2024年江蘇徐州九年級自主招生數(shù)學(xué)模擬卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年江蘇徐州初三自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷（西安交大少年班選拔考試）一、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．原點(diǎn)到直線的距離是．2．已知凸四邊形的內(nèi)角和為，則如圖所示四邊形內(nèi)角和為．3．若用科學(xué)記數(shù)法表示為，則正整數(shù)．4．當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí)，自變量的值為．5．觀察如下白色和黑色小球的排列：白黑白白黑白白白黑白白白白黑白白白白白黑在第個(gè)黑球和第個(gè)黑球之間的白球總數(shù)為．6．已知圓的圓心在函數(shù)圖象上，若圓與軸和直線都相切，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．7．若二次函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱的曲線為，則曲線對應(yīng)的解析式為．8．已知某矩形兩邊長為，，該矩形周長為，面積為，則．9．已知為的角平分線，且，，當(dāng)面積最大時(shí)，其周長為．二、解答題（本大題共6小題，共70分）10．在中，，，．(1)求邊上的高的長度．(2)求的面積．11．從，，，，這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇三個(gè)不同的數(shù)，分別記作、、．(1)求、、能作為三角形的三邊長的概率．(2)求證：關(guān)于的方程的解不可能是有理數(shù)．12．如圖，半徑為的圓形紙片的圓心為，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，且，把紙片折疊，折痕為，此時(shí)平行，且弧過點(diǎn)．(1)求弦的長度．(2)已知點(diǎn)在線段上，且滿足對任意點(diǎn)在線段上，都有．①求線段的長度．②已知若是圓周上的動點(diǎn)，把紙片折疊使與重合，然后撫平紙片，折痕為（不與重合），證明：，，在直線的同側(cè)．13．已知過原點(diǎn)的拋物線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)過原點(diǎn)的直線，，分別交拋物線于點(diǎn)、（異于原點(diǎn)）．①求點(diǎn)、的坐標(biāo)．②證明：平行．14．Fermat’sLasttheorem由世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家PierredeFermat提出：當(dāng)整數(shù)時(shí)，關(guān)于，，的方程沒有正整數(shù)解．經(jīng)歷三百多年的歷史，最終在年被美國數(shù)學(xué)家AndrewWiles徹底證明．Fermat應(yīng)該是受勾股數(shù)啟發(fā)而提出的問題．(1)若正整數(shù)，，滿足，則稱、、為一組勾股數(shù)．①試比較與的大小，并說明理由．②對任意正整數(shù)，若是否存在，使之構(gòu)成勾股數(shù)？若存在，請寫出一組勾股數(shù)（用表示）；若不存在，請說明理由．(2)若某三角形的三邊長為，，滿足，試判斷該三角形的形狀，并加以證明．15．中國古代數(shù)學(xué)一直領(lǐng)先于世界，是中國文化重要的分支．中國最早的算術(shù)教材皆稱為《算經(jīng)》，其中最具代表性的著作為《孫子算經(jīng)》，約成書于公元四世紀(jì)，其中所著問題皆為經(jīng)典．如原載“物不知數(shù)問題”，原文是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物幾何？”答曰：二十三，當(dāng)時(shí)著名的大數(shù)學(xué)家程大位，對于這種解一般“孫子問題”的方法，還編出了四句歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝；七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知．南末數(shù)學(xué)家秦九韶對此加以推廣，又發(fā)現(xiàn)了一種新的解法“大衍求一術(shù)”，這種解法后來傳入歐洲，歐洲學(xué)者發(fā)現(xiàn)此解法和高斯的解法本質(zhì)上是一致的，但比高斯早了余年，人們將這種問題的通用解法稱為“孫子剩余定理”或“中國剩余定理”（）．小明閱讀完這段材料之后，經(jīng)過研究并發(fā)現(xiàn)歌訣中的數(shù)據(jù)都隱含深意，并揭秘如下：是和的倍數(shù)，但被除余；是和的倍數(shù)，但被除除，是和的倍數(shù)，但被除余；而是，，的最小公倍數(shù)．在使用的同時(shí)，可以如下構(gòu)造數(shù)據(jù)：（被除的余數(shù)）（構(gòu)造的數(shù)）（被除的余數(shù)）（構(gòu)造的數(shù)）（被除的余數(shù)）（構(gòu)造的數(shù)），和為，再除以，余數(shù)為．請你求滿足下列條件的最小正整數(shù)：①被除余，被處余，被除余；②被除余，被除余，被除余．16．小明在自學(xué)多項(xiàng)式的時(shí)候，讀到如下一段材料：已知，，，，，為實(shí)數(shù)，形如稱為關(guān)于自變量的多項(xiàng)式，，則稱多項(xiàng)式的次數(shù)為，設(shè)，為兩個(gè)多項(xiàng)式，且不恒為，則存在唯一的多項(xiàng)式及滿足，此時(shí)，稱為被除式，為除式，為商式，為余式．小明覺得這個(gè)除法與整數(shù)的除法有相似之處，因此請你幫助小明完成下列問題：(1)求一個(gè)二次多項(xiàng)式，被除余，被除余，被除余．(2)已知四次多項(xiàng)式滿足，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，當(dāng)時(shí)，求的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，勾股定理，等面積法求線段，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．設(shè)直線與軸交于，與軸交于，過作，先求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，得到，，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等面積法求出，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)直線與軸交于，與軸交于，過作，再直線中，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，故原點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：．2．##度【分析】本題主要考查多邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意，延長CD交AB于點(diǎn)，根據(jù)三角形外角和定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長CD交AB于點(diǎn)，∴，，∵，∴四邊形的內(nèi)角和，故答案為：．3．【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．據(jù)此進(jìn)行解答即可．【詳解】解：，∴，∴．故答案為：94．##0.5【分析】本題考查絕對值，一次函數(shù)的性質(zhì)，正確分類是解題的關(guān)鍵．分三類：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別去絕對值，合并同類項(xiàng)，得到一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定最小值，據(jù)此求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，x=1時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，的最小值為．故答案為：．5．【分析】本題考查有理數(shù)加減法的應(yīng)用，探究規(guī)律，掌握黑白小球的排布規(guī)律是解題的關(guān)鍵．通過觀察，找出每兩個(gè)黑球之間依次增加一個(gè)白球，得到第個(gè)黑球前有個(gè)白球，第個(gè)黑球前有個(gè)白球，再用第個(gè)黑球前所有的白球數(shù)量減去第個(gè)黑球前所有的白球數(shù)量，據(jù)此求解即可．【詳解】從圖上看，第一個(gè)黑球前有個(gè)白球，第二個(gè)黑球前有個(gè)白球，第三個(gè)黑球前有個(gè)白球由此可見第個(gè)黑球前有個(gè)白球，第個(gè)黑球前有個(gè)白球，則第個(gè)黑球和第個(gè)黑球之間的白球總數(shù)為：（個(gè)），∴第個(gè)黑球和第個(gè)黑球之間的白球總數(shù)為個(gè)．故答案為：．6．或【分析】本題考查了切線長定理，勾股定理，反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，分當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)和點(diǎn)在第四象限內(nèi)兩種情況，畫出圖形解答即可求解，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)時(shí)，點(diǎn)為切點(diǎn)，連接，則軸，，由切線長定理可得，，∵直線解析式為，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上，∴，解得，∴；當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)時(shí)，同理可得；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．7．【分析】先找出拋物線上三個(gè)點(diǎn)，再求出關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入所設(shè)新拋物線的方程即可解答．本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，得到所求拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)是原拋物線上的關(guān)于對稱的點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：令，，，，，令，，∴二次函數(shù)與軸交于1,0，2,0，與軸交于0,2，∴這三個(gè)點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)為，0,2，2,0，設(shè)拋物線的解析式為，∴，解得，∴，∴曲線的解析式為．故答案為：．8．【分析】本題考查立方根，立方和公式，完全平方公式，提公因式法，矩形的性質(zhì)，正確運(yùn)用乘法公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再用立方和公式和完全平方公式變形得，設(shè)，得到高次方程，用提公因式分解因式求解即可．【詳解】由題意得，，∴，∵，，∴，，設(shè)，∴，，，，∵，∴，∴，∴．9．【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，二次函數(shù)求最值，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合同高三角形的比等于底邊比，得到，進(jìn)而得到，以點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，求出，根據(jù)面積最大時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，得到，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出的周長即可．【詳解】解：∵CD為的角平分線，∴點(diǎn)到的距離相等，設(shè)點(diǎn)到的距離為，∴，∴，∴，以點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，∵，∴，∴，整理得，面積最大時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，故當(dāng)x=2時(shí)，有最大值即有最大值，即面積有最大值，故當(dāng)x=2時(shí)，，，∵點(diǎn)在第一象限故，則，，則周長為：．故答案為：10．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．（1）過點(diǎn)作，垂足為，證明是等腰直角三角形，即可解答；（2）利用直角三角形中30度角所對邊等于斜邊的一半，求出，解直角三角形求出，進(jìn)而求出，根據(jù)，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，是等腰直角三角形，∴，則邊AB邊上的高CD的長度為2；（2）解：如（1）圖，在中，，，∴，，∴，∴．答：的面積為．11．(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合三角形三邊數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用列舉法所有可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率的計(jì)算方法即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合實(shí)數(shù)的概念，分類討論，由此即可求解．【詳解】（1）解：從，，，，這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇三個(gè)不同的數(shù)，分別記作，，，則有種等可能的結(jié)果，所以能夠作為三角形三邊長的，，的取值有：，，，，，，，，，，，這種，故，，能夠作為三角形的三邊長的概率為．答：，，能夠作為三角形的三邊長的概率為15．（2）解：由求根公式可知，要使關(guān)于的方程的解為無理數(shù)，則為開方開不盡的數(shù)，而，，為，，，，這個(gè)數(shù)中的個(gè)，當(dāng)時(shí)，，的結(jié)果為，21，，，，中的一個(gè)，則或或或或或，均為開方開不盡的數(shù)；當(dāng)時(shí)，，的結(jié)果為，，，，，中的一個(gè)，則或或或或或，均為開方開不盡的數(shù)；當(dāng)時(shí)，，的結(jié)果為，，，21，，中的一個(gè)，則或或或或或，均為開方開不盡的數(shù)；當(dāng)時(shí)，，的結(jié)果為，，，，，中的一個(gè)，則或或或或或，均為開方開不盡的數(shù)；當(dāng)時(shí)，，的結(jié)果為，，，，21，中的一個(gè)，則或或或或或，均為開方開不盡的數(shù)；綜上所述為無理數(shù)，則的解為無理數(shù)，故關(guān)于的方程的解不可能是有理數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算，三角形三邊數(shù)量關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)數(shù)的分類等知識的綜合，掌握以上知識，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．12．(1)(2)①，②見詳解【分析】（1）作F關(guān)于的對稱點(diǎn)，則是的垂直平分線，由勾股定理得，則，過點(diǎn)O作，可得四邊形是矩形，則，則中，運(yùn)用勾股定理求得，由垂徑定理即可求得；（2）①作F關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，顯然點(diǎn)為與的交點(diǎn)，過點(diǎn)作，記交于點(diǎn)，可證明，則，故；②假設(shè)點(diǎn)將點(diǎn)三點(diǎn)中點(diǎn)分割在一側(cè)，點(diǎn)在另一側(cè)，則與線段相交，交點(diǎn)記為點(diǎn)，連接，由題意得，則在中，，即，即，與矛盾，故假設(shè)不成立，同理可證明其余情況．【詳解】（1）解：如圖：作F關(guān)于的對稱點(diǎn)，∵把紙片折疊，折痕為，此時(shí)平行，且弧過點(diǎn)，∴一定在上連接，與交于一點(diǎn)∴是的垂直平分線∴在中，∴則過點(diǎn)O作∴∵平行，∴∴四邊形是矩形∴則在中，∴，∵，經(jīng)過圓心，∴（2）解：作F關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，∴，∴∵，∴點(diǎn)為與的交點(diǎn)，過點(diǎn)作，記交于點(diǎn)，由（1）知，而由對稱得，∴，∵，∴，∴，∴；②假設(shè)點(diǎn)將點(diǎn)三點(diǎn)中點(diǎn)分割在一側(cè)，點(diǎn)在另一側(cè)，則與線段相交，交點(diǎn)記為點(diǎn)，連接，由題意得，則在中，，∴，即，與矛盾，故假設(shè)不成立，同理可證，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)以及點(diǎn)和點(diǎn)位于兩側(cè)都不成立，∴綜上可得：，，在直線的同側(cè)．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識點(diǎn)，熟練掌握知識點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)①，②見詳解【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，求函數(shù)解析式，判別式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先得出，再結(jié)合“拋物線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”，得以及，然后計(jì)算出，；（2）①聯(lián)立方程組，解出；同理得；②先算出的值，再與直線比較，值相同則證明平行．【詳解】（1）解：∵拋物線過原點(diǎn)∴∵拋物線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)∴把代入得，解得解得∴（2）解：依題意，拋物線的解析式為①依題意，解得∵過原點(diǎn)的直線，，分別交拋物線于點(diǎn)、（異于原點(diǎn)）．∴把代入，得出∴同理∴解得∴把代入，得出∴②設(shè)的解析式為由①得，把，代入得解得則的解析式為∵直線∴平行14．(1)①，理由見解析；②存在構(gòu)成一組勾股數(shù)(2)為銳角三角形，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)勾股定理及因式分解的應(yīng)用將變形為，再根據(jù)，，，，得到，，即可得出結(jié)論；②令，利用因式分解即可解答；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，①，②，得到，因式分解得到，根據(jù)，，，，，得到，，，進(jìn)而推出，即，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）正整數(shù)，，為一組勾股數(shù)且，∴，，∴．又，，，，∴，，，，∴，，∴，∴；②令，，n為正整數(shù)，，為奇數(shù)且為正整數(shù)，為正整數(shù)，，，且，，解得：此時(shí)構(gòu)成一組勾股數(shù)，存在構(gòu)成一組勾股數(shù)；（2）解：∵，，為三角形三邊長且，∴，，即為最長邊邊長，即中最大，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，中，，①中，，②②式①式得：，∴，即，∴．∴，∵，，，，，∴，，，∴，∴，又為中最大角，∴為銳角三角形，故某三角形三邊長為，，，且時(shí)，該三角形為銳角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，因式分解的應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握因式分解的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．