2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 第六講 離散型隨機(jī)變量及其分布列配套課件

第六講離散型隨機(jī)變量及其分布列2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第九章

計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布1.離散型隨機(jī)變量

一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱分布列.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表X01P1－pp3.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布列這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列或0－1分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱p＝P(X＝1)為成功概率.

(2)超幾何分布列

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品如果隨機(jī)變量X的分布列具有上述的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.【名師點(diǎn)睛】利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù).X01P9a2－a3－8a

考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)1.設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為則常數(shù)a的值為()答案：A2.(2023年漢中市期末)隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，4，5，且P(ξ＝k)＝ak，k＝1，2，3，4，5，則a的值為()A.

130

1B. 15C.30D.15

解析：∵隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，4，5，且P(ξ＝k)＝ak，(k＝1，2，3，4，5)，由離散型隨機(jī)變量分布列的性答案：BX01234P0.20.10.10.3m3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為(1)求隨機(jī)變量Y＝2X＋1的分布列；(2)求隨機(jī)變量η＝|X－1|的分布列；(3)求隨機(jī)變量ξ＝X2的分布列.X012342X＋113579Y13579P0.20.10.10.30.3解：(1)由分布列的性質(zhì)知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表為從而Y＝2X＋1的分布列為X01234|X－1|10123(2)列表為∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.η0123P0.10.30.30.3X01234X2014916ξ014916P0.20.10.10.30.3故η＝|X－1|的分布列為(3)列表為從而ξ＝X2

的分布列為【題后反思】分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率.考點(diǎn)二求離散型隨機(jī)變量的分布列

[例1]某商場銷售某種品牌的空調(diào)器，每周周初購進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器，商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元.若供大于求，則每臺多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時每臺空調(diào)器僅獲利潤200元.

(1)若該商場某周初購進(jìn)20臺空調(diào)器，求當(dāng)周的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位：臺，n∈N)的函數(shù)解析式f(n)；周需求量n1819202122頻數(shù)12331(2)該商場記錄了去年夏天(共10周)的空調(diào)器周需求量n(單位：臺，n∈N)，整理得下表.

以記錄的每周需求量的頻率作為每周需求量的概率，若商場某周初購進(jìn)20臺空調(diào)器，X表示當(dāng)周的利潤(單位：元)，求X的分布列.

解：(1)當(dāng)n≥20且n∈N時，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000， 當(dāng)n≤19且n∈N時，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2000，X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1(2)由(1)得f(18)＝8800，f(19)＝9400，f(20)＝10000，f(21)＝10200，f(22)＝10400，所以當(dāng)周的利潤X的所有可能取值分別為8800，9400，10000，10200，10400，

易知P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1.所以X的分布列為【題后反思】離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟【變式訓(xùn)練】

一個盒子里裝有7張卡片，其中紅色卡片有4張，編號分別為1，2，3，4；白色卡片有3張，編號分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同). (1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.解：(1)由題意知，在7張卡片中，編號為3的卡片有2張，所以隨機(jī)變量X的分布列如下.考點(diǎn)三超幾何分布

[例2]端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列；(3)求至少有一個豆沙粽的概率；(4)設(shè)Y表示取到的粽子的種類，求Y的分布列.綜上可知，X的分布列為(3)由題意知，至少有一個豆沙粽的概率(4)由題意知Y的所有可能值為1，2，3，且