數(shù)模培訓(xùn)講課內(nèi)容2011a

2011年A題城市表層土壤重金屬污染分析現(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對表層土（0~10厘米深度）進(jìn)行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門儀器測試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。附件1列出了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。現(xiàn)要求你們通過數(shù)學(xué)建模來完成以下任務(wù)：給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？圖一城區(qū)的海拔分布圖圖二Cu元素在該城區(qū)的空間分布擴(kuò)散方程：重金屬在土壤中的運(yùn)動(dòng)包括對流、擴(kuò)散和阻滯。題中城區(qū)的面積很大，有幾千平方公里，所以我們可以忽略重金屬元素的垂直運(yùn)動(dòng)，因而，我們可以用下面的二維方程來加以描述重金屬元素在土壤中的傳播：建立的重金屬元素傳播模型適用于重金屬隨地下水或土壤表層水穩(wěn)定均勻的遷移。把重金屬元素的連續(xù)和脈沖輸入作為邊界條件，可求得該方程的解析解，階梯函數(shù)可以用于在相當(dāng)長的時(shí)間里恒定濃度的污染物質(zhì)的輸入，其中“相當(dāng)長”和“有限”是相對于問題中的時(shí)間的歷程而言的。邊界條件：

這是一個(gè)偏微分方程，這類方程適用于包括流體、質(zhì)量遷移、熱轉(zhuǎn)換和動(dòng)力學(xué)在內(nèi)的很廣的一類型問題。

對于在t=0處的瞬時(shí)點(diǎn)源，（如炸彈爆炸后的煙霧擴(kuò)散問題，“數(shù)學(xué)建模”，姜啟源；墨水滴入水中擴(kuò)散等），可得出物質(zhì)濃度隨距離和時(shí)間成指數(shù)衰減的解析解。本題中假設(shè)重金屬污染已經(jīng)達(dá)到了穩(wěn)態(tài)，所以C（x，y，t）與時(shí)間無關(guān)，因而可進(jìn)行合理的簡化。這里D可理解為是擴(kuò)散系數(shù)。

本題中的每個(gè)采樣點(diǎn)都給出了海拔高度，海拔高度顯然會(huì)影響到重金屬的擴(kuò)散，簡單的辦法是對距離、或?qū)U(kuò)散系數(shù)等進(jìn)行修正，可考慮它們是海拔高度z的函數(shù)，即可得：海拔高度z的影響：C0為重金屬背景值最小二乘法確定污染源：設(shè)該地區(qū)每種重金屬存在m個(gè)污染源，n個(gè)有效的采樣點(diǎn)數(shù)，則第i個(gè)污染源擴(kuò)散后，在第j個(gè)采樣點(diǎn)處的濃度貢