第10講勾股定理逆定理及簡單應(yīng)用（3種題型）

第10講勾股定理逆定理及簡單應(yīng)用（3種題型）1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．二．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．一．勾股定理的逆定理1．（2022秋?句容市期末）已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A、B是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC為直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，故△ABC為直角三角形；D、∵72+242＝252，∴△ABC為直角三角形；故選：B．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，以及三角形內(nèi)角和定理．判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．2．（2022秋?阜寧縣期末）下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，以及勾股定理逆定理分別進行分析可得答案．【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；B、根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ABC是直角三角形，故此選項不合題意；C、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出∠A＝90°，△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，判斷三角形是否為直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．3．（2022秋?大豐區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點D是Rt△ABC外一點，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長；（2）求證：△BCD是直角三角形．【分析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長；（2）利用勾股定理逆定理即可證明△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）證明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．掌握定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?南通期末）下列各組數(shù)中能作為直角三角形三邊長度的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，8【分析】直接根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即可．【解答】解：A．12+22≠32，不能作為直角三角形三邊長度，不符合題意；B．22+32≠42，不能作為直角三角形三邊長度，不符合題意；C．32+42＝52，能作為直角三角形三邊長度，符合題意；D．42+52≠82，不能作為直角三角形三邊長度，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．5．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，已知線段a，b和點P，且線段的端點和點P都在格點上，在網(wǎng)格中找一格點Q，使線段a，b，PQ恰好能構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的格點Q有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形即可求解．【解答】解：如圖所示：則滿足條件的格點Q有4個．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出正確的圖形．6．（2022秋?興化市期末）一個三角形三邊長為15、20、25，則三角形的面積為150．【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可推出這是一個直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解答】解：∵152+202＝252，∴該三角形是直角三角形，∴其面積＝×15×20＝150．故答案為150．【點評】此題主要考查學(xué)生對勾股定理的逆定理及三角形面積的綜合運用能力，難度適中．7．（2022秋?丹徒區(qū)期末）若三角形的邊長分別為5cm、12cm、13cm，則它的最長邊上的中線為6.5cm．【分析】首先根據(jù)三角形的三邊長證明三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到答案．【解答】解：∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，∴它的最長邊上的中線為．故答案為：6.5．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．8．（2022秋?邗江區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求：（1）BD的長；（2）△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，在Rt△BCD中再利用勾股定理計算BD的長；（2）根據(jù)計算即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AC2＝132＝169，AD2+CD2＝52+122＝169，∴AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，；（2）△ABC的面積：．【點評】本題考查勾股定理以及逆運算，熟練掌握勾股定理的含義是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?太倉市期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求證：∠BAC＝90°；（2）點P為BC上一點，連接AP，若△ABP為等腰三角形，求BP的長．【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝5，易求AC2+AB2＝25＝BC2，從而可知△ABC是直角三角形．（2）分三種情況：①當(dāng)BP＝AB時；②當(dāng)BP＝AP時；③當(dāng)AP＝AB時；分別求出BP的長即可．【解答】（1）證明：△ABC是直角三角形，理由如下：∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1，∴AB2＝AD2+BD2＝5，又∵AD⊥BC，CD＝4，AD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝20，∵BC＝CD+BD＝5，∴BC2＝25，∴AC2+AB2＝25＝BC2，∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形．（2）解：分三種情況：①當(dāng)BP＝AB時，∵AD⊥BC，∴AB＝＝，∴BP＝AB＝；②當(dāng)BP＝AP時，P是BC的中點，∴BP＝AB＝2.5；③當(dāng)AP＝AB時，BP＝2BD＝2；綜上所述：BP的長為或2或2.5．【點評】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用以及等腰三角形的性質(zhì)．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．二．勾股數(shù)10．（2022秋?泰興市期末）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：有a、b、c三個正整數(shù)，滿足a2+b2＝c2，稱為勾股數(shù)．由此判定即可．【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能構(gòu)成直角三角形，但不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；C、32+42＝52，是勾股數(shù)，故本選項符合題意；D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】此題考查勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，并能夠熟練運用．11．（2022秋?宿豫區(qū)期中）下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．11，60，61【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)；據(jù)此解答即可．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股數(shù)，不符合題意；B、42+52≠62，不是勾股數(shù)，符合題意；C、62+82＝102，是勾股數(shù)，不符合題意；D、112+602＝612，是勾股數(shù)，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了勾股數(shù)的定義，熟記定義是解本題的關(guān)鍵．12．（2022秋?鹽都區(qū)期中）觀察下列勾股數(shù)組：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一組勾股數(shù)，則根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，a＝17．（提示：5＝，13＝，…）【分析】它們?nèi)齻€一組，都是勾股數(shù)，一組勾股數(shù)中，并且第一個都是奇數(shù)，并且從3開始的連續(xù)奇數(shù)，每一組勾股數(shù)的第二，第三個數(shù)是連續(xù)整數(shù)，第二個數(shù)是第一個數(shù)的平方減去一除以二．【解答】解：由題意得：a2+1442＝1452，a2＝1452﹣1442，a＝17．故答案為：17．【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，掌握勾股定理逆定理．13．（2022秋?銅山區(qū)期中）若m、n為整數(shù)，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．請你證明a、b、c為勾股數(shù)．【分析】先證明a、b、c均為正整數(shù)，再證明a2+b2＝c2，可得結(jié)論．【解答】證明：∵m、n為整數(shù)，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，∴a、b、c均為正整數(shù)，又（2mn）2+（m2﹣n2）2＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2，∴a2+b2＝c2，∴a、b、c為勾股數(shù)．【點評】本題考查了勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．熟記勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如果直角三角形的三邊的長都是正整數(shù)，這樣的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)組．我國清代數(shù)學(xué)家羅士琳對勾股數(shù)組進行了深入研究，提出了各種有關(guān)公式400多個．他提出：當(dāng)m，n為正整數(shù)，且m＞n時，m2﹣n2，2mn，m2+n2為一組勾股數(shù)組，直到現(xiàn)在，人們都普遍采用他的這一公式．（1）除勾股數(shù)3，4，5外，請再寫出兩組勾股數(shù)組6，8，10，5，12，13；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，請你證明x，y，z為一組勾股數(shù)．【分析】（1）根據(jù)常見勾股數(shù)解答即可．（2）先求出x2，y2，z2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即可．【解答】解：（1）勾股數(shù)有6，8，10或5，12，13；故答案為：6，8，10；5，12，13；（2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2，∴x、y、z是一組勾股數(shù)．【點評】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．15．（2022秋?盱眙縣期末）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11，60，61；（2）若第一個數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為和，請用所學(xué)知識說明它們是一組勾股數(shù)．【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組一組勾股數(shù)：11，60，61；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后兩個數(shù)表示為和，∵，，∴．又∵n≥3，且n為奇數(shù)，∴由n，，三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．故答案為：11，60，61．【點評】本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進行猜想、證明即可．16．（2022秋?高郵市期中）課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學(xué)生解決．（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、60、61；（2）若第一個數(shù)用字母a（a為奇數(shù)，且a≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含a的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個數(shù)有這樣的規(guī)律：4＝，12＝，24＝……，則用含a的代數(shù)式表示每組第二個數(shù)和第三個數(shù)分別為、；（3）用所學(xué)知識加以說明．【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組一組勾股數(shù)：11，60，61；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；（3）依據(jù)勾股定理的逆定理進行證明即可．【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案為：60，61；（2）第一個數(shù)用字母a（a為奇數(shù)，且a≥3）表示，則用含a的代數(shù)式表示每組第二個數(shù)和第三個數(shù)分別為，．故答案為：，；（3）∵a2+（）2＝，（）2＝，∴a2+（）2＝（）2，又∵a為奇數(shù)，且a≥3，∴由a，，三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．【點評】本題屬規(guī)律型問題，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進行猜想、證明即可．17．（2022秋?灌南縣期中）【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論．像3、4、5這樣為三邊長能構(gòu)成直角三角形的3個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．請你觀察下列三組勾股數(shù)：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．當(dāng)勾為3時，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；當(dāng)勾為5時，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；當(dāng)勾為7時，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1），則據(jù)此規(guī)律第四組勾股數(shù)是（9，40，41）．（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整數(shù)．求證：以a，b，c為邊的△ABC是直角三角形．【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，則股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；當(dāng)n＝9時，即可求出第四組勾股數(shù)；（2）根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形進行解答即可．【解答】解：（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，則股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；當(dāng)n＝9時，（n2﹣1）＝40，（n2+1）＝41；∴第四組勾股數(shù)是（9，40，41）；故答案為：（n2﹣1），（n2+1），（9，40，41）；（2）證明：∵a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整數(shù)，（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c為邊的△ABC是直角三角形．【點評】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．18．（2022秋?江都區(qū)期中）同學(xué)們都知道，凡是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱之為“勾股數(shù)”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）請你寫出另外兩組勾股數(shù)：6，8，10；7，24，25；（2）清朝的揚州籍?dāng)?shù)學(xué)家羅士琳提出了四個構(gòu)造勾股數(shù)的法則，其中有兩個法則如下：（I）如果k是大于1的奇數(shù)，那么k，，是一組勾股數(shù)（Ⅱ）如果k是大于2的偶數(shù)，那么k，，是一組勾股數(shù)①如果在一組勾股數(shù)中，其中有一個數(shù)為12，根據(jù)法則（I）求出另外兩個數(shù)；②請你任選其中一個法則證明它的正確性．【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義解決此題．（2）①根據(jù)題干中法則Ⅰ解決此題．②根據(jù)整式的運算以及勾股數(shù)的定義解決此題．【解答】解：（1）勾股數(shù)分別為6，8，10；7，24，25．故答案為：8，10；24，25．（2）①根據(jù)法則（I），則或．∴k＝5或（不是奇數(shù)，舍去）．∴k＝5．∴＝13．∴另外兩個數(shù)為5、13．②選擇法則Ⅰ，證明過程如下：＝＝＝＝．∴＝．選擇法則Ⅱ，證明過程如下：＝＝＝＝．∴＝．【點評】本題主要考查勾股數(shù)、勾股定理、整式的運算，熟練掌握勾股數(shù)、勾股定理、整式的運算是解決本題的關(guān)鍵．三．勾股定理的應(yīng)用19．（2022秋?句容市期末）在《九章算術(shù)》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢觸地面處離竹根3尺），問：折者高4.55尺．【分析】畫出圖形，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故答案為：4.55．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?無錫期末）如圖，長為2.5m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.5m，則梯子頂端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m【分析】直接根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)勾股定理得，h2+1.52＝2.52，解得h＝2m，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）一種盛飲料的圓柱形杯，測得內(nèi)部底面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管放進杯里（如圖所示），杯口外面至少要露出3.6cm，為節(jié)省材料，管長a的取值范圍是15.6≤a≤16.6cm．【分析】根據(jù)題中已知條件，首先要考慮吸管放進杯里垂直于底面時最短為12+3.6＝15.6；最長時與底面直徑和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答．【解答】解：吸管放進杯里垂直于底面時最短為12+3.6＝15.6（cm）；最長時與底面直徑和高正好組成直角三角形，底面直徑為2×2.5＝5（cm）．杯里面部分管長為＝13（cm），總長為13+3.6＝16.6（cm），故管長a的取值范圍是15.6≤a≤16.6．故答案為：15.6≤a≤16.6．【點評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要找出管最長和最短時在杯中所處的位置，然后計算求解．22．（2022秋?江都區(qū)期末）看著冉冉升起的五星紅旗，你們是否想過旗桿到底有多高呢？某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量旗桿高度，進行以下操作：如圖1，先將升旗的繩子拉到旗桿底端，發(fā)現(xiàn)繩子末端剛好接觸到地面；如圖2，再將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)繩子末端距離地面2m．請根據(jù)以上測量情況，計算旗桿的高度．【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：設(shè)旗桿高度為xm，則AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，答：旗桿的高度為17m．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．23．（2022秋?泰興市期末）如圖，某渡船從點B處沿著與河岸垂直的路線AB橫渡，由于受水流的影響，實際沿著BC航行，上岸地點C與欲到達地點A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC比河寬AB多10米，求該河的寬度AB．（兩岸可近似看作平行）【分析】根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊BC的距離．【解答】解：設(shè)AB＝x米，則BC＝（x+10）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：x2+702＝（x+10）2，解得x＝240，答：河寬240米．【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．24．（2022秋?徐州期末）《九章算術(shù)》卷九中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木柱根部8尺處時繩索用盡，問繩索長是多少？【分析】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2﹣（x﹣3）2＝82，解得：x＝，答：繩索長為尺．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?常州期末）數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子沿旗桿垂到地面時，測得多出部分BC的長為2m（如圖1），再將繩子拉直（如圖2），測得繩子末端的位置D到旗桿底部B的距離為6m，求旗桿AB的長．【分析】設(shè)旗桿AB的長為xm，根據(jù)∠ABD＝90°，BD＝6，AD＝x+2，運用勾股定理得到x2+62＝（x+2）2，解方程即得．【解答】解：設(shè)旗桿AB的長為xm．根據(jù)題意，得∠ABD＝90°，BD＝6m，AD＝（x+2）m．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2．∴x2+62＝（x+2）2．解方程，得x＝8．答：旗桿AB的長為8m．【點評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形．26．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，點A處的居民樓與馬路相距14m，當(dāng)居民樓與馬路上行駛的汽車距離小于50m時就會受到噪聲污染，若汽車以15m/s的速度行駛經(jīng)過，那么會給這棟居民樓帶來多長時間的噪聲污染？【分析】設(shè)汽車行駛到點P′處噪音影響結(jié)束，則AC＝AD．由勾股定理得到BC的長，然后求得CD長，利用速度路程時間之間的關(guān)系求得時間即可．【解答】解：如圖，連接AC，AD．根據(jù)題意可知，AB＝14，AC＝50，∠ABC＝90°，△ACD是等腰三角形，所以CD＝2BC．在直角△ABC中，由勾股定理知：BC＝＝＝48（m），所以CD＝2BC＝96m，故會給這棟居民樓帶來噪聲污染的時長為：t＝96÷15＝6.4（s）．答：會給這棟居民樓帶來的噪聲污染時間為6.4s【點評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形．27．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在AD的位置時，踏板離地的垂直高度為0.6m，將秋千AD往前推送3m，到達AB的位置，此時，秋千的踏板離地的垂直高度為1.6m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．（1）根據(jù)題意，BF＝1.6m，BC＝3m，CD＝1m；（2）根據(jù)（1）中求得的數(shù)據(jù)，求秋千的長度．（3）如果想要踏板離地的垂直高度為2.6m時，需要將秋千AD往前推送4m．【分析】（1）由題意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，證四邊形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，則CD＝CE﹣DE＝1m；（2）設(shè)秋千的長度為xm，則AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）當(dāng)BF＝2.6m時，CE＝2.6m，則CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的長即可．【解答】解：（1）由題意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四邊形BCEF是矩形，∴CE＝BF＝1.6m，∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），故答案為：1.6，3，1；（2）∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，設(shè)秋千的長度為xm，則AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，解得：x＝5（m），即秋千的長度是5m；（3）當(dāng)BF＝2.6m時，CE＝2.6m，∵DE＝0.6m，∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），由（2）可知，AD＝AB＝5m，∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m），即需要將秋千AD往前推送4m，故答案為：4．【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，由勾股定理求出秋千的長度是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋?興化市期末）如圖是一個長方形的大門，小強拿著一根竹竿要通過大門．他把竹竿豎放，發(fā)現(xiàn)竹竿比大門高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大門的對角線的長．已知大門寬4尺，請求出竹竿的長．【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高，進而解答即可．【解答】解：設(shè)門高為x尺，則竹竿的長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝7.5，∴門高7.5尺，竹竿的長＝7.5+1＝8.5（尺）．【點評】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運用到實際問題中是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．29．（2022秋?亭湖區(qū)期末）一個零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計算一下這塊鋼板的面積嗎？【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD與△ABC均為直角三角形，進而可求解其面積．【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36．答：這塊鋼板的面積等于36．【點評】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．一．選擇題1．（2023?廣陵區(qū)一模）如圖，有四個三角形，各有一邊長為6，一邊長為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是（）A． B． C． D．【分析】過C作CD⊥AB于D，依據(jù)AB＝6，AC＝8，可得CD≤8，進而得到當(dāng)CD與AC重合時，CD最長為8，此時，∠BAC＝90°，△ABC的面積最大．【解答】解：如圖，過C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴當(dāng)CD與AC重合時，CD最長為8，此時，∠BAC＝90°，△ABC的面積最大，∴BC＝＝10，∴四個三角形中面積最大的三角形的三邊長分別為6，8，10，故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的面積以及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵在于正確的表示出斜邊、直角邊的長度，熟練運用勾股定理的逆定理進行分析．2．（2022秋?如皋市校級期末）以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．4，5，6 C．6，12，13 D．9，12，15【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答此題．【解答】解：A．∵22+42≠52，∴不能組成直角三角形，不符合題意．B．∵42+52≠62，∴不能組成直角三角形，不符合題意．C．∵62+122≠132，∴不能組成直角三角形，不符合題意．D．∵92+122＝152，∴能組成直角三角形，符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．3．（2022秋?相城區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．AD為△ABC的角平分線，CD的長度為（）A．2 B． C．3 D．【分析】由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD＝DE，利用勾股定理即可求解．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10．∴AB2＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∵AD為△ABC的角平分線，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣CD）2＝CD2+（10﹣6）2，解得CD＝3．故選：C．【點評】本題主要考查勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?邗江區(qū)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．0.3，0.4，0.5 B．8，15，17 C． D．3，4，4【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、0.3，0.4，0.5，都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項不符合題意；B、82+152＝172，能構(gòu)成直角三角形，都是整數(shù)，是勾股數(shù)，故選項符合題意；C、，都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項不符合題意；D、32+42≠42，故不是勾股數(shù)，故選項不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．5．（2022秋?句容市期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列條件能判斷△ABC不是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a(chǎn)2＝（b+c）（b﹣c） C．a(chǎn)＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a(chǎn)＝9，b＝23，c＝25【分析】利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項判斷即可．【解答】解：A、由條件∠B＝∠C+∠A，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；B、由條件可得到a2+c2＝b2，滿足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；C、∵a＝1.5，b＝2，c＝2.5，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；D、∵a9＝1，b＝23，c＝25，∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形．故選：D．【點評】本題主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵，可以利用定義也可以利用勾股定理的逆定理．6．（2021秋?泗陽縣期中）下列各組數(shù)中，哪一組是勾股數(shù)（）A．1，1，2 B．6，8，10 C．32，42，52 D．7，12，15【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義逐一計算即可得出答案．【解答】解：A．∵12+12≠22，∴1，1，2不是勾股數(shù)，不符合題意；B．∵62+82＝102，∴6、8、10是勾股數(shù)，符合題意；C．9+16≠25，∴32，42，52不是勾股數(shù)，不符合題意；D．∵72+122≠152，∴7、12、15不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了勾股數(shù)，能熟記勾股數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．二．填空題7．（2022秋?天寧區(qū)校級期中）【教材例題】判斷由線段a．b，c組成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．解：因為132+142＝169+196＝365，152＝225．所以132+142≠152，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形不是直角三角形．【分析】只有勾股定理的逆定理是已知三邊判斷三角形是不是直角三角形的．【解答】解：已知三邊判斷三角形是不是直角三角形，用勾股定理的逆定理．故答案為：勾股定理的逆定理．【點評】本題考查的是勾股定理逆定理的運用，解題的關(guān)鍵是知道勾股定理的逆定理的作用．8．（2022秋?沭陽縣期中）已知a、b、c是一個三角形的三邊長，如果滿足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，則這個三角形的面積為6．【分析】由非負數(shù)的性質(zhì)，求得a、b、c的值，再勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，進一步求得該三角形的面積．【解答】解：由題意知a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴a2+b2＝c2，∴三角形的形狀是直角三角形，則該三角形的面積是3×4÷2＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：有限個非負數(shù)的和為零，當(dāng)它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類題目．還運用了勾股定理的逆定理．9．（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）若三角形三邊滿足a：b：c＝3：4：5，且三角形周長為24cm，則這個三角形最長邊上的高為cm．【分析】首先根據(jù)三邊比設(shè)三邊長分別為a＝3xcm，b＝4xcm，c＝5xcm，再根據(jù)周長計算出邊長，然后利用勾股定理可證明三角形是直角三角形，再利用三角形的面積公式計算出最長邊上的高．【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，∴設(shè)三邊長分別為：a＝3xcm，b＝4xcm，c＝5xcm，∵周長為24cm，∴3x+4x+5x＝24，解得：x＝2，∴三邊長分別為：a＝6cm，b＝8cm，c＝10cm，∵62+82＝102，∴三角形是直角三角形，設(shè)最長邊上的高是hcm，則＝10×h解得：h＝．故答案為：cm．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是利用方程思想正確計算出三邊長．10．（2022秋?江陰市期中）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長？”．根據(jù)題意求出繩索的長為14.5尺．【分析】設(shè)繩索有x尺長，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)繩索有x尺長，則102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5，即繩索長14.5尺，故答案為：14.5．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、理解題意能力，關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形，用勾股定理來解．11．（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）《九章算術(shù)》中記載著這樣一個問題：已知甲乙兩人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為每單位時間走7步，乙的速度為每單位時間走3步，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時，甲、乙各走了多遠？解：如圖，設(shè)甲乙兩人從出發(fā)到相遇用了x個單位時間．根據(jù)勾股定理可列得方程為（3x）2+102＝（7x﹣10）2．【分析】根據(jù)題意畫出三角形ABC，表示出三邊長，利用勾股定理可得方程．【解答】解：如圖，設(shè)x秒兩人在C處相遇，這時乙行駛AC＝3x步，甲共行駛AB+BC＝7x步，∵AB＝10步，∴BC＝（7x﹣10）步，∵∠A＝90°，由勾股定理得（3x）2+102＝（7x﹣10）2，【點評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，利用勾股定理解決問題．12．（2022秋?句容市期末）已知△ABC的三邊長分別為3、4、5，則最長邊上的中線長為．【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC的三邊長分別為3、4、5，32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∴最長邊上的中線長＝．故答案為：．【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線，熟知在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解答此題的關(guān)鍵．13．（2022秋?金湖縣期中）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C都是網(wǎng)格線的交點，則△ABC的外角∠ACD等于135°．【分析】先判斷△ABC是等腰直角三角形，得出∠ACB＝∠A＝45°，進而求出∠ACD．【解答】解：∵AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AB＝AC，AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴∠ACB＝∠A＝45°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝135°．故答案為：135．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷△ABC是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?連云港期中）如圖，一根竹子原高10尺，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高為x尺，則可列方程為x2+32＝（10﹣x）2．（不用化簡）【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的長度即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故答案為：x2+32＝（10﹣x）2．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．15．（2021秋?邳州市期中）觀察下列各組勾股數(shù)：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；…照此規(guī)律，將第n組勾股數(shù)按從小到大的順序排列，排在中間的數(shù)，用含n的代數(shù)式可表示為2n2+2n．【分析】依據(jù)各組勾股數(shù)中數(shù)字的變換規(guī)律，即可得到第（n）組勾股數(shù)中，當(dāng)最小的數(shù)為2n+1時，排在中間的數(shù)為，再進行化簡即可．【解答】解：（1）3，4，5中，4＝；（2）5，12，13中，12＝；（3）7，24，25中，24＝；（4）9，40，41中，40＝；以此類推，第（n）組勾股數(shù)中，當(dāng)最小的數(shù)為2n+1時，排在中間的數(shù)為，即2n2+2n，故答案為：2n2+2n．【點評】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．16．（2022秋?新吳區(qū)期中）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目的大致意思是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都是1尺（1尺＝10寸），則AB的長是幾寸？若設(shè)圖中單扇門的寬AD＝x寸，則可列方程為：（x﹣1）2+102＝x2．【分析】取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【解答】解：取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝x寸，則AB＝2x（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（x﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（x﹣1）2+102＝x2，故答案為：（x﹣1）2+102＝x2．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題17．（2022秋?贛榆區(qū)校級月考）如圖2，是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．樂樂在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點A時，過點A作AC⊥BD于C，點A到地面的距離AE＝1.5m（AE＝CD），當(dāng)他從A處擺動到A'處時，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足為F．求A′到BD的距離A'F．【分析】先證明△ACB≌△BFA'，即可得到A'F＝BC，再求出BC即可得到答案．【解答】解：∵A'F⊥BD，AC⊥BD于C，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，在△ACB和△BFA'中，，∴△ACB≌△BFA'（AAS），∴A'F＝BC，∵BD＝2.5m．AE＝CD＝1.5m，∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1m，即A'到BD的距離A'F為1m．【點評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?泗洪縣期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地…；翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時候，踏板離地高一尺（AC＝1尺）將它往前推進兩步（EB＝10尺），此時踏板升高離地五尺（BD＝5尺），求秋千繩索OB的長度．【分析】設(shè)OA＝OB＝x尺，表示出OE的長，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果【解答】解：設(shè)OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根據(jù)勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．則秋千繩索的長度為14.5尺．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握“勾股定理，用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示直角三角形的邊”是解本題的關(guān)鍵．18．（2022秋?漣水縣期中）八年級的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得如圖所示風(fēng)箏的高度CE，他們進行了如下操作：①測得BD＝9米；（注：BD⊥CE）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC＝15米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.6米．求風(fēng)箏的高度CE．【分析】利用勾股定理求出CD的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度．【解答】解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144，所以，CD＝±12（負值舍去），所以，CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6米，答：風(fēng)箏的高度CE為13.6米．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，貨車卸貨時支架側(cè)面是Rt△ABC，已知AB＝2.5m，AC＝2m．求BC的長．【分析】直接利用勾股定理得出BC的長．【解答】解：如圖所示：在Rt△ABC中，BC＝＝＝1.5（m），答：BC的長為1.5m．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確運用勾股定理是解題關(guān)鍵．21．（2022秋?江都區(qū)期中）如圖，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算這塊土地的面積，以便估算產(chǎn)量．小明測得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求這塊土地的面積．【分析】先把解四邊形的問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題，再用勾股定理解答．【解答】解：連接BD，∵∠A＝90°，∴BD2＝AD2+AB2＝25，則BD2+CD2＝132＝BC2，因此∠CDB＝90°，S四邊形ABCD＝S△ADB+S△CBD＝36（平方米），答：這塊土地的面積為36平方米．【點評】本題考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．22．（2022秋?漣水縣期中）如圖，已知CD⊥AB，垂足為D，BD＝1，CD＝2，AD＝4．求證：∠ACB＝90°．【分析】根據(jù)勾股定理得出BC2，AC2，進而利用勾股定理的逆定理解答即可．【解答】證明：∵CD⊥AB，垂足為D，BD＝1，CD＝2，AD＝4，∴BC2＝BD2+CD2＝12+22＝5，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20，∵AB＝AD+BD＝4+1＝5，∴AB2＝25＝AC2+BC2＝20+5，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°．【點評】此題考查勾股定理及其逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理計算得出BC2，AC2的值．23．（2021秋?句容市期中）觀察下列各組勾股數(shù)有哪些規(guī)律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．請解答：（1）當(dāng)a＝11時，求b，c的值；（2）判斷21，220，221是否為一組勾股數(shù)？若是，請說明理由．【分析】（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121，然后求得b和c的值即可；（2）利用勾股數(shù)的定義進行判定即可．【解答】解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121．解得b＝60，c＝b+1＝6；（2）是勾股數(shù)，理由如下：2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441，212＝441，∴2212﹣2202＝212，∴21，220，221是勾股數(shù)．【點評】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．24．（2020秋?盱眙縣期中）【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論．像3、4、5這樣為三邊長能構(gòu)成直角三角形的3個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．【應(yīng)用舉例】觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，當(dāng)勾為3時，股4＝，弦5＝；當(dāng)勾為5時，股12＝，弦13＝；當(dāng)勾為7時，股24＝，弦25＝．請仿照上面三組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）．【問題解決】（2）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖也提出了構(gòu)造勾股數(shù)組的公式．具體表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m為大于1的整數(shù)），則a、b、c為勾股數(shù)．請你證明柏拉圖公式的正確性；（3）畢達哥拉斯在他找到的勾股數(shù)的表達式中發(fā)現(xiàn)弦與股的差為1，若用2a2+2a+1（a為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個數(shù)，請你找出另外兩個數(shù)的表達式分別是多少？【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，則股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；（2）根據(jù)勾股數(shù)的定義直接進行解答即可得出答案；（3）根據(jù)弦與股的差為1和勾股數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，則股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；故答案為：（n2﹣1），（n2+1）；（2）∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整數(shù)）∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2，∴a2+b2＝c2∴a、b、c為勾股數(shù)；（3）∵弦與股的差為1，2a2+2a+1（a為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個數(shù)，∴另外兩個數(shù)的表達式分別是2a2+2a；2a+1．【點評】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．25．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2，求整式B．聯(lián)想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖．填寫下表中B的值：直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ/817勾股數(shù)組Ⅱ35/37【分析】先根據(jù)整式的混合運算法則求出A，進而求出B，再把n的值代入即可解答．【解答】解：嘗試：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，發(fā)現(xiàn)∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，當(dāng)2n＝8時，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；當(dāng)n2﹣1＝35時，n2+1＝37．故答案為：17；37．【點評】本題考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．26．（2022秋?蘇州期中）“三農(nóng)”問題是關(guān)系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上A、B兩點相距50km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等，則市場E應(yīng)建在距A多少千米處？并判斷此時△DEC的形狀，請說明理由．【分析】可以設(shè)AE＝x，則BE＝50﹣x，在直角△ADE中根據(jù)勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根據(jù)勾股定理可以求得CE，根據(jù)CE＝DE可以求得x的值，即可求得AE的值．【解答】解：△DEC是等腰直角三角形，理由：設(shè)AE＝x，則BE＝50﹣x，在直角△ADE中，DE2＝302+x2，在直角△CBE中，CE2＝202+（50﹣x）2，解得x＝20km，即AE＝20km．答：市場E應(yīng)建在離A點20km的位置，∵AE＝20km＝CB，AD＝30km＝BE＝50﹣20＝30（km），∠A＝∠B＝90°，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴DE＝CE，∠AED＝∠BCE，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△DEC是等腰直角三角形．【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，本題中根據(jù)DE2＝302+x2和CE2＝202+（50﹣x）2求x的值是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?梁溪區(qū)期中）長清的園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所，某校七年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，所以，CD＝20（負值舍去），所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米；（2）由題意得，CM＝12米，∴DM＝8米，∴BM＝＝＝17（米），∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），∴他應(yīng)該往回收線8米．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．28．（2021秋?江都區(qū)校級月考）滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．（1）請把下列三組勾股數(shù)補充完整：①6，8，10②5，12，13③8，15，17．（2）小敏發(fā)現(xiàn)，很多已經(jīng)約去公因數(shù)的勾股數(shù)組中，都有一個數(shù)是偶數(shù)，如果將它寫成2mn，那么另外兩個數(shù)可以寫成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．請你幫小敏證明這三個數(shù)2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股數(shù)組．（3）如果21，72，75是滿足上述小敏發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的勾股數(shù)組，求m+n的值．【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解；（3）先化簡得：7，24，25，可得24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，依此可求m＝4，n＝3，再代入計算即可求解．【解答】解：（1）①6，8，10；②5.12，13；③8，15，17．故答案為：6，12，17；（2）證明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2，（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，∴（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，∴m2﹣n2，m2+n2，2mn是勾股數(shù)；（3）化簡得：7，24，25，∵偶數(shù)24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，∴m＝4，n＝3，∴m+n＝7．【點評】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．29．（2021秋?東臺市月考）一架方梯AB長25米，如圖所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端離墻7米，這個梯子的頂端距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【分析】（1）利用勾股定理可得OA＝＝，再計算即可；（2）在直角三角形A′OB′中計算出OB′的長度，再計算BB′即可．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，AB＝25米，OB＝7米，OA＝＝＝24（米）．答：梯子的頂端距地面24米；（2）在Rt△AOB中，A′O＝24﹣4＝20米，OB′＝＝＝15（米），BB′＝15﹣7＝8米．答：梯子的底端在水平方向滑動了8米．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．30．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）“村村通”公路是我國的一項重要的民生工程，如圖，A，B，C三個村都分別修建了一條互通公路，其中AB＝BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個景點M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達景點M，又修建了一條公路AM，測得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判斷△ACM的形狀，并說明理由；（2）求公路AB的長．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AB＝BC＝x千米，則BM＝（x﹣5）千米，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）△ACM是直角三角形，理由如下：∵AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米，∴CM2+AM2＝AC2，∴△ACM是直角三角形，∠AMC＝90°；（2）設(shè)AB＝BC＝x千米，則BM＝（x﹣5）千米，由（1）可知，∠AMC＝90°，∴∠AMB＝180°﹣∠AMC＝90°，在Rt△ABM中，由勾股定理得：122+（x﹣5）2＝x2，解得：x＝16.9，答：公路AB的長為16.9千米．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及勾股定理的逆定理等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）國慶節(jié)前，學(xué)校開展藝術(shù)節(jié)活動，小明站在距離教學(xué)樓（CD）35米的A處，操控一架無人機進行攝像，已知無人機在D點處顯示的高度為距離地面30米，隨后無人機沿直線勻速飛行到點E處懸停拍攝，此時顯示距離地面10米，隨后又沿著直線飛行到點B處懸停拍攝，此時正好位于小明的頭項正上方（AB∥CD），且顯示距離地面25米，已知無人機從點D勻速飛行到點E所用時間與它從點E勻速飛行到點B所用時間相同，你能求出無人機從點D到點E再到點B一共飛行了多少米嗎？請寫出相應(yīng)計算過程．【分析】過E作MN⊥AB于M，交CD于N，在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2，在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，根據(jù)BE＝DE求出EM，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)論．【解答】解：過E作MN⊥AB于M，交CD于N，由題意得AB＝25米，CD＝30米，AC＝35米，AB∥CD，AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，BE＝DE，∴MN⊥CD，∴四邊形AMEF，四邊形EFCN，四邊形ACNM是矩形，∴MN＝AC＝35米，BM＝15米，DN＝20米，EN＝（35﹣EM）米，在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2，在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，∴BM2+EM2＝DN2+EN2，∴152+EM2＝202+（35﹣EM）2，解得EM＝20米，∴BE＝＝25（米），∴BE+DE＝50米．答：無人機從點D到點E再到點B一共飛行了50米．【點評】本題主要考查了勾股定理，正確作出輔助線，根據(jù)勾股定理求出EM是解決問題的關(guān)鍵．32．（2022秋?高新區(qū)校級月考）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為15km，與公路上另一停靠站B的距離為20kn，?？空続、B之間的距離為25km，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的長；（2）若公路CD修通后，一輛貨車從C處經(jīng)過D點到B處的路程是多少？【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得∠ACB＝90°，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；（2）根據(jù)勾股定理求出BD的長，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，152+202＝252，∴AC2+BD2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝12（km），答：修建的公路CD的長是12km；（2）在Rt△BDC中，BD＝＝＝16（km），∴CD+BD＝12+16＝28（km）．答：一輛貨車從C處經(jīng)過D點到B處的路程是28km．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．33．（2022秋?連云港期中）如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的AC上，這時點B到墻底端C的距離BC為0.7米．（1）求AC的值；（2）如果梯子的頂端沿墻面下滑0.4米，那么點B是否也向外移動0.4米？請通過計算說明．【分析】（1）在直角△ABC中，直接利用勾股定理求得AC的長度；（2）根據(jù)AC＝AA1+CA1即可求得CA1的長度，在直角三角形A1B1C中，已知AB＝A1B1，CA1即可求得CB1的長度，根據(jù)BB1＝CB1﹣CB即可求得BB1的長度．【解答】解：（1）在直角△ABC中，AB＝2.5米，BC＝0.7米，則由勾股定理知：AC＝＝＝2.4（米）．即AC的值為2.4米；（2）不是向外移動0.4m，理由如下：由（1）知，AC＝2.4m，又∵AA1＝0.4m，A1B1＝AB＝2.5m，∴CA1＝2m，由勾股定理，得B1C＝1.2m，∴B1B＝0.5m，即點B向外移動0.5米．∴點B不是向外移動0.4米．【點評】本題主要考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，考查了勾股定理在直角三角形中的正確運用，本題中求CB1的長度是解題的關(guān)鍵．34．（2022秋?玄武區(qū)期中）如圖，某人從A地到B地共有三條路可選，第一條路是從A到B，AB為10米，第二條路是從A經(jīng)過C到達B地，AC為8米，BC為6米，第三條路是從A經(jīng)過D地到B地共行走26米，若C、B、D剛好在一條直線上．（1）求證：∠C＝90°；（2）求AD和BD的長．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AD＝x米，則BD＝（26﹣x）米，CD＝BC+BD＝（32﹣x）米，在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：∵AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°；（2）解：設(shè)AD＝x米，則BD＝（26﹣x）米，∴CD＝BC+BD＝6+26﹣x＝（32﹣x）（米），在Rt△ACD中，由勾股定理得：82+（32﹣x）2＝x2，解得：x＝17，則26﹣x＝26﹣17＝9，答：AD的長為17米，BD的長為9米．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及勾股定理的逆定理等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．35．（2022秋?東?？h期中）在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費用為100元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？【分析】由勾股定理得出AC，再由勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，然后由直角三角形面積求法得出這片空地的面積，即可得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2+AC2＝DC2，∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，∴S△DAC＝AD?AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54（m2），∴S四邊形ABCD＝60+54＝114（m2），∴100×114＝11400（元），答：綠化這片空地共需花費11400元．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理以及勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．一．選擇題1．下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義求解即可．【解答】解：A．∵32+42＝52，且3，4，5是正整數(shù)，∴3，4，5是勾股數(shù)，此選項不符合題意；B．∵52+122＝132，且5，12，13是正整數(shù)，∴5，12，13是勾股數(shù)，此選項不符合題意；C．∵72+242＝252，且7，24，25是正整數(shù)，∴7，24，25是勾股數(shù)，此選項不符合題意；D．∵0.62+0.82＝12，但0.6，0.8，1不是整數(shù)，∴0.6，0.8，1不是勾股數(shù)，此選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：0.6，0.8，1滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…2．如圖，已知釣魚竿AC的長為10m，露在水面上的魚線BC長為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC'的位置，此時露在水面上的魚線B'C'為8m，則BB'的長為（）A．1m B．2m C．3m D．4m【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB和AB′，再根據(jù)BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB=AC2∵AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′=AC'2∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故選：B．【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識點是勾股定理，根據(jù)已知條件求出AB和AB′是解題的關(guān)鍵．3．一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長為25米，則云梯可以達該建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米【分析】由題意可知消防車的云梯長、地面、建筑物高構(gòu)成一直角三角形，斜邊為消防車的云梯長，根據(jù)勾股定理就可求出高度．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝25米，BC＝7米，由勾股定理可得，AC=A故選：C．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確將實際問題轉(zhuǎn)化為勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．4．在《九章算術(shù)》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】畫出圖形，設(shè)折斷處離地面x尺，則A