湖南省邵陽市育英高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

湖南省邵陽市育英高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.42．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點(diǎn).有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，，，，分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)A是橢圓短軸的一個頂點(diǎn)，且，則橢圓的離心率（）A. B.C. D.5．若函數(shù)，則單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.6．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.曲線上 B.曲線上C.直線上 D.直線上7．知點(diǎn)分別為圓上的動.點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，則的最小值（）A. B.C. D.8．等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.9．方程表示的曲線是A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線10．已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對于任意的x∈R，均有，則（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)11．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.12．若點(diǎn)P為拋物線y＝2x2上的動點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___14．已知兩平行直線與間的距離為3，則C的值是________.15．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______16．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，直接寫出線段長度最小值.（不需證明）18．（12分）已知，（1）若，p且q為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3處取得極值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]內(nèi)的最值.21．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對，不等式在上恒成立，求的取值范圍.22．（10分）已知.（1）當(dāng)，時，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）用、表示，寫出推理過程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.2、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點(diǎn)，平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】計(jì)算后，根據(jù)判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計(jì)算，判斷為否，計(jì)算，輸出.故選：B.4、D【解析】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，由余弦定理得，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓幾何性質(zhì)，在中，利用余弦定理求得是關(guān)鍵，屬于中檔題.5、C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.6、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，先化簡，進(jìn)而求出，再由復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因此?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，可知其在曲線上.故選：B7、B【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∴若與關(guān)于x軸對稱，則，即，當(dāng)三點(diǎn)不共線時，當(dāng)三點(diǎn)共線時，所以同理(當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號)所以當(dāng)三點(diǎn)共線時，當(dāng)三點(diǎn)不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.8、D【解析】設(shè)公比為，依題意得到方程，即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)公比為，因?yàn)椋?，所以，即，解得，所以；故選：D9、D【解析】由，得2x+3y?1=0或.即2x+3y?1=0(x?3)為一條射線，或x=4為一條直線.∴方程表示的曲線是一條直線和一條射線.故選D.點(diǎn)睛：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線在求解方程時要注意變量范圍.10、D【解析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，即.故選：D11、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.12、D【解析】根據(jù)拋物線的定義得出當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時，|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)拋物線y＝2x2上點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準(zhǔn)線方程為y＝－，∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：14、【解析】根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式即可得解.【詳解】兩平行直線與間的距離為3，所以，所以故答案為：15、①.②.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項(xiàng)公式；，采用裂項(xiàng)相消的方法求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.16、2【解析】由已知可用表示，代入所求式子后，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求【詳解】解：由題意得，即，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，上式取得最小值4，故的最小值2故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，根據(jù)中位線定理即可證，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由菱形的性質(zhì)可知，可證，又底面，可得，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)等體積法，即，經(jīng)過計(jì)算直接寫出結(jié)果即可.【小問1詳解】證明：設(shè)，連結(jié).因?yàn)榈酌鏋榱庑危詾榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】證明：因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所?因?yàn)榈酌妫?又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問3詳解】解：線段長度的最小值為.18、（1）；（2）.【解析】(1)解一元二次不等式可得命題p，q所對集合，再求交集作答.(2)求出命題q所對集合，再利用集合的包含關(guān)系列式計(jì)算作答.【小問1詳解】解不等式得：，則命題p所對集合，當(dāng)時，解不等式得：，則命題q所對集合，由p且q為真命題，則，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是.【小問2詳解】解不等式得：，則命題q所對集合，因p是q的充分條件，則，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算基本量從而得出的通項(xiàng)公式；（2）由(1)可得，再由裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以有，，聯(lián)立兩式解得或又因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】∵，∴，∴20、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個根為﹣1和3，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求，（2）由（1）可求，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最值.【詳解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個根為﹣1和3，則，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【點(diǎn)睛】本題考查利用極值求函數(shù)的參數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題21、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）【解析】（1）求導(dǎo)可得，分析正負(fù)即得解；（2）轉(zhuǎn)化在上恒成立為，分析函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為f(1)≤1f(-1)≤1，求解即可【小問1詳解】當(dāng)時，令，解得，，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：↘極小值↗極大值↘極小值↗所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問2詳解】由條件可知，從而恒成立當(dāng)時，；當(dāng)時，因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者為使對任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且