2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)章末綜合測評7概率含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE10章末綜合測評(七)概率(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列說法正確的是()A．甲、乙兩人競賽，甲勝的概率為eq\f(3,5)，則競賽5場，甲勝3場B．某醫(yī)院針對一種疾病的治愈率為10%，前9個病人沒有治愈，則第10個病人肯定治愈C．隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等D．天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)某天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%D[概率只是說明事務(wù)發(fā)生的可能性大小，其發(fā)生具有隨機(jī)性．故選D.]2．給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的依次是隨意的，則第一個電話打給甲的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)B[給三人打電話的依次有6種可能，其中第一個電話打給甲的可能有2種，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.]3．從3名女老師和2名男老師中任選2人參與信息技術(shù)培訓(xùn)，則選中的2人都是女老師的概率為()A．0.3 B．0.4C．0.5 D．0.6A[設(shè)3名女老師為a1，a2，a3,2名男老師為b1，b2，從中任選2人的樣本點(diǎn)有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10個，選中的2人都是女老師的樣本點(diǎn)為(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3個，因此其概率為P＝0.3，故選A.]4．從一批羽毛球中任取一個，假如其質(zhì)量小于4.8g的概率是0.3，質(zhì)量不小于4.85g的概率是0.32，那么質(zhì)量在[4.8,4.85)范圍內(nèi)的概率是()A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68B[記“取到質(zhì)量小于4.8g的羽毛球”為事務(wù)E，“取到質(zhì)量不小于4.85g的羽毛球”為事務(wù)F，“取到質(zhì)量在[4.8,4.85)范圍內(nèi)的羽毛球”為事務(wù)G.易知事務(wù)E，F(xiàn)，G互斥，且E∪F∪G為必定事務(wù)，所以P(E∪F∪G)＝P(E)＋P(F)＋P(G)＝0.3＋0.32＋P(G)＝1，即P(G)＝1－0.3－0.32＝0.38.]5．奧林匹克會旗中心有5個相互套連的圓環(huán)，顏色自左至右，上方依次為藍(lán)、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲．在手工課上，老師將這5個顏色的環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)作為模型進(jìn)行制作，每人分得1個，則事務(wù)“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是()A．對立事務(wù) B．不行能事務(wù)C．互斥但不對立事務(wù) D．不是互斥事務(wù)C[結(jié)合互斥事務(wù)和對立事務(wù)的概念可知C正確．]6．排球競賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局)，在某次排球競賽中，甲隊(duì)在每局競賽中獲勝的概率都相等，均為eq\f(2,3)，前2局中乙隊(duì)以2∶0領(lǐng)先，則最終乙隊(duì)獲勝的概率是()A．eq\f(4,9) B．eq\f(19,27)C．eq\f(11,27) D．eq\f(40,81)B[最終乙隊(duì)獲勝事務(wù)含3種狀況：(1)第三局乙勝；(2)第三局甲勝，第四局乙勝；(3)第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝．故最終乙隊(duì)獲勝的概率P＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27)，故選B.]7．現(xiàn)有2名女老師和1名男老師參與說題競賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)C[記兩道題分別為A，B，全部抽取的狀況為AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1個，第2個分別表示兩個女老師抽取的題目，第3個表示男老師抽取的題目)，共有8種，其中滿意恰有一男一女抽到同一道題目的狀況為ABA，ABB，BAA，BAB，共4種．故所求事務(wù)的概率為eq\f(1,2).故選C.]8．設(shè)兩個獨(dú)立事務(wù)A和B同時(shí)不發(fā)生的概率是p，A發(fā)生B不發(fā)生與A不發(fā)生B發(fā)生的概率相同，則事務(wù)A發(fā)生的概率為()A．2p B．eq\f(p,2)C．1－eq\r(p) D．1－eq\r(2p)C[依據(jù)題意設(shè)事務(wù)A發(fā)生的概率為a，事務(wù)B發(fā)生的概率為b，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a1－b＝p，①,a1－b＝1－ab.②))由②知a＝b，代入①得a＝1－eq\r(p).故選C.]二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．下列命題中正確的是()A．依據(jù)古典概型概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(nA,n)求出的值是事務(wù)A發(fā)生的概率的精確值B．依據(jù)古典概型試驗(yàn)，用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)N和事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)N1，得到的值eq\f(N1,N)是P(A)的近似值C．頻率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會越來越穩(wěn)定在某個常數(shù)上，即為概率D．5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到有獎獎券的可能性相同ABCD[很明顯A項(xiàng)命題是正確的；隨機(jī)模擬中得到的值是概率的近似值，則B項(xiàng)命題正確；頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，這個常數(shù)叫做概率，C命題正確；5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到有獎獎券的可能性都是eq\f(1,5)，D命題正確；故選ABCD.]10．下列各對事務(wù)中，為相互獨(dú)立事務(wù)的是()A．?dāng)S一枚骰子一次，事務(wù)M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事務(wù)N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B．袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事務(wù)M“第一次摸到白球”，事務(wù)N“其次次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事務(wù)M“第一次摸到白球”，事務(wù)N“其次次摸到黑球”D．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參與演講競賽，事務(wù)M“從甲組中選出1名男生”，事務(wù)N“從乙組中選出1名女生”ABD[在A中，樣本空間Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事務(wù)M＝{2,4,6}，事務(wù)N＝{3,6}，事務(wù)MN＝{6}，∴P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(MN)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，即P(MN)＝P(M)P(N)．故事務(wù)M與N相互獨(dú)立，A正確．在B中，依據(jù)事務(wù)的特點(diǎn)易知，事務(wù)M是否發(fā)生對事務(wù)N發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨(dú)立事務(wù)，B正確．在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨(dú)立事務(wù)，C錯誤．在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事務(wù)的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事務(wù)，D正確．故選ABD.]11．某高校從參與今年自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成果作為樣本，得到頻率分布表如下：組號分組頻數(shù)頻率第一組[230,235)80.16其次組[235,240)①0.24第三組[240,245)15②第四組[245,250)100.20第五組[250,255]50.10合計(jì)501.00以下結(jié)論正確的有()A．表中①位置的數(shù)據(jù)是12B．表中②位置的數(shù)據(jù)是0.3C．在第三、四、五組中用分層隨機(jī)抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)行其次輪考核，則第三組抽取2人D．在第三、四、五組中用分層隨機(jī)抽樣法抽取的6名學(xué)生中錄用2名學(xué)生，則2人中至少有1名是第四組的概率為0.5AB[①位置的數(shù)據(jù)為50－(8＋15＋10＋5)＝12，A正確；②位置的數(shù)據(jù)為eq\f(15,50)＝0.3，B正確；由分層隨機(jī)抽樣得，第三、四、五組參與考核的人數(shù)分別為3,2,1，C錯誤；設(shè)上述6人為a，b，c，d，e，f(其中第四組的兩人分別為d，e)，則從6人中任取2人的全部狀況為ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15種．記“2人中至少有1名是第四組的”為事務(wù)A，則事務(wù)A所含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為9.所以P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，故2人中至少有1名是第四組的概率為eq\f(3,5)，D錯誤．故選AB.]12．2024年“國慶節(jié)”期間，高速馬路車輛較多，某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中抽取了40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速馬路的車速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．下列結(jié)論正確的是()A．這40輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計(jì)值為77.5B．在該服務(wù)區(qū)隨意抽取一輛車，車速超過80km/h的概率為0.35C．若從車速在[60,70)的車輛中隨意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在[65,70)的概率為eq\f(14,15)D．若從車速在[60,70)的車輛中隨意抽取2輛，則車速都在[60,65)內(nèi)的概率為eq\f(1,3)ABC[在A中，由題圖可知，眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)對應(yīng)的值eq\f(75＋80,2)＝77.5，A正確；在B中，車速超過80km/h的頻率為0.05×5＋0.02×5＝0.35，用頻率估計(jì)概率知B正確；在C中，由題可知，車速在[60,65)內(nèi)的車輛數(shù)為2，車速在[65,70)內(nèi)的車輛數(shù)為4，運(yùn)用古典概型求概率得，至少有一輛車的車速在[65,70)的概率為eq\f(14,15)，即車速都在[60,65)內(nèi)的概率為eq\f(1,15)，故C正確，D錯誤．故選ABC.]三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上．13．一個袋子中有5個紅球，4個綠球，8個黑球，假如隨機(jī)地摸出一個球，記事務(wù)A＝{摸出黑球}，事務(wù)B＝{摸出綠球}，事務(wù)C＝{摸出紅球}，則P(A)＝________；P(B∪C)＝________.eq\f(8,17)eq\f(9,17)[由古典概型的概率計(jì)算公式可得P(A)＝eq\f(8,17)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(4,17)＋eq\f(5,17)＝eq\f(9,17).]14．袋子中有四個小球，分別寫有“和、平、世、界”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“和”“平”兩個字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0,1,2,3代表“和、平、世、界”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下24組隨機(jī)數(shù)：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止的概率為________．eq\f(1,8)[由題意可知，滿意條件的隨機(jī)數(shù)組中，前兩次抽取的數(shù)中必需包含0或1，且0與1不能同時(shí)出現(xiàn)，第三次必需出現(xiàn)前面兩個數(shù)字中沒有出現(xiàn)的1或0，可得符合條件的數(shù)組只有3組：021,130,031，故所求概率P＝eq\f(3,24)＝eq\f(1,8).]15．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素?cái)?shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是________．eq\f(1,15)[不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，試驗(yàn)的樣本空間有45個樣本點(diǎn)，因?yàn)?＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以“隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30”的樣本點(diǎn)有3個，故概率為eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).]16．如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路途圖，假設(shè)從進(jìn)口A起先到出口B，每遇到一個岔路口，每位游客選擇其中一條道路行進(jìn)是等可能的．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共4名游客結(jié)伴到旅游景區(qū)游玩，他們從進(jìn)口A的岔路口就起先選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路途行走，最終到出口B集合，設(shè)點(diǎn)C是其中的一個岔路口點(diǎn)．則甲經(jīng)過點(diǎn)C的概率為________．eq\f(1,3)[設(shè)“甲從進(jìn)口A起先到出口B經(jīng)過點(diǎn)C”為事務(wù)M，甲選路途2的概率為eq\f(1,3)，在路途2上從岔路口P到達(dá)點(diǎn)C的概率為eq\f(1,2)，這兩個事務(wù)相互獨(dú)立，所以選擇路途2走到C的概率P1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).同理，選擇路途3走到點(diǎn)C的概率P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).因?yàn)檫x擇路途2和路途3兩個事務(wù)彼此互斥，所以P(M)＝P1＋P2＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).]四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)某校在老師外出培訓(xùn)學(xué)習(xí)活動中，在一個月派出的培訓(xùn)人數(shù)及其概率如下表所示：派出人數(shù)2人及以下3456人及以上概率0.10.460.30.10.04(1)求有4個人或5個人培訓(xùn)的概率；(2)求至少有3個人培訓(xùn)的概率．[解](1)設(shè)有2人及以下培訓(xùn)為事務(wù)A，有3人培訓(xùn)為事務(wù)B，有4人培訓(xùn)為事務(wù)C，有5人培訓(xùn)為事務(wù)D，有6人及以上培訓(xùn)為事務(wù)E，所以有4個人或5個人培訓(xùn)的事務(wù)為事務(wù)C或事務(wù)D，A，B，C，D，E為互斥事務(wù)，依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3個人培訓(xùn)的對立事務(wù)為有2人及以下培訓(xùn)，所以由對立事務(wù)的概率可知P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.18．(本小題滿分12分)用一臺自動機(jī)床加工一批螺母，從中抽出100個逐個進(jìn)行直徑(單位：cm)檢驗(yàn)，結(jié)果如下：直徑(單位：cm)個數(shù)直徑(單位：cm)個數(shù)(6.88,6.89]1(6.93,6.94]26(6.89,6.90]2(6.94,6.95]15(6.90,6.91]10(6.95,9.96]8(6.91,6.92]17(6.96,6.97]2(6.92,6.93]17(6.97,6.98]2從這100個螺母中隨意取一個，檢驗(yàn)其直徑的大小，求下列事務(wù)的頻率：(1)事務(wù)A：螺母的直徑在(6.93,6.95]范圍內(nèi)；(2)事務(wù)B：螺母的直徑在(6.91,6.95]范圍內(nèi)；(3)事務(wù)C：螺母的直徑大于6.96.[解](1)螺母的直徑在(6.93,6.95]范圍內(nèi)的頻數(shù)為nA＝26＋15＝41，所以事務(wù)A的頻率為eq\f(41,100)＝0.41.(2)螺母的直徑在(6.91,6.95]范圍內(nèi)的頻數(shù)為nB＝17＋17＋26＋15＝75.所以事務(wù)B的頻率為eq\f(75,100)＝0.75.(3)螺母的直徑大于6.96的頻數(shù)為nC＝2＋2＝4，所以事務(wù)C的頻率為eq\f(4,100)＝0.04.19．(本小題滿分12分)甲、乙兩人玩一種嬉戲，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．(1)若以A表示和為6的事務(wù)，求P(A)；(2)現(xiàn)連玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事務(wù)，C表示乙至少贏兩次的事務(wù)，試問B與C是否為互斥事務(wù)？為什么？(3)這種嬉戲規(guī)則公允嗎？試說明理由．[解](1)甲、乙出手指都有5種可能，因此樣本點(diǎn)的總數(shù)為5×5＝25，事務(wù)A包括甲、乙出的手指的狀況有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5種狀況，∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B與C不是互斥事務(wù)．因?yàn)槭聞?wù)B與C可以同時(shí)發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事務(wù)即符合題意．(3)這種嬉戲規(guī)則不公允．由(1)知和為偶數(shù)的樣本點(diǎn)的個數(shù)為13個．(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲贏的概率為eq\f(13,25)，乙贏的概率為eq\f(12,25).所以這種嬉戲規(guī)則不公允．20．(本小題滿分12分)A，B兩個箱子分別裝有標(biāo)號為0,1,2的三種卡片，每種卡片的張數(shù)如表所示．標(biāo)號張數(shù)箱012A213B212(1)從A，B箱中各取1張卡片，用x表示取出的2張卡片的數(shù)字之積，求x＝2的概率；(2)從A，B箱中各取1張卡片，用y表示取出的2張卡片的數(shù)字之和，求x＝0且y＝2的概率．[解](1)記事務(wù)A＝{從A，B箱中各取1張卡片，2張卡片的數(shù)字之積等于2}．樣本點(diǎn)的總個數(shù)為6×5＝30，事務(wù)A包含樣本點(diǎn)的個數(shù)為5.由古典概型的概率公式得P(A)＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6).則x＝2的概率為eq\f(1,6).(2)記事務(wù)B＝{從A，B箱中各取1張卡片，其數(shù)字之和為2且積為0}．事務(wù)B包含樣本點(diǎn)的個數(shù)為10.由古典概型的概率公式得P(B)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).則x＝0且y＝2的概率為eq\f(1,3).21．(本小題滿分12分)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)S＝x＋y＋z評價(jià)該產(chǎn)品的等級．若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表供應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；(2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品．①用產(chǎn)品編號列出全部可能的結(jié)果；②設(shè)事務(wù)B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事務(wù)B發(fā)生的概率．[解](1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為eq\f(6,10)＝0.6，從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.(2)①在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的全部可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種.②在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事務(wù)B發(fā)生的全部可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2