點坐標代入直線中，不成立，即直線l不過原點，所以不可能和原點重合，故，故選：D8、C【解析】這12天的AQI指數值的中位數是，故A不正確；這12天中，空氣質量為“優(yōu)良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正確；；從4日到9日，空氣質量越來越好，，故C正確；這12天的指數值的平均值為110，故D不正確.故選C9、A【解析】確定對應二次方程的解，根據三個二次的關系寫出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A10、A【解析】根據給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點O到直線l的距離，因此，，解得，所以實數m等于.故選：A11、B【解析】根據等差數列的前項和為具有的性質，即成等差數列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數列的前n項和，且，，所以成等差數列，所以，即，解得=18，故選：B.12、B【解析】求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為1，∴若與關于x軸對稱，則，即，當三點不共線時，當三點共線時，所以同理(當且僅當時取得等號)所以當三點共線時，當三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，設，，，，，由向量法可得，令，，，利用導數研究函數的單調性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標系不妨設，則，0，，，0，，，1，，設，，，，，，，，，，，令，，則，函數在上單調遞減，時，函數取得最大值，的最大值為故答案為：14、9【解析】先根據點數求解概率,再結合幾何概型求解黑色部分的面積【詳解】由題設可估計落入黑色部分概率設黑色部分的面積為,由幾何概型計算公式可得解得故答案為:915、12【解析】通過二次展開式就可以得到.【詳解】的展開式中含含項的系數為故答案為：1216、【解析】利用基本量結合已知列方程組求解即可.【詳解】設等差數列的公差為由題可知即因為，所以解得：所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）選擇條件見解析，（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，由，得到，選①，聯立求解；選②，聯立求解；選③，聯立求解；（2）由（1）知，令求解.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，得，選①，得，故，∴.選②，得，得，故，∴.選③，，得，故，∴；【小問2詳解】由（1）知，，，∴數列是遞增等差數列.由，得，∴時，，時，，∴時，得到最小值.18、或【解析】先分別求出，為真時，的范圍；再求交集，即可得出結果.【詳解】若是真命題．則對任意恒成立，∴；若為真命題，則方程有實根，∴，解得或，由題意，真也真，∴或即實數的取值范圍是或.19、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點三角形周長可求出，結合關系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當平行于軸時，設過的直線為，聯立橢圓方程，令化簡得關于的二次方程，由韋達定理即可求解.【小問1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標準方程為：；【小問2詳解】如圖所示，當平行于軸時，恰好平行于軸，，，；當不平行于軸時，設，設過點的直線為，聯立得，令得，化簡得，設，則，又，故，即.綜上所述，.20、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費用最低，最低費用為90000元.【解析】（1）根據題意結合單價直接計算即可得出；（2）設污水處理池的寬為米，表示出總費用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長為（米），建造總費用為：（元）因為，所以如果污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是不夠用的.【小問2詳解】設污水處理池的寬為米，建造總費用為元，則污水處理池的長為米.則因為，等號僅當，即時成立，所以時建造總費用取最小值90000，所以將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費用最低，最低費用為90000元.21、（1）；（2）或.【解析】（1）求出雙曲線的右焦點坐標，可求出的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）設點，由拋物線的定義求出的值，代入拋物線的方程可求得的值，即可得出點的坐標.【詳解】（1）由雙曲線方程可得，，所以，解得.則曲線的右焦點為，所以，.因此，拋物線的標準方程為；（2）設，由拋物線的定義及已知可得，解得.代入拋物線方程可得