2023-2024學(xué)年四川省成都蓉城聯(lián)考高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都蓉城聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)平面向量減法運(yùn)算可得.故選：A.3.在中，，則（）A. B.16 C.32 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，，所以，，所以.故選：B.4.一個(gè)水平放置的平面圖形按斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示.知，則平面圖形的面積為（）A.3 B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗畫出梯形的原圖，如圖所示：在直觀圖中，，得，則在原圖中，，，四邊形是直角梯形，所以.故選：C.5.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為〖答案〗B〖解析〗圖像向左平移個(gè)單位長度得函數(shù)，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，其最小正周期為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；，為偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，最大值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.6.某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)?滲透?流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）.24小時(shí)降雨量的等級劃分如下：24小時(shí)降雨量（精確到）降雨等級小雨中雨大雨暴雨在一次降雨過程中，用一個(gè)側(cè)棱的三棱柱容器收集的24小時(shí)的雨水如圖所示，當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過的中點(diǎn).則這24小時(shí)的降雨量的等級是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨〖答案〗D〖解析〗設(shè)的面積為，底面水平放置時(shí)，液面高為，側(cè)面水平放置時(shí)，水的體積為，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水的體積為，于是，解得，所以當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為，故降雨量等級為暴雨.故選：D.7.如圖，圓錐的底面直徑和高均為，過上一點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，我們稱該圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱.則該圓錐的內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓錐軸截面如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，，由可知，，即，所以，故被挖去的圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)，被挖去的圓柱的側(cè)面積最大值為．故選：C.8.在中，，點(diǎn)滿足，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋字獮榈妊苯侨切吻?，取中點(diǎn)為，則，又點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在直線上，所以，由，則，結(jié)合圖知，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是平面，若，則的關(guān)系可能為（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.異面〖答案〗ABD〖解析〗如圖，在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)與平行，故A正確；在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)，故B正確；若，不可能與垂直和相交，故C錯(cuò)誤；在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)與異面，故D正確.故選：ABD.10.的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則角B.存在，使成立C.若，則為等腰或直角三角形D.若，則有兩解〖答案〗ACD〖解析〗選項(xiàng)A：由正弦定理得：又余弦定理得故又故故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：因在中，故故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，或即或故為等腰或直角三角形，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：又則若，則有兩解正確，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面為垂足，下列結(jié)論正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.D.與所成的角為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，在正方體中，連接，交于點(diǎn)，連接，則，又平面，平面，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在的中垂線上，所以，故A正確；對于B，在正方體中，平面，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，即為正方體的棱長，為定值，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，又，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C，連接，則，又在正方體中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故C正確；對于D，連接，在正方體中，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為與所成的角，又是正三角形，所以與所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為共線向量，且，則__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)為共線向量，且，則，解得.故〖答案〗為：.13.在中，分別為的中點(diǎn)，交于點(diǎn).若，，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谥?，、分別為、的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則為的重心，所以，由平面向量數(shù)量積的定義可得，故，，，又，由余弦定理可得．故〖答案〗為：．14.降維類比和升維類比主要應(yīng)用于立體幾何的學(xué)習(xí)，將空間三維問題降為平面二維或者直線一維問題就是降維類比.平面幾何中多邊形的外接圓，即找到一點(diǎn)，使得它到多邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.這個(gè)點(diǎn)就是外接圓的圓心，距離就是外接圓的半徑.若這樣的點(diǎn)存在，則這個(gè)多邊形有外接圓，若這樣的點(diǎn)不存在，則這個(gè)多邊形沒有外接圓.事實(shí)上我們知道，三角形一定有外接圓，如果只求外接圓的半徑，我們可通過正弦定理來求，我們也可以關(guān)注九年義教初中《幾何》第三冊第94頁例2.的結(jié)論：三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商.借助求三角形外接圓的方法解決問題：若等腰梯形的上下底邊長分別為6和8，高為1，這個(gè)等腰梯形的外接圓半徑為__________；軸截面是旋轉(zhuǎn)體的重要載體，圓臺(tái)的軸截面中包含了旋轉(zhuǎn)體中的所有元素：高?母線長?底面圓的半徑，通過研究其軸截面，可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.觀察圖象，通過類比，我們可以找到一般圓臺(tái)的外接球問題的研究方法，正棱臺(tái)可以看作由圓臺(tái)切割得到.研究問題：如圖，正三棱臺(tái)的高為1，上?下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為__________.〖答案〗5〖解析〗連接，由于且梯形的高，所以，因此，因此，，因此的外接圓半徑為，故，因此的外接圓半徑為，故，因此存在一點(diǎn)到四點(diǎn)距離相等，且距離為，即腰梯形的外接圓半徑為5，設(shè)棱臺(tái)上下兩個(gè)三角形的外接圓半徑分別為，由于上?下底面邊長分別為和，由正弦定理可得，因此圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，且其上下底邊長分別為6和8，高為1，根據(jù)第一問的結(jié)論可知，該圓臺(tái)的外接球半徑為5，故外接球的體積為.故〖答案〗為：5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是棱長為2的正方體.（1）求三棱錐的體積；（2）若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，證明：平面.解：（1）三棱錐由正方體截去四個(gè)全等的三棱錐而得，故.（2）因?yàn)闉楹偷闹悬c(diǎn)，在中，，平面，平面，所以平面.16.已知向量滿足，，且在上的投影向量為.（1）求及的值；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)椋?，且在上的投影向量為，所以，所以，所以，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，即，得，解得?7.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且.（1）求及；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求的面積.解：（1）由得：，，，，故，由于，所以，由正弦定理以及可得，所以.（2），，，，由于，，所以，解得或（舍去），所以.18.在平行四邊形中，分別為中點(diǎn)，將三角形沿翻折，使得二面角為直二面角后，得到四棱錐.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點(diǎn)，連接和，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以．平面，平面，故平面.（2）由于在平行四邊形中，分別為的中點(diǎn)，所以，則，因此，又，故，由于二面角為直二面角，所以平面平面且兩平面的交線為，又平面，故平面，平面，故平面平面.（3）由于平面平面且兩平面的交線為，，平面，故平面，由（2）知平面，平面，故，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故，設(shè)與平面所成角為，則.19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題，該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.如圖1，三個(gè)內(nèi)角都小于的內(nèi)部有一點(diǎn)，連接，求的最小值.我們稱三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可求出這三條線段和的最小值.某數(shù)學(xué)研究小組先后嘗試了翻折?旋轉(zhuǎn)?平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題，具體的做法如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的長即為所求，此時(shí)與三個(gè)頂點(diǎn)連線恰好三等分費(fèi)馬點(diǎn)的周角.同時(shí)小組成員研究教材發(fā)現(xiàn)：已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量.（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在中，，借助研究成果，直接寫出的最小值；（3）已知點(diǎn)，求的費(fèi)馬點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1），繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，代入公式，，所以，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由費(fèi)馬點(diǎn)的求法知：繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與重合，，所以為等邊三角形，連接，的最小值為，由勾股定理得.（3）通過材料可以知道，內(nèi)部有一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的長即為所求，此時(shí)與三個(gè)頂點(diǎn)連線恰好三等分費(fèi)馬點(diǎn)的周角，即此時(shí)點(diǎn)滿足，又由題設(shè)，可知為等腰三角形，且，根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)求法知：點(diǎn)在中垂線上，且是頂角為的等腰三角形，所以，故，則.四川省成都蓉城聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)平面向量減法運(yùn)算可得.故選：A.3.在中，，則（）A. B.16 C.32 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，，所以，，所以.故選：B.4.一個(gè)水平放置的平面圖形按斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示.知，則平面圖形的面積為（）A.3 B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗畫出梯形的原圖，如圖所示：在直觀圖中，，得，則在原圖中，，，四邊形是直角梯形，所以.故選：C.5.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為〖答案〗B〖解析〗圖像向左平移個(gè)單位長度得函數(shù)，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，其最小正周期為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；，為偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，最大值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.6.某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)?滲透?流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）.24小時(shí)降雨量的等級劃分如下：24小時(shí)降雨量（精確到）降雨等級小雨中雨大雨暴雨在一次降雨過程中，用一個(gè)側(cè)棱的三棱柱容器收集的24小時(shí)的雨水如圖所示，當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過的中點(diǎn).則這24小時(shí)的降雨量的等級是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨〖答案〗D〖解析〗設(shè)的面積為，底面水平放置時(shí)，液面高為，側(cè)面水平放置時(shí)，水的體積為，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水的體積為，于是，解得，所以當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為，故降雨量等級為暴雨.故選：D.7.如圖，圓錐的底面直徑和高均為，過上一點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，我們稱該圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱.則該圓錐的內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓錐軸截面如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，，由可知，，即，所以，故被挖去的圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)，被挖去的圓柱的側(cè)面積最大值為．故選：C.8.在中，，點(diǎn)滿足，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，易知為等腰直角三角形且，取中點(diǎn)為，則，又點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在直線上，所以，由，則，結(jié)合圖知，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是平面，若，則的關(guān)系可能為（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.異面〖答案〗ABD〖解析〗如圖，在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)與平行，故A正確；在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)，故B正確；若，不可能與垂直和相交，故C錯(cuò)誤；在正方體中，若是平面，為，為，此時(shí)與異面，故D正確.故選：ABD.10.的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則角B.存在，使成立C.若，則為等腰或直角三角形D.若，則有兩解〖答案〗ACD〖解析〗選項(xiàng)A：由正弦定理得：又余弦定理得故又故故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：因在中，故故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，或即或故為等腰或直角三角形，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：又則若，則有兩解正確，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面為垂足，下列結(jié)論正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.D.與所成的角為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，在正方體中，連接，交于點(diǎn)，連接，則，又平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在的中垂線上，所以，故A正確；對于B，在正方體中，平面，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，即為正方體的棱長，為定值，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，又，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C，連接，則，又在正方體中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故C正確；對于D，連接，在正方體中，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為與所成的角，又是正三角形，所以與所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為共線向量，且，則__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)為共線向量，且，則，解得.故〖答案〗為：.13.在中，分別為的中點(diǎn)，交于點(diǎn).若，，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谥?，、分別為、的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則為的重心，所以，由平面向量數(shù)量積的定義可得，故，，，又，由余弦定理可得．故〖答案〗為：．14.降維類比和升維類比主要應(yīng)用于立體幾何的學(xué)習(xí)，將空間三維問題降為平面二維或者直線一維問題就是降維類比.平面幾何中多邊形的外接圓，即找到一點(diǎn)，使得它到多邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.這個(gè)點(diǎn)就是外接圓的圓心，距離就是外接圓的半徑.若這樣的點(diǎn)存在，則這個(gè)多邊形有外接圓，若這樣的點(diǎn)不存在，則這個(gè)多邊形沒有外接圓.事實(shí)上我們知道，三角形一定有外接圓，如果只求外接圓的半徑，我們可通過正弦定理來求，我們也可以關(guān)注九年義教初中《幾何》第三冊第94頁例2.的結(jié)論：三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商.借助求三角形外接圓的方法解決問題：若等腰梯形的上下底邊長分別為6和8，高為1，這個(gè)等腰梯形的外接圓半徑為__________；軸截面是旋轉(zhuǎn)體的重要載體，圓臺(tái)的軸截面中包含了旋轉(zhuǎn)體中的所有元素：高?母線長?底面圓的半徑，通過研究其軸截面，可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.觀察圖象，通過類比，我們可以找到一般圓臺(tái)的外接球問題的研究方法，正棱臺(tái)可以看作由圓臺(tái)切割得到.研究問題：如圖，正三棱臺(tái)的高為1，上?下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為__________.〖答案〗5〖解析〗連接，由于且梯形的高，所以，因此，因此，，因此的外接圓半徑為，故，因此的外接圓半徑為，故，因此存在一點(diǎn)到四點(diǎn)距離相等，且距離為，即腰梯形的外接圓半徑為5，設(shè)棱臺(tái)上下兩個(gè)三角形的外接圓半徑分別為，由于上?下底面邊長分別為和，由正弦定理可得，因此圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，且其上下底邊長分別為6和8，高為1，根據(jù)第一問的結(jié)論可知，該圓臺(tái)的外接球半徑為5，故外接球的體積為.故〖答案〗為：5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是棱長為2的正方體.（1）求三棱錐的體積；（2）若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，證明：平面.解：（1）三棱錐由正方體截去四個(gè)全等的三棱錐而得，故.（2）因?yàn)闉楹偷闹悬c(diǎn)，在中，，平面，平面，所以平面.16.已知向量滿足，，且在上的投影向量為.（1）求及的值；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)?，，且在上的投影向量為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，即，得，解得?7.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且.（1）求及；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求的面積.解：（1）由得：，，，，故，由于，所以，由正弦定理以及可得，所以.（2），，，，由于，，所以，解得或（舍去），所以.18.在平行四邊形中，分別為中點(diǎn)，將三角形沿翻折，使得二面角為直二面角后，得到四棱錐.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點(diǎn)，連接和，因