北京市人民大學附屬中學2025屆高二數學第一學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

北京市人民大學附屬中學2025屆高二數學第一學期期末教學質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=2．設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.43．如圖，M為OA的中點，以為基底，，則實數組等于（）A. B.C. D.4．等差數列中，是的前項和，，則（）A.40 B.45C.50 D.555．函數的導函數為，若已知圖象如圖，則下列說法正確的是（）A.存在極大值點 B.在單調遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解6．數列的一個通項公式為（）A. B.C. D.7．已知、，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.8．若1，m，9三個數成等比數列，則圓錐曲線的離心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或29．已知函數，的導函數，的圖象如圖所示，則的極值情況為（）A.2個極大值，1個極小值 B.1個極大值，1個極小值C.1個極大值，2個極小值 D.1個極大值，無極小值10．設橢圓（）的左焦點為F，O為坐標原點．過點F且斜率為的直線與C的一個交點為Q（點Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A. B.C. D.12．過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個邊長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是___________.①直線與直線垂直；②直線與直線相交；③直線與直線平行；④直線與直線異面；14．已知在時有極值0，則的值為____15．2021年7月，某市發(fā)生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛(wèi)健委決定在全市設置多個核酸檢測點對全市人員進行核酸檢測.已知組建一個小型核酸檢測點需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時可做200人次的核酸檢測，組建一個大型核酸檢測點需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時可做300人次的核酸檢測.某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去做核酸檢測工作，則這28名醫(yī)生需要組建________個小型核酸檢測點和________個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.16．已知等比數列的前n和為，若成等差數列，且，，則的值為_______________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標原點）18．（12分）設p：；q：關于x的方程無實根.（1）若q為真命題，求實數k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實數k的取值范圍.19．（12分）已知等差數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式及；（2）設，求數列的前n項和.20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+（2c+a）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面積為，求a+c的值21．（12分）“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖①，橋上有五個拱形橋架緊密相連，每個橋架的內部有一個水平橫梁和八個與橫梁垂直的立柱，氣勢宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.如圖②，一個拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的拋物線（部分）組成，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及橫梁的長；（2）求拋物線的方程和橋梁的拱高.22．（10分）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.2、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以故選：A3、B【解析】根據空間向量減法的幾何意義進行求解即可.【詳解】，所以實數組故選：B4、B【解析】應用等差數列的性質“若，則”即可求解【詳解】故選：B5、C【解析】根據圖象可得的符號，從而可得的單調區(qū)間，再對選項進行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當時，，當時，，當時，，當時，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯誤，且知，所以存在極小值和，無極大值，A錯誤，同時無論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負數，故C正確，D錯誤.故選：C.6、A【解析】根據規(guī)律，總結通項公式，即可得答案.【詳解】根據規(guī)律可知數列的前三項為，所以該數列一個通項公式為故選：A7、B【解析】設直線的傾斜角為，利用直線的斜率公式求出直線的斜率，進而可得出直線的傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為，由斜率公式可得，，因此，.故選：B.8、D【解析】運用等比數列的性質可得，再討論，，求出曲線的，，由離心率公式計算即可得到【詳解】三個數1，，9成等比數列，則，解得，，當時，曲線為橢圓，則；當時，曲線為為雙曲線，則離心率故選：9、B【解析】根據圖象判斷的正負，再根據極值的定義分析判斷即可【詳解】由，得，令，由圖可知的三個根即為與的交點的橫坐標，當時，，當時，，即，所以為的極大值點，為的極大值，當時，，即，所以為的極小值點，為的極小值，故選：B10、D【解析】連接Q和右焦點，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫出兩直線方程，聯立可得Q點坐標，Q點坐標代入橢圓標準方程可得a、b、c關系﹒【詳解】設橢圓右焦點為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ過F(－c，0)，Q過(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D11、B【解析】根據已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結合的關系，即可求出結論.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則①.又因為橢圓與雙曲線有公共焦點，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.12、A【解析】根據題意可表示出漸近線方程，進而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標進而求得A點坐標，代入雙曲線方程整理求得和的關系式，進而求得離心率【詳解】：由題意設相應的漸近線：，則根據直線的斜率為，則的方程為，聯立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點，把中點坐標代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①④【解析】畫出正方體，，，故，①正確，根據相交推出矛盾得到②錯誤，根據，與相交得到③錯誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中，，，故，①正確；若直線與直線相交，則四點共面，即在平面內，不成立，②錯誤；，與相交，故直線與直線不平行，③錯誤；，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點共面，在平面內，不成立，故直線與直線異面，④正確；故答案為：①④.14、11【解析】由題知，且，所以，得或，①當時，，此時，，所以函數單調遞增無極值，舍去②當時，，此時，是函數的極值點，符合題意，∴15、①.4②.2【解析】根據題意建立不等式組，進而作出可行域，最后通過數形結合求得答案.【詳解】設需要組建個小型核酸檢測點和個大型核酸檢測點，則每小時做核酸檢測的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見當直線過點A時，z取得最大值，由得恰為整數點，所以組建4個小型核酸檢測點和2個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.故答案為：4；2.16、107【解析】根據等比數列和等差數列的通項公式，根據題意列方程可得，從而求出或，再根據，確定，進而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設等比數列的公比為，首項為，由成等差數列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.【點睛】本題考查了等差中項和等比數列的通項公式，考查了和的關系，同時考查了計算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設直線方程為，，，，，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，則，代入韋達定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解：當直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當直線的傾斜角不為時，設直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當且僅當時取等號，即面積的最小值為；18、（1）；（2）.【解析】（1）根據命題的真假，結合一元二次方程無實根，列出的不等式，即可求得結果；（2）求得命題為真對應的的范圍，結合命題一個為真命題一個為假命題，即可列出的不等式組，求解即可.【小問1詳解】若q為真命題，則，解得，即實數k的取值范圍為.【小問2詳解】若p為真，，解得，由是假命題，且是真命題，得：p、q兩命題一真一假，當p真q假時，或，得，當p假q真時，，此時無解.綜上的取值范圍為.19、（1）（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數列的通項公式可求得數列的通項公式，利用等差數列前n項和公式求出；（2）求得，利用裂項相消法即可求得.【小問1詳解】設等差數列的公差為，由，解得，所以，故數列的通項公式，；【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以.20、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化簡，通過兩角和與差的三角函數求出，即可得到結果（2）利用三角形的面積求出，通過由余弦定理求解即可【詳解】解：（1）因為bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣∴B=（2）由=得ac=4由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16∴a+c=2【點睛】本題主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面積公式解三角形問題，其中在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到21、（1），（2），【解析】（1）根據梯形的幾何性質，即可求解；（2）表示出M,N的坐標，代入拋物線方程中，結合條件解得p值，繼而求得拱高.【小問1詳解】由題意，知,因為ABFM是等腰梯形，由對稱性知:,所以，【小問2詳解】由（1）知,所以點M的橫坐標為-18，則N的橫坐標為-（18-5）=-13.設點M，N的縱坐標分別為y1，y2，由圖形，知設拋物線的方程為，，兩式相減，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故拋物線的方程為x2=-100y.因此，當x=-18時，所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.22、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進行邊角互化，再結合正余弦的和差