2021年湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷

2021年湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（3分）8的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-AD.±8

8

2.（3分）2021年2月25日，習(xí)近平總書(shū)記莊嚴(yán)宣告，我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利.現(xiàn)

標(biāo)準(zhǔn)下，98990000農(nóng)村貧困人口全部脫貧.數(shù)98990000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.98.99X106B.9.899X107

C.9899X104D.0.09899X108

3.（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

4.（3分）下列運(yùn)算結(jié)果為小的是（）

一)

A.B.a%/C.（招）2D.2

2

5.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.A/16=±4B.（-2）°=1C.V2+V5=V7D.我=3

6.（3分）為了向建黨一百周年獻(xiàn)禮，我市中小學(xué)生開(kāi)展了紅色經(jīng)典故事演講比賽.某參賽

小組6名同學(xué)的成績(jī)（單位：分）分別為：85,82,86,82,83,92.關(guān)于這組數(shù)據(jù),

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.眾數(shù)是82B.中位數(shù)是84C.方差是84D.平均數(shù)是85

7.（3分）如圖是由6個(gè)相同的正方體堆成的物體，它的左視圖是（)

8.（3分）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖.自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為37°,大廳

兩層之間的距離BC為6米，則自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)約為（sin37°=0.6,cos37°-0.8,tan37°

-0.75）（）

A.7.5米B.8米C.9米D.10米

9.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

B.正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120°

C.有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形

D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

10.（3分）不等式組［x+l<0的解集在數(shù)軸上可表示為（）

I-2x46

，L11II1，1，1>

A.-5-4-3-2-1012

--------1----1?1?--1-----1->

B.-5-4-3-2-1012

C.-5-4-3-2-1~6~1~2_>

D.-5-4-3-2-1012

11.（3分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.為了解我國(guó)中學(xué)生課外閱讀情況，應(yīng)采取全面調(diào)查方式

B.某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,買100張一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋子里摸出1個(gè)球是紅球的概率是反

4

D.某校有3200名學(xué)生，為了解學(xué)生最喜歡的課外體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了200名學(xué)

生，其中有85名學(xué)生表示最喜歡的項(xiàng)目是跳繩，估計(jì)該校最喜歡的課外體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目為跳

繩的有1360人

12.（3分）如圖，矩形紙片ABC。，AB=4,BC=8,點(diǎn)、M、N分別在矩形的邊AD、BC上,

將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊4。上，記為點(diǎn)P,點(diǎn)。落在G處，

連接尸C,交MN于點(diǎn)Q,連接CM.下列結(jié)論：①四邊形CMPN是菱形；②點(diǎn)P與點(diǎn)A

重合時(shí)，MN=5；③的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)

是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）若二次根式J啟有意義，則x的取值范圍是.

14.（3分）計(jì)算：.

aa

15.（3分）因式分解：3a2-9"=.

16.（3分）底面半徑為3,母線長(zhǎng)為4的圓錐的側(cè)面積為.（結(jié)果保留n）

17.（3分）“綠水青山就是金山銀山”.某地為美化環(huán)境，計(jì)劃種植樹(shù)木6000棵.由于志愿

者的加入，實(shí)際每天植樹(shù)的棵樹(shù)比原計(jì)劃增加了25%,結(jié)果提前3天完成任務(wù).則實(shí)際

每天植樹(shù)棵.

18.（3分）如圖1,菱形A8C。的對(duì)角線AC與BQ相交于點(diǎn)。，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從。點(diǎn)出

發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對(duì)角線及邊上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線為O-A-0-0,

點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路線為0-。-8-。.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為》秒，P、。間的距離為y厘米，y與

x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在A段上運(yùn)動(dòng)且P、Q兩點(diǎn)間的距離最

短時(shí)，尸、。兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程之和為_(kāi)___________________厘米.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25題10分，

26題12分，滿分66分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或鹽酸步驟.）

19.（6分）計(jì)算：（x+2y）之+（x-2y）（x+2y）+xCx-4y）.

20.（6分）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求證:

/\ABC^/\DEF.

21.（8分）“垃圾分類工作就是新時(shí)尚”，為了改善生態(tài)環(huán)境，有效利用垃圾剩余價(jià)值，2020

年起，我市將生活垃圾分為四類：廚余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某學(xué)

習(xí)研究小組在對(duì)我市垃圾分類實(shí)施情況的調(diào)查中，繪制了生活垃圾分類扇形統(tǒng)計(jì)圖，如

圖所示.

（1）圖中其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是度；

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，生活垃圾中可回收物每噸可創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)總價(jià)值約為0.2萬(wàn)元.若我市某天生

活垃圾清運(yùn)總量為500噸，請(qǐng)估計(jì)該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值是多少萬(wàn)元？

（3）為了調(diào)查學(xué)生對(duì)垃圾分類知識(shí)的了解情況，某校開(kāi)展了相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽，要求每班派

2名學(xué)生參賽.甲班經(jīng)選拔后，決定從2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加比賽,

求所抽取的學(xué)生中恰好一男一女的概率.

22.(8分)如圖，點(diǎn)E為正方形ABC。外一點(diǎn)，NAEB=90°,將繞A點(diǎn)逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AOF,OF的延長(zhǎng)線交BE于4點(diǎn).

(1)試判定四邊形AFHE的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)已知BH=7,BC=13,求。，的長(zhǎng).

23.(8分)如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成.小文購(gòu)買時(shí),

售貨員演示通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層部分的長(zhǎng)度，可以使背帶的長(zhǎng)度(單層部分與雙

層部分長(zhǎng)度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長(zhǎng)度忽略不計(jì))加長(zhǎng)或縮短，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度為xcm,

單層部分的長(zhǎng)度為W%經(jīng)測(cè)量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長(zhǎng)度工(cm)281420

單層部分長(zhǎng)度y(cm)148136124112

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長(zhǎng)度調(diào)為130cm時(shí)為最佳背帶長(zhǎng).請(qǐng)計(jì)算此時(shí)雙層部

分的長(zhǎng)度；

(3)設(shè)背帶長(zhǎng)度為L(zhǎng)em,求L的取值范圍.

里層部分

調(diào)行扣一?

24.(8分)如圖，A8是。。的直徑，。為。0上一點(diǎn)，E為俞的中點(diǎn)，點(diǎn)C在54的延長(zhǎng)

線上，且/CD4=NB.

(1)求證：8是。。的切線；

(2)若DE=2,NBDE=30°,求CD的長(zhǎng).

25.(10分)如圖，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,4),B(6,0),動(dòng)點(diǎn)P、

。同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位和

每秒2個(gè)單位，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)Q作MN//OB分別交AO、

AB于點(diǎn)例、N,連接?例、PM設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒).

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含，的式子表示)；

(2)求四邊形MNB尸面積的最大值或最小值；

(3)是否存在這樣的直線/,總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請(qǐng)求出直線/

的解析式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)連接AP,當(dāng)NOAP=/8PN時(shí)，求點(diǎn)N到。4的距離.

26.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”.例

如（1,1）,（2021,2021）…都是“雁點(diǎn)”.

（1）求函數(shù)y=4圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；

X

（2）若拋物線y=/+5x+c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E,該拋物線與x軸交于M、N兩

點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）.當(dāng)時(shí).

①求c的取值范圍；

②求NEMN的度數(shù)；

（3）如圖，拋物線），=-f+2x+3與x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋

物線y=-f+2x+3上一點(diǎn)，連接BP,以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰Rt^BPC,是否存

在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2021年湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（3分）8的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-AD.±8

8

【解答】解：相反數(shù)指的是只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，因此8的相反數(shù)是-8.

故選：A.

2.（3分）2021年2月25日，習(xí)近平總書(shū)記莊嚴(yán)宣告，我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利.現(xiàn)

標(biāo)準(zhǔn)下，98990000農(nóng)村貧困人口全部脫貧.數(shù)98990000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.98.99X106B.9.899X107

C.9899X104D.0.09899X108

【解答】解:98990000=9.899X107,

故選：B.

3.（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A.是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意;

B.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意;

C.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意;

D.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

4.（3分）下列運(yùn)算結(jié)果為小的是（)

A.a?.滔B.a12-??2C.(/)2D.(At?3)2

2

【解答】解：A.。2加3=〃5,故此選項(xiàng)不合題意；

B.故此選項(xiàng)不合題意；

C.(a3)2=小,故此選項(xiàng)符合題意；

D.(1?3)2=弱6,故此選項(xiàng)不合題意；

24

故選：C.

5.(3分)下列計(jì)算正確的是()

A.716=±4B.(-2)°=1C.A/2+V5=V7D.^yg=3

【解答】解：16的算術(shù)平方根為4,即J正=4,故4不符合題意；

根據(jù)公式a°=l(“#O)可得(-2)°=1,故8符合題意；

、后、、而無(wú)法運(yùn)用加法運(yùn)算化簡(jiǎn)，故加可片產(chǎn)⑴，故C不符合題意；

V9=3＞故。不符合題意；

故選：B.

6.(3分)為了向建黨一百周年獻(xiàn)禮，我市中小學(xué)生開(kāi)展了紅色經(jīng)典故事演講比賽.某參賽

小組6名同學(xué)的成績(jī)(單位：分)分別為：85,82,86,82,83,92.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.眾數(shù)是82B.中位數(shù)是84C.方差是84D.平均數(shù)是85

【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為82,82,83,85,86,92,

4、數(shù)據(jù)的眾數(shù)為82,此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、數(shù)據(jù)的中位數(shù)為巡空=84,此選項(xiàng)正確，不符合題意；

2

C、數(shù)據(jù)的平均數(shù)為82+82+83+85+86+92=85,

6

所以方差為工義[(85-85)2+(83-85)2+2X(82-85)2+(86-85)2+(92-85)2]

6

=12,此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

D、由C選項(xiàng)知此選項(xiàng)正確；

故選：C.

7.(3分)如圖是由6個(gè)相同的正方體堆成的物體，它的左視圖是()

正面

主視圖左視圖俯視圖

故選：A.

8.（3分）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖.自動(dòng)扶梯A8的傾斜角為37°,大廳

兩層之間的距離BC為6米，則自動(dòng)扶梯A8的長(zhǎng)約為（sin37°?=0.6,cos37°~0.8,tan37°

D.10米

【解答】解：在Rt^ABC中，NACB=90°,BC=6米,

；sinNBAC=K=sin37。七0.6=2，

AB5

.?.AB%$8C=aX6=10（米），

33

故選：D.

9.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

B.正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120°

C.有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形

D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

【解答】解：4每個(gè)多邊形的外角和都是360°,故錯(cuò)誤，假命題；

B.正六邊形的內(nèi)角和是720°,每個(gè)內(nèi)角是120°,故正確，真命題；

C.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故錯(cuò)誤，假命題；

D.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤，假命題.

故選：B.

10.（3分）不等式組［x+l<0的解集在數(shù)軸上可表示為（）

I-2x46

-------1----1L,I.L-1..>

A.-5-4-3-2-1012

--------1—1—?——---------1—>

B.-5-4-3-2-1012

C.-5-4-3-2-1~0~1~2~>

II1I1I---1---1-->

D.-5-4-3-2-1012

【解答】解：解不等式x+l<0得，x<-1,

解不等式-2xW6得,G-3,

???不等式組的解集為：-3WxV-1,在數(shù)軸上表示為：

-------i----1---1-----------1----------1---->

-5-4-3-2-1012

故選：A.

11.（3分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.為了解我國(guó)中學(xué)生課外閱讀情況，應(yīng)采取全面調(diào)查方式

B.某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,買100張一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋子里摸出1個(gè)球是紅球的概率是旦

4

D.某校有3200名學(xué)生，為了解學(xué)生最喜歡的課外體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了200名學(xué)

生，其中有85名學(xué)生表示最喜歡的項(xiàng)目是跳繩，估計(jì)該校最喜歡的課外體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目為跳

繩的有1360人

【解答】解：全國(guó)中學(xué)生人數(shù)很大，應(yīng)采用抽樣調(diào)查方式，

???A選項(xiàng)錯(cuò)誤，

彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%說(shuō)的是可能性，和買的數(shù)量無(wú)關(guān)，

.??B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

根據(jù)概率的計(jì)算公式，C選項(xiàng)中摸出紅球的概率為3,

7

；.C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

200名學(xué)生中有85名學(xué)生喜歡跳繩，

跳繩的占比為篇X100%=42.5%，

.?.3200X42.5=1360（人），

二。選項(xiàng)正確，

故選：D.

12.（3分）如圖，矩形紙片ABC。，AB=4,BC=8,點(diǎn)M、N分別在矩形的邊A。、BC上,

將矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P,點(diǎn)力落在G處，

連接尸C,交MN于點(diǎn)Q,連接CM.下列結(jié)論：①四邊形CMPN是菱形；②點(diǎn)P與點(diǎn)A

重合時(shí)，MN=5；③△PQM的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)

是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【解答】解：

NPMN=NMNC,

NMNC=NPNM,

：.NPMN=ZPNM,

：.PM=PN,

,:NC=NP,

:*PM=CN,

'.'MP//CN,

：.四邊形CNPM是平行四邊形，

,:CN=NP,

.??四邊形CNPM是菱形，

故①正確；

如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，設(shè)BN=x,則AN=NC=8-x,

在RtaABN中，AB2+B7V2,

即42+X2=(8-%)2,

解得x=3,

；.CN=8-3=5,

\'AB=4,BC=8,

.MC=、AB2+BC2=4泥,

：.CQ=XAC=2y[S>

；?3=寸CN?-CQ2=后

:.MN=2QN=2娓,

故②不正確；

由題知，當(dāng)MN過(guò)點(diǎn)。時(shí)，CN最短,如圖2,四邊形CMPN的面積最小,

止匕時(shí)5=%菱形GWW=」X4X4=4,

44

當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，CN最長(zhǎng)，如圖1,四邊形CMPN的面積最大，

此時(shí)S=』X5X4=5,

4

.??4WSW5正確，

B

圖2

G

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）若二次根式＞/言有意義，則x的取值范圍是x23

【解答】解：根據(jù)題意，得

x-3N0,

解得，x23；

故答案為：元23.

14.（3分）計(jì)算：—1.

aa

【解答】解：原式="ltL=i.

a

故答案為：I.

15.（3分）因式分解：3a1-9ab=3。分-36）.

【解答】解：3a2-9ab

—3a（a-3b）,

故答案為：3a（a-3b）.

16.（3分）底面半徑為3,母線長(zhǎng)為4的圓錐的側(cè)面積為121T.（結(jié)果保留n）

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=2irX3X4+2=12n.

故答案為：12ir.

17.（3分）“綠水青山就是金山銀山”.某地為美化環(huán)境，計(jì)劃種植樹(shù)木6000棵.由于志愿

者的加入，實(shí)際每天植樹(shù)的棵樹(shù)比原計(jì)劃增加了25%,結(jié)果提前3天完成任務(wù).則實(shí)際

每天植樹(shù)500棵.

【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)x棵，則實(shí)際每天植樹(shù)（1+25%）x棵，

依題意得：6000_6000=3,

x（1+25%）x

解得：x=400,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=400是原方程的解，且符合題意，

(1+25%)x=500.

故答案為：500.

18.(3分)如圖1,菱形ABCZ)的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從。點(diǎn)出

發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對(duì)角線及邊上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路線為O-A-O-O,

點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線為0-C-8-0.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為尤秒，P、。間的距離為y厘米，y與

x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)尸在A-O段上運(yùn)動(dòng)且P、Q兩點(diǎn)間的距離最

短時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程之和為(2、歷+3)厘米.

圖1圖2

【解答】解：由圖分析易知I：當(dāng)點(diǎn)P從O-A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。從OfC運(yùn)動(dòng)時(shí)，y不斷增大,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到4點(diǎn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由圖象知此時(shí)y=PQ=2j&?i,

?.?四邊形ABC。為菱形，

.\ACLBD,OA—OC—^^—yf^cm,

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)，。運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，結(jié)合圖象，易知此時(shí)，y=BD=2cm,

：.0D=OB=LD=1cm,

2

在中，4。=7°卜2對(duì)口2=寸(“)2+12=2(CM，

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在4-0段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，點(diǎn)。在C-B段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。運(yùn)

圖1

此時(shí)，0E=0F=OA-OD=立*[=晶,

AD22

AE=AF=而三加1=在|=尚,

...當(dāng)點(diǎn)P在A-。段上運(yùn)動(dòng)且P、。兩點(diǎn)間的距離最短時(shí)，P、。兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程之和為:

O

（?號(hào)）X2=2?+3（的）

故答案為：（2/§+3）.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25題10分，

26題12分，滿分66分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或鹽酸步驟.）

19.（6分）計(jì)算：（x+2y）2+（.X-2y）Cx+2y）+xCx-4y）.

【解答】解：原式=（7+4*尹4;/）+（%2-49）+（7-4孫）

=x2+4xy+4y2+A2-4）^+^-4xy

=3x2.

20.（6分）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求證:

△ABC@LDEF.

...NC4B=NU?風(fēng)兩直線平行，同位角相等），

又,：BC//EF,

...NC8A=NFEC（兩直線平行，同位角相等），

在△ABC和△DEF中，

'NCAB=/FDE

.AB=DE,

ZCBA=ZFED

...AABC^ADEF（ASA）.

21.（8分）“垃圾分類工作就是新時(shí)尚”，為了改善生態(tài)環(huán)境，有效利用垃圾剩余價(jià)值，2020

年起，我市將生活垃圾分為四類：廚余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某學(xué)

習(xí)研究小組在對(duì)我市垃圾分類實(shí)施情況的調(diào)查中，繪制了生活垃圾分類扇形統(tǒng)計(jì)圖，如

圖所示.

（1）圖中其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是64.8度:

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，生活垃圾中可回收物每噸可創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)總價(jià)值約為0.2萬(wàn)元.若我市某天生

活垃圾清運(yùn)總量為500噸，請(qǐng)估計(jì)該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值是多少萬(wàn)元？

（3）為了調(diào)查學(xué)生對(duì)垃圾分類知識(shí)的了解情況，某校開(kāi)展了相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽，要求每班派

2名學(xué)生參賽.甲班經(jīng)選拔后,決定從2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加比賽,

【解答】解：（1）由題意可知，其他垃圾所占的百分比為：1-20%-7%-55%=18%,

其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是：360°X18%=64.8°,

故答案為：64.8；

（2）500X20%=100（噸），

100X0.2=20（萬(wàn)元），

答：該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)總價(jià)值是20萬(wàn)元；

（3）由題意可列樹(shù)狀圖：

開(kāi)始

22.（8分）如圖，點(diǎn)E為正方形ABC。外一點(diǎn)，ZAEB=90°,將Rt^ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)90°得到△/!￡＞「，￡＞尸的延長(zhǎng)線交BE于H點(diǎn).

（1）試判定四邊形AH/E的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）已知B”=7,BC=13,求。，的長(zhǎng).

DC

【解答】解：(1)四邊形4H/E是正方形，理由如下：

?.?□△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADF,

ARtA/lBE^RtA/ADF,

AZAEB=ZAFD=90Q,

AZAFH=9Q°,

VRtAABE^RtAADF,

ZDAF=NBAE,

又,.?NQAF+/E4B=90°,

/BAE+N砌B=90°,

：.ZFAE=90a,

在四邊形中，ZME=90°,NAEB=90°,NAFH=9Q°,

...四邊形AF"￡是矩形，

5L'：AE=AF,

，矩形AFHE是正方形；

(2)設(shè)AE=x.則由(1)以及題意可知：AE=EH=FH=AF=x,BH=1,BC=AB=13,

在Rt"EB中，AB2=AE2+BE1,

即132=X2+(X+7)2,

解得：x=5,

：.BE=BH+EH=5+7=\2,

：.DF=BE=\2,

又?：DH=DF+FH,

￡>”=12+5=17.

23.（8分）如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成.小文購(gòu)買時(shí),

售貨員演示通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層部分的長(zhǎng)度，可以使背帶的長(zhǎng)度（單層部分與雙

層部分長(zhǎng)度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長(zhǎng)度忽略不計(jì)）加長(zhǎng)或縮短，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度為xcs,

單層部分的長(zhǎng)度為“九經(jīng)測(cè)量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長(zhǎng)度x（cm）281420

單層部分長(zhǎng)度y（cm）148136124112

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長(zhǎng)度調(diào)為130C7W時(shí)為最佳背帶長(zhǎng).請(qǐng)計(jì)算此時(shí)雙層部

分的長(zhǎng)度；

（3）設(shè)背帶長(zhǎng)度為L(zhǎng)c〃?，求L的取值范圍.

【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為），=履+6,

由題知（148=2k+b,

I136=8k+b

解得『=-2,

lb=152

與x的函數(shù)關(guān)系式為＞=-2^+152；

（2）根據(jù)題意知卜3=13°,

ly=-2x+152

解得卜=22,

ly=108

二雙層部分的長(zhǎng)度為22c7”；

（3）由題知，當(dāng)x=0時(shí)，y=152,

當(dāng)y=0時(shí)，x=76,

；.76WLW152.

24.（8分）如圖，4B是的直徑，。為上一點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)

線上，且/CD4=N8.

(1)求證：C￡>是。。的切線；

(2)若OE=2,NBDE=3G°,求CD的長(zhǎng).

【解答】解：(1)證明：連結(jié)0￡>,如圖所示:

是直徑，

；.NBDA=90°,

：.ZBDO+ZADO=9QQ,

又.：OB=OD,ZCDA^ZB,

：.NB=NBDO=ZCDA,

：.ZCDA+ZADO=90°,

：.OD±CD,且0。為OO半徑,

...cn是。0的切線；

(2)連結(jié)0E,如圖所示：

:NBDE=30°,

；.NBOE=2/BDE=60°,

又為面的中點(diǎn)，

/.ZEOD=60°,

，△EO。為等邊三角形,

：.ED=EO=OD=2,

又?.?/BOO=N8OE+/EO￡>=120°,

.,./￡>OC=180°-ZBOD=180°-120°=60°,

在Rt/XOOC中，NDOC=60°,0。=2,

.?.tan/QOC=tan60°=生=型=?,

0D2

:.CD=2M.

25.(10分)如圖，△O4B的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為。(0,0),A(3,4),B(6,0),動(dòng)點(diǎn)P、

。同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位和

每秒2個(gè)單位，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)。作MN〃0B分別交A。、

AB于點(diǎn)M、N,連接PM、PN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒).

(1)求點(diǎn)用的坐標(biāo)(用含f的式子表示)；

(2)求四邊形MNBP面積的最大值或最小值；

(3)是否存在這樣的直線/,總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請(qǐng)求出直線/

的解析式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)連接AP,當(dāng)NO4P=/BPN時(shí)，求點(diǎn)N到。4的距離.

【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交MN于點(diǎn)、E,交OB于點(diǎn)F,

由題意得：0Q=2f,0P=3f,P8=6-3f,

VO(0,0),A(3,4),B(6,0),

：.OF=FB=3,AF=4,OA=AB^^^+^-^,

'：MN//OB,

：.ZOQM=ZOFA,ZOMQ=ZAOF,

?OQQM

"AF=OF"

?.?2t=QM?

43

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)是(修"t,2t)-

(2)'：MN//OB,

四邊形QEF。是矩形，

：.QE=OF,

：.ME=OF-QM=3-3十，

21

"：OA=AB,

：.ME=NE,

：.MN=2ME=6-3t,

AS忖邊肋M(jìn)NBP=S&MNP+S&BNP

=AWOQ+」?BP?OQ

22

=_^(6-3t)*2t+y*(6-3t),2t

=-6產(chǎn)+⑵

=-6(r-l)2+6,

???點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，P、。同時(shí)停止，

.?.0WW2,

.1=1時(shí)，四邊形MNBP的最大面積為6.

(3),:MN=6-3t,BP=6-3t,

：.MN=BP,

'：MN//BP,

：.四邊形MNBP是平行四邊形,

平分四邊形MNBP面積的直線經(jīng)過(guò)四邊形的中心，即MB的中點(diǎn),

設(shè)中點(diǎn)為H(x,y).

:嗚t,2t)>B(6,0),

,r—1z3八=3c)

??x-q.(Q+6)——1+3

?_2t+0

=t，

y+3,

化簡(jiǎn)得：y=t-4,

3

直線/的解析式為:y=t-4

3

(4)'：OA=AB,

：.ZAOB=ZPBN,

又,：NOAP=ZBPN,

AAOPsAPBN,

???-O-A-=OP,

BPBN

._5____3t

,*6-3t=5'

解得：

■:MN=6-3nAE=AF-OQ,ME=3-

:.MN=6-3x11,^25,

186

1125

AE=4-2X百「

11.25

ME=3-2X18"12

25、2_125

/</IM==2225

VME+AE=.12

設(shè)點(diǎn)N到。4得距離為〃，

S^AMN——,MN*AE——,AM,h,

22

.125251125,

269236

解得：仁改.

.?.點(diǎn)N到OA得距離為此.

26.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”.例

如(1,1),(2021,2021)…都是“雁點(diǎn)”.

(1)求函數(shù)y=匹圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；

X

(2)若拋物線上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E,該拋物線與x軸交于M、N兩

點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).當(dāng)”>1時(shí).

①求c的取值范圍;

②求NEMN的度數(shù);

(3)如圖，拋物線y=-7+2x+3與x軸交于4、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，P是拋

物線y=-/+2x+3上一點(diǎn)，連接BP,以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰RtZXBPC,是否存

在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

當(dāng)方=±2時(shí)，y=A=±2,

X

故“雁點(diǎn)”坐標(biāo)為（2,2）或（-2,-2）；

（2）①?..“雁點(diǎn)”的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，

故“雁點(diǎn)”的函數(shù)表達(dá)式為丫=%

?.?物線y="+5x+c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E,

貝（1ax2+5x+c—x,

則4=25-4ac=0f即ac=4,

Vtz>l,

故c<4；

②〃c=4,則ax2+5x+c=0為ax2+5x+A=0,

a

解得x=-邑或-工，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-生0）,

解得x=-2,即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2,-2）,

aaa

故點(diǎn)后作E”_Lx軸于點(diǎn)〃，

則"￡*=2,MH=XE-XM=---（--）=2=HE,

aaaa

故NEMN的度數(shù)為45°；

（3）存在，理由：

由題意知，點(diǎn)C在直線y=x上，故設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（f,f）,

過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)C與y軸的平行線于點(diǎn)M,交過(guò)點(diǎn)8與y軸的平行線于點(diǎn)

N,

圖2

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（/H,-〃P+2m+3）,

則BN=-in1+2m+3,PN=3-m,PM=m-t,CM=-nr+2m+37,

?：NNPB+NMPC=90°,NMPC+NCPM=90°,

:?/NPB=/CPM,

*.?ZCMP=ZPNB=90°,PC=PB,

:.叢CMP”叢PNB（A4S）,

:.PM=BN,CM=PN,

即〃2-f=|-m2+2〃2+3|,-ZW2+2AW+3-Z=|3-m\,

解得切=1+國(guó)（舍去）或1-Y頁(yè)或旦，

222

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（22叵，3）或（S,至）.

2224

2021年河北省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題有16個(gè)小題，共42分。1?10小題各3分，11?16小題各2分。在

每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（3分）如圖，已知四條線段〃，b,c,d中的一條與擋板另一側(cè)的線段機(jī)在同一直線上,

請(qǐng)借助直尺判斷該線段是（）

m

C.cD.d

2.（3分）不一定相等的一組是（

A.a+b與b+aB.3a與a+a+a

C./與”.4.qD.3(a+b)與3a+/)

3.（3分）已知?jiǎng)t一定有-44口-48,“口”中應(yīng)填的符號(hào)是（）

A.>B.<c.2D.=

4.（3分）與432_22_12結(jié)果相同的是（)

A.3-2+1B.3+2-1C.3+2+1D.3-2-1

5.（3分）能與-（1-A）相加得o的是（)

45

A-1-1B.c.-2+3D.-3+2

45545445

6.（3分）一個(gè)骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7,它的展開(kāi)圖如圖，下列判斷正確的是（)

D.B代

7.（3分）如圖1,0ABe。中，AD>AB,/ABC為銳角.要在對(duì)角線30上找點(diǎn)MM,

使四邊形4NCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（）

D

BC

圖1

取3。中點(diǎn)。，作作AN1BD于N作.凡CM分別平分

BN=NOQM=MDZB.4D.ZBCD

I______________________________

圖2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

8.（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示,

平

水

線

圖1圖2

A.\cinB.2cmC.3cmD.4cm

9.（3分）若相取1.442,計(jì)算加-3對(duì)-98對(duì)的結(jié)果是（)

A.-100B.-144.2C.144.2D.-0.01442

10.（3分）如圖，點(diǎn)。為正六邊形A8COEF對(duì)角線陽(yáng)上一點(diǎn),SAAFO-S,SACDO=2,則

S正六邊邊ABCDEF的值是（）

BE

B.30

D.隨點(diǎn)。位置而變化

11.（2分）如圖，將數(shù)軸上-6與6兩點(diǎn)間的線段六等分，這五個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)依次為

Ql,Q2,43,44,〃5,則下列正確的是（）

a\ai03OA

A.〃3>0B.|ai|=|o4|

C.m+。2+。3+。4+。5=0D.。2+。5<0

12.（2分）如圖，直線/，機(jī)相交于點(diǎn)O.尸為這兩直線外一點(diǎn)，且。尸=2.8.若點(diǎn)P關(guān)于

直線/,加的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P,尸2,則P,尸2之間的距離可能是（）

?八

13.（2分）定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

己知：如圖，NAC力是△ABC的外角.求證：ZACD=ZA+ZB.

證法1：如圖，

VZA+ZB+ZACB=180°（三角形內(nèi)角和定理）,

又；NAC￡）+/AC8=180°（平角定義），

AZACD+ZACB^ZA+ZB+ZACB（等量代換）.

AZACD=ZA+ZB（等式性質(zhì)）.

證法2：如圖，

VZA=76°,NB=59°,

且NACQ=135°（量角器測(cè)量所得）

又?.T35°=76°+59°（計(jì)算所得）

NACO=N4+NB（等量代換）.

下列說(shuō)法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整

B.證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理

D.證法2只要測(cè)量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

14.（2分）小明調(diào)查了本班每位同學(xué)最喜歡的顏色，并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2

（柱的高度從高到低排列）.條形圖不小心被撕了一塊，圖2中“（）”應(yīng)填的顏色是

圖1圖2

A.藍(lán)B.粉C.黃D.紅

15.（2分）由（工0-工）值的正負(fù)可以比較A=上工與工的大小，下列正確的是（）

2+c22+c2

A.當(dāng)c=-2時(shí)，A=—B.當(dāng)c=0時(shí)，A#2

22

C.當(dāng)c<-2時(shí)，D.當(dāng)c<0時(shí)，AV工

22

16.（2分）如圖，等腰△A08中，頂角/A08=40°,用尺規(guī)按①到④的步驟操作：

①以。為圓心，04為半徑畫圓；

②在。。上任取一點(diǎn)尸（不與點(diǎn)A,8重合），連接AP；

③作A8的垂直平分線與。。交于N：

④作AP的垂直平分線與交于E,F.

結(jié)論I：順次連接用，E,N,尸四點(diǎn)必能得到矩形；

結(jié)論II：。。上只有唯一的點(diǎn)P,使得Sis形FOM=S用形AOB.

對(duì)于結(jié)論I和II,下列判斷正確的是（）

A.I和n都對(duì)B.I和II都不對(duì)c.I不對(duì)n對(duì)D.I對(duì)n不對(duì)

二、填空題（本大題有3個(gè)小題，每小題有2個(gè)空，每