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文檔簡介
豫南九校2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點,則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.3.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.4.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點,,,,則的面積是()A. B. C. D.5.過拋物線()的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點.,且在第一象限,則()A. B. C. D.6.如圖,在平面四邊形ABCD中,若點E為邊CD上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.7.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能8.若直線與圓相交所得弦長為,則()A.1 B.2 C. D.39.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.10.在正項等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.811.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)12.已知,則不等式的解集是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù),則的值為______.14.已知向量,,且,則________.15.若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動點Q,已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數(shù)k,且動點Q的軌跡是拋物線,則當二面角平面角的大小為時,k的值為______.16.觀察下列式子,,,,……,根據(jù)上述規(guī)律,第個不等式應(yīng)該為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件,對之前加工的100個零件的加工時間進行統(tǒng)計,結(jié)果如下:加工1個零件用時(分鐘)20253035頻數(shù)(個)15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)劉師傅準備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座,用時40分鐘,另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.18.(12分)為了加強環(huán)保知識的宣傳,某學(xué)校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設(shè)置了四個箱子,分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干張,每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張,按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則,每正確投放一張卡片得分,投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.從所有參賽選手中隨機抽取人,將他們的得分按照、、、、分組,繪成頻率分布直方圖如圖:(1)分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù);(2)從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手,以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)設(shè)點,直線與曲線交于,兩點,求的值.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量.22.(10分)如圖為某大江的一段支流,岸線與近似滿足∥,寬度為.圓為江中的一個半徑為的小島,小鎮(zhèn)位于岸線上,且滿足岸線,.現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道(圖中粗線部分折線段,在右側(cè)),為保護小島,段設(shè)計成與圓相切.設(shè).(1)試將通道的長表示成的函數(shù),并指出定義域;(2)若建造通道的費用是每公里100萬元,則建造此通道最少需要多少萬元?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因為,所以平面,故A正確.因為,所以,所以平面故B正確.因為,所以平面,故D正確.因為與相交,所以與平面相交,故C錯誤.故選:C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.2、D【解析】
根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐,由此計算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知,該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為,所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選:D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖,考查錐體表面積的計算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.4、B【解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進而求出,然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點睛】本題考查三角形面積的計算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.5、C【解析】
作,;,由題意,由二倍角公式即得解.【詳解】由題意,,準線:,作,;,設(shè),故,,.故選:C【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.6、A【解析】
分析:由題意可得為等腰三角形,為等邊三角形,把數(shù)量積分拆,設(shè),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),用函數(shù)可求得最小值。詳解:連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形,而,所以為等邊三角形,。設(shè)=所以當時,上式取最小值,選A.點睛:本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分,需要選擇合適的基底,再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。7、B【解析】
由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,在上單調(diào)遞增,因為,是銳角三角形的兩個內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.8、A【解析】
將圓的方程化簡成標準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出,進而可得出結(jié)果.【詳解】,所以,.故選:B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.11、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.12、A【解析】
構(gòu)造函數(shù),通過分析的單調(diào)性和對稱性,求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù),且向左移動一個單位得到,的定義域為,且,所以為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,所以圖像關(guān)于對稱.不等式等價于,等價于,注意到,結(jié)合圖像關(guān)于對稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選:A【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進而計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力.14、【解析】
根據(jù)垂直向量的坐標表示可得出關(guān)于實數(shù)的等式,即可求得實數(shù)的值.【詳解】,且,則,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù),涉及垂直向量的坐標表示,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
二面角平面角為,點Q到底面的距離為,點Q到定直線得距離為d,則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k,可得,由此可得,則由可求k值.【詳解】解:如圖,設(shè)二面角平面角為,點Q到底面的距離為,點Q到定直線的距離為d,則,即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k,∴,則,∵動點Q的軌跡是拋物線,∴,即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得:().故答案為:.【點睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)題意,依次分析不等式的變化規(guī)律,綜合可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,對于第一個不等式,,則有,對于第二個不等式,,則有,對于第三個不等式,,則有,依此類推:第個不等式為:,故答案為.【點睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用,分析不等式的變化規(guī)律.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)分布列見解析,;(2)0.8575【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列,并計算出數(shù)學(xué)期望.(2)根據(jù)對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式,計算出劉師傅講座及加工個零件作示范的總時間不超過分鐘的概率.【詳解】(1)的分布列如下:202530350.150.300.400.15.(2)設(shè),分別表示講座前、講座后加工該零件所需時間,事件表示“留師傅講座及加工兩個零件示范的總時間不超過100分鐘”,則.【點睛】本小題主要考查隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查對立事件概率計算,考查相互獨立事件概率計算,屬于中檔題.18、(1)所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)將分別乘以區(qū)間、對應(yīng)的矩形面積可得出結(jié)果;(2)由題可知,隨機變量的可能取值為、、,利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在不同取值下的概率,可得出隨機變量的分布列,并由此計算出隨機變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】(1)由題意知,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有(人),得分落在組的人數(shù)有(人).因此,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有人,得分落在組的人數(shù)有人;(2)由題意可知,隨機變量的所有可能取值為、、,,,,所以,隨機變量的分布列為:所以,隨機變量的期望為.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù),同時也考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)【解析】
(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可;(2)將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程,可得,,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去;得曲線的極坐標方程為.由,,,可得,即曲線的直角坐標方程為;(2)將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入的方程,可得,,設(shè),是點對應(yīng)的參數(shù)值,,,則.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.20、(1);(2).【解析】
(1)令,求出的范圍,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論;(2)對分類討論,分別求出以及的最小值或范圍,與的最小值建立方程關(guān)系,求出的值,進而求出的取值關(guān)系.【詳解】(1)當時,,令,∵∴,而是增函數(shù),∴,∴函數(shù)的值域是.(2)當時,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,在上單調(diào)遞增,最小值為,而的最小值為,所以這種情況不可能.當時,則在上單調(diào)遞減且沒有最小值,在上單調(diào)遞增最小值為,所以的最小值為,解得(滿足題意),所以,解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值,熟練掌握二次函
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