2025屆廣西壯族自治區(qū)柳州市新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，集合，所以．故選：C．2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，，則（）A. B.5 C. D.8〖答案〗A〖解析〗因為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，且，所以，所以．故選：A．3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.7 B.12 C.16 D.24〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，若，則，所以，所以．故選：B．4.雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線的方程知兩頂點，，漸近線方程為，由對稱性，不妨求到直線的距離，．故選：C．5.已知向量與的夾角為，且，，則（）A. B. C.4 D.2〖答案〗D〖解析〗由得，，又，則．故選：D.6.的展開式中常數(shù)項的系數(shù)為（）A.70 B.56 C.28 D.8〖答案〗C〖解析〗的展開式的通項公式為，令，解得，故的展開式中常數(shù)項為．故選：C．7.有4名醫(yī)學(xué)畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘校醫(yī)工作，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為（）A.40種 B.60種 C.80種 D.120種〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，有種不同的錄用情況；②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；所以共有種不同的錄用情況．故選：B．8.已知三棱錐的體積是，A，B，C是球O的球面上的三個點，且，，，則球O的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以由正弦定理得，的外接圓半徑為，在中，由余弦定理可得，所以，又因為，所以，所以，因為，∴，由球中的截面性質(zhì)及勾股定理，可知球的半徑，所以球O的表面積為：．故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知隨機事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說法正確的是（）．A.若，則A，B相互獨立 B.若A，B互斥，則A，B不相互獨立C.若，則 D.若，則〖答案〗ABC〖解析〗A：因為事件A，B相互獨立，，所以A，B相互獨立，故A正確；B：因為A，B互斥，則，故A，B不可能相互獨立，故B正確；C：∵，∴，故C正確；D：∵，∴，∴，故D錯誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則下列說法正確的有（）．A.的一個對稱中心B.對稱軸方程為C.在上的值域為D.的單調(diào)遞減區(qū)間為〖答案〗BCD〖解析〗由題圖可得，，解得．又，可得，解得．因為，所以，所以．所以．對于A，當(dāng)，，所以不是的一個對稱中心，故A錯誤；對于B，令，可得，故的對稱軸方程為，故B正確；對于C，時，，所以，故在上的值域為，故C正確；對于D，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)的定義域為R，且，若，則（）．A. B.C.為減函數(shù) D.為奇函數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗，時，，，而，∴，，時，，∴，∴，故B正確；令，，，令，，故A正確；，是奇函數(shù)，故D正確．令，則，為增函數(shù)，故C錯誤．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在點處的切線斜率是__________．〖答案〗2〖解析〗∵，∴，∴時，，則在點處的切線斜率是2．13.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，則__________．〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理可得，可得，在三角形中，，且，所以，，所以，所以，因為，所以，所以．14.記實數(shù)最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，在同一個坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實紅線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點的縱坐標(biāo).由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為AB的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：以為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因為，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，取，則，．所以，是平面的一個法向量，又因為平面，所以為平面的一個法向量，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．16.某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8％，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，，…．（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；（2）求的值．（其中，，）解：（1）由題意，得，并且．（2）將化成．比較①②的系數(shù)，可得．解這個方程組，得．所以，所以數(shù)列是以為首項，1.08為公比的等比數(shù)列，則．所以（頭）．17.如圖，在一條無限長的軌道上，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，設(shè)移動次后質(zhì)點位于位置．（1）求；（2）求；（3）指出質(zhì)點最有可能位于哪個位置，并說明理由．解：（1）設(shè)質(zhì)點n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，所以．（2）設(shè)質(zhì)點n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，且，而，所以.（3）設(shè)質(zhì)點n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，所以，若n為偶數(shù)，中間的一項取得最大值，即概率最大，此時，所以質(zhì)點最有可能位于位置0，若n為奇數(shù)，中間的兩項，取得最大值，即或概率最大，此時或，所以質(zhì)點最有可能位于位置1或．18.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，記動圓圓心的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程，并說明E是什么曲線；（2）若點P是曲線E上異于左右頂點的一個動點，點O為曲線E的中心，過E的左焦點F且平行于的直線與曲線E交于點M，N，求證：為一個定值．解：（1）設(shè)動圓的圓心，動圓半徑為r，因為化為標(biāo)準(zhǔn)方程，故圓心，，因為化為標(biāo)準(zhǔn)方程，故圓心，，依題意得，，所以，故點Q是以、為焦點的橢圓，所以，，故，所以曲線，曲線E是焦點在x軸上，對稱中心在原點，以、為焦點的橢圓.（2）由（1）得，當(dāng)弦的斜率不存在時，此時弦為橢圓的短半軸，此時，此時直線為橢圓的通徑，滿足，從而，當(dāng)弦斜率存在時，設(shè)為k，設(shè)直線的方程為，代入曲線E得，從而，設(shè)直線，代入曲線E得，設(shè)，，則，，又因為，所以，所以.綜上所述，為一個定值.19.帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）．已知在處的階帕德近似為．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）比較與的大?。唬?）若有3個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由，，知，，，，由題意，，所以，所以，．（2）由（1）知，，令，則，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，∴時，；時，，所以時，；時，．（3）由（1）知，，注意到，則除1外還有2個零點，設(shè)為，，，令，當(dāng)時，在上恒成立，則，所以在上單調(diào)遞減，不滿足，舍去，當(dāng)時，除1外還有2個零點，設(shè)為，，則不單調(diào)，所以存在兩個零點，∴，解得，當(dāng)時，設(shè)的兩個零點分別為s，，則，，∴，當(dāng)時，，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，則單調(diào)遞增，又，不妨設(shè)，，而，且，，且，所以存在，，滿足，即有3個零點，1，，綜上所述，m的取值范圍為．廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，集合，所以．故選：C．2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，，則（）A. B.5 C. D.8〖答案〗A〖解析〗因為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，且，所以，所以．故選：A．3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.7 B.12 C.16 D.24〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，若，則，所以，所以．故選：B．4.雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線的方程知兩頂點，，漸近線方程為，由對稱性，不妨求到直線的距離，．故選：C．5.已知向量與的夾角為，且，，則（）A. B. C.4 D.2〖答案〗D〖解析〗由得，，又，則．故選：D.6.的展開式中常數(shù)項的系數(shù)為（）A.70 B.56 C.28 D.8〖答案〗C〖解析〗的展開式的通項公式為，令，解得，故的展開式中常數(shù)項為．故選：C．7.有4名醫(yī)學(xué)畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘校醫(yī)工作，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為（）A.40種 B.60種 C.80種 D.120種〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，有種不同的錄用情況；②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；所以共有種不同的錄用情況．故選：B．8.已知三棱錐的體積是，A，B，C是球O的球面上的三個點，且，，，則球O的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以由正弦定理得，的外接圓半徑為，在中，由余弦定理可得，所以，又因為，所以，所以，因為，∴，由球中的截面性質(zhì)及勾股定理，可知球的半徑，所以球O的表面積為：．故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知隨機事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說法正確的是（）．A.若，則A，B相互獨立 B.若A，B互斥，則A，B不相互獨立C.若，則 D.若，則〖答案〗ABC〖解析〗A：因為事件A，B相互獨立，，所以A，B相互獨立，故A正確；B：因為A，B互斥，則，故A，B不可能相互獨立，故B正確；C：∵，∴，故C正確；D：∵，∴，∴，故D錯誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則下列說法正確的有（）．A.的一個對稱中心B.對稱軸方程為C.在上的值域為D.的單調(diào)遞減區(qū)間為〖答案〗BCD〖解析〗由題圖可得，，解得．又，可得，解得．因為，所以，所以．所以．對于A，當(dāng)，，所以不是的一個對稱中心，故A錯誤；對于B，令，可得，故的對稱軸方程為，故B正確；對于C，時，，所以，故在上的值域為，故C正確；對于D，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)的定義域為R，且，若，則（）．A. B.C.為減函數(shù) D.為奇函數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗，時，，，而，∴，，時，，∴，∴，故B正確；令，，，令，，故A正確；，是奇函數(shù)，故D正確．令，則，為增函數(shù)，故C錯誤．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在點處的切線斜率是__________．〖答案〗2〖解析〗∵，∴，∴時，，則在點處的切線斜率是2．13.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，則__________．〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理可得，可得，在三角形中，，且，所以，，所以，所以，因為，所以，所以．14.記實數(shù)最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，在同一個坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實紅線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點的縱坐標(biāo).由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為AB的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：以為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因為，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，取，則，．所以，是平面的一個法向量，又因為平面，所以為平面的一個法向量，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．16.某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8％，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，，…．（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；（2）求的值．（其中，，）解：（1）由題意，得，并且．（2）將化成．比較①②的系數(shù)，可得．解這個方程組，得．所以，所以數(shù)列是以為首項，1.08為公比的等比數(shù)列，則．所以（頭）．17.如圖，在一條無限長的軌道上，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，設(shè)移動次后質(zhì)點位于位置．（1）求；（2）求；（3）指出質(zhì)點最有可能位于哪個位置，并說明理由．解：（1）設(shè)質(zhì)點n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，所以．（2）設(shè)質(zhì)點n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，且，而，所以.（3）設(shè)質(zhì)點n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，所以，若n為偶數(shù)，中間的一項取得最大值，即概率最大，此時，所以質(zhì)點最有可能位于位置0，若n為奇數(shù)，中間的兩項，取得最大值，即或概率最大，此時或，所以質(zhì)點最有可能位于位置1或．18.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，記動圓圓心的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程，并說明E是什么曲線；（2）若點P是曲線E上異于左右頂點的一個動點，點O為曲線E的中心，過E