第17講有理數(shù)及其運(yùn)算全章復(fù)習(xí)與鞏固（教師版）七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊講義（北師大版）

第17講有理數(shù)及其運(yùn)算全章復(fù)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握有理數(shù)定義及分類；2.掌握相反數(shù)、數(shù)軸、絕對值的含義及其應(yīng)用；3.掌握有理數(shù)的加減乘除及其乘方運(yùn)算；4.掌握有理數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用.知識(shí)知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)的分類（1）按照性質(zhì)分類：（2）按照符號(hào)分類：（3）小數(shù)分類：和統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；和統(tǒng)稱為非正數(shù).【答案】正數(shù)；0；負(fù)數(shù)；0.知識(shí)點(diǎn)02相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有_________不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．（3）多重符號(hào)的化簡：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用小括號(hào)．（5）正數(shù)的相反數(shù)是____________，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是____________，零的相反數(shù)是____________.（6）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別在原點(diǎn)的____________，并且到原點(diǎn)的____________相等.【注意】相反數(shù)等于它本身的數(shù)是_________.知識(shí)點(diǎn)03絕對值（1）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作.【答案】原點(diǎn)；（2）絕對值的幾何意義：的幾何意義是到原點(diǎn)的距離；的幾何意義是a到b的距離.【例】的幾何意義表示到原點(diǎn)的距離；的幾何意義表示x到5的距離；的幾何意義表示x到的距離.（3）正數(shù)的絕對值是，負(fù)數(shù)的絕對值是，0的絕對值是.即當(dāng)a>0時(shí)，是它的；當(dāng)a<0時(shí)，是它的；當(dāng)a=0時(shí)，是.【答案】本身；相反數(shù)；0【注意】①絕對值等于它本身的數(shù)是__________.②若，那么a就是非負(fù)數(shù)；若，那么a就是非正數(shù).【答案】正數(shù)和0（4）“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若，則．知識(shí)點(diǎn)04有理數(shù)的加減乘除及其乘方運(yùn)算1.有理數(shù)的加法法則（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對值相加；（2）異號(hào)兩數(shù)相加，絕對值不相等時(shí)，取絕對值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得_____；（如果兩個(gè)數(shù)的和為_____，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)）（4）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).【答案】0；02.有理數(shù)的減法法則減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的_______，即.【注意】計(jì)算過程中，一定要注意符號(hào).【答案】相反數(shù)3.有理數(shù)的乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相乘.（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù).【注意】：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和1.（4）有理數(shù)的乘法運(yùn)算律①乘法交換律：；②乘法結(jié)合律：；③乘法分配律：．4.有理數(shù)的除法法則（1）除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的_______.（2）兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相除.【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.【答案】倒數(shù)5.有理數(shù)的乘方（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對值.考點(diǎn)精析考點(diǎn)精析考點(diǎn)一基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)考點(diǎn)一基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)1.有理數(shù)按照性質(zhì)分類可分為整數(shù)和______，0是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？（□正數(shù)□負(fù)數(shù)□都不是）2.一定是負(fù)數(shù)嗎？和都是______數(shù)，它們具有什么性質(zhì)？在本章通常會(huì)考查什么題型？（試舉例說明）3.什么是無理數(shù)？寫幾個(gè)無理數(shù).和有理數(shù)的區(qū)別是什么？4.數(shù)軸的三要素是______，______，______.5.數(shù)軸上的數(shù)的特點(diǎn)：（1）左邊的數(shù)______右邊的數(shù)（填＞或＜）；（2）越往左數(shù)越______，越往右數(shù)越______.6.數(shù)軸上計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離的方法是____________，計(jì)算兩點(diǎn)的重點(diǎn)的方法是____________.7.相反數(shù)的性質(zhì)是：若a、b互為相反數(shù)，則______.8.絕對值的幾何意義是？9.正數(shù)的絕對值是______，負(fù)數(shù)的絕對值是______，0的絕對值是______.10.相反數(shù)等于它本身的數(shù)有______，倒數(shù)等于它本身的數(shù)有______，絕對值等于它本身的數(shù)有______.11.若，那么a一定是______；若，那么a一定是______.由此我們可以得出若，那么一定是______；若，那么一定是______.12.去絕對值的方法是正數(shù)直接去，負(fù)數(shù)_________，0既可直接去亦可______.若，則______；若，則______.13.絕對值幾何意義的應(yīng)用：（1）對于有最____值，是多少？_______；（2）對于有最____值，是多少？_______；（3）有最____值，是多少？_______；有最____值，是多少？_______；14.除法是否有分配率？（□有□沒得）15.對于數(shù)，在求精確到哪一位時(shí)，是否需要展開？（□需要□不需要）在求有效數(shù)字有幾個(gè)時(shí)，是否需要展開？（□需要□不需要）16.計(jì)算題要多練習(xí)，尤其要注意符號(hào).計(jì)算過程中，能夠用簡便運(yùn)算的要用簡便運(yùn)算.【答案】略，不解釋考點(diǎn)二科學(xué)計(jì)數(shù)法考點(diǎn)二科學(xué)計(jì)數(shù)法1.

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解:故選B．2.2021年5月11日上午，第七次全國人口普查主要數(shù)據(jù)結(jié)果正式發(fā)布．2020年11月1日零時(shí)，全國人口共141178萬人，與2010年的133972萬人相比，增加了7206萬人，增長5.38%;年平均增長率為0.53%．?dāng)?shù)據(jù)141178萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：141178萬．故選C．3.2020年，新冠病毒全球肆虐，據(jù)世界衛(wèi)生組織公布的數(shù)據(jù)，截至2022年1月16日，美國累計(jì)確診病例超6670萬，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：6670萬=66700000=6.67×107．故選：D．考點(diǎn)二近似數(shù)考點(diǎn)二近似數(shù)1.用四舍五入法，按括號(hào)內(nèi)的要求對下列數(shù)取近似值．（1）0.008435（保留三個(gè)有效數(shù)字）≈_________；（2）12.975（精確到百分位）≈_________；（3）548203（精確到千位）≈_________；（4）5365573（保留四個(gè)有效數(shù)字）≈_________．【答案】

0.00844

12.98

【解析】【分析】（1）根據(jù)有效數(shù)字的定義（對于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字）即可得；（2）根據(jù)精確度的定義（近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度，對近似程度的要求，叫做精確度）即可得；（3）根據(jù)精確度的定義（近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度，對近似程度的要求，叫做精確度）即可得；（4）根據(jù)有效數(shù)字的定義（對于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字）即可得．【詳解】解：（1）保留三個(gè)有效數(shù)字：，（2）精確到百分位：，（3）精確到千位：，（4）保留四個(gè)有效數(shù)字：，故答案為：，，，．2.截止2021年1月10日14：26，美國新冠疫情累計(jì)確診人數(shù)為22699938，精確到萬位，用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．22.699938×108B．22.7×1010C．2.27×108D．2.270×107【答案】D【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤∣a∣＜10，n為整數(shù)．【詳解】解：．故選：D．3.網(wǎng)聚正能量，構(gòu)建同心圓．以“奮斗的人民，奮進(jìn)的中國”為主題的2021中國正能量“五個(gè)一百”網(wǎng)絡(luò)精品征集評選展播活動(dòng)進(jìn)入火熱的展播投票階段．截至2021年11月26日18點(diǎn)，“五個(gè)一百”活動(dòng)投票量累計(jì)13909615次，數(shù)據(jù)13909615用科學(xué)記數(shù)法表示并精確到百萬位為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】首先精確到百萬位，再用科學(xué)記數(shù)法表示．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：原數(shù)精確到百萬位為：13909615≈14000000，再用科學(xué)記數(shù)法表示為：14000000=1.4×107，故選D．4.精確到______位，有______個(gè)有效數(shù)字，32845676保留5個(gè)有效數(shù)字為______．【答案】

萬

四##4

3.2846×107【解析】【分析】近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)當(dāng)看末位數(shù)字實(shí)際在哪一位，根據(jù)有效數(shù)字的定義可得32845676保留5個(gè)有效數(shù)字的結(jié)果．【詳解】近似數(shù)3.280×107精確到萬位，有效數(shù)字是3，2，8，0四個(gè)，32845676保留5個(gè)有效數(shù)字為3.2846×107．故答案為：萬；四；3.2846×107．考點(diǎn)三有理數(shù)的分類考點(diǎn)三有理數(shù)的分類1.在數(shù)，0.4，，3.14，0.1010010001…（每兩個(gè)之間多一個(gè)0），120%，，100，這9個(gè)數(shù)中，有理數(shù)有______個(gè)．【答案】7【解答】解：根據(jù)有理數(shù)的定義，0.4，，3.14，120%，，100，，這7個(gè)是有理數(shù).2，把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)上：.有理數(shù)集合：{…}；整數(shù)集合：{…}；非正數(shù)集合：{…}.【答案】有理數(shù)集合：{}；整數(shù)集合：{}；非正數(shù)集合：{}.3.把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．負(fù)數(shù)集合：{…}；整數(shù)集合：{…}；正有理數(shù)集合：{…}．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義分類即可．【詳解】解：負(fù)數(shù)集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；整數(shù)集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；正有理數(shù)集合：{3，0.5，，30%…}．故答案為：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．考點(diǎn)四數(shù)軸上點(diǎn)的距離和中點(diǎn)考點(diǎn)四數(shù)軸上點(diǎn)的距離和中點(diǎn)1.數(shù)軸上表示和3的兩點(diǎn)之間的距離是（）A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D2.已知點(diǎn)A在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為2，點(diǎn)A、B之間的距離為5，則點(diǎn)B在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)是（）A．7 B．3 C．±5 D．3或7 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上與點(diǎn)A的距離為5的分為兩種情況，在進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)B在A的左邊時(shí)，即2﹣5＝﹣3，當(dāng)點(diǎn)B在A的右邊時(shí)，即2+5＝7，故B點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣3或7．故選：D．3.點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1．若點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為6，則點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離等于（）A．3 B．6 C．3或9 D．2或10 【答案】D【解析】【詳解】解：∵點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1，若點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為6，∴當(dāng)C在B的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)是1﹣6＝﹣5，當(dāng)C在B的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)是1＋6＝7，點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離是﹣3﹣（﹣5）＝2或7﹣（﹣3）＝10．故選：D．4.數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)分別是1和3，點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和為6，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．3 B．3或5 C．2 D．2或4 【答案】D【分析】根據(jù)AB的距離為4，小于6，分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊和點(diǎn)B的右邊兩種情況分別列出方程，然后求解即可．【解答】解：∵AB=|3（1）|=4，點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和為6，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，∴點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí)，1x+3x=6，解得：x=2，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時(shí)，x3+x（1）=6，解得：x=4，綜上所述，點(diǎn)P表示的數(shù)是2或4．故選：D．5.數(shù)軸上點(diǎn)M與點(diǎn)N表示的數(shù)分別是5和2，點(diǎn)P到點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的距離之和為10，則點(diǎn)P所在的點(diǎn)表示的數(shù)是.【答案】6.5或3.5【分析】根據(jù)AB的距離為7，小于10，分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊和點(diǎn)B的右邊兩種情況，然后求解即可．【解答】解：∵AB=|5（2）|=7，點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和為10，所以P點(diǎn)可以等于6.5或3.56.數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是a，點(diǎn)B表示的數(shù)是b，則A、B兩點(diǎn)的距離是，A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)是．若a=2，b=4，那么A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)是.【答案】ab；；17.在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是和2，則線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是(

)A． B． C． D． 【答案】A【解析】【分析】令A(yù)B的中點(diǎn)為M，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離求得AB，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)求得BM，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：令A(yù)B的中點(diǎn)為M，，∴，∴AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是，故選：A．考點(diǎn)五利用絕對值化簡考點(diǎn)五利用絕對值化簡1.有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）．A．2a B．2a+2b2c C．0 D．2c 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸，確定每個(gè)數(shù)的屬性，每個(gè)代數(shù)式的屬性，后化簡即可．【詳解】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：，且，則，，，則．故選A．2.表示a，b，c三個(gè)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式的值等于（

）A．2a2b2c B．2a C．2a2b D．2b 【答案】B【解析】【分析】判斷，是負(fù)數(shù)，是正數(shù)，根據(jù)正數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0的絕對值是0，進(jìn)行化簡；【詳解】解：原式=，，=．3.如圖，化簡代數(shù)式|ba||a1|+|b+2|的結(jié)果是_______.【答案】3．【分析】根據(jù)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，可以得出ba，a1、b+2的符號(hào)，進(jìn)而化簡即可．【解答】解：由有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置，可得，1＜b＜0，1＜a＜2，所以有ba＜0，a1＞0，b+2＞0，因此|ba||a1|+|b+2|=ab（a1）+（b+2）=aba+1+b+2=3，故答案為：3．4.有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：|a+b||b1||ac||1c|=_______.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對值里邊式子的正負(fù)，利用絕對值的代數(shù)意義化簡，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：b＜a＜0＜c＜1，∴a+b＜0，b1＜0，ac＜0，1c＞0，則原式=ab+b1+ac1+c=2．考點(diǎn)六非負(fù)數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)六非負(fù)數(shù)的應(yīng)用1.已知，則______，______.【答案】1；22.已知，則______，______.【答案】3；63.已知與互為相反數(shù)，則______.【答案】44.已知，則______，______.【答案】1；2考點(diǎn)七絕對值的幾何意義考點(diǎn)七絕對值的幾何意義1.若a為有理數(shù)，則|a3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2||a1|的最大值是_______．【答案】7；32.我們知道數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，例如|31|可表示為數(shù)軸上3和1這兩點(diǎn)的距離，而即則表示3和1這兩點(diǎn)的距離．式子的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，而，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，試探索：（1）直接寫出____________．（2）結(jié)合數(shù)軸，找出所有符合條件的整數(shù)x，的所有整數(shù)的和．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，是否有最小值？如果有，請寫出最小值并說明理由；如果沒有，請說明理由．【答案】(1)10(2)3，2，1，0，1，2，和為3(3)有，10【解析】【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)減法法則計(jì)算；（2）分析得到表示x與2的距離，表示x與3的距離，由，確定，進(jìn)而解答；（3）設(shè)4表示點(diǎn)A，6表示點(diǎn)B，x表示點(diǎn)P，則，分三種情況：當(dāng)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，當(dāng)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，當(dāng)P在A、B之間時(shí)，分別求出最小值解答．(1)10，故答案為10；(2)表示x與2的距離，表示x與3的距離，∵，∴，∴整數(shù)x=3，2，1，0，1，2，和為321+0+1+2=3；(3)有最小值10，理由如下：設(shè)4表示點(diǎn)A，6表示點(diǎn)B，x表示點(diǎn)P，則，當(dāng)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，，當(dāng)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，，當(dāng)P在A、B之間時(shí)，，∴的最小值為10．3.閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|ab|．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示﹣3和1兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示x和2的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示a和1的兩點(diǎn)之間的距離為6，則a表示的數(shù)為；（3）若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x+2|+|x4|有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．【答案】(1)4，(2)或(3)有最小值，6【解析】【分析】（1）根據(jù)在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為AB＝|a﹣b|即可求解；（2）根據(jù)在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為AB＝|a﹣b|即可求解；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義，即可得解．(1)解：，故答案為：4，．(2)解：∵∴或，故答案為：或．(3)有最小值，6考點(diǎn)八概念辨析考點(diǎn)八概念辨析1.若兩個(gè)數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則一定是（）A．這兩個(gè)加數(shù)都是負(fù)數(shù)B．這兩個(gè)加數(shù)只能一正一負(fù)C．兩個(gè)加數(shù)中，一個(gè)是負(fù)數(shù)，一個(gè)是0D．兩個(gè)加數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)【答案】D【解析】【分析】兩個(gè)數(shù)之和為負(fù)數(shù)有三種情況：兩個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)；一正一負(fù)，且負(fù)數(shù)的絕對值大于正數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)是0．【詳解】兩個(gè)數(shù)之和為負(fù)數(shù)有三種情況：兩個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)；一正一負(fù)，且負(fù)數(shù)的絕對值大于正數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)是0．由此可知，若兩個(gè)數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則兩個(gè)加數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．故答案為：D．2.下列說法正確的是（）A．兩個(gè)加數(shù)之和一定大于每一個(gè)加數(shù)B．兩數(shù)之和一定小于每一個(gè)加數(shù)C．兩個(gè)數(shù)之和一定介于這兩個(gè)數(shù)之間D．以上皆有可能【分析】利用有理數(shù)的加法法則判斷即可．【解答】解：A、兩個(gè)加數(shù)之和不一定大于加數(shù)，不符合題意；B、兩數(shù)之和不一定小于每一個(gè)加數(shù)，不符合題意；C、兩個(gè)數(shù)之和不一定介于這兩個(gè)數(shù)之間，不符合題意；D、以上皆有可能，符合題意，故選：D．3.下說法正確的是（）A．0減任何數(shù)的差都是負(fù)數(shù) B．減去一個(gè)正數(shù)，差一定大于被減數(shù) C．減去一個(gè)正數(shù)，差一定小于被減數(shù)D．兩個(gè)數(shù)之差一定小于被減數(shù)【分析】可通過舉反例說明不正確的，通過分類討論說明正確的．【解答】解：0減去負(fù)數(shù)的差就是正數(shù)，正數(shù)大于被減數(shù)0，故A、D都是不正確的；負(fù)數(shù)減去正數(shù)，差一定小于被減數(shù)，故選項(xiàng)B不正確；減去一個(gè)正數(shù)，差一定小于被減數(shù)，此選項(xiàng)正確．故選：C．4.關(guān)于有理數(shù)的減法，下列說法正確的是（）A．兩個(gè)有理數(shù)相減，差一定小于被減數(shù)B．兩個(gè)負(fù)數(shù)的差一定小于0 C．兩個(gè)負(fù)數(shù)相減，等于他們的絕對值相減 D．兩個(gè)有理數(shù)的差是正數(shù)，則被減數(shù)一定大于減數(shù)【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則逐一判斷即可．有理數(shù)的減法法：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．【解答】解：A、兩個(gè)有理數(shù)相減，差不一定小于被減數(shù)，如2﹣（﹣1）＝3，故本選項(xiàng)不合題意；B、兩個(gè)負(fù)數(shù)的差不一定小于0，如﹣1﹣（﹣4）＝3，故本選項(xiàng)不合題意；C、兩個(gè)負(fù)數(shù)相減，根據(jù)減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，而不是它們的絕對值相減，故本選項(xiàng)不合題意；D、兩個(gè)有理數(shù)的差是正數(shù)，則被減數(shù)一定大于減數(shù)，說法正確．故選：D．5.列說法中正確的有（）①同號(hào)兩數(shù)相乘，符號(hào)不變；②異號(hào)兩數(shù)相乘，積取負(fù)號(hào)；③數(shù)a、b互為相反數(shù)，它們的積一定為負(fù)；④絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【解題思路】根據(jù)有理數(shù)乘法法則和相反數(shù)，絕對值的性質(zhì)進(jìn)行判斷便可．【解答過程】解：①同號(hào)兩數(shù)相乘，符號(hào)為正號(hào)，不是符號(hào)不變，該小題說法錯(cuò)誤；②異號(hào)兩數(shù)相乘，積取負(fù)號(hào)，這符合乘法法則，該小題說法正確；③數(shù)a、b互為相反數(shù)，它們的積不一定為負(fù)，如a、b都為0，它們互為相反數(shù)，但它們的積為0，不為負(fù)，該小題說法錯(cuò)誤；④絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，包括正數(shù)和0，不一定是正數(shù)，該小題說法錯(cuò)誤；故選：A．考點(diǎn)九因數(shù)符號(hào)判斷考點(diǎn)九因數(shù)符號(hào)判斷1.a、b是兩個(gè)有理數(shù)，若ab＜0，且a+b＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)、b兩數(shù)異號(hào)，且正數(shù)的絕對值大C．a(chǎn)＜0，b＜0 D．a(chǎn)、b兩數(shù)異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對值大【解題思路】根據(jù)有理數(shù)乘法積的符號(hào)判斷因數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)有理數(shù)和的符號(hào)判斷絕對值的大小，進(jìn)而得出答案．【解答過程】解：∵ab＜0，∴a、b異號(hào)，又∵a+b＞0，∴正數(shù)的絕對值較大，故選：B．2.已知a+b＞0，ab＜0，且a＞b，則a、b的符號(hào)是（）A．同為正 B．同為負(fù) C．a(chǎn)正b負(fù) D．a(chǎn)負(fù)b正 【解題思路】根據(jù)ab＜0可得a，b異號(hào)，再由a＞b即可判斷出答案．【解答過程】解；∵ab＜0，∴a，b異號(hào)又a+b＞0且a＞b，∴a正b負(fù)．故選：C．3.若a+b＞0，a﹣b＜0，0，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞b，b＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0且|a|＜|b| D．a(chǎn)＞0，b＜0且|a|＞|b|【解題思路】直接利用有理數(shù)的除法運(yùn)算、加法、減法運(yùn)算法則以及絕對值的性質(zhì)分別分析得出答案．【解答過程】解：∵a﹣b＜0，∴a＜b，∵ab∴a＜0＜b，∵a+b＞0，∴|a|＜|b|．故選：C．4.在下列各題中，結(jié)論正確的是（）A．若a＞0，b＜0，則B．若a＞b，則a﹣b＞0 C．若a＜0，b＜0，則ab＜0D．若a＞b，a＜0，則【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則和除法法則進(jìn)行判斷．【解答過程】解：A．兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．∵a＞b，∴a﹣b＞0，該選項(xiàng)正確，符合題意；C．兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．∵a＞b，a＜0，∴1＜ba，∴故選：B．考點(diǎn)十有理數(shù)的計(jì)算考點(diǎn)十有理數(shù)的計(jì)算1.計(jì)算下列各題：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）4；（3）0；（4）2.計(jì)算下列各題：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）1；（2）0；（3）3；（4）103.計(jì)算：（1）（2）（1）【分析】利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：，，，，．（2）【分析】根據(jù)乘法分配律，可得答案．【解答】解：原式．4.用簡便方法計(jì)算：（1）（2）【分析】原式各項(xiàng)變形后，利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式；（2）原式．5.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】（1）除法變乘法，再用乘法分配律即可求解；（2）先算括號(hào)內(nèi)的，然后再進(jìn)行除法運(yùn)算即可．【詳解】（1）=62+95=8；（2）原式=．6.計(jì)算下列各題：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）7.計(jì)算：（1）（2）【答案】(1)7(2)7【解析】【分析】（1）利用乘法分配律，根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．(1)原式=．(2)原式．考點(diǎn)十一有理數(shù)的運(yùn)算（含絕對值）考點(diǎn)十一有理數(shù)的運(yùn)算（含絕對值）1.如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，則ab的值是_________.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先根據(jù)絕對值的意義求得a，b的值，再由|a+b|=a+b確定出a與b的對應(yīng)值有兩種可能性，然后分別代入ab，根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．【解答】解：∵|a|=4，|b|=2，∴a=±4，b=±2，∵|a+b|=a+b，∴a+b＞0，∴a、b同正即a=4，b=2，或a=4，b=2．當(dāng)a=4，b=2時(shí)，ab=42=2；當(dāng)a=4，b=2時(shí)，ab=4（2）=4+2=6．故ab的值為：2或6．2.如果|a|＝4，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．【分析】先求出ab、的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝7，∴a＝±4，b＝±7，又∵a＜b，∴a＝4，b＝7或a＝﹣4，b＝7，當(dāng)a＝4，b＝7時(shí)，a+b＝4+7＝11，當(dāng)a＝﹣4，b＝7時(shí)，a+b＝﹣4+7＝3，因此a+b的值為3或11．3.已知|a|＝2，|b|＝3，且|a+b|＝|a|+|b|，則a+b的值為（）A．5 B．±5 C．1 D．±1 【分析】根據(jù)題意，利用絕對值的代數(shù)意義確定出a與b的值，即可求出原式的值．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，且|a+b|＝|a|+|b|，∴a＝2，b＝3；a＝﹣2，b＝﹣3，則a+b＝±5，故選：B．4.已知，，若，求ab的值．【答案】8或25.已知，，且，求的值．【考點(diǎn)】有理數(shù)的加法；有理數(shù)的乘法；絕對值【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可求出與的值，然后代入即可求出答案．【解答】解：，，，，，，或，，當(dāng)，時(shí)，原式，當(dāng)，時(shí)，原式，綜上所述，．6.已知，，回答下列問題：（1）由，，可得，；（2）若，求的值；（3）若，求的值．【考點(diǎn)】有理數(shù)的減法；有理數(shù)的加法；有理數(shù)的乘法；絕對值【分析】（1）利用絕對值的意義即可得出結(jié)論；（2）利用已知條件求得，的值，再代入計(jì)算即可；（3）利用已知條件求得，的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：（1），，，．故答案為：，；（2），，，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；綜上，或8．（3），，或，．當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；．考點(diǎn)十二比較大?。ê瑪?shù)軸）考點(diǎn)十二比較大?。ê瑪?shù)軸）1.已知a>0，b<0，且|a|<|b|，則下列關(guān)系正確的是（）A．b<﹣a<a<﹣b B．﹣a<b<a<﹣b C．﹣a<b<﹣b<a D．b<a<﹣b<﹣a 【答案】A【分析】根據(jù)：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：a＜0，b＞0，a＜b，據(jù)此判斷出a、a、b、b的大小關(guān)系即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，∴a＜0，b＞0，a＜b，∴b＜a＜a＜b．故選：A．2.有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ)、b、a、b、0按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．a(chǎn)<a<0<b<b B．a(chǎn)<a<0<b<b C．b<a<0<a<b D．a(chǎn)<0<a<b<b 【答案】C【分析】根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)和0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小，即可解答．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，則b＜a＜0＜a＜b．故選：C．3.若0＜m＜1，m、m2、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D． 【答案】B考點(diǎn)十三比較大?。ê^對值）考點(diǎn)十三比較大小（含絕對值）1.已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值等于2，求的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值等于2，可以求得a+b，cd，x的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值等于2，∴a+b=0，cd=1，x=±2，當(dāng)x=2時(shí)，原式=23+1×220=8+1×40=8+40=12；當(dāng)x=2時(shí)，原式=（2）3+1×（2）20=8+1×40=8+40=4，由上可得，原式的值為12或4．2.若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，|m|=2，求代數(shù)式的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用相反數(shù)以及倒數(shù)和絕對值的性質(zhì)分別分析得出答案．【解答】解：∵a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，當(dāng)m=2時(shí)，∴原式=02+2×23=14；當(dāng)m=2時(shí)，∴原式=02+2×（2）3=18，綜上所述：代數(shù)式的值為14或18．3.若a、b互為相反數(shù)，b、c互為倒數(shù)，并且m是絕對值等于它本身的數(shù)．求值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的意義求出a+b，cd，m的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.【解答】解：由題意得：a+b=0，bc=1，m為非負(fù)數(shù)，則原式=1.4.已知a、b互為相反數(shù)且a≠0，c、d互為倒數(shù)，|m|是最小的正整數(shù)，求的值．【答案】1或3．【分析】先根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)、倒數(shù)的定義和絕對值的性質(zhì)得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分別代入計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意知a+b=0，cd=1，|m|=1，當(dāng)m=1時(shí)，原式=2×1+01=1；當(dāng)m=1時(shí)，原式=2×（1）+01=3；綜上，原式的值為1或3．考點(diǎn)十四定義新運(yùn)算考點(diǎn)十四定義新運(yùn)算1.對于有理數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“”如下：，則_______．【答案】2.定義一種新運(yùn)算“☆”，規(guī)則為：m☆n=mn+mnn，例如：2☆3=23+2×33=8+63=11，解答下列問題：（1）（2）☆4；（2）（1）☆[（5）☆2]．【答案】（1）4；（2）27．【分析】（1）根據(jù)m☆n=mn+mnn，可以求得所求式子的值；（2）根據(jù)m☆n=mn+mnn，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）∵m☆n=mn+mnn，∴（2）☆4=（2）4+（2）×44=16+（8）+（4）=4；（2）∵m☆n=mn+mnn，∴（1）☆[（5）☆2]=（1）☆[（5）2+（5）×22]=（1）☆（25102）=（1）☆13=（1）13+（1）×1313=（1）+（13）+（13）=27．3.已知a，b為有理數(shù)，如果規(guī)定一種新的運(yùn)算“※”，規(guī)定：a※b=2b3a，例如：1※2=2×23×1=43=1，計(jì)算：（2※3）※5=__________．【答案】10．【分析】根據(jù)a※b=2b3a，可以計(jì)算出所求式子的值．【解答】解：∵a※b=2b3a，∴（2※3）※5=（2×33×2）※5=（66）※5=0※5=2×53×0=100=10，故答案為：10．4.規(guī)定一種新運(yùn)算a*b=ab2，則4*[5*（2）]=__________．【答案】3．【分析】根據(jù)a*b=ab2，可以求得所求式子的值【解答】解：∵a*b=ab2，∴4*[5*（2）]=4*[5（2）2]=4*（54）=4*1=412=41=3，故答案為：3．考點(diǎn)十五有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)十五有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.某天早上，一輛交通巡邏車從A地出發(fā)，在東西向的馬路上巡視，中午到達(dá)B地，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，行駛紀(jì)錄如下．（單位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次+15﹣8+6+12﹣4+5﹣10（1）巡邏車在巡邏過程中，第次離A地最遠(yuǎn)．（2）B地在A地哪個(gè)方向，與A地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，問這一天交通巡邏車所需汽油費(fèi)多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算，分別計(jì)算出每次距A地的距離，可得離A地最遠(yuǎn)距離；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算，可得正數(shù)或負(fù)數(shù)，根據(jù)向東記為正，向西記為負(fù)，可得答案；（3）根據(jù)行車就耗油，可得耗油量，再根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量即可求解．【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：158=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：254=21千米，第六次距A地：21+5=26千米，第七次距A地：2610=16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡邏車在巡邏過程中，第6次離A地最遠(yuǎn)；（2）158+6+124+510=16（千米），答：B地在A地東方，與A地相距16千米；（3）|+15|+|8|+|+6|+|+12|+|4|+|+5|+|10|=60（千米），60×0.2=12（升），12×7=84（元）．答：這一天交通巡邏車所需汽油費(fèi)84元．故答案為：6．2.在抗洪搶險(xiǎn)中，解放軍戰(zhàn)士的沖鋒舟加滿油沿東西方向的河流搶救災(zāi)民，早晨從A地出發(fā)，晚上到達(dá)B地，約定向東為正方向，當(dāng)天的航行路程記錄如下（單位：千米）：+15，8，+9，6，+14，5，+13，4．（1）B地位于A地的什么方向？距離A地多少千米？（2）若沖鋒舟每千米耗油0.6升，油箱容量為30升，求沖鋒舟當(dāng)天救災(zāi)過程中至少還需補(bǔ)充多少升油？（3）救災(zāi)過程中，沖鋒舟離出發(fā)點(diǎn)A最遠(yuǎn)時(shí)，距A地多少千米？【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）把題目中所給數(shù)值相加，若結(jié)果為正數(shù)則B地在A地的東方，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，則B地在A地的西方；（2）先求出這一天航行的總路程，再計(jì)算出一共所需油量，減去油箱容量即可求出途中還需補(bǔ)充的油量；（3）分別計(jì)算出各點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離，取數(shù)值較大的點(diǎn)即可．【解答】解：（1）∵158+96+145+134=28，∴B地在A地的東邊28千米；（2）這一天走的總路程為：15+|8|+9+|6|+14+|5|+13|+|4|=74千米，應(yīng)耗油74×0.6=44.4