專題5.4期末復習之解答壓軸題十三大題型總結（人教版）

專題5.4期末復習之解答壓軸題十三大題型總結【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1數(shù)軸上的動點定值問題】 1【題型2數(shù)軸上的折疊問題】 8【題型3絕對值中的最值問題】 17【題型4有理數(shù)的實際應用】 26【題型5利用整式加減確定方案問題】 31【題型6利用整式加減解決圖形周長或面積問題】 35【題型7由一元一次方程的解確定字母的值】 41【題型8一元一次方程的實際應用】 45【題型9利用線段的和差探究線段間的關系】 51【題型10利用角度的和差探究角度間的關系】 58【題型11動點或旋轉角的綜合運用】 66【題型12數(shù)式或圖形中的規(guī)律問題】 75【題型13數(shù)式或圖形中的新定義問題】 80【題型1數(shù)軸上的動點定值問題】【例1】（2023上·四川成都·七年級校考期末）已知A,B,C,D四點在數(shù)軸上的位置如圖所示，它們對應的數(shù)分別為a,b,c,d，且|b|=|c|=6，AB=32BC=95CD．動點P,Q同時分別從點A,D出發(fā)，相向而行，點P的運動速度為每秒4個單位長度，點Q的運動速度為每秒2個單位長度，線段BC所在部分為“交換區(qū)”，規(guī)則為：點P從點B進入“交換區(qū)”，其運動速度變?yōu)辄cQ原來的運動速度，點Q從點C進入“交換區(qū)”，其運動速度變?yōu)辄cP原來的運動速度，出“交換區(qū)”之后都分別以各自原來的運動速度繼續(xù)前行，設運動的時間為t秒．(1)分別求a，(2)當P,Q兩點相遇時，求t的值及相遇點在數(shù)軸上所對應的數(shù)；(3)當點P在點Q的左側且滿足BP=CQ時，求t的值．【答案】(1)?24，16(2)當P,Q兩點相遇時，t=416(3)t的值為4或194或【分析】（1）由|b|=|c|=6，且如圖點B，點C分別在原點兩側，可求b=?6，c=6，則BC=12，由AB=32BC=（2）由題意得，點P從A到B需184=92秒，點Q從D到C需要102=5秒，即P與（3）分當點P在A，B間，點Q在C，D間時，即0<t<92時，當點P在B，C間，點Q在C，D間時，即92<t<5時，當點P、Q都在B，【詳解】（1）解：∵|b|=|c|=6，且如圖點B，點C分別在原點兩側，∴b=?6，∴BC=12，∵AB=3∴AB=3解得，AB=18，∴a=?6?18=?24，∴a，d的值為?24，（2）解：由題意得，點P從A到B需184=92秒，點Q從D到∴P與Q在線段BC上相遇，∵AB=18，依題意得，18+2t?解得，t=41∴相遇點在數(shù)軸上所對應的數(shù)為?24+18+241∴當P,Q兩點相遇時，t=416，相遇點在數(shù)軸上所對應的數(shù)為（3）解：當點P在A，B間，點Q在C，D間時，即0<t<92時，點P對應的數(shù)為?24+4t，點Q對應的數(shù)為∴BP=?6??24+4t=18?4t，∵BP=CQ，∴18?4t=10?2t，解得，t=4；當點P在B，C間，點Q在C，D間時，即92<t<5時，點P對應的數(shù)為2t?15，點Q對應的數(shù)為∴BP=2t?9，CQ=10?2t，∵BP=CQ，∴2t?9=10?2t，解得，t=19當點P、Q都在B，C間，且在相遇前，即5≤t<416時，點P對應的數(shù)為2t?15，點Q對應的數(shù)為∴BP=2t?9，CQ=4t?20，∵BP=CQ，∴2t?9=4t?20，解得，t=11綜上所述，t的值為4或194或11【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，絕對值，用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，一元一次方程的應用，數(shù)軸上的動點問題．熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離，根據(jù)題意正確的列方程是解題的關鍵．【變式11】（2023上·浙江·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀】如圖，在數(shù)軸上點M表示的數(shù)為m，點N表示的數(shù)為n，點M到點N的距離記為MN．我們規(guī)定：MN的大小可以用位于右邊的點表示的數(shù)減去左邊的點表示的數(shù)表示，即MN=n?m．

【應用】請用上面的知識解答下面的問題：

如圖1，A、B兩點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為?16和6．(1)求A、B兩點之間的距離；(2)若在數(shù)軸上存在一點P，使得AP=13PB(3)如圖2，現(xiàn)有動點P、Q，若點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，當點Q到達原點O后立即以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，求：當OP=4OQ時的運動時間t的值．【答案】(1)22；(2)點P表示的數(shù)為?10.5或?27；(3)2或134【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式即可求出A、B兩點之間的距離；（2）分三種情況：①點P在B點右邊時，②點在線段AB上；③點在線段A的左邊時，根據(jù)AP=1（3）根據(jù)點Q的運動方向分兩種情況：①當t≤3時，點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動；②當t>3時，點Q從原點開始以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，根據(jù)OP=4OQ列出關于t的方程，解方程即可．【詳解】（1）根據(jù)題可得：6?(?16)=22，（2）①當P在B點右邊時，不存在，②當P在AB之間時，22÷4=5.5，?16+5.5=?10.5，∴點P表示的數(shù)為?10.5，③當P在A點左邊時，22÷2=11，?16?11=?27，

∴點P表示的數(shù)為?27，∴點P表示的數(shù)為?10.5或?27；（3）當0<t≤3時，16?4t=4(6?2t)，解得t=2，當3<t≤4時，16?4t?4×3(?3)，解得t=13當t>4時，4t?16=4×3(t?3)，解得t=2.5（舍去），∴t的值為：2或134【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，數(shù)軸，結合動點考查了兩點間的距離，以及路程、速度與時間關系的應用，理解題意，找到相等關系進行正確分類是解題的關鍵．【變式12】（2023上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B兩點在數(shù)軸上對應的有理數(shù)分別是a、b，且a+10+

(1)請直接寫出：a=______，b=______；(2)動點M從A點出發(fā)以2單位/秒的速度向左運動，動點N從B點出發(fā)以4單位/秒的速度向左運動，動點T從原點O出發(fā)以a單位/秒的速度向左運動（a>0），三個動點同時出發(fā)，設運動時間為t秒．①請用含a或t的式子表示：動點M對應的數(shù)為______，動點N對應的數(shù)為______，動點T對應的數(shù)為______；②若在運動過程中，正好先后兩次出現(xiàn)TM=TN的情況，且兩次間隔的時間為10秒，求a的值；③若在運動過程中，恰好只有一次TM=TN的情況，請直接寫出滿足條件a的值或a的取值范圍是______．【答案】(1)?10，32(2)①?10?2t，32?4t，?at②2或8231③【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性即可作答；（2）①向左運動用減法運算，向右運動用加法運算：則動點M對應的數(shù)為?10?2t，動點N對應的數(shù)為32?4t，動點T對應的數(shù)為?at；②當M與N重合時，?10?2t=32?4t，t=21，根據(jù)兩次間隔的時間為10秒，可知另一次TM=TN是在t=11或t=31時；可得11a?12=?11a+32，或?31a+92=31a?72，即可解得答案；③t=21時，M與N重合，此時TM=TN，根據(jù)在運動過程中，恰好只有一次TM=TN的情況，故當t=21時，T在M的左側，有?21a<?10?2×21，當t>21時，T不能是MN的中點，可知N不能追上T，有a≥4．【詳解】（1）解：∵a+10+∴a+10=0，b?32=0，解得a=?10，b=32；（2）解：①根據(jù)題意，因為動點M從A點出發(fā)以2單位/秒的速度向左運動，所以動點M對應的數(shù)為?10?2t，因為動點N從B點出發(fā)以4單位/秒的速度向左運動，所以動點N對應的數(shù)為32?4t，因為動點T從原點O出發(fā)以a單位/秒的速度向左運動動點T對應的數(shù)為?at；②當M與N重合時，TM=TN，∴?10?2t=32?4t解得t=21，∵兩次間隔的時間為10秒，∴另一次TM=TN是在t=11或t=31時；當t=11時，則TN=32?4×11??11a=11a?12，∴11a?12=?11a+32，解得a=2；當t=31時，則TN=?31a?32?4×31=?31a+92，∴?31a+92=31a?72，解得a=82∴a的值為2或8231③由②知，當t=21時，M與N重合，此時TM=TN，∵在運動過程中，恰好只有一次TM=TN的情況，∴當t≤21時，T不能是MN的中點，即當t=21時，T在M的左側，∴?21a<?10?2×21，解得a>52當t>21時，T也不能是MN的中點，即N不能追上T，故T的速度要大于等于N的速度，∴a≥4，綜上所述，a≥4．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，列代數(shù)式表示式，數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上的動點問題，絕對值的非負性，化簡絕對值，熟練運用分類討論思想，解題的關鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示動點所表示的數(shù)．【變式13】（2023上·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知，數(shù)軸上有三個點A，B，C，它們的起始位置表示的數(shù)分別是?5，?3，6，如圖所示．

(1)若將點B從起始位置開始沿數(shù)軸向右移動，使得B，C兩點之間的距離與A，B兩點之間的距離相等，則須將點B向右移動______單位；(2)若點A從起始位置開始，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，同時，點B也從起始位置開始，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點A與點B之間的距離表示為AB，點A與點C之間的距離表示為AC，點B與點C之間的距離表示為AC，設運動的時間為t（秒）．①求AC?BC（用含t的代數(shù)式表示）；②若點C也與點A，B同時從起始位置開始運動，且點C以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，試問：是否存在一個常數(shù)k，使得k?AB?2BC的值不隨運動時間t（秒）的變化而改變？若存在，請求出常數(shù)k，并求此時k?AB?2BC的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3.5(2)①當0<t≤4.5時，AC?BC=3t+2，當t>4.5時，AC?BC=20?t；②k=23【分析】本題考查數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點間距離公式，一元一次方程的應用等，用含t的代數(shù)式表示各動點所在位置表示的數(shù)是解題的關鍵．（1）設點B向右移動了x個單位，根據(jù)兩點間距離公式表示出AB和BC，列等式解方程即可；（2）①分點B在點C左側與右側兩種情況，用含t的代數(shù)式表示出AC和BC，作差即可；②用含t的代數(shù)式表示出AB和BC，進而表示出k?AB?2BC，令t的系數(shù)為0可求出常數(shù)k的值．【詳解】（1）解：當B，C兩點之間的距離與A，B兩點之間的距離相等時，B在A和C之間，設點B向右移動了x個單位，則移動后所在位置表示的數(shù)為?3+x，則?3+x?解得x=3.5，故答案為：3.5；（2）解：①運動的時間為t（秒）時，點A表示的數(shù)為?5?t，點B表示的數(shù)為?3+2t，當點B與點C重合時，?3+2t=6，解得t=4.5，當0<t≤4.5時，點B在點C左側，AC=6??5?t=11+t，∴AC?BC=11+t?9?2t當t>4.5時，點B在點C右側，AC=6??5?t=11+t，∴AC?BC=11+t?2t?9②運動的時間為t（秒）時，點C表示的數(shù)為6+3t，AB=?3+2t??5?t∴k?AB?2BC=k3t+2令3k?2=0，得k=2∴當k=23時，k?AB?2BC的值不隨運動時間∴2【題型2數(shù)軸上的折疊問題】【例2】（2023上·江蘇鹽城·七年級景山中學校考期末）如圖①，在數(shù)軸上，點O為坐標原點，點A、B、C、D表示的數(shù)分別是?16、6、18、26．動點P、Q同時出發(fā)，動點P從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒4個單位的速度向點C運動，當點P運動到點C后，立即按原來的速度返回．動點Q從點C出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向終點D運動．當點Q到達點D時，點P也停止運動，設點P的運動時間為t（t>0）秒．

(1)點A與原點O的距離是．(2)點P從點B向點C運動過程中，點P與原點O的距離是（用含t的代數(shù)式表示）．(3)點P從點B向點C運動過程中，當點P與原點O的距離恰好等于點P與點Q的距離時，求t的值．(4)在點P、Q的整個運動過程中，若將數(shù)軸在點O和點P處各折一下，使點Q與點A重合，如圖②所示，當所構成的三角形OPQ中恰好有兩條邊相等時，求t的值．【答案】(1)16(2)6+4t(3)t=1(4)1【分析】（1）由點A表示的數(shù)是?16，根據(jù)兩點之間的距離公式即可求解；（2）由OB=6，BP=4t，再根據(jù)OP=OB+BP即可求解；（3）可求得當點P與點C重合時，t=3，所以當點P從點B向點C運動時，0≤t≤3，此時點P表示的數(shù)是6+4t，點Q表示的數(shù)是18+2t，且點Q在點P右側，再根據(jù)兩點間的距離公式代入即可求解；（4）可求得當點Q與點D重合時，t=4，當3<t≤4時，點P表示的數(shù)是30?4t,則OP=30?4t，PQ=6t?12再分六種情況討論，一是當0≤t≤3，且OP=OA時，則6+4t=16；二是當3<t≤4，且OP=OA時，則30?4t=16；三是當0≤t≤3，且OP=PQ時，由（3）得t=1；四是當3<t≤4，且OP=PQ時，則30?4t=6t?12；五是當0≤t≤3，且PQ=OA時，則12?2t=16；六是當3<t≤4，且PQ=OA時，則6t?12=16，解方程求出相應的符合題意的【詳解】（1）解：∵點A表示的數(shù)是?16，∴OA=|?16?0|=16，故答案為：16．（2）解：∵點B表示的數(shù)是6，∴OB=6?0∵BP=4t，∴OP=OB+BP=6+4t，故答案為：6+4t.（3）解：當點P與點C重合時，則6+4t=18，解得t=3，∴當點P從點B向點C運動時，0≤t≤3，∵點P表示的數(shù)是6+4t，點Q表示的數(shù)是18+2t，且點Q在點P右側，∴OP=6+4t，由OP=PQ，得6+4t=12?2t，解得：t=1．（4）解：當點Q與點D重合時，則18+2t=26，解得t=4，當3<t≤4時，點P表示的數(shù)是18?4(t?3)，即30?4t，∴OP=30?4t，當0≤t≤3，且OP=OA時，則6+4t=16，解得：t=2.5；當3<t≤4，且OP=OA時，則30?4t=16，解得：t=3.5；當0≤t≤3，且OP=PQ時，由（3）得t=1；當3<t≤4，且OP=PQ時，則30?4t=6t?12，解得：t=21當0≤t≤3，且PQ=OA時，由（3）得PQ=12?2t，∴12?2t=16，解得t=?2，不符合題意，舍去；當3<t≤4，且PQ=OA時，則6t?12=16，解得：t=14綜上所述，t的值是1，【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、數(shù)軸與絕對值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解應用題、數(shù)形結合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示點P、點Q所對應的數(shù)是解題的關鍵．【變式21】（2023上·湖北武漢·七年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┤鐖D，將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，圖中，點A表示的數(shù)為?6，點B表示的數(shù)為5，點C表示為9，我們稱點A和點C在數(shù)軸上相距15個長度單位，動點P從點A出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄罅⒖袒謴驮?；同時，動點Q從點C出發(fā)，以1單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的負方向運動，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮笠擦⒖袒謴驮伲O運動的時間為t秒，則：(1)動點P從點A運動至點O需要_____秒，從點O運動至點B需要_____秒，從點B運動至點C需要_____秒．(2)若P，Q兩點在點M處相遇，則點M在折線數(shù)軸上所表示的數(shù)是多少？(3)請直接寫出當t為何值時，P、O兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q、B兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【答案】(1)3，5，2(2)點M在折線數(shù)軸上所表示的數(shù)是73(3)當t=2，3.5，5，9.5時秒，OP=BQ．【分析】（1）利用路程除以速度求解即可得到答案；（2）先判斷相遇時間大于5秒，再利用相遇時兩點在O，B上的路程和為5，再列方程求解即可；（3）分四種情況討論：①當點P在AO上，點Q在CB上時；②當點P在OB上時，點Q在CB上時；③當點P在OB上時，點Q在OB上時；④當點P在BC上時，點Q在OA上時，再列方程求解即可．【詳解】（1）解：動點P從點A運動至點O需要0??6從點O運動至點B需要5÷1=5秒，從點B運動至點C需要9?5÷2=2故答案為：3，5，2；（2）解：由題意可得相遇時間t>5，∴t?3+2解得t=16∴16∴點M在折線數(shù)軸上所表示的數(shù)是73（3）解：①當點P在AO上，點Q在CB上時，OP=6?2t，BQ=4?t，∵OP=BQ，∴6?2t=4?t，解得t=2；②當點P在OB上時，點Q在CB上時，OP=t?3，BQ=4?t，∵OP=BQ，∴t?3=4?t，解得t=3.5；③當點P在OB上時，點Q在OB上時，OP=t?3，BQ=2t?4∵OP=BQ，∴t?3=2t?4解得t=5；④當點P在BC上時，點Q在OA上時，OP=5+2t?8，BQ=5+∵OP=BQ，∴5+2t?8解得t=9.5；綜上：當t=2或3.5，5，9.5時秒，OP=BQ．【點睛】本題考查的是數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點之間的距離，一元一次方程的應用，清晰的分類討論是解本題的關鍵．【變式22】（2023下·廣東梅州·七年級?？奸_學考試）如圖將一條數(shù)軸在原點O，點B，點C，點D處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點A表示?8，點B表示8，點C表示16，點D表示24，點E表示28，我們稱點A和點E在數(shù)軸上相距36個長度單位．動點P從點A出發(fā)，以4單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點Q從點E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，兩點上坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话耄缕聲r速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，平地則保持初始速度不變．當點P運動至點E時則兩點停止運動，設運動的時間為t秒．問：

(1)動點P從點A運動至E點需要______秒，此時點Q對應的點是______；(2)P，Q兩點在點M處相遇，求出相遇點M所對應的數(shù)是多少？(3)求當t為何值時，P，B兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q，D兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【答案】(1)10，C(2)點M所對應的數(shù)為17(3)當t=143或223秒時，P，B兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q【分析】（1）依據(jù)動點P在各段運行的距離除以相應運行的速度算出各段運行的時間，然后相加即可算出動點P從點A運動至E點需要的時間共為10秒．然后再計算動點Q在10秒內(nèi)運行到什么位置．（2）分析相遇點所在路段在C—D段，當點P運動到C點時與Q點相距2個長度單位，則可算出點P從C點運動到M點所需的時間為29秒，則點M對應的數(shù)為16+（3）分段討論PB與QD在數(shù)軸上的長度相等時的各種情況即可．【詳解】（1）由題意可知，動點P在AO、BC、DE段的速度均為4單位/秒，在OB段的速度為2單位/秒，在CD段的速度為8單位/秒，AO=OB=BC=CD=8，DE=4，∴動點P從點A運動至E點需要的時間為t=8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4=2+4+2+1+1=10（秒），∵動點Q從點E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，在DE段的速度為2單位/秒，CD段的速度為1單位/秒，∴動點Q從點E運動到點D需要4÷2=2（秒），從點D運動到點C需要8÷1=8（秒），∴此時點Q對應的點是C；故答案為：10，C；（2）由（1）可知，P，Q兩點在M處相遇時，點M在C?D?E段，動點P由點A到點C點用時為8÷4+8÷2+8÷4=8（秒），動點Q從點E到點D用時為4÷2=2（秒），∵(8?2)×1∴當動點P到達點C時，點Q與點C的距離8?6=2，∵28+1∴此時P、Q兩點再運動29秒在點M∴點M所對應的數(shù)16+2（3）①當點P在OA段時，點Q在DE段，此時PB大于8，QD小于4，不符合題意；②當點P在OB段時，點Q在CD段，若PB=QD，則OB?t?2×2=PB，∴8?2t+4=t?2，解得：t=14③當點P在BC段時，點Q在CD段，PB=t?6∴4t?24=t?2，解得：t=22④當點P在CD段或DE段時，PB大于8，QD小于8，不符合題意．綜上所述，當t=143或223秒時，P，B兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，列出方程．【變式23】（2023上·江蘇蘇州·七年級?？计谀┤鐖D1，已知點A、B、C、D在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是a、b、c、24，其中a、b滿足a+122+b?8=0，點C到原點距離是點(1)填空：a=_____，b=_____，c=_____；(2)如圖1，若點A、B、C分別同時以每秒4個單位長度、1個單位長度和mm>4個單位長度的速度勻速向左運動，假設經(jīng)過t秒后，點A與點D之間的距離表示為AD①t為何值時，AD=3BD？②若AB?32AC(3)如圖2，將數(shù)軸在原點O、點B和點C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．動點P從點A出發(fā)．以每秒3個單位長度的速度沿“折線數(shù)軸”的正方向勻速運動至點D，同時，動點Q從點D出發(fā)以每秒4個單位長度沿著“折線數(shù)軸”的負方向變速運動，該點在平地保持初始速度不變，上坡時速度變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话?，下坡時速度變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀叮O運動時間為t秒．若P、Q兩點在點M處相遇，則點M表示的數(shù)為_____．【答案】(1)?12，8，16(2)①t=12，②m=6(3)72【分析】（1）由a+122+b?8=0可得：a+12=0，b?8=0，從而可求出a、b，再根據(jù)點C到原點距離是點B到原點距離的（2）①把AD，BD用含有t的式子表達，根據(jù)AD=3BD列出關于t的方程即可求解；②先把AB、AC的長度分別用含有t的式子表達，然后再用含有t的式子表達出AB?32AC，由AB?32AC的值始終保持不變，可令t=0，（3）先由題意分別計算Q點運動到點C、B、O三點時的t值，再分類討論在CD、BC、OB上相遇的t值是否符合題意即可．【詳解】（1）解：∵a+122∴a+12=0，b?8=0，∴解得：a=?12，b=8，∵點C到原點距離是點B到原點距離的2倍，OB=8，∴OC=2OB=2×8=16，∴c=16，故答案為：?12，8，16；（2）解：①由（1）可知，a=?12，b=8，c=16，∴點A向左平移對應的點的數(shù)是?12?4t，點B向左平移對應的點的數(shù)是8?t，點C向左平移對應的點的數(shù)是16?mt，∴AD=24??12?4t=36+4t，∵AD=3BD，∴36+4t=316+t∴t=12；②已知點A以每秒4個單位長度向左運動，B以每秒1個單位長度向左運動，C以每秒mm>4∵AB=8?t??12?4t∴AB?3第一種情況：當(m?4)t≥28時，AB?3令t=0時，AB?32AC=62；令t=1∵AB?3∴71?3∴m=6；第二種情況：當(m?4)t<28時，AB?3令t=0時，AB?32AC=?22；令t=1∵AB?3∴32解得，m=2；∵m>4，∴m=2不符合題意，舍去，∴m=6．（3）解：點A表示的數(shù)為?12，以每秒3個單位長度的速度沿正方向運動至點D，∴移動后的數(shù)表示為：?12+3t，當點A移動至點D時，AD=24??12∴t=16s根據(jù)題意可知CD=8、BC=8、OB=8，∴當Q點運動到點C時，t=84=2；運動到點B時，t=84①P點、Q點在CD上相遇，則3t+4t=36，t=36∵365∴t=36②P點、Q點在BC上相遇，則3t+2t?2∴t=32∵325∴t=32③P點、Q點在OB上相遇，則3t+16+8t?6=36，∵6811∴點M表示的數(shù)為：?12+3t=?12+3×68∴點M表示的數(shù)為7211故答案為：7211【點睛】本題考查了一元一次方程，數(shù)軸上的動點問題，如何表示線段的長度，絕對值的非負性，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系并列出方程，分類討論，還需注意運動過程中速度的變化．【題型3絕對值中的最值問題】【例3】（2023上·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）（1）探索材料1（填空）：數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于m?n．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點距離為2?5=；數(shù)軸上表示數(shù)3和?1的兩點距離為3??1=；x+4的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)（2）探索材料2（填空）：①如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個加工點A和B，要在流水線上設一個材料供應點P往兩個加工點輸送材料，材料供應點P應設在才能使P到A的距離與P到B的距離之和最??？

②如圖2，在工廠的一條流水線上有三個加工點A，B，C，要在流水線上設一個材料供應點P往三個加工點輸送材料，材料供應點P應設在才能使P到A，B，C三點的距離之和最小？

③如圖3，在工廠的一條流水線上有四個加工點A，B，C，D，要在流水線上設一個材料供應點P往四個加工點輸送材料，材料供應點P應設在才能使P到A，B，C，D四點的距離之和最??？

（3）結論應用（填空）：①代數(shù)式x+3+x?4的最小值是______，此時②代數(shù)式x+6+x+3+③代數(shù)式x+7+x+4+【答案】（1）3,4,x,?4；（2）①點A、點B之間；②點B；③點C、點B之間；（3）①7;?3≤x≤4；②8，?3；③18,?4≤x≤2【分析】（1）根據(jù)材料1填空，直接寫出答案；（2）根據(jù)材料2填空，分情況討論點P的位置，得出P到其他點的距離之和最??；（3）根據(jù)問題（2）得出的結論填空即可．【詳解】解：（1）|2?5|=3，|3?(?1)|=4,|x+4|=|x?(?4)|,x+4的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)x和?4這兩點的距離；故答案為：3,4,x,?4．（2）①當點P在點A左邊，PA+PB=2AP+AB,當點P在點A、點B之間，PA+PB=AB,當點P在點B右邊，PA+PB=2PB+AB.∴當點P在點A、點B之間時才能使P到A的距離與P到B的距離之和最?。蚀鸢笧椋狐cA、點B之間．②當點P在點A左邊，PA+PB+PC=2PA+AC+BP,當點P在點A、點B之間時，PA+PB+PC=AC+BP,當點P在點C、點B之間時，PA+PB+PC=AC+BP，當點P在點C、點B之間時，PA+PB+PC=AC+BP，當點P在點C右邊，PA+PB+PC=AC+BP+2PC，∴點P應設在點B時才能使P到A,B,C三點的距離之和最小．故答案為：點B．③當點P在點A左邊，PA+PB+PC+PD=4PA+2AB+CB+AD，當點P在點A、點B之間時，PA+PB+PC+PD=2PB+BC+AD，當點P在點C、點B之間時，PA+PB+PC+PD=BC+AD，當點P在點C、點D之間時，PA+PB+PC+PD=BC+AD+2PC，當點P在點D右邊時，PA+PB+PC+PD=BC+AD+2DC+4PD，∴當點P在點C、點B之間時，P到A,B,C,D四點的距離之和最小．故答案為：點B、點C之間．（3）①由探究材料2得，當?3≤x≤4時，有最小值，最小值為7．|x+3|+|x?4|=x+3+4?x=7,∴有最小值，最小值為7．故答案為：7;?3≤x≤4．②由探究材料2得，這是在求點x到?6、?3、2三點的最小距離，∴當x=?3時，有最小值，最小值為8，|x+6|+|x+3|+|x?2|=|?3+6|+|?3+3|+|?3?2|=8．故答案為：8;?3．③由探究材料2得，這是在求點x到?7、?4、2、5四點的最小距離，∴當?4≤x≤2時，有最小值，最小值為18，|x+7|+|x+4|+|x?2|+|x?5|=x+7+x+4+2?x+5?x=18．故答案為：18,?4≤x≤2．【點睛】此題考查了數(shù)軸絕對值的性質(zhì)，掌握點在數(shù)軸上的位置，一定分情況討論，（3）的解題思路是在探究（2）的基礎上知識進一步的延伸是解決此題的關鍵．【變式31】（2023上·湖南懷化·七年級?？计谀╅喿x下列材料：我們知道a的幾何意義是在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，a=a?0也就是表示數(shù)a與數(shù)0的兩點之間的距離，a?b表示數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)

例1．已知x=2，求x解：在數(shù)軸上與原點距離為2的點對應數(shù)是為?2和2，即x的值為?2和2．例2．已知x?1=2，求x解：在數(shù)軸上與1的距離為2的點對應數(shù)為3和?1，即x的值為3和?1．依照閱讀材料的解法，完成下列各題：(1)若x=3，則x=________，若x+2=4，則(2)x+1+x?2的最小值是________，若x+1+(3)代數(shù)式x+11+(4)求代數(shù)式x?1+【答案】(1)3或?3；2或?6(2)3；?2或3(3)16(4)2500【分析】（1）仿照題意進行求解即可；（2）設點A表示的數(shù)為x，點B和點C表示的數(shù)分別為?1，2，則x+1+x?2的值即為線段AB的長度與線段AC的長度之和，再分當點A在點B左側時，當點A在點B與C之間時，當點A在點C右側時，三種情況求出AB+AC的最小值為3，再由x+1+x?2=5（3）同（2）可得，當?11≤x≤5時，x+11+x?5有最小值，又有當x=3時，x?3有最小值，則當x=3時，（4）同理推出當50≤x≤51時，x?1+【詳解】（1）解：∵在數(shù)軸上與原點距離為3的點對應的數(shù)為3和?3，∴x的值為3或?3；∵在數(shù)軸上與?2距離為4的點對應的數(shù)為2和?6，∴x的值為2或?6；故答案為：3或?3；2或?6；（2）解：設點A表示的數(shù)為x，點B和點C表示的數(shù)分別為?1，2，∴x+1+x?2的值即為線段AB的長度與線段如圖所示，當點A在點B左側時，AB+AC>BC=2?

如圖所示，當點A在點B與C之間時，AB+AC=BC=2?

如圖所示，當點A在點C右側時，AB+AC>BC=2?

∴綜上所述，當點A在點B與C之間時，AB+AC有最小值3；∵當點A在點B與C之間時，x+1+x?2的最小值為3，∴x<?1或x>2，當x<?1時，則?x?1+2?x=5，解得x=?2；當x>2時，則x+1+x?2=5，解得x=3；綜上所述，若x+1+x?2=5，則x=?2故答案為：3；?2或3；（3）解：同（2）可得，當?11≤x≤5時，x+11+又∵x?3≥0∴當x=3時，x?3有最小值，∴當x=3時，x+11+x?3+故答案為：16；（4）解：同（2）可得當1≤x≤100時，x?1+當2≤x≤99時，x?2+當3≤x≤98時，x?3+……當50≤x≤51時，x?50+∴當50≤x≤51時，x?1+x?2+【點睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義，數(shù)軸上兩點距離公式，解絕對值方程，熟練掌握絕對值的幾何意義是解題的關鍵．【變式32】（2023下·云南曲靖·七年級統(tǒng)考期末）（1）閱讀：如圖，點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離可以表示為AB=|a?b|（2）理解：①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和?3的兩點之間的距離是；②數(shù)軸上表示x和?1的兩點A和B之間的距離是，如果AB=2，那么x=（3）運用：③當代數(shù)式x+1+|x?2|取最小值時，相應的x的取值范圍是④當代數(shù)式x+1+|x?2+x?4|取最小值時，相應的x的值是（4）提升：⑤有A、B、C、D、E五位小朋友按順時針方向圍成一個小圓圈，他們分別有卡片12、6、9、3、10張．現(xiàn)在為使每人手中卡片數(shù)相等，各調(diào)幾張卡片給相鄰小朋友（可以從相鄰小朋友調(diào)進或調(diào)出給相鄰小朋友），要使調(diào)動的卡片總數(shù)最小，應該做怎樣的調(diào)動安排？最少調(diào)動幾張？【答案】（2）①3；4②x+1；1或?3；（3）③?1≤x≤2；④2；（4）⑤A給B有2張，B給C有0張，C給D有1張，E給D有4張，A給E有2張，調(diào)動的卡片總數(shù)最小，最少調(diào)動9張．【分析】①根據(jù)閱讀材料直接可得答案；②根據(jù)閱讀材料列出方程，可解得答案；③由x+1+|x?2|表示到表示?1和2④由x+1+|x?2+x?4|表示到表示?1，2⑤設A給Ba張（a>0時，即為A給Ba張，a<0時，即為B給Aa張，），B給Cb張，C給Dc張，D給Ed張，E給Ae張，要使每人手中的卡片數(shù)相等，每人均為8張，故6+a?b=89+b?c=83+c?d=810+d?e=8，即得由b+2+b+b+1+b?4+b?2可看作數(shù)軸上到表示?2，【詳解】①∵5?2=3,∴表示2和5的兩點之間的距離是3，表示1和?3的兩點之間的距離是4，故答案為：3，4；②表示x和?1的兩點A和B之間的距離是x?(?1)=當AB=2時，解得x=1或x=?3，故答案為：x+1，1或?3③∵x+1+|x?2|表示到表示?1和2∴x+1+|x?2||取最小值時，x的范圍是?1≤x≤2故答案為：?1≤x≤2；④∵x+1+|x?2+x?4||表示到表示?1，2∴x=2時，x+1+|x?2+x?4|故答案為：2；⑤設A給Ba張（a>0時，即為A給Ba張，a<0時，即為B給Aa張，），B給Cb張，C給Dc張，D給Ed張，E給Ae張，由于共有卡片數(shù)為12+6+9+3+10=40（張），要使每人手中的卡片數(shù)相等，每人均為8由題意：6+a?b=89+b?c=8變形得：a=b+2c=b+1∴a+∵b+2+b+b+1+b?4+b?2可看作數(shù)軸上到表示?2，∴b=0時，b+2+b+此時a=2,c=1,d=?4,e=?2，∴A給B2張，B給C0張，C給D1張，E給D4張，A給E2張，調(diào)動的卡片總數(shù)最小，最少調(diào)動9張．【點睛】此題考查絕對值的幾何含義，解題關鍵是數(shù)形結合，將絕對值的計算轉化為到點的距離的和進行求解．【變式33】（2023上·廣東廣州·七年級?？计谀┰趯W習了數(shù)軸后，小亮決定對數(shù)軸進行變化應用：(1)應用一：已知圖①，點A在數(shù)軸上表示為?2，數(shù)軸上任意一點B表示的數(shù)為x，則AB兩點的距離可以表示為x+2，應用這個知識，請寫出：①x?1+x+3有最小值為____________，此時②x?1+2x+3有最小值為__________，此時③12x?1+(2)應用二：在圖①中，將數(shù)軸沿著點A折疊，若數(shù)軸上點M在點N的左側，M，N兩點之間距離為12，M，C兩點之間距離為4，且M，N兩點沿著A點折疊后重合，則點M表示的數(shù)是____________；點C表示的數(shù)是____________．(3)應用三：如圖②，將一根拉直的細線看作數(shù)軸，一個三邊長分別為AB=4，AC=3，BC=5的三角形ABC的頂點A與原點重合，AB邊在數(shù)軸正半軸上，將數(shù)軸正半軸的線沿A→B→C→A的順序依次纏繞在三角形ABC的邊上，負半軸的線沿A→C→B→A的順序依次纏繞在三角形ABC的邊上．①如果正半軸的線纏繞了n圈，負半軸的線纏繞了n圈，求繞在點C上的所有數(shù)之和；（用n表示）②如果正半軸的線不變，將負半軸的線拉長一倍，即原線上的點?2的位置對應著拉長后的數(shù)?1，并將三角形ABC向正半軸平移一個單位后再開始繞，則繞在點B且絕對值不超過100的所有數(shù)之和是__________．【答案】(1)4，?3≤x≤1；52，?32≤x≤1；(2)?8，4；?12或?4(3)6n，?499.5【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的表示來列式即可；（2）先判斷出點M和點N到表示數(shù)?2的點的距離為6，即可得出結論；（3）①分別找出正半軸和負半軸在點C上的數(shù)字之間的規(guī)律，即可求出所有數(shù)字之和．②找出繞在點B且絕對值不超過100的所有數(shù)字，求和即可．【詳解】（1）已知圖①，點A在數(shù)軸上表示為?2，數(shù)軸上任意一點B表示的數(shù)為x，則AB兩點的距離可以表示為x+2，應用這個知識，①x?1+x+3有最小值為3?（?1）＝②x?1+2x+3最小值，當x=?32，最小值1?x+2x+3=x+4=?3③12x?1+12x?3+x+12，故答案為：4，?3≤x≤1；52，?32≤x≤1；（2）∵M，N兩點沿著A點折疊后重合，∴點M和點N關于表示數(shù)?2的點對稱，∵M，N兩點之間距離為12，∴點M和點N到表示數(shù)?2的點的距離都為12∴點M表示的數(shù)為?2?6＝?8，點N表示的數(shù)為∵M，C兩點之間距離為4，∴①當點C在點M左側時，點C表示的數(shù)為?8?4＝②當點C在點M右邊時，點C表示的數(shù)為?8+4＝∴點C表示的數(shù)為?12或?4．故答案為：?8，4；?12或?4；（3）①如果正半軸的線纏繞了n圈，繞在點C的數(shù)分別為：9，21，33，…，點C的數(shù)為：9+12(n?1)＝負半軸的線纏繞了n圈，繞在點C的數(shù)分別為：?3，點C的數(shù)為：?3?12(n?1)＝則繞在點C上的所有數(shù)字之和為：(12n?3?12n+9)n＝②如果正半軸的線不變，并將三角形ABC向正半軸平移一個單位后再開始繞，則正半軸上繞在點B且絕對值不超過100的數(shù)字有：5,17,29,41,將負半軸的線拉長一倍，并將三角形ABC向正半軸平移一個單位后再開始繞，則正半軸上繞在點B且絕對值不超過100的數(shù)字有：?3.5，?9.5，5+17+29+41+53+65+77+89?3?45=?499．則繞在點B且絕對值不超過100的數(shù)字之和為?499．故答案為：?499．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的加減，絕對值的應用，有理數(shù)的加減運算，數(shù)軸上兩點間的距離的計算方法，綜合性比較強，難度比較大．注意數(shù)形結合．【題型4有理數(shù)的實際應用】【例4】（2023上·河南鄭州·七年級校聯(lián)考期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠每名工人計劃每天生產(chǎn)300個醫(yī)用口罩，一周生產(chǎn)2100個口罩．由于種種原因，實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入．如表是工人小王某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正，減產(chǎn)記為負）：（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知，小王星期五生產(chǎn)口罩個．（2）根據(jù)表格記錄的數(shù)據(jù)，求出小王本周實際生產(chǎn)口罩數(shù)量．（3）若該廠實行每周計件工資制，每生產(chǎn)一個口罩可得0.6元，若超額完成周計劃工作量，則超過部分每個另外獎勵0.15元，若完不成每周的計劃量．則少生產(chǎn)一個扣0.2元，求小王這一周的工資總額是多少元？（4）若該廠實行每日計件工資制，每生產(chǎn)一個口罩可得0.6元，若超額完成每日計劃工作量．則超過部分每個另外獎勵0.15元，若完不成每天的計劃量，則少生產(chǎn)一個扣0.2元，請直接寫出小王這一周的工資總額是多少元．星期一二三四五六日增減產(chǎn)量/個+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8【答案】（1）291；（2）2111個；（3）1268.25元；（4）1267.1元．【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以得到小王星期五生產(chǎn)口罩的數(shù)量；（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，本周生產(chǎn)個數(shù)=2100+增減產(chǎn)量，即可求得；（3）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，本周收入=本周生產(chǎn)個數(shù)×0.6＋增產(chǎn)個數(shù)×0.15（或－減產(chǎn)個數(shù)×0.2），即可解得；（4）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，每天收入=生產(chǎn)個數(shù)×0.6＋增產(chǎn)個數(shù)×0.15（或－減產(chǎn)個數(shù)×0.2），然后累加即可解得．【詳解】解：（1）小王星期五生產(chǎn)口罩數(shù)量為：300﹣9＝291（個），故答案為：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（個），則本周實際生產(chǎn)的數(shù)量為：2100+11＝2111（個）答：小王本周實際生產(chǎn)口罩數(shù)量為2111個；（3）一周超額完成的數(shù)量為：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（個），所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）＝1260+11×0.75＝1260+8.25＝1268.25（元），答：小王這一周的工資總額是1268.25元；（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．答：小王這一周的工資總額是1267.1元．【點睛】此題考查有理數(shù)的混合運算和正負數(shù)的意義，本題是實際生活中常見的一個表格，它提供了多種信息，但關鍵是從中找出解題所需的有效信息，構造相應的數(shù)學模型來解決問題．【變式41】（2023上·浙江·七年級期末）出租車司機李師傅從上午8:00~9:15在廈大至會展中心的環(huán)島路上營運，共連續(xù)運載十批乘客．若規(guī)定向東為正，向西為負，李師傅營運十批乘客里程如下：（單位：千米）（1）將最后一批乘客送到目的地時，李師傅距離第一批乘客出發(fā)地的位置怎樣？距離多少千米？（2）上午8:00~9:15（3）若出租車的收費標準為：起步價8元（不超過3千米），超過3千米，超過部分每千米2元．則李師傅在上午8:00~9:15【答案】（1）距離第一批乘客出發(fā)地的東方，距離是6千米；（2）43.2千米/小時；（3）128元【分析】（1）將所有數(shù)據(jù)相加得出結果后，即可作出判斷；（2）將所有數(shù)據(jù)的絕對值相加，可得出路程，然后求出時間，根據(jù)速度=路程÷時間即可得出答案；（3）分別計算起步價，及超過3公里的收入，然后相加即可．【詳解】解：（1）由題意得：向東為“+”，向西為“”，則將最后一批乘客送到目的地時，李師傅距離第一批乘客出發(fā)地的距離為：（+8）+（6）+（+3）+（7）+（+8）+（+4）+（7）+（4）+（+3）+（+4）=6（千米），所以，將最后一批乘客送到目的地時，李師傅在距離第一批乘客出發(fā)地的東方，距離是6千米；（2）上午8：00～9：15李師傅開車的距離是：|+8|+|6|+|+3|+|7|+|+8|+|+4|+|7|+|4|+|+3|+|+4|=54（千米），上午8：00～9：15李師傅開車的時間是：1小時15分=1.25小時；所以，上午8：00～9：15李師傅開車的平均速度是：54÷1.25=43.2（千米/小時）；（3）一共有10位乘客，則起步費為：8×10=80（元）．超過3千米的收費總額為：[（83）+（63）+（33）+（73）+（83）+（43）+（73）+（43）+（33）+（43）]×2=48（元）．則李師傅在上午8：00～9：15一共收入：80+48=128（元）．【點睛】此題考查正負數(shù)在實際生活中的應用，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．【變式42】（2023上·福建泉州·七年級校考階段練習）股民銘銘上星期五買進萱萱公司的股票1000股，每股27元，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況(單位：元)(注：用正數(shù)記股價比前一日上升數(shù)，用負數(shù)記股價比前一日下降數(shù))(1)星期二收盤時，每股是多少元?(2)本周內(nèi)最高價是每股多少元?最低價每股多少元?(3)已知銘銘買進股票時付了購買金額0.1%的手續(xù)費，賣出時需付成交額0.15%的手續(xù)費和0.1%的交易稅，如果銘銘在星期五收盤前將全部股票賣出，他的收益(獲利)情況如何?【答案】（1）29.5元；（2）本周內(nèi)最高價為每股30元，最低價為每股28.1元；（3）2898元.【分析】（1）利用正數(shù)和負數(shù)的意義，將星期一和星期二的漲跌相加，可得到星期二收盤時每股的價格；（2）分別計算出星期一到星期五每天的股價，然后比較大小即可；（3）先計算出以星期五收盤前每股的價格賣出所得，然后再計算買進股票所需費用，然后求出它們的差即可.【詳解】（1）根據(jù)題意得：27+20.5=29.5（元）故星期二收盤時，每股29.5元.（2）星期一收盤時每股價格為：27+2=29（元）；星期二收盤時每股價格為：29+0.5=29.5（元）；星期三收盤時每股價格為：29.51=28.5（元）；星期四收盤時每股價格為：28.50.4=28.1（元）；星期五收盤時每股價格為：28.1+1.9=30（元）；所以本周內(nèi)最高價是每股30元，最低價每股28.1元；（3）星期五收盤前將全部股票賣出所得為：30×1000×1?0.15買進股票的費用為：27×1000×1+0.12992527027=2898（元）所以他的收益為2898元.【點睛】在實際應用中，有時需要根據(jù)記數(shù)的基準先把實際的量進行轉化，然后用正數(shù)和負數(shù)來表示相關的數(shù)量.本題就是正負數(shù)的實際應用，同時結合利潤問題進行考查，明確買入和賣出費用是解題的關鍵.【變式43】（2023上·浙江金華·七年級?？计谀?022年十一國慶期間，商場打出促銷廣告，如下表所示：優(yōu)惠條件一次性購物不超過200元一次性購物超過200元，但不超過600元一次性購物超過600元優(yōu)惠辦法沒有優(yōu)惠全部按九折優(yōu)惠其中600元扔按九折優(yōu)惠，超過600元部分按八折優(yōu)惠用代數(shù)式表示（所填結果需化簡）：(1)設一次性購買的物品原價為x元，當原價x超過200元，但不超過600元時，實際付款為元；當原價x超過600元時，實際付款為元．(2)若乙分兩次購物，第一次花費189元，第二次花費580元，則兩次購物的總原價為多少元？若合并成一次購買，比分兩次購買便宜多少元？【答案】(1)0.9x，0.8x+60(2)兩次購物的總原價為839元或860元；當總原價為839元時，便宜37.8元；當總原價為860元，便宜21元【分析】（1）由題意知，設一次性購買的物品原價為x元，當原價x超過200元，但不超過600元時，實際付款為0.9x元；當原價x超過600元時，實際付款為600×0.9+x?600（2）由200×0.9=180，189>180，可知，第一次花費分兩種情況求解：①第一次花費原價為189元；②第一次花費原價為189÷0.9=210元；由600×0.9=540，540<580，可得第二次花費原價為600+580?540【詳解】（1）解：由題意知，設一次性購買的物品原價為x元，當原價x超過200元，但不超過600元時，實際付款為0.9x元；當原價x超過600元時，實際付款為600×0.9+x?600故答案為：0.9x，0.8x+60；（2）解：∵200×0.9=180，189>180，由題意知，第一次花費分兩種情況求解：①第一次花費原價為189元；②第一次花費原價為189÷0.9=210元；∵600×0.9=540，540<580，∴第二次花費原價為600+580?540∴當?shù)谝淮位ㄙM原價為189元；兩次購物的總原價為189+650=839元，若合并成一次購買，總費用為600×0.9+839?600∴189+580?731.2=37.8（元）；當?shù)谝淮位ㄙM原價為210元；兩次購物的總原價為210+650=860元，若合并成一次購買，總費用為600×0.9+860?600∴189+580?748=21（元），∴當兩次購物的總原價為839元時，合并成一次購買，比分兩次購買便宜37.8元；當兩次購物的總原價為860元，合并成一次購買，比分兩次購買便宜21元．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，有理數(shù)混合運算的實際應用．解題的關鍵是分類討論，列出算式．【題型5利用整式加減確定方案問題】【例5】（2023上·陜西漢中·七年級統(tǒng)考期末）某商場銷售一種乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定價80元，乒乓球每盒定價20元，“國慶節(jié)”假期期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球；方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定價的90%某客戶要到該商場購買乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x>20且為整數(shù)）．(1)用含x的代數(shù)式表示按兩種方案購買各需付款多少元？(2)若x=30，通過計算說明此時按哪種方案購買較合算；(3)當x=30時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法．【答案】(1)方案一需付款：20x+1200元；方案二需付款：18x+1440元(2)按方案一購買較合算(3)能，先按照方案一購買乒乓球拍20副，送乒乓球20盒；再按照方案二購買10盒乒乓球；【分析】（1）方案一需付款：20副乒乓球拍子的費用加上x?20盒乒乓球的費用；方案二需付費：用20副乒乓球拍的費用與x盒乒乓球的費用之和乘以90%（2）當x=30時，按照兩種優(yōu)惠方案分別計算出付款額度，付款少的方案購買即可（3）先按照方案一購買乒乓球拍20副，送乒乓球20盒，再按照方案二購買10盒乒乓球即可【詳解】（1）方案一需付費：20×80+x?20×20=20x+1200，即方案二需付費：20×80+20x×0.9=18x+1440，即18x+1440（2）當x=30時：方案一需付費：20×30+1200=1800元；方案二需付費：18×30+1440=1980元；∵1800<1980，∴按方案一購買較合算（3）先按照方案一購買乒乓球拍20副，送乒乓球20盒；再按照方案二購買10盒乒乓球；則需付費：20×80+10×20×0.9=【點睛】本題考查列代數(shù)式及代數(shù)式求值問題，讀懂題意是解決問題的關鍵【變式51】（2023上·湖北武漢·七年級校考階段練習）小明家住房戶型呈長方形，平面圖如下（單位：米）．現(xiàn)準備鋪設整個長方形地面，其中三間臥室鋪設木地板，其它區(qū)域鋪設地磚．（房間內(nèi)隔墻寬度忽略不計）（1）求a的值；（2）請用含x的代數(shù)式分別表示鋪設地面需要木地板和地磚各多少平方米；（3）按市場價格，木地板單價為300元/平方米，地磚單價為100元/平方米．裝修公司有A，B兩種活動方案，如表：已知臥室2的面積為21平方米，則小方家應選擇哪種活動，使鋪設地面總費用（含材料費及安裝費）更低？【答案】（1）3；（2）木地板：75﹣7x，地磚：7x+53；（3）B種活動方案【分析】（1）根據(jù)長方形的對邊相等可得a+5=4+4，即可求出a的值；（2）根據(jù)三間臥室鋪設木地板，其它區(qū)域鋪設地磚，可知將三間臥室的面積的和為木地板的面積，用長方形的面積三間臥室的面積，所得的差為地磚的面積；（3）根據(jù)臥室2的面積為21平方米求出x，再分別求出所需的費用，然后比較即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可得a+5＝4+4，得a＝3；（2）鋪設地面需要木地板：4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x，鋪設地面需要地磚：16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；（3）∵臥室2的面積為21平方米，∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，∴3（17﹣5x）＝21，∴x＝2，∴鋪設地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，鋪設地面需要地磚：7x+53＝7×2+53＝67，A種活動方案所需的費用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元），B種活動方案所需的費用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元），22335＞22165，所以小方家應選擇B種活動方案，使鋪設地面總費用（含材料費及安裝費）更低．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，長方形的面積，分別求出鋪設地面需要木地板與地磚的面積，理解A，B兩種活動方案是解題的關鍵．【變式52】（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領帶，西裝每套定價300元，領帶每條定價50元.廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：①買一套西裝送一條領帶；②西裝和領帶都按定價的90%付款.現(xiàn)某客戶要到該服裝廠購買西裝30套，領帶x條（x>30）.（1）若該客戶按方案①購買，西裝需付款_______元，領帶需付款_______元（用含x的代數(shù)式表示）.若該客戶按方案②購買，西裝需付款_______元，領帶需付款______元（用含x的代數(shù)式表示）.（2）若x=50，通過計算說明按方案①、方案②哪種方案購買較為合算？（3）若兩種優(yōu)惠方案可同時使用，當x=50時，你能給出一種最為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方案，并計算該方案所需付款金額.【答案】（1）9000,50(x30),8100,45x

(2)按方案①購買合算

(3)能,見解析【詳解】試題分析：（1）按題中方案分別列式計算即可；（2）把x=50分別代入（1）中所列式子計算，再比較大小可得結論；（3）由題意可知：①買一套西裝和一條領帶按方案1需300元，按方案2需315元；②只買領帶，方案1沒有優(yōu)惠，方案2有優(yōu)惠；因此當兩種方案可同時使用時，先用方案1買30套西裝，再用方案2單獨買20條領帶，這樣最省錢.試題解析：（1）按方案1購買西裝需：300×30=9000元，買領帶需：50(x?30)=(50x?1500)元；按方案2購買西裝需：300×30×90%=8100（2）當x=50時，按方案1共需：9000+50(50?30)=10000（元）；按方案2購買共需：∵10000<10350，∴按方案1購買更合算.（3）能，先用方案1購買30套西裝，再用方案2購買20條領帶.此方案所需付款金額為：300×30+50(50?30)×90%=9900（元），∴此方案所需付款金額為9900元.【變式53】（2023上·浙江·七年級期末）某農(nóng)戶2020年承包荒山若干畝，投資7800元改造后，種果樹2000棵．今年水果總產(chǎn)量為36000千克，此水果在市場上每千克售a元，在果園每千克售b元（b<a）．若該農(nóng)戶將水果拉到市場出售平均每天出售1000千克，需8人幫忙，每人每天付工資100元，農(nóng)用車運費及其他各項稅費平均每天300元．(1)當a=3，b=2時，農(nóng)戶在水果市場或在果園中出售完全部水果的總收入分別是多少元？(2)用a，b分別表示農(nóng)戶在水果市場或在果園中這兩種方式出售完全部水果的純收入？（純收入=總收入?總支出）(3)若a=b+kk>0，k?2=2?k且k是整數(shù)，若兩種出售水果方式都在相同的時間內(nèi)售完全部水果，試討論當【答案】(1)此水果在果園出售總收入為72000元，在水果市場出售總收入為68400元(2)農(nóng)戶在果園中出售完全部水果的純收入為(36000b?7800)元，農(nóng)戶在水果市場出售完全部水果的純收入為(36000a?47400)元；(3)當k=1時，選擇果園出售；當k=2時，選擇水果市場出售【分析】（1）根據(jù)題意可知，水果直接在果園的出售收入為36000b元，在水果市場出售收入=水果的總收入?額外支出，列出代數(shù)式并代入求值即可獲得答案；（2）根據(jù)“純收入=總收入?總支出”，計算即可；（3）由題意知k=1或2，分兩種情形分別計算即可解決問題．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，此水果在果園出售，總收入w1此水果在水果市場出售，總收入w2當a=3，b=2時，此水果在果園出售，總收入w1此水果在水果市場出售，總收入w2（2）農(nóng)戶在果園中出售完全部水果的純收入為m1農(nóng)戶在水果市場出售完全部水果的純收入為m2（3）∵k?2=2?k且k∴k=1或2，當k=1時，a=b+1，在果園中出售完全部水果的純收入m1在水果市場出售完全部水果的純收入m2∵36000b?7800>36000b?11400，∴選擇果園出售方式較好；當k=2時，a=b+2，在果園中出售完全部水果的純收入m1在水果市場出售完全部水果的純收入m2∵36000b?7800<36000b+24600，∴選擇水果市場出售方式較好．綜上所述，當k=1時，選擇果園出售；當k=2時，選擇水果市場出售．【點睛】本題考查了列代數(shù)式、代數(shù)式求值等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【題型6利用整式加減解決圖形周長或面積問題】【例6】（2023上·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠A=90°，點P從點A開始以2cm/s的速度沿A→B→C的方向移動，點Q從點C開始以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移動．若AB=16cm，AC=12cm，BC=20cm，已知點(1)如圖①，若點P在線段AB上運動，點Q在線段CA上運動，當t為何值時，QA=AP；(2)如圖②，點Q在線段CA上運動，當t為何值時，△QAB的面積等于△ABC面積的14(3)當點P到達點C時，P、Q兩點都停止運動，當t為何值時，AQ=BP【答案】(1)t=4(2)t=9(3)t=4或t=【分析】（1）當P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，CQ=t厘米，AP=2t厘米，則AQ=(12?t)厘米，由AQ=AP，可得方程12?t=2t，解方程即可．（2）當Q在線段CA上時，CQ=t厘米，則AQ=(12?t)厘米，根據(jù)三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的14（3）分三種情形討論即可①當0<t?8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動．②當8<t?12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動．③當t>12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，分別列出方程求解即可．【詳解】（1）解：當P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，CQ=t厘米，AP=2t厘米，則AQ=(12?t)厘米，∵QA=AP，∴12?t=2t，∴t=4．即t=4秒時，QA=AP；（2）解：當Q在線段CA上時，CQ=t厘米，則AQ=(12?t)厘米，∵三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的14∴12∴12解得：t=9．即t=9秒時，三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的14（3）解：由題意可知，Q在線段CA上運動的時間為12秒，P在線段AB上運動時間為8秒，①當0<t?8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動，CQ=t厘米，AP=2t厘米，則AQ=(12?t)厘米，BP=(16?2t)厘米，∵AQ=BP，∴12?t=(16?2t)，解得t=4；②當8<t?12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動，CQ=t厘米，則AQ=(12?t)厘米，BP=(2t?16)厘米，∵AQ=BP，∴12?t=(2t?16)，解得t=28③當t>12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，則AQ=(t?12)厘米，BP=(2t?16)厘米，∵AQ=BP，∴t?12=(2t?16)，解得t=4，不合題意舍去綜上所述，t為4或283時，AQ=BP【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形面積、一元一次方程以及分類討論等知識，本題綜合性強，解題的關鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．【變式61】（2023上·廣東廣州·七年級廣州市第二中學?？计谀┌阉膹埿螤畲笮⊥耆嗤男￠L方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為3a厘米，寬為（2a－b）厘米）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．（1）求大長方形ABCD的周長；（2）求圖②中兩塊陰影部分周長之和．（用含a，b的式子表示）【答案】(1)10a2b;(2)8a4b.【分析】(1)直接運用長方形周長公式進行求解即可；（2）設小長方形的長為m，寬為n，然后根據(jù)分別表示兩塊陰影部分的周長，再求和即可.【詳解】解：（1）大長方形ABCD的周長為：2（3a+2ab）=10a2b；（2）設小長方形的長為m，寬為n；則大陰影的長寬分別為：3a2n，2ab2n，周長為：2（3a2n+2ab2n）=10a2b8n小陰影的長寬分別為：3am，2abm，周長為：2（3am+2abm）=10a2b4m由圖2可知：m+2n=3a兩塊陰影部分周長之和2（10a2b）4m8n=2（10a2b）4（m+2n）=20a4b12a=8a4b【點睛】本題考查了列代數(shù)式，特別是第二問，需要設出一個量，然后列代數(shù)式，最后再根據(jù)題中的條件去除，這種設而不求的做法，值得借鑒.【變式62】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·七年級呼和浩特市第三十五中學?？计谀榱诉M行農(nóng)業(yè)試驗，某村開辟了A、B、C、D四塊試驗田．如圖所示，A試驗田可分割成3塊長方形的小試驗田（圖中長度單位：米），B試驗田的面積比A試驗田面積的2倍還多m+4n?4平方米．

A試驗田示意圖(1)用含m、n的式子表示A試驗田的面積為______平方米，B試驗田的面積為______平方米；(2)已知C、D試驗田的面積相等，且都比A試驗田的面積少2m①用含m、n的式子表示出A、B、C、D四塊試驗田的面積之和為多少平方米？②當A、B、C、D四塊試驗田的面積之和為200平方米時，求B試驗田的面積比C試驗田的面積多多少平方米？【答案】(1)6m+4n+12，13m+12n+20；(2)①27m+24n+56；②56．【分析】（1）根據(jù)A試驗田示意圖可知A試驗田的面積為3塊長方形的面積之和列代數(shù)式；根據(jù)B試驗田的面積比A試驗田面積的2倍還多m+4n?4平方米列代數(shù)式即可；（2）①先C、D試驗田的面積相等，且都比A試驗田的面積少2m平方米列出C、D試驗田面積的代數(shù)式，再含m、n的式子表示出A、B、C、D四塊試驗田的面積之和；②根據(jù)A、B、C、D四塊試驗田的面積之和為200平方米得出9m+8n=48，再用B試驗田的面積減去C試驗田的面積，整理，化簡，即可求解；本題考查了列代數(shù)式，整式的加減運算，求代數(shù)式的值，解題的關鍵是用含m、n的式子表示出A試驗田的面積．【詳解】（1）解：由A試驗田示意圖可知，A試驗田的面積為6m+4×3+4n=6m+4n+12∵B試驗田的面積比A試驗田面積的2倍還多m+4n?4平方米，∴B試驗田的面積為：26m+4n+12=12m+8n+24+m+4n?4，=13m+12n+20故答案為：6m+4n+12，13m+12n+20；（2）解：①∵C、D試驗田的面積相等，且都比A試驗田的面積少2m平方米，∴C、D試驗田的面積為6m+4n+12?2m=4m+4n+12∴A、B、C、D四塊試驗田的面積之和為：6m+4n+12+=6m+4n+12+13m+12n+20+8m+8n+24，=27m+24n+56②∵27m+24n+56=200，∴9m+8n=48，∴13m+12n+20?4m+4n+12=13m+12n+20?4m?4n?12，=9m+8n+8，=48+8，=56(平方米)，∴B試驗田的面積比C試驗田的面積多56平方米．【變式63】（2023上·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖是1925年數(shù)學家莫倫發(fā)現(xiàn)的完美長方形，它恰能被分割成10個大小不同的正方形，其中正方形1，2的邊長分別為x，y，則正方形3的邊長為x+y，正方形4的邊長為x+y+y=x+2y(1)用含x，y的代數(shù)式繼續(xù)表示正方形5～9的邊長；(2)已知在完美長方形中，y=1.2x，則當x=5時，求這個完美長方形的周長．【答案】(1)見解析(2)224【分析】本題主要考查了整式的加減，列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，正方形的邊長，長方形的邊長，熟練掌握正方形，長方形的性質(zhì)是解題的關鍵．（1）利用長方形與正方形的性質(zhì)用x，y的代數(shù)式表示即可；（2）利用正方形的周長的公式求得完美長方形的周長，再將當y=1.2x，x=5，代入運算即可．【詳解】（1）解：∵正方形4的邊長為x+2y，∴正方形5的邊長為x+2y+y=x+3y正方形6的邊長為x+3y+正方形7的邊長為4y?x；正方形8的邊長為4y?x?x?正方形9的邊長為4y?x+（2）這個完美長方形的周長為：2×=2×=44y?8x．當y=1.2x，x=5，這個完美長方形的周長為：44y?8x=44×1.2x?8x=44.8x=44.8×5=224答：這個完美長方形的周長為224．【題型7由一元一次方程的解確定字母的值】【例7】（2023上·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）已知代數(shù)式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c為常數(shù)，當x＝1時，A＝5，x＝﹣1時，B＝4．（1）求3a+b﹣2c的值；（2）關于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解為2，求k的值．（3）當x＝﹣1時，求式子E?1【答案】（1）1；（2）2；（3）3．【分析】（1）將x=1時，A=5代入代數(shù)式A即可求得；（2）將y=2，代入方程得到2(a?c)=(k?4b)+10①，將x=?1時，B=4代入代數(shù)式B得到：a?c=4?2b②，②代入①即可求得k；（3）分別求得A,B,E的值，再代入代數(shù)式中求解即可．【詳解】（1）將x=1時，A=5代入代數(shù)式A，得：5=3a+b?2c+4，解得3a+b?2c=1；（2）由題意，y=2時，2(a?c)×2=(k?4b)×2+20即2(a?c)=(k?4b)+10①將x=?1時，B=4代入代數(shù)式B，得：4=a+2b?c即a?c=4?2b②將②代入①得：2(4?2b)=(k?4b)+10解得k=?2（3）將x=?1代入代數(shù)式E，得：E=?3a+4b+c+3，由（1）可知3a+b?2c=1①∴?3a=b?2c?1代入E，得：E=b?2c?1+4b+c+3=5b?c+2又由（2）可知a?c=4?2b即a?c+2b=4兩邊乘以3，得：3a?3c+6b=12②②①得：5b?c=11③將③代入代數(shù)式E，得：E=11+2=13當x=1時，A=5，即3a+b?2c=1，∴x=?1時，A=?3a?b+2c+4=?1+4=3由題意，當x=?1時，B=4將E=13,A=3,B=4代入E?1E?【點睛】本題考查了整式的加減，等式的性質(zhì)，一元一次方程的解，整體代入是解題的關鍵．【變式71】（2023上·湖南長沙·七年級長沙市開福