2024屆天津市濱海新區(qū)高三第三次模擬考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市濱海新區(qū)2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，∴，又，∴.故選：B.2.已知，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件〖答案〗D〖解析〗若，，，則，則，∴“”是“”的不充分條件；若，∵，∴，即，∴“”是“”的必要條件；綜上，“”是“”必要不充分條件．故選：D．3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象，的定義域為，其圖象關于原點對稱，為奇函數(shù)；在上，函數(shù)圖象與軸存在交點.由此分析選項：對于A，，其定義域為，有，為偶函數(shù)，不符合題意；對于B，，其定義域為，有，為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱；當時，，函數(shù)圖象與軸存在交點，符合題意；對于C，，當時，，故恒成立，所以該函數(shù)圖象在上與軸不存在交點，不符合題意；對于D，，其定義域為，有為偶函數(shù)，不符合題意.綜上所述，只有選項B的函數(shù)滿足，故選：B．4.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，則,故.故選：C.5.已知數(shù)列為各項不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（）A.4 B.8 C.12 D.16〖答案〗D〖解析〗設等差數(shù)列公差為，∵，∴當時，，解得，∴，當時，，∴，∴．故選：D．6.下列說法中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位數(shù)為6B.將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差變大C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)分別為和，則甲組數(shù)據(jù)的線性相關程度更強D.在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，則的值越接近1，判斷兩個變量有關的把握越大〖答案〗C〖解析〗對于A：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，又，所以第百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B：將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差不變，故B錯誤；對于C：具有線性相關關系的兩個變量的相關系數(shù)為，則越接近與，則和的線性相關程度越強，因為，所以甲組數(shù)據(jù)的線性相關程度更強，故C正確；對于D：在列聯(lián)表中，由計算得的值，的值越大，則兩個變量有關的把握越大，故D錯誤；故選：C.7.已知函數(shù)，關于該函數(shù)有下列四個說法：（1）函數(shù)的圖象關于點中心對稱；（2）函數(shù)的圖象關于直線對稱；（3）函數(shù)在區(qū)間內有4個零點；（4）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗對于（1），由，所以不是函數(shù)的圖象的對稱中心，所以（1）錯誤；對于（2）中，由，所以不是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以（2）錯誤；對于（3）中，令，可得，當時，可得；當時，可得；當時，可得；當時，可得，所以在內，函數(shù)有4個零點，所以（3）正確；對于（4）中，由，可得，此時函數(shù)不是單調函數(shù)，所以（4）錯誤.故選：A.8.我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內涵，也被作為裝飾物來使用．圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的底面邊長為4，體積之比為3:1，且該幾何體的頂點在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱柱和正四棱錐的體積之比為，且共一個底面，正四棱柱和正四棱錐的高相等，設正四棱柱和正四棱錐的高為，該幾何體外接球的半徑為，易知球O是正四棱柱的外接球，也是正四棱錐的外接球，，解得，∴球O的表面積為．故選：A．9.已知雙曲線的焦點在，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為M?N兩點(點位于點M與點N之間)，且，又過點作于P(點O為坐標原點)，且，則雙曲線E的離心率（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，可得如下示意圖：其中，知：，又，，即且，∴中，有，得，∴在中，，若與x軸夾角為，即，∴，由，即可得.故選：C.二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．10.若復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為__________.〖答案〗2〖解析〗由題意，復數(shù)滿足，即，所以復數(shù)的虛部為．11.在二項式展開式中的系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗展開式的通項公式為令，解得，則的系數(shù)為12.已知圓的圓心與拋物線的焦點關于直線對稱，直線與相交于兩點，且，則圓的標準方程為________．〖答案〗〖解析〗依題意可知拋物線的焦點為，圓的圓心與拋物線的焦點關于直線對稱，∴圓心坐標為，設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則，又∵，∴則圓的標準方程為．13.隨著我國經(jīng)濟發(fā)展越來越好，外出旅游的人越來越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風景區(qū)、古文化街、意式風情街、海河觀光游船、盤山風景區(qū)，這6個隨機選擇1個景點游玩，兩位游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為________．這兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點不相同的概率________．〖答案〗〖解析〗設事件表示“兩位游客都選擇天津之眼摩天輪”，則；設事件表示“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件表示“他們選擇的景點不相同”，則，，∴．14.在平行四邊形中，，，點在邊上，滿足，則向量在向量上的投影向量為________（請用表示）；若，點，分別為線段，上的動點，滿足，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗作EF于F．∵，且四邊形為平行四邊形，故，則，那么，，∴，又，故，∴，故，∴，即，則在向量上的投影向量為；，，如圖以A為原點建立平面直角坐標系，作軸于Q，則，則，則．設，則，又，∴，，，∴．作軸于P，則，，則．故，故，令，∵在單調遞減，在單調遞增，故，即的最小值為．15.已知函數(shù)若函數(shù)（）（為自然對數(shù)的底數(shù)）恰有4個零點，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗時，，單調遞增，的圖象：令，函數(shù)恰有4個零點等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個交點．①當k＝0時，，如圖，顯然，函數(shù)與函數(shù)的圖象不可能有4個交點，不符題意；②當k＜0時，如圖，要使函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個交點，則，則；③當k＞0時，如圖，要使函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個交點，則與在時有兩個交點，即有兩個正實數(shù)根，即有兩個正實數(shù)根，令，則與在時圖象有兩個交點，，令，，則，∴在時單調遞增，∵，，，∴當時，單調遞減；當時，單調遞增．∴，∴如圖：∴．綜上所述，．三、解答題：本大題5小題，共75分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，內角所對的邊分別為，，，．（1）求角的大?。海?）求的值；（3）求的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，∴，∴，∴．又因為，可得；（2）在中，由余弦定理及，，，有，故；（3）由，可得，因為，所以，故為銳角，故，因此，．所以，．17.如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，側棱A1A⊥平面ABC，點D是棱CC1的中點.（1）證明：BB1⊥平面AB1C；（2）求點B1到平面ABD的距離；（3）求平面BCD與平面ABD的夾角的余弦值.（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得，，，，，，則，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，所以.（2）由（1）知，，設平面的一個法向量為，則，取，所以點B1到平面ABD的距離為；（3）由（1）知，，，設平面的一個法向量為，則，取，設平面BCD與平面ABD的夾角為，則.18.已知橢圓：（）的離心率為，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右頂點為，是橢圓上不與頂點重合的動點．①若點（），點在橢圓上且位于軸下方，設和的面積分別為，．若，求點的坐標；②若直線與直線交于點，直線交軸于點，設直線和直線的斜率為，，求證：為定值，并求出此定值．解：（1）由題意得，又，解得，橢圓的標準方程為．（2）①由（1）可得，點（）在橢圓上，代入橢圓方程得，連接，∵，，，∴，∴直線的方程為，聯(lián)立，解得或（舍去），．②設直線的斜率為，則直線的方程為：，又，，直線的方程為，由，解得，∴，由，得，，則，∴，則，，依題意、不重合，∴，即，∴，直線的方程為，令，即，解得，，，為定值．19.已知等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，．（1）求，的通項公式；（2）數(shù)列，的所有項按照“當為奇數(shù)時，放在的前面；當為偶數(shù)時，放在的前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列：，，，，，，，…，求數(shù)列的前7項和及前項和；（3）是否存在數(shù)列，滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項公式，若不存在，請說明理由．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，，可知，所以．又，所以數(shù)列公差，所以，設等比數(shù)列的公比為，，．所以，．得到，聯(lián)立得解得或（舍去），代入中，解得得數(shù)列的通項公式為．（2）由題意，.（3）由已知，得①當時，②，①②兩式相減得：，當時，也符合③所以，對于都成立．又當時④成立③④兩式相減得：，經(jīng)檢驗也符合故存在．20.已知函數(shù)，其中為實數(shù)．（1）當時，①求函數(shù)的圖象在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線方程；②若對任意的，均有，則稱為在區(qū)間上的下界函數(shù)，為在區(qū)間上的上界函數(shù)．若，且為在上的下界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．（2）當時，若，，且，設，．證明：．（1）解：①當時，，所以，所以函數(shù)的圖像在處的切線斜率．又因為，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，②因為函數(shù)為在上的下界函數(shù)，所以，即．因為，所以，故．令，，則．設，，則，所以當時，，從而函數(shù)在上單調遞增，所以，故在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，從而．因為在上恒成立，所以在上恒成立，故，即實數(shù)的取值范圍為．（2）證明：當時，，，，要證，即證，因為，所以只要證，即證，因為，，即證，令，即證，因為，即證（*），令，則．構造函數(shù)：則，令,則，因為，，，所以．所以在單調遞增．得到，可知在單調遞減，．所以（*）成立，原命題成立．天津市濱海新區(qū)2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，∴，又，∴.故選：B.2.已知，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件〖答案〗D〖解析〗若，，，則，則，∴“”是“”的不充分條件；若，∵，∴，即，∴“”是“”的必要條件；綜上，“”是“”必要不充分條件．故選：D．3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象，的定義域為，其圖象關于原點對稱，為奇函數(shù)；在上，函數(shù)圖象與軸存在交點.由此分析選項：對于A，，其定義域為，有，為偶函數(shù)，不符合題意；對于B，，其定義域為，有，為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱；當時，，函數(shù)圖象與軸存在交點，符合題意；對于C，，當時，，故恒成立，所以該函數(shù)圖象在上與軸不存在交點，不符合題意；對于D，，其定義域為，有為偶函數(shù)，不符合題意.綜上所述，只有選項B的函數(shù)滿足，故選：B．4.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，則,故.故選：C.5.已知數(shù)列為各項不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（）A.4 B.8 C.12 D.16〖答案〗D〖解析〗設等差數(shù)列公差為，∵，∴當時，，解得，∴，當時，，∴，∴．故選：D．6.下列說法中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位數(shù)為6B.將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差變大C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)分別為和，則甲組數(shù)據(jù)的線性相關程度更強D.在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，則的值越接近1，判斷兩個變量有關的把握越大〖答案〗C〖解析〗對于A：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，又，所以第百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B：將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差不變，故B錯誤；對于C：具有線性相關關系的兩個變量的相關系數(shù)為，則越接近與，則和的線性相關程度越強，因為，所以甲組數(shù)據(jù)的線性相關程度更強，故C正確；對于D：在列聯(lián)表中，由計算得的值，的值越大，則兩個變量有關的把握越大，故D錯誤；故選：C.7.已知函數(shù)，關于該函數(shù)有下列四個說法：（1）函數(shù)的圖象關于點中心對稱；（2）函數(shù)的圖象關于直線對稱；（3）函數(shù)在區(qū)間內有4個零點；（4）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗對于（1），由，所以不是函數(shù)的圖象的對稱中心，所以（1）錯誤；對于（2）中，由，所以不是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以（2）錯誤；對于（3）中，令，可得，當時，可得；當時，可得；當時，可得；當時，可得，所以在內，函數(shù)有4個零點，所以（3）正確；對于（4）中，由，可得，此時函數(shù)不是單調函數(shù)，所以（4）錯誤.故選：A.8.我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內涵，也被作為裝飾物來使用．圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的底面邊長為4，體積之比為3:1，且該幾何體的頂點在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱柱和正四棱錐的體積之比為，且共一個底面，正四棱柱和正四棱錐的高相等，設正四棱柱和正四棱錐的高為，該幾何體外接球的半徑為，易知球O是正四棱柱的外接球，也是正四棱錐的外接球，，解得，∴球O的表面積為．故選：A．9.已知雙曲線的焦點在，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為M?N兩點(點位于點M與點N之間)，且，又過點作于P(點O為坐標原點)，且，則雙曲線E的離心率（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，可得如下示意圖：其中，知：，又，，即且，∴中，有，得，∴在中，，若與x軸夾角為，即，∴，由，即可得.故選：C.二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．10.若復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為__________.〖答案〗2〖解析〗由題意，復數(shù)滿足，即，所以復數(shù)的虛部為．11.在二項式展開式中的系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗展開式的通項公式為令，解得，則的系數(shù)為12.已知圓的圓心與拋物線的焦點關于直線對稱，直線與相交于兩點，且，則圓的標準方程為________．〖答案〗〖解析〗依題意可知拋物線的焦點為，圓的圓心與拋物線的焦點關于直線對稱，∴圓心坐標為，設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則，又∵，∴則圓的標準方程為．13.隨著我國經(jīng)濟發(fā)展越來越好，外出旅游的人越來越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風景區(qū)、古文化街、意式風情街、海河觀光游船、盤山風景區(qū)，這6個隨機選擇1個景點游玩，兩位游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為________．這兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點不相同的概率________．〖答案〗〖解析〗設事件表示“兩位游客都選擇天津之眼摩天輪”，則；設事件表示“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件表示“他們選擇的景點不相同”，則，，∴．14.在平行四邊形中，，，點在邊上，滿足，則向量在向量上的投影向量為________（請用表示）；若，點，分別為線段，上的動點，滿足，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗作EF于F．∵，且四邊形為平行四邊形，故，則，那么，，∴，又，故，∴，故，∴，即，則在向量上的投影向量為；，，如圖以A為原點建立平面直角坐標系，作軸于Q，則，則，則．設，則，又，∴，，，∴．作軸于P，則，，則．故，故，令，∵在單調遞減，在單調遞增，故，即的最小值為．15.已知函數(shù)若函數(shù)（）（為自然對數(shù)的底數(shù)）恰有4個零點，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗時，，單調遞增，的圖象：令，函數(shù)恰有4個零點等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個交點．①當k＝0時，，如圖，顯然，函數(shù)與函數(shù)的圖象不可能有4個交點，不符題意；②當k＜0時，如圖，要使函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個交點，則，則；③當k＞0時，如圖，要使函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個交點，則與在時有兩個交點，即有兩個正實數(shù)根，即有兩個正實數(shù)根，令，則與在時圖象有兩個交點，，令，，則，∴在時單調遞增，∵，，，∴當時，單調遞減；當時，單調遞增．∴，∴如圖：∴．綜上所述，．三、解答題：本大題5小題，共75分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，內角所對的邊分別為，，，．（1）求角的大小：（2）求的值；（3）求的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，∴，∴，∴．又因為，可得；（2）在中，由余弦定理及，，，有，故；（3）由，可得，因為，所以，故為銳角，故，因此，．所以，．17.如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，側棱A1A⊥平面ABC，點D是棱CC1的中點.（1）證明：BB1⊥平面AB1C；（2）求點B1到平面ABD的距離；（3）求平面BCD與平面ABD的夾角的余弦值.（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得，，，，，，則，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，所以.（2）由（1）知，，設平面的一個法向量為，則，取，所以點B1到平面ABD的距離為；（3）由（1）知，，，設平面的一個法向量為，則，取，設平面BCD與平面ABD的夾角為，則.18.已知橢圓：（）的離心率為，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右頂點為，是橢圓上不與頂點重合的動點．①若點（），點在橢圓上且位于軸下方，設和的面積分別為，．若，求點的坐標；②若直線與直線交于點，直線交軸于點，設直線和直線的斜率為，，求證：為定值