數(shù)學同步訓練：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2。3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系5分鐘訓練1.下表給出了函數(shù)y=ax（a＞0,a≠1）的一部分自變量與函數(shù)值,那么其反函數(shù)是X—2-1012Y931A.y=log3xB.y=logx3C。y=D。y=logx答案：C解析:由x=1時,y=,得a=，從而其反函數(shù)為y=,x＞0.2。函數(shù)y=21-x+3(x∈R)的反函數(shù)的解析式為()A。y=log2B。y=C。y=log2D.y=log2答案：A解析：y=+3y-3=21—x，∴l(xiāng)og2(y-3)=1—x，即x=1—log2(y-3）?！鄕=,交換x、y知y=log2.3.如圖，當a＞1時，在同一坐標系中，函數(shù)y=a—x與y=logax的圖象是(）答案:A解析:首先把y=a-x化為y=（)x，∵a＞1，∴0＜＜1。因此y=（）x,即y=a-x的圖象是下降的，y=logax的圖象是上升的。4。若函數(shù)f(x)=ax（a＞0,且a≠1）的反函數(shù)的圖象過點（2，—1）,則a=_________.答案:解析：由互為反函數(shù)關系,知f（x)過點(—1,2）,代入得a—1=2,a=.10分鐘訓練1.已知f（x)=10x—1-2,則f—1（8）的值是()A。1B.2C.3答案：B解析：根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系，f-1（8）的值就是原函數(shù)函數(shù)值為8時對應的自變量x的值。由8=10x-1—2，解得x=2,即f—1（8）=2。2.函數(shù)y=(x≠0)的反函數(shù)的圖象大致是()答案:B解析：由y=（x≠0）,得xy=1-x，∴x=?！喾春瘮?shù)為y=,其圖象由y=圖象向左平移一個單位可得。3。若log2［（log2x）］=log3［（log3y）］=log5［(log5z)］=0，則x、y、z的大小關系是(）A.z＜x＜yB.x＜y＜zC。y＜z＜xD。z＜y＜x答案：D解析：由log5［(log5z）］=0，可知=1，log5z=，可得z=。同理可得x=，y=.∵=25=32,=52=25,∴＞，∴x＞y.同理可得y＞z.綜上可知x＞y＞z.4.設函數(shù)f（x）=loga（x+b）(a＞0，a≠1)的圖象過點（0，0)，其反函數(shù)的圖象過點（1，2）,則a+b等于（）A。6B.5C。4答案：C解析:函數(shù)f(x)=loga(x+b）（a＞0，a≠1）的圖象過點(0,0)，其反函數(shù)的圖象過點（1,2），則∴a=3，則a+b=4。5.已知a＞0,且10x=lg（10a）+lga-1，則x=____________.答案：0解析:∵10x=1+lga—lga，∴x=0。6。已知函數(shù)f（x)=1+a-x,其中a＞0，a≠1。(1）求f（x）的反函數(shù)f-1（x）；（2）判斷函數(shù)f-1(x）的單調(diào)性，并加以證明。解:（1)由y=1+a—x，得a—x=y—1?！?x=loga(y—1)。∴x=-loga（y-1),即x=loga.又由y=1+a—x知y＞1?！嗪瘮?shù)f(x)的反函數(shù)為f-1(x)=loga（x＞1）。(2）設1＜x1＜x2，f—1(x1）-f—1（x2）=loga.∵1＜x1＜x2，∴0＜x1—1＜x2—1?！啵??！喈攁＞1時,＞0，即f—1(x1）—f—1(x2）＞0,f-1(x1）＞f—1（x2）.∴f-1（x)為減函數(shù).當0＜a＜1時，＜0，f-1(x1)—f-1(x2)＜0，f-1（x1)＜f-1（x2)，∴f—1(x）為增函數(shù)?？傊?當a＞1時,f-1(x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；當0＜a＜1時，f-1(x）在(1,+∞)上單調(diào)遞增.30分鐘訓練1.設函數(shù)f(x)=log3x的反函數(shù)為y=f-1（x）,則f-1（-log92)的值是（)A。2B.C.D。log3答案:C解析：因為互為反函數(shù)的定義域與值域是互相對稱的,所以,令log3x=-log92=log32=log3，得x==。2.（創(chuàng)新題)若f（x)=logax（a＞0且a≠1）,且反函數(shù)值f—1（2)＜1,則f（x）的圖象是()答案：B解析：因為f-1（x）=ax,f-1(2）＜1，可知0＜a＜1.3。已知3a=5b=A，=2，則A等于（）A。15B.C?！繢。225答案：B解析：∵3a=5b∴a=log3A,b=log5由=2,得A2=15，A=.4.（探究題）今有一組數(shù)據(jù)如下：T1。993.04.05。16。12V1.54。047.51218.01現(xiàn)準備了如下四個答案，哪個函數(shù)最接近這組數(shù)據(jù)？（)A.v=log2tB。v=C。v=D。v=2t—2答案：C解析：依據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可知該函數(shù)是增函數(shù)，從而B錯誤.由于函數(shù)值的變化越來越快，知A、D錯誤.5.如果一個點是一個指數(shù)函數(shù)的圖象與一個對數(shù)函數(shù)的圖象的公共點,那么稱這個點為“好點”。在下面的五個點M(1,1），N（1,2），P（2,1），Q（2，2),G（2，)中,“好點”的個數(shù)為（）A.0B。1C.2答案:D解析:∵loga1=0,∴M、N一定不是“好點”.6.圖中三條對數(shù)函數(shù)圖象，若＞1,則x1，x2，x3的大小關系是(）A.x1＞x2＞x3B。x3＞x2＞x1C.x3＞x1＞x2D。x2＞x1＞x3答案:B解析：由圖知0＜b＜a＜1〉c，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可知x1＜x2＜0，x3>0，從而x1＜x2＜x3.7。設g(x)=則g［g()]=_________________.答案：解析:g［g（)］=g（ln)=。8.若0＜a＜1,則下列不等式中一定成立的是_______________。①0.8a＜0。7a；②a0.8＜a0。9；③loga0。8＜loga0。9；④0.8lga＜0.7答案：④解析：∵＞1,∴0.8a＞0。7a，因此①不成立.由指數(shù)函數(shù)y=ax(0＜a＜1)和對數(shù)函數(shù)y=loga∵0＜a＜1,∴l(xiāng)ga＜0，＜1，∴④成立.9。已知函數(shù)f(x）=amx(a＞0,且a≠1）（m∈R，m≠0),求f—1［f（—x)］的表達式。解：令f（x）=amx=y,f（—x)=a-mx，mx=logay，∴x=logay.∴f—1（x）=logax.∴f-1［f(-x）］=logaa-mx=·（—mx）=—x.10.函數(shù)f(x)與g（x）=（）x的圖象關于直線y=x對稱,求f(4—x2）的單調(diào)遞增區(qū)間。解：∵函數(shù)f(x)與g（x）=(）x的圖象關于直線