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文檔簡介
2025屆山東省蓬萊第二中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過作雙曲線的一條漸近線的垂線,分別交兩條漸近線于點(diǎn)、,過點(diǎn)作軸的垂線,垂足恰為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.43.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.4.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知集合,,若,則()A. B. C. D.6.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個(gè)四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.7.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗(yàn)(指標(biāo)值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)8.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.9.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,10.若的二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.411.已知向量,(其中為實(shí)數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)滿足:①是偶函數(shù);②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.則同時(shí)滿足①②的,的一組值可以分別是__________.14.在四面體中,與都是邊長為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_______.15.在長方體中,,,,為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離是______.16.某外商計(jì)劃在個(gè)候選城市中投資個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過個(gè),則該外商不同的投資方案有____種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.18.(12分)運(yùn)輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí),每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時(shí)的損耗為m元(),運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾(千米).設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用(包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi))分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達(dá)式;(2)試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.21.(12分)“綠水青山就是金山銀山”,為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識,高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組,分為兩組,討論學(xué)習(xí).甲組一共有人,其中男生人,女生人,乙組一共有人,其中男生人,女生人,現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.(1)設(shè)事件為“選出的這個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生,而且這兩個(gè)男生必須來自不同的組”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和期望22.(10分)某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn),現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì),該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(fèi)(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時(shí)的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元,如果參保,保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲,若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對此疾病所支付的費(fèi)用為元;若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn),針對此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
設(shè)點(diǎn)位于第二象限,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由直線與直線垂直,轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值,進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第二象限,由于軸,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,即點(diǎn),由題意可知,直線與直線垂直,,,因此,雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算,解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、C【解析】
將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.3、B【解析】
由可得,所以,故選B.4、B【解析】
令,則,由圖象分析可知在上有兩個(gè)不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令,則,如圖與頂多只有3個(gè)不同交點(diǎn),要使關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則有兩個(gè)不同的根,設(shè)由根的分布可知,,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個(gè)數(shù)問題,涉及到一元二次方程根的分布,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.5、A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【詳解】,,,即:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的含義,也考查了元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個(gè)四棱錐中最長棱的長度是.故選.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算,正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分,不是最強(qiáng)的,故D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】分析:題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為,利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解:由題設(shè)有,故,故選A.點(diǎn)睛:本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算.【詳解】的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個(gè)條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.12、D【解析】由題意得,函數(shù)點(diǎn)定義域?yàn)榍?,所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、,【解析】
根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及,可取,則,由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,得,,即,,可取.故,的一組值可以分別是,.故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
先確定球心的位置,結(jié)合勾股定理可求球的半徑,進(jìn)而可得球的面積.【詳解】取的外心為,設(shè)為球心,連接,則平面,取的中點(diǎn),連接,,過做于點(diǎn),易知四邊形為矩形,連接,,設(shè),.連接,則,,三點(diǎn)共線,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問題,外接球的半徑的求解一般有兩個(gè)思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.15、【解析】
利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,解得故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).16、60【解析】試題分析:每個(gè)城市投資1個(gè)項(xiàng)目有種,有一個(gè)城市投資2個(gè)有種,投資方案共種.考點(diǎn):排列組合.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BC,所以因?yàn)?所以.即又.所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面(2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則,所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由.得令,得又平面,所以平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查二面角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18、(1),,.(2)當(dāng)時(shí),此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最??;當(dāng)時(shí),此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最?。划?dāng)時(shí),此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【解析】
(1)將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.(2)作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比較與的大小關(guān)系即可,令,故當(dāng),即時(shí),,即,此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省,當(dāng),即時(shí),,即,此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.當(dāng),即時(shí),,,此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【點(diǎn)睛】本題考查了常見函數(shù)的模型,考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1):,:;(2),此時(shí).【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因?yàn)槭侵本€,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn):坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎR姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確保互化前后方程的等價(jià)性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關(guān)系,從而得解;【詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)?,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個(gè)法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)分布列見解析,.【解析】
(Ⅰ)直接利用古典概型概率公式求.(Ⅱ)先由題得可能取值為,再求x的分布列和期望.【詳解】(Ⅰ)(Ⅱ)可能取值為,,,,,的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的計(jì)算,考查隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知
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