第21章 專題一 一元二次方程的實際應用(習題教學設計)2024-2025學年九年級上冊數(shù)學課時通(人教版)

第21章專題一一元二次方程的實際應用(習題教學設計)2024-2025學年九年級上冊數(shù)學課時通(人教版)學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內(nèi)容《2024-2025學年九年級上冊數(shù)學課時通(人教版)》第21章專題一一元二次方程的實際應用，主要包括以下內(nèi)容：

1.利用一元二次方程解決實際問題的一般步驟；

2.應用一元二次方程解決一些常見的實際問題，如：

-計算物體的運動距離和速度；

-分析物體的增長或減少問題；

-計算投資收益與成本問題；

-解決幾何圖形的面積、周長等問題；

3.一元二次方程在實際生活中的應用案例分析與解答；

4.一元二次方程在實際問題中的建模方法和技巧。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。通過一元二次方程在實際問題中的應用，使學生能夠?qū)嶋H問題抽象為一元二次方程模型，提高學生的問題解決能力和數(shù)學應用意識。同時，通過分析問題、建立模型、求解方程、驗證結果的過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和批判性思維。在解決實際問題的過程中，學生還需收集、處理和分析數(shù)據(jù)，從而提高數(shù)據(jù)分析能力。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了哪些相關知識：

-學生已經(jīng)學習了一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法；

-學生對函數(shù)的概念有了初步的認識，能夠理解函數(shù)圖像與一元二次方程的關系；

-學生具備了一定的幾何知識，如直線、圓、三角形等的基本性質(zhì)和計算方法。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

-學生對解決實際問題具有較強的興趣，能夠激發(fā)學習動力；

-學生具備一定的邏輯思維能力和數(shù)學推理能力，能夠跟隨課堂節(jié)奏進行思考；

-學生的學習風格多樣，有的偏好直觀演示，有的偏好抽象思考，需要采用多樣化的教學方法以滿足不同需求。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

-將實際問題抽象為一元二次方程模型可能存在困難，需要引導學生理解實際問題與數(shù)學模型之間的聯(lián)系；

-在解決實際問題時，學生可能會混淆一元二次方程的解與實際問題中的具體意義；

-對于一些復雜的實際問題，學生可能在建立方程模型時遇到邏輯上的困難，需要教師提供適當?shù)囊龑Ш吞崾?。教學方法與策略1.結合教學目標和學習者特點，采用講授與討論相結合的方式，輔以案例研究，增強學生的實際應用能力。

2.設計小組討論和問題解決活動，鼓勵學生通過角色扮演來模擬實際問題情景，以及使用實驗和游戲來探索一元二次方程的解決策略。

3.利用多媒體教學資源，如PPT演示和在線互動平臺，展示一元二次方程在實際問題中的應用，提高學生的學習興趣和參與度。教學過程一、導入新課

1.師：同學們，我們已經(jīng)學習了一元二次方程的解法和性質(zhì)，那么大家有沒有想過，我們?yōu)槭裁匆獙W習一元二次方程呢？它在我們生活中有什么實際應用呢？

2.生：思考并回答，可能提到一些簡單的應用，如計算面積、求解物理問題等。

3.師：很好，今天我們就來探究一元二次方程在實際問題中的應用，看看它如何幫助我們解決生活中的問題。

二、探究一元二次方程在實際問題中的應用

1.師：首先，我們來看第一個問題。假設一個拋物線形狀的拱橋，其頂點在水面以上8米處，水面寬為4米。我們需要找到這個拋物線的方程，并計算拱橋的最大寬度。

-生：分組討論，嘗試建立拋物線方程。

-師：指導學生通過設定坐標系，找到拋物線的一般方程，然后根據(jù)已知條件求解。

2.師：接下來，我們分析第二個問題。一家公司計劃投資一個新的項目，項目的收益可以表示為一個關于時間的二次函數(shù)。我們需要確定投資的最佳時間，使得收益最大化。

-生：獨立思考，嘗試建立收益函數(shù)。

-師：引導學生通過分析收益函數(shù)的開口方向和頂點坐標，確定最佳投資時間。

3.師：現(xiàn)在，我們來解決一個幾何問題。一個矩形的長比寬多3米，且矩形的周長是18米。我們需要找到矩形的長和寬。

-生：通過小組合作，嘗試建立方程。

-師：幫助學生理解矩形的周長公式，并利用一元二次方程求解。

三、案例分析與應用

1.師：同學們，我們已經(jīng)解決了一些實際問題，現(xiàn)在讓我們來看一些案例，分析一下這些案例是如何運用一元二次方程的。

-生：閱讀案例，分析并討論案例中的數(shù)學模型。

-師：講解案例的解決過程，強調(diào)一元二次方程在解決問題中的作用。

2.師：現(xiàn)在，我想請大家自己嘗試解決一個問題。假設你有一塊土地，你想建造一個最大面積的矩形花園，但你的土地長度有限。你需要確定花園的長和寬，使得面積最大。

-生：獨立思考，嘗試建立面積函數(shù)。

-師：提供指導，幫助學生理解如何通過一元二次方程來找到最大面積。

四、鞏固練習

1.師：同學們，我們來做一些練習題，鞏固一下今天學習的知識。

-生：完成練習題。

-師：逐個檢查學生的答案，提供反饋和指導。

2.師：下面這個問題需要大家合作解決。一個球從地面拋出，其高度隨時間的變化可以表示為一個一元二次方程。我們需要計算球的最大高度和飛行時間。

-生：分組合作，共同解決問題。

-師：在學生解決問題的過程中提供必要的指導。

五、總結與反思

1.師：同學們，今天我們學習了一元二次方程在實際問題中的應用。大家能分享一下你們在學習過程中的收獲和感悟嗎？

-生：分享自己的學習心得和感悟。

-師：總結學生的發(fā)言，強調(diào)一元二次方程在實際生活中的重要性。

2.師：最后，我想請大家反思一下，我們在解決實際問題時，如何才能更好地運用一元二次方程？

-生：思考并回答。

-師：總結反思，強調(diào)理解實際問題背景、建立數(shù)學模型和求解方程的重要性。

六、作業(yè)布置

1.師：同學們，今天的作業(yè)是：

-生：完成課后練習題，進一步鞏固一元二次方程在實際問題中的應用。

-師：提醒學生按時完成作業(yè)，并鼓勵他們在遇到問題時相互討論和尋求幫助。知識點梳理1.一元二次方程的定義與標準形式

-一元二次方程是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程。

-標準形式為ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。

2.一元二次方程的解法

-配方法：通過移項和配方，將方程轉(zhuǎn)換為(x+p)^2=q的形式，進而求解。

-公式法：使用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)來求解。

-因式分解法：將方程左邊通過因式分解寫成兩個一次因式的乘積，然后令每個因式等于零求解。

3.一元二次方程的根的判別式

-判別式Δ=b^2-4ac用于判斷方程的根的情況。

-當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

-當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

-當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根。

4.一元二次方程的圖像

-一元二次方程的圖像是一個開口向上或向下的拋物線。

-拋物線的頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。

-拋物線與x軸的交點對應方程的實數(shù)根。

5.一元二次方程的應用

-解決距離和速度問題：通過建立一元二次方程來計算物體的運動距離和速度。

-分析增長或減少問題：利用一元二次方程來描述物體的增長或減少情況。

-計算投資收益與成本問題：通過一元二次方程來計算投資的收益和成本。

-解決幾何圖形問題：利用一元二次方程來計算幾何圖形的面積、周長等。

6.建立一元二次方程模型的步驟

-分析實際問題，確定未知數(shù)和變量。

-根據(jù)問題中的條件建立一元二次方程。

-解方程，得到未知數(shù)的值。

-驗證解是否符合實際情況，必要時進行單位換算或四舍五入。

7.實際問題中一元二次方程的解的幾何意義

-在幾何問題中，一元二次方程的解通常代表圖形的某個特定長度或位置。

-解的幾何意義有助于理解問題的實際背景和驗證解的正確性。

8.一元二次方程在實際問題中的限制條件

-在實際問題中，一元二次方程的解可能受到物理、幾何或?qū)嶋H情況的限制。

-解方程時，需要考慮這些限制條件，舍去不符合實際情況的解。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

-閱讀材料：《數(shù)學建模案例分析——一元二次方程的應用》

該材料通過具體的案例，展示了一元二次方程在各個領域的應用，如物理學中的拋物線運動、經(jīng)濟學中的成本收益分析、工程學中的優(yōu)化問題等。

-視頻資源：《一元二次方程在實際生活中的應用》

該視頻通過動畫和實例，生動地展示了一元二次方程在解決實際生活中的問題時的作用和意義。

2.拓展要求：

-學生在課后自主選擇閱讀材料或觀看視頻資源，深入了解一元二次方程在實際生活中的應用。

-學生需要記錄下自己在閱讀或觀看過程中的關鍵信息和心得體會，準備在下一堂課上進行分享。

-教師將提供必要的指導和幫助，包括但不限于解答學生在自主學習過程中遇到的問題，提供額外的閱讀材料或視頻資源，以及組織課堂討論，讓學生有機會交流自己的學習成果。

-學生可以嘗試自己設計一個實際問題，并利用一元二次方程來解決問題。教師將提供反饋和指導，幫助學生完善他們的解決方案。

-鼓勵學生將所學的知識應用到現(xiàn)實生活中，例如，通過建立一元二次方程模型來分析家庭預算、規(guī)劃旅行路線等，從而加深對一元二次方程應用的理解。

-學生應當反思自主學習的過程，評估自己的學習效果，并思考如何將所學知識應用到未來的學習和生活中。教師將根據(jù)學生的表現(xiàn)和反饋，調(diào)整教學策略，以更好地促進學生的學習和成長。板書設計①一元二次方程的定義與標準形式

-重點詞：一元二次方程、標準形式

-重點句：ax^2+bx+c=0（a≠0）

②一元二次方程的解法

-重點詞：配方法、公式法、因式分解法

-重點句：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

③一元二次方程的應用

-重點詞：距離和速度問題、增長或減少問題、投資收益與成本問題、幾何圖形問題

-重點句：建立一元二次方