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文檔簡介
上海市理工大附中2025屆高三數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.2.已知曲線且過定點,若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.3.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.4.復數(shù)的模為().A. B.1 C.2 D.5.已知復數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.6.一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進價元,乙每件進價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件7.已知函數(shù)是上的減函數(shù),當最小時,若函數(shù)恰有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-9.設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則10.已知函數(shù)的導函數(shù)為,記,,…,N.若,則()A. B. C. D.11.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是上的單調函數(shù)的是()A. B.C. D.12.是平面上的一定點,是平面上不共線的三點,動點滿足,,則動點的軌跡一定經過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內心二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則的值等于__________.14.直線(,)過圓:的圓心,則的最小值是______.15.若復數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則的共軛復數(shù)在復平面內對應點的坐標為_____.16.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎,有人走訪了四位歌手,甲說“是乙或丙獲獎.”乙說:“甲、丙都未獲獎.”丙說:“我獲獎了”.丁說:“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎的歌手是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.(1)求證:平面平面;(2)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.18.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(Ⅱ)設,求證:;(Ⅲ)若對于恒成立,求的最大值.19.(12分)在中,內角所對的邊分別為,已知,且.(I)求角的大?。唬á颍┤?,求面積的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點.(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)的極大值點和極小值點分別為和,且,求實數(shù)a的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底數(shù))21.(12分)隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展,我國對于環(huán)境保護越來越重視,企業(yè)的環(huán)保意識也越來越強.現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng),并制定如下方案:每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用預算定為1200萬元,日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng),若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標,則立即檢查污染源處理系統(tǒng);若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標,則立即同時啟動另外2套系統(tǒng)進行1小時的監(jiān)測,且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標,也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設每個時間段(以1小時為計量單位)被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標的概率均為,且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標情況相互獨立.(1)當時,求某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行成本為300元/小時(不啟動則不產生運行費用),除運行費用外,所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實施,問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)?并說明理由.22.(10分)已知橢圓的左,右焦點分別為,,,M是橢圓E上的一個動點,且的面積的最大值為.(1)求橢圓E的標準方程,(2)若,,四邊形ABCD內接于橢圓E,,記直線AD,BC的斜率分別為,,求證:為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點為,若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用,解題時要注意挖掘隱含條件.2、A【解析】
根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點,確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,,當且僅當時等號成立,即時取得最小值.故選:A【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質,以及基本不等式求最值,意在考查轉化與變形,基本計算能力,屬于基礎題型.3、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉化為函數(shù)的圖象在有7個交點,而函數(shù)在上有3個交點,則在上有4個不同的交點,數(shù)形結合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根,則在上有4個不同的實數(shù)根,當直線經過時,;當直線經過時,,可知當時,直線與的圖象在上有4個交點,即方程,在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵,運用數(shù)形結合是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.4、D【解析】
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)模的計算公式求解.【詳解】解:,復數(shù)的模為.故選:D.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)模的求法,屬于基礎題.5、D【解析】
把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)模的公式計算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)模的求法,是基礎題.6、D【解析】
由題意列出約束條件和目標函數(shù),數(shù)形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當經過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負數(shù),并準確的畫出可行域,本題是一道基礎題.7、A【解析】
首先根據(jù)為上的減函數(shù),列出不等式組,求得,所以當最小時,,之后將函數(shù)零點個數(shù)轉化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題,畫出圖形,數(shù)形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數(shù),則有,可得,所以當最小時,,函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根,等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點.畫出函數(shù)的簡圖如下,而函數(shù)恒過定點,數(shù)形結合可得的取值范圍為.故選:A.【點睛】該題考查的是有關函數(shù)的問題,涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調減求參數(shù)的取值范圍,根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,數(shù)形結合思想的應用,屬于中檔題目.8、A【解析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復數(shù)共軛的概念,屬于基礎題.9、C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯誤;在B中,若,,則或,故B錯誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯誤.故選C.【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,是中檔題.10、D【解析】
通過計算,可得,最后計算可得結果.【詳解】由題可知:所以所以猜想可知:由所以所以故選:D【點睛】本題考查導數(shù)的計算以及不完全歸納法的應用,選擇題、填空題可以使用取特殊值,歸納猜想等方法的使用,屬中檔題.11、C【解析】
對選項逐個驗證即得答案.【詳解】對于,,是偶函數(shù),故選項錯誤;對于,,定義域為,在上不是單調函數(shù),故選項錯誤;對于,當時,;當時,;又時,.綜上,對,都有,是奇函數(shù).又時,是開口向上的拋物線,對稱軸,在上單調遞增,是奇函數(shù),在上是單調遞增函數(shù),故選項正確;對于,在上單調遞增,在上單調遞增,但,在上不是單調函數(shù),故選項錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的基本性質,屬于基礎題.12、B【解析】
解出,計算并化簡可得出結論.【詳解】λ(),∴,∴,即點P在BC邊的高上,即點P的軌跡經過△ABC的垂心.故選B.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應用,根據(jù)條件中的角計算是關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用導數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知,,,故.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,要注意在某點的切線與過某點的切線的區(qū)別,本題屬于基礎題.14、;【解析】
求出圓心坐標,代入直線方程得的關系,再由基本不等式求得題中最小值.【詳解】圓:的標準方程為,圓心為,由題意,即,∴,當且僅當,即時等號成立,故答案為:.【點睛】本題考查用基本不等式求最值,考查圓的標準方程,解題方法是配方法求圓心坐標,“1”的代換法求最小值,目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”.15、【解析】
把已知等式變形,再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求出得答案.【詳解】,,則,的共軛復數(shù)在復平面內對應點的坐標為,故答案為【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準確計算是關鍵,是基礎題.16、丙【解析】若甲獲獎,則甲、乙、丙、丁說的都是錯的,同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況,可知獲獎的歌手是丙.考點:反證法在推理中的應用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)存在,長【解析】
(1)先證面,又因為面,所以平面平面.(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標系.列出各點的坐標表示,設,則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長.【詳解】解:(1)證明:因為四邊形為矩形,∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面(2)取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標系.如圖所示:則,,,,,設,;∴,,設平面的法向量為,∴,不防設.∴,化簡得,解得或;當時,,∴;當時,,∴;綜上存在這樣的點,線段的長.【點睛】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用,考查利用線面所成角求參數(shù)問題,是幾何綜合題,考查空間想象力以及計算能力.18、(Ⅰ)函數(shù)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)利用二次求導可得,所以在上為增函數(shù),進而可得函數(shù)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,則,進而可證;(Ⅲ)條件等價于對于恒成立,構造函數(shù),利用導數(shù)可得的單調性,即可得到的最小值為,再次構造函數(shù)(a),,利用導數(shù)得其單調區(qū)間,進而求得最大值.【詳解】(Ⅰ)當時,,則,所以,又因為,所以在上為增函數(shù),因為,所以當時,,為增函數(shù),當時,,為減函數(shù),即函數(shù)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;(Ⅱ),則令,則(1),,所以在區(qū)間上存在唯一零點,設零點為,則,且,當時,,當,,,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,,由,得,所以,由于,,從而;(Ⅲ)因為對于恒成立,即對于恒成立,不妨令,因為,,所以的解為,則當時,,為增函數(shù),當時,,為減函數(shù),所以的最小值為,則,不妨令(a),,則(a),解得,所以當時,(a),(a)為增函數(shù),當時,(a),(a)為減函數(shù),所以(a)的最大值為,則的最大值為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值,以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法,意在考查學生等價轉化思想和數(shù)學運算能力,屬于較難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(I)根據(jù),利用二倍角公式得到,再由輔助角公式得到,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質求解.(Ⅱ)根據(jù)(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【詳解】(I)因為,所以,,,或,或,因為,所以所以;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,當且僅當取等號,又因為,所以,所以【點睛】本題主要考查二倍角公式,輔助角公式以及余弦定理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)首先對函數(shù)求導,根據(jù)函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點求出a的取值范圍;(2)首先求出的值,再根據(jù)求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為是,,若有兩個極值點,則方程一定有兩個不等的正根,設為和,且,所以解得,此時,當時,,當時,,當時,,故是極大值點,是極小值點,故實數(shù)a的取值范圍是;(2)由(1)知,,,則,,,由,得,即,令,考慮到,所以可化為,而,所以在上為增函數(shù),由,得,故實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點和單調性,利用函數(shù)單調性證明不等式,屬于難題.21、(1);(2)不會超過預算,理由見解析【解析】
(1)求出某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,可得某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)設某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運行費用為元,則的可能取值為900,1500.求得,,
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