數(shù)學-黑龍江省哈爾濱市第三中學2024-2025學年高三10月月考試題和答案

哈三中2024—2025學年度上學期高三學年十月月考數(shù)學試卷A.B.C.D.2.已知3+i是關于x的方程2.2-m+n=0(m,neR)的一個根，則()A.20B.22C.30D.323.已知，y>0，lg2"+lg4"=192，則的最小值為()A.2B.C.D.44.數(shù)列{a中，若，ay=4，Q,ta.uta.w=?，則數(shù)列{a的前2024項和()A.1348B.1350C.13545.在ia8c中，o為BC中點若，則a-A.B.C.D.6.在三棱柱ABC-ABC中，點D在棱BB上，且BB=4BD，點為AC的中點，點在棱上，若wr平面s,，則()A.2B.3C.4D.57.已知偶函數(shù)f(x)定義域為R，且f(3x)=f(2-3x)，當xe[0,1]時，f(x)=2，則函數(shù)g(x)-pos(x)-f(x)在區(qū)間上所有零點的和為()A.B.-6C.D.-28.已知平面向量;，;滿足，且則的最小A.-1B.0C.1D.29.對于函數(shù)A.函數(shù)f(x)的最大值為B.是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心C.是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，即可得到函數(shù)f(x)的圖象10.在正方形ABCD中，4B8-2，為AB中點，將沿直線翻折至位置，使得二面角A-DE-C為直二面角，若為線段AC的中點，則下列結(jié)論中正確的是()A.若點P在線段DE上，則的最小值為B.三棱錐的體積為C.異面直線、48所成的角為D.三棱錐A,-CDE外接球的表面積為（1）求A；11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A.函數(shù)f(x)有兩個零點B.恒成立C.若方程有兩個不等實根，則的范圍是D.直線與函數(shù)f(x)圖象有兩個交點12.等差數(shù)列{a中，是其前n項和.若a1+g=-3，S=10，則.13.在中之BAC的平分線與BC交于點D，且AD=1則LA8C的面積為.14.已知三棱錐P-ABC中，PAL平面ABC，,,、分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，則線段M的長度的最小值為.15.在三棱柱AEC-ABC中，A=B以=BC=，AB=4，AC=6，AB上BC，為AC中（1）求證：BD山平面ABC；（2）求直線與平面所成角的正弦值.16.已知函數(shù)f(x)=lnx+x2-ax.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）設函數(shù)g(x)=f(x)+e"-2lnx，若8(3)20在(0.+o)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.17.已知在銳角dA8c中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，2acosB=2c-b.（2）若c=2，D為BC中點求b；（3）若a=2，求dA8c內(nèi)切圓半徑的取值范圍.18.某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，將最近一段時間內(nèi)每日的汽車銷售情況進行了統(tǒng)計，如圖所示.（1）求a的值，并求該公司這段時間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；（2）以頻率估計概率，若在這段時間內(nèi)隨機選擇4天，設每日汽車銷售量在[200,250)內(nèi)的天數(shù)為x，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求X的分布列及數(shù)學期望；（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規(guī)則如下：在三棱錐中，、均是邊長為2的正三角形現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個標簽中隨機選擇兩個分別貼在A、B兩個頂點，記頂點A、B上的數(shù)字分別為m和n，若E為側(cè)棱AB上一個動點，滿足，當“二面角區(qū)-CD-A大于”即為中獎，求中獎的概率.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=PD，o是AD中點，pol平面ABCDP口+AB=4（1）求四棱錐P-ABCD體積的最大值；（2）設PO=2，為線段AB上的動點.①求平面PAD與平面PEBC的夾角余弦值的取值范圍；②四棱錐P-ABCD的外接球記為球，當為線段AB中點時，求平面PBC截球所得的截面面積.數(shù)學試卷A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合A，B，再根據(jù)交集的定義求A一B.【詳解】對集合：因為，所以，即A=[1,4]；對集合：因為x'+2x+3>0恒成立，所以B=R.所以AnB=A=[1,4].故選：B2.已知3+i是關于x的方程2x2-m+n=0(m,neR)的一個根，則mtn-()A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)虛根成對原理可知方程的另一個虛根為3-i，再由韋達定理計算可得.【詳解】因為3+i是關于x的方程2.2-m+n=0(m,neR)的一個根，所以方程的另一個虛根為3-i，所以，解得m=12,n=20，所以.故選：D.3.已知lg2*+lg4"=192，則的最小值為()A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得x+2y=1，利用，結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】因為lg2"+lg4"=lg2，所以lg(2*x4")=lg?，所以，所以+2y=1，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為4.故選：D.4.數(shù)列中，若a-2，ay=4則數(shù)列的前2024項和()A.1348B.1350C.1354【答案】C【解析】【分析】結(jié)合遞推關系利用分組求和法求.【詳解】因為，2024=3x674+2，所以a3+a1+a;=2，ag十a(chǎn),十a(chǎn)g=2，a,十a(chǎn)p十a(chǎn)=2所以sm=2+4+674x2=1354.故選：C.5.在中，o為BC中點若，則a-A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】選擇為平面向量的一組基底，表示出，再根據(jù)表示的唯一性，可求2的值.【詳解】選擇為平面向量的一組基底.因為為BC中點，所以；..由.故選：C6.在三棱柱AEC-ABC中，點D在棱BB上，且，點為AC的中點，點在棱上，若wr平面s,，則()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及線面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得結(jié)論.【詳解】依題意，作出圖形如圖所示設為AA的中點，因為為AC的中點，所以MPWAC，又平面，平面，所以平面，連接PN，又因為平面M,MP仁平面，所以平面平面，又平面MAP平面ABA=PV，平面ADcinAEBA=AD，所以PNnAD，又，所以四邊形ADP是平行四邊形，所以，所以，又B8=4BD，-S，所以.故選：B.7.已知偶函數(shù)f(x)定義域為R，且f(3x)=f(2-3x)，當xe[0,1]時，f(x)=xi2，則函數(shù)g(x)-pos(x-f(x)在區(qū)間上所有零點的和為()A.B.-6C.D.-2【答案】A【解析】【分析】函數(shù)g(x)=os(r)f(x)在區(qū)間上的零點的集合等于函數(shù)y=f(x)和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的交點橫坐標的集合，分析函數(shù)f(x)的圖象特征，作出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)，的零點的集合與方程在區(qū)間上的解集相等，又方程可化為lcos()-f(x)，-ferel在區(qū)間內(nèi)的交點橫坐標的集合相等，因為函數(shù)f(x)為定義域為R的偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關于s軸對稱，因為f(3x)=f(2-3x)，f(1+t)=f(1-t),所以函數(shù)f(1+x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于x=1對稱，又當f(x)=x2,作出函數(shù)y=f(x)，的區(qū)間上的圖象如下：觀察圖象可得函數(shù)y=f(x)，的圖象在區(qū)間上有7個交點，將這7個交點的橫坐標按從小到大依次記為，所以函數(shù)g(3x)=os(rf(x)在區(qū)間上所有零點的和為.故選：A.的最小8.已知平面向量a滿足，且則的最小A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】可設，的最小值.【詳解】可設，得到x,J滿足的關系，再求則-可設則故選：Ba【點睛】方法點睛：由題意可知：a都是單位向量，且夾角確定，所以可先固定a，發(fā)生變化，求最值就簡單了一些.9.對于函數(shù)，下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)的最大值為B.是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心C.是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，即可得到函數(shù)f(x)的圖象【答案】ACD【解析】【分析】先利用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式，把函數(shù)f(x)化成f(x)=Asin(aox+p)+b的形式，再對函數(shù)的性質(zhì)進行分析，判斷各選項是否正確.【詳解】因為.所以，故A正確；函數(shù)f(x)對稱中心的縱坐標必為，故B錯誤；kez由，rez得函數(shù)f(x)的對稱軸方程為：令，得是函數(shù)f(x)的一條對稱軸.故C正確；將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得kez的圖象向右平移個單位，可得到函數(shù)f(x)的圖象.故D正確.故選：ACD10.在正方形ABCD中，48-2，為AB中點，將沿直線D8翻折至位置，使得二面角A-DE-C為直二面角，若為線段AC的中點，則下列結(jié)論中正確的是()A.若點在線段上，則的最小值為B.三棱錐s-uca的體積為C.異面直線a、48所成的角為D.三棱錐A-CDE外接球的表面積為【答案】AC【解析】【分析】對于A，的最小值為可判斷A；對于B，過A作48LDB于日，求得AH，可求三棱錐B-MCB的體積判斷B；對于C；取CE的中點K，則MK14B，取CD的中點B,BK,MK，由余弦定理可求異面直線、AE所成的角判斷C；對于D，取的中點，過點在平面DC內(nèi)作的垂線交區(qū)F于O，求得外接球的半徑，進而可求表面積判斷D.【詳解】對于A，將沿直線Dg翻折至L4D8，可得的最小值為，故A正確；對于B，過A作于H，因為二面角A-DE-C為直二面角，所以平面ADEL平面，又平面4DBn平面DBC-DE，所以AHL平面DBC，由題意可得AD=2,AE=l，由勾股定理可得,因為為線段AC的中點，所以到平面ca的距離為，又，所以，故B錯誤；對于C，取的中點K，則，且，8C-FF-5，a、48所成的角，取CD的中點F，連接MF,BF，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在△BMK中，由余弦定理可得所以，所以異面直線、4B所成的角為，故C正確；對于D，取DE的中點，過點在平面DBC內(nèi)作DE的垂線交BF于O，易得區(qū)F是CD的垂直平分線，所以。是SDEC的外心，又平面A平面，又平面4DBn平面，所以ol又因為C直角三角形ADE的外心，所以。是三棱錐A-CDE的外球的球心，所以三棱錐A-CDE外接球的表面積為，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A.函數(shù)f(x)有兩個零點B.恒成立C.若方程有兩個不等實根，則:的范圍是D.直線與函數(shù)f(x)圖象有兩個交點【答案】BCD【解析】的最小值問題，判斷B的真假；把方程有兩個不等實根，為k=-x2lnx有兩個根的問題，構(gòu)造函數(shù)m(x)=-2lnx，分析函數(shù)m(x)的圖象和性質(zhì)，可得k的取值范圍，判斷C的真假；直線與函數(shù)f(x)圖象有兩個交點轉(zhuǎn)化為有兩解，分析函數(shù)的零點個數(shù)，可判斷D的真假.【詳解】對A：當0<x1時，f(x)>0；當x>1時，f(x)<0；x=1時，f(x)=0，所以函數(shù)f(x)只有1個零點.A錯誤；對B：欲證，須證-在(0,+oo)上恒成立.所以(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..故B正確；所以(x)的最小值為，因為，所以.故B正確；設m(x)=-2lnx，x>0則m'(x)=-2xlnx-x=-x(2lnx+1)，x>0由m'(x)>0；由m'(x)<0.所以m(x)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以m(x)的最大值為：如圖所示：m(x)>0.所以k=-x2lnx.故C正確；對D：問題轉(zhuǎn)化為方程：有兩解，即有兩解.,.n'(x)>0=0<x<4；由n'(x)<0=x>4.所以n(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4,+oo)上單調(diào)遞減.所以n(x)的最大值為.因為8=256，=243，所以=4'>e'所以.且當x>0且x→0時，n(x)<0；時，n(x)<0.所以函數(shù)的圖象如下：所以有兩解成立，所以D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：導數(shù)問題中，求參數(shù)的取值范圍問題，通常有如下方法：（1）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的值域問題求解.（2）轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的極值問題求解.12.等差數(shù)列{a中，是其前n項和.若a1+a=-3，S=10，則.【答案】5【解析】【分析】設數(shù)列{a的公差為d，將條件關系轉(zhuǎn)化為a1,d的方程，解方程求ay,d，由此可求結(jié)論.【詳解】設等差數(shù)列{a的公差為d，所以a+(a,+d)'=-3，5atioz-10，故答案為：5.13.在中的平分線與SC交于點D，且AD=1則LA8C的面積為.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式，余弦定理列方程求AB.AC，再由三角形面積公式求結(jié)論.【詳解】因為，AD為LBAC的平分線，所以AB+AC=乒AB.AC，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB.ACCOS60"，又，所以AB2+AC"-AB.AC=6所以AB.AC=2，所以的面積.故答案為：.14.已知三棱錐P-ABC中，PAL平面ABCP8-3、分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，則線段的長度的最小值為.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得PC的中點。外接球的球心，求得外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑，進而求得兩球心之間的距離，可求得線段的長度的最小值.【詳解】因為PAL平面ABC，所以SABP.SACP是直角三角形，所以,,由余弦定理得,所以，所以BC"+AB=AC2，所以是直角三角形，所以AB上BC，因為PAL平面ABC，BCC平面ABC，所以PA上BC，4，結(jié)合已知可得CB上平面，所以是直角三角形，從而可得PC的中點外接球的球心，故外接球的半徑為，設內(nèi)切球的球心為E，半徑為r，由根據(jù)已知可得，所以，所以，解得，內(nèi)切球在平面ABC的投影為內(nèi)切球的截面大圓，且此圓與LBAC的兩邊相切（記與AC的切點為F球心E在平面ABC的投影為H在LBAC-60e的角平分線上，所以LH4C-30-，由上易知，所以，過作于從而，所以，所以兩球心之間的距離，因為M、N分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，所以線段的長度的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：首先確定內(nèi)外切球球心位置，進而求兩球的半徑和球心距離，再利用空間想象判斷兩球心與位置關系求最小值.15.在三棱柱AC-ABC中，AE=BB=BC=S，AB=4，AC=6，AB上BC，為AC中點.（1）求證：BD山平面ABC；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得BD山AC，利用勾股定理的逆定理可得BDLBD，可證結(jié)論；（2）以B為坐標原點，BC,BA所在直線為X,，過作DB的平行線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】連接BD，因為，所以BD山AC，所以，又BB=5，所以，所以BDLBD，又BDnAC-D，BD,AC仁平面ABC，所以BD山平面ABC；【小問2詳解】以為坐標原點，BC,BA所在直線為X,，過B作DBB的平行線為軸建立如圖所示的空間直角坐標因為AB上BC，所以則 則設平面的一個法向量為，所以平面AEBA的一個法向量為元=(4、j5,0,-5)，又，所以麗-配-(25,0,0，設直線與平面所成的角為，,所以直線SC與平面AEBA所成角的正弦值為.16.已知函數(shù)f(x)=lnx+x2-ax.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）設函數(shù)g(x)=f(x)+e"-2lnx，若g(3)20在(0.+o)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）a的取值范圍為(-20,e+1].【解析】【分析】（1）求函數(shù)f(x)的定義域及導函數(shù)，分別在aso，0<a<2、瓦，a=2、頁，條件下研究導數(shù)的取值情況，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由條件可得,利用導數(shù)求其最小值，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】函數(shù)f(x)=lnx+x2-ax的定義域為(0,+o)，導函數(shù)，當aso時，f"(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+ao)上單調(diào)遞增，當a>0且a'-8<0時，即0<a<2、瓦時，f"(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+ao)上單調(diào)遞增，當a=2、頁時，f"(x)20，當且僅當時f"(x)=0，函數(shù)f(x)在(0,to)上單調(diào)遞增，當時，方程x-a+1-0有兩個不等實數(shù)根，設其根為所以當時，f"(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,x)上單調(diào)遞增，當時，f"(x)<0，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，當時，f"(x)>0，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，所以當as25時，函數(shù)f(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減， 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，【小問2詳解】因為g(x)=f(x)+e"-2lnx，f(x)=lnx+x2-所以g(x)=e"-lnx+x2-ax，不等式可化為,所以設，當x>1時，h'(x)>0，函數(shù)h(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，當0<x<1時，h'(x)<0，函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以當x=1時，函數(shù)h(x)取最小值，最小值為e+1，故ase+1，所以a的取值范圍為(-30,e+1].17.已知在銳角dA8c中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，2acosB=2c-b.（1）求A；（2）若C=2，為BC中點，D=廳，求b；（3）若a=2，求dA8c內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【答案】（1）60e（2）b=4【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的三角函數(shù)公式，可求casA，進而得到角A.（2）利用向量表示，借助向量的數(shù)量積求邊.（3）利用與正弦定理表示出r，借助三角函數(shù)求r的取值范圍.【小問1詳解】因為2acosB=2c-b，根據(jù)正弦定理，得2sinACOSB=2sinc'-sinB,所以2sinACCSB=2sinACCSB+2COSAsinB-sinB=2CCSAsinB=sinB，因為sinB士0，所以【小問2詳解】因為D為BC中點，所以,所以,所以b2+2b-24-0，解得b=4或b--6（舍去故b=4.【小問3詳解】由正弦定理：所以A=60"，所以,B+C=120。,C=120P-B,所以2s=csinA,設dA8c內(nèi)切圓半徑為r，因為為銳角三角形，所以所以，30。<B<90P,,即內(nèi)切圓半徑的取值范圍是：.18.某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，將最近一段時間內(nèi)每日的汽車銷售情況進行了統(tǒng)計，如圖所示.（1）求的值，并求該公司這段時間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；（2）以頻率估計概率，若在這段時間內(nèi)隨機選擇4天，設每日汽車銷售量在[200,250)內(nèi)的天數(shù)為x，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求X的分布列及數(shù)學期望；（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進行一次抽獎活動，規(guī)則如下：在三棱錐A-BCD中，么BCD、eacD均是邊長為2的正三角形現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個標簽中隨機選擇兩個分別貼在A、B兩個頂點，記頂點A、B上的數(shù)字分別為m和n，若E為側(cè)棱AB上一個動點，滿足，當“二面角區(qū)-CD-A大于”即為中獎，求中獎的概率.【答案】（1）a=0.004，175（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1可求a的值，再根據(jù)百分位數(shù)的概念求第60百分位數(shù).（2）根據(jù)條件概率計算，求X的分布列和期望.（3）根據(jù)二面角區(qū)-c衛(wèi)-A大于，求出ma可對應的情況，再求中獎的概率.【小問1詳解】因為：(0.002+0.003+0.004)x50=0.45，(0.002+0.003+0.004+0.006)x50=0.75，所以每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)在[150,200)，且為.【小問2詳解】因為抽取的1天汽車銷售量不超過150輛的概率為0.45，抽取的1天汽車銷售量在[200,250)內(nèi)的概率為.所以：在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在[200,250)內(nèi)的概率為.由題意，X的值可以為：0，1，2，3.且