信號(hào)與系統(tǒng)第2版 課件 3連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析

信號(hào)與系統(tǒng)主講：嚴(yán)國(guó)志信號(hào)與系統(tǒng)

課程目錄第1章緒論第2章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第4章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第6章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第7章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析2024/10/162第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的

頻域分析第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析2024/10/1643.1引

言3.2連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻域分析3.3連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的頻域分析3.4抽樣定理3.5連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析習(xí)題3.1引言2024/10/165連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析：先討論周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、進(jìn)而討論傅里葉變換，將連續(xù)時(shí)間信號(hào)表示為不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和，建立信號(hào)頻譜的概念。研究典型信號(hào)的頻譜分析、傅里葉變換性質(zhì)及其在信號(hào)的抽樣方面的應(yīng)用。在信號(hào)頻域分析的基礎(chǔ)上，討論信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的頻域求解方法，建立連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，及其在無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)、理想低通濾波器等方面的應(yīng)用。3.2連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻域分析3.2.1三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)3.2.2指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)3.2.3周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)3.2.4周期信號(hào)的頻譜3.2.5周期信號(hào)的功率譜3.2.1三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論，如果周期信號(hào)

x

(t)

滿(mǎn)足狄利克雷(Dirichlet)條件：在一個(gè)周期T內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)該是有限個(gè)；在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即由于三角函數(shù)集是完備正交函數(shù)集，則該周期信號(hào)可由三角函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)表示：3.2.1三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)其中:是基波角頻率，簡(jiǎn)稱(chēng)基波頻率。是基波角頻率的k倍頻率，稱(chēng)為k次諧波頻率。T是周期信號(hào)x

(t)的周期，1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.1三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)利用三角函數(shù)的邊角關(guān)系，可以將一般三角形式化為

標(biāo)準(zhǔn)三角形式：其中直流幅度k

次諧波振幅k

次諧波相位1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.1三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)例3.1求圖3-1所示周期矩形脈沖的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示。解:該周期信號(hào)x

(t)顯然滿(mǎn)足狄利克雷的三個(gè)條件，必然存在傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。由于x(t)為偶函數(shù)，有：bk=01.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.1三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)所以周期矩形脈沖的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.2指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)表示其中為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)：

也可以由三角形式推導(dǎo)得來(lái)。1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.2指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉系數(shù)與及之間的關(guān)系：偶對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng)將Xk寫(xiě)成模與幅角的形式：1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.2指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)例3.1：求圖3-1所示周期矩形脈沖的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)表示。解:所以周期矩形脈沖的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：3.2.3周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)若周期信號(hào)波形是關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的，即滿(mǎn)足

則表示周期信號(hào)是偶對(duì)稱(chēng)信號(hào)。1．偶對(duì)稱(chēng)信號(hào)其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為3.2.3周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)若周期信號(hào)波形是關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的，即滿(mǎn)足

則表示周期信號(hào)是奇對(duì)稱(chēng)信號(hào)。2．奇對(duì)稱(chēng)信號(hào)

其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為3.2.3周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)

則表示周期信號(hào)是半波重疊信號(hào)。3．半波重疊信號(hào)

若周期信號(hào)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后，與原波形完全重合，即滿(mǎn)足其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為3.2.3周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)

則表示周期信號(hào)是半波鏡像信號(hào)。4．半波鏡像信號(hào)

若周期信號(hào)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后，與原波形呈現(xiàn)上下鏡像對(duì)稱(chēng)，即滿(mǎn)足其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.4周期信號(hào)的頻譜（1）頻譜的概念周期信號(hào)x

(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和

不同的周期信號(hào)，只是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Xk不同，因此可以通過(guò)研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)來(lái)研究信號(hào)的特性。

Xk是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)各正弦波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱(chēng)頻譜函數(shù)。1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.4周期信號(hào)的頻譜（2）頻譜的表示

直接畫(huà)出信號(hào)各次諧波對(duì)應(yīng)的Xk線(xiàn)狀分布圖形，這種圖形稱(chēng)為信號(hào)的頻譜圖。幅值頻譜相位頻譜幅值頻譜相位頻譜1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.4周期信號(hào)的頻譜例3.4已知周期信號(hào)x(t)，畫(huà)出其頻譜圖。解：將整理為標(biāo)準(zhǔn)三角形式幅值頻譜與相位頻譜如圖所示1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.4周期信號(hào)的頻譜021/2110(a)幅值頻譜圖(b)相位頻譜圖3.2.4周期信號(hào)的頻譜2024/10/1623將整理為指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式振幅譜與相位譜如圖所示

..3.2.4周期信號(hào)的頻譜2024/10/16240011/21/411/21/41(b)相位圖(a)振幅圖021/2110.1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.4周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.4周期信號(hào)的頻譜總結(jié)：同一個(gè)周期信號(hào)，既可以展開(kāi)成三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，又可展開(kāi)成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。二者形式雖不同，實(shí)質(zhì)完全是一致的。指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)中有負(fù)頻率項(xiàng)，這只是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，并不表示真正存在以負(fù)的頻率進(jìn)行振蕩的分量，負(fù)的頻率項(xiàng)與相應(yīng)的正的頻率項(xiàng)合起來(lái)才代表一個(gè)振蕩分量。兩項(xiàng)的基波頻率為f0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱(chēng)為信號(hào)的基波分量的基波頻率為2f0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱(chēng)為信號(hào)的2次諧波分量的基波頻率為Nf0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱(chēng)為信號(hào)的N次諧波分量1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.4周期信號(hào)的頻譜（3）頻譜的特性周期信號(hào)的頻譜是由間隔為ω0的譜線(xiàn)組成。信號(hào)周期T越大，ω0就越小，則譜線(xiàn)越密。反之，T越小，ω0越大，譜線(xiàn)則越疏。1.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)3.2.5周期信號(hào)的功率譜帕塞瓦爾(Parseval)定理

物理意義：任意周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。

周期信號(hào)的功率頻譜：|Xk|2

隨kw0

分布情況稱(chēng)為周期信號(hào)的功率頻譜，簡(jiǎn)稱(chēng)功率譜。3.2.5周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的平均功率周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式時(shí)域功率信號(hào)證明：3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1630例3.6試畫(huà)出周期矩形脈沖信號(hào)的功率譜，并計(jì)算頻率在

內(nèi)頻譜分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。其中A=1，T=1/2，

=1/10。3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1631解：

周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為將A=1，T=1/2，

=1/10，w0=2p/T=4p

代入上式功率譜3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1632包含在(0~2p/t)內(nèi)的各頻譜平均功率為周期矩形脈沖信號(hào)包含在0~2p/t的各頻譜平均功率之和占整個(gè)信號(hào)平均功率的90%。信號(hào)的平均功率為3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/16330~2

/

這段頻率范圍稱(chēng)為周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度,即：信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間

成反比。即：

越大，其ωB越??；反之，

越小，其ωB越大。

物理意義：若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1634例3.7求圖所示周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式。并用MATLAB畫(huà)出含前N次諧波的近似波形。該周期性矩形脈沖信號(hào)可表示為：3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1635MATLAB程序如下：%例題3-6A=1;T=2;tao=T/2;t=-2:0.001:2;N=input('Numberofharmonic=')X0=A*tao/T;w0=2*pi/T;X=X0*ones(1,length(t));%直流分量fork=1:1:N;X=X+2*X0*sinc(k*w0*tao/2/pi)*cos(k*w0*t);endplot(t,X)3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1636取不同τ值3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1637取不同T值3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1638吉伯斯現(xiàn)象用含有限次諧波分量來(lái)近似原信號(hào)，在不連續(xù)點(diǎn)出現(xiàn)過(guò)沖，過(guò)沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且為跳變值的9%。吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因時(shí)間信號(hào)存在跳變破壞了信號(hào)的收斂性，使得在間斷點(diǎn)傅里葉級(jí)數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。3.2.5周期信號(hào)的功率譜2024/10/1639周期信號(hào)的頻域分析小結(jié)分析問(wèn)題使用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉級(jí)數(shù)最重要概念：頻譜函數(shù)要點(diǎn) 1.頻譜的定義、物理意義 2.頻譜的特點(diǎn) 3.頻譜的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)分析復(fù)雜信號(hào)的頻譜3.3連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的頻域分析3.3.1傅立葉變換3.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)3.3.4

周期信號(hào)的傅立葉變換3.3.1傅立葉變換2024/10/1641討論周期T增加對(duì)離散譜的影響：3.3.1傅立葉變換周期信號(hào)x

(t)，其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為：取T

∞，即ω0

0，

kω0

ω并在兩邊乘以T，有：該積分的結(jié)果是ω的函數(shù)，與k無(wú)關(guān)，記之為X(jω)

,即：傅立葉變換3.3.1傅立葉變換（1）周期信號(hào)的頻譜為離散頻譜Xk，

非周期信號(hào)的頻譜為連續(xù)頻譜X(jω)。（2）周期信號(hào)的頻譜為Xk的分布，表示每個(gè)諧波分量的復(fù)振幅;非周期信號(hào)的頻譜為T(mén)Xk的分布，表示單位帶寬內(nèi)所有

諧波分量合成的復(fù)振幅，稱(chēng)為頻譜密度函數(shù)。兩者關(guān)系：3.3.1傅立葉變換T

,記w0=2p/T=dw,kw0=w,有：傅里葉反變換物理意義：非周期信號(hào)可以分解為無(wú)數(shù)個(gè)頻率為

，復(fù)振幅為[X(j

)/2p]d

的復(fù)指數(shù)信號(hào)ejwt的線(xiàn)性組合。3.3.1傅立葉變換非周期信號(hào)x

(t)的傅里葉變換非周期信號(hào)x(t)傅里葉反變換：傅里葉變換存在的充分條件為應(yīng)滿(mǎn)足絕對(duì)可積

3.3.1傅立葉變換一般是復(fù)函數(shù)是振幅譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)振幅譜是相位譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)相位譜若是實(shí)函數(shù)，是頻率的偶函數(shù)。

的奇函數(shù)若是實(shí)偶函數(shù)，

的實(shí)函數(shù)。是實(shí)奇函數(shù)，的虛函數(shù)。例3.8試求下圖非周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換。解:

非周期矩形脈沖信號(hào)x(t)的時(shí)域表示式為由傅立葉變換定義式，可得3.3.1傅立葉變換0振幅譜相位譜0信號(hào)主要能量集中在頻譜函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)之內(nèi)，它的頻帶寬度：或門(mén)函數(shù)在時(shí)域中是時(shí)寬有限的信號(hào)，而它的頻譜是按的規(guī)律變化、無(wú)限頻寬的頻譜。0……3.3.1傅立葉變換3.3.1傅立葉變換1.非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜的包絡(luò)線(xiàn)相同。2.周期信號(hào)的離散頻譜可以通過(guò)對(duì)非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜等間隔取樣求得3.信號(hào)在時(shí)域有限，則在頻域?qū)o(wú)限延續(xù)。4.信號(hào)的頻譜分量主要集中在零頻到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。5.脈沖寬度

越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。symsx

t

x=exp(-2*t)*sin(2*pi*t)*heaviside(t)subplot(311)ezplot(x)title('衰減正弦信號(hào)')X=fourier(x);subplot(312)ezplot(abs(X))title('幅度譜')subplot(313)ezplot(angle(X))title('相位譜')3.3.1傅立葉變換

MATLAB符號(hào)工具箱提供了求解傅里葉變換的函數(shù)

fourier()和求解傅里葉逆變換的函數(shù)

ifourier()。例3.9利用MATLAB計(jì)算并畫(huà)出衰減正弦信號(hào)的頻譜。3.3.1傅立葉變換由于函數(shù)fourier()和ifourier()得到的返回函數(shù)為符號(hào)表達(dá)式。則對(duì)返回函數(shù)作圖需要用到ezplot()命令。3.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換單邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)e-|t|

單位沖激信號(hào)

(t)

直流信號(hào)符號(hào)函數(shù)信號(hào)單位階躍信號(hào)ε(t)3.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換(1)單邊指數(shù)信號(hào)幅度譜為相位譜為3.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換(2)雙邊指數(shù)信號(hào)e-α|t|幅度譜為

相位譜為3.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換(3)單位沖激信號(hào)δ(t)單位沖激信號(hào)及其頻譜3.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換(4)直流信號(hào)沖激函數(shù)的傅里葉反變換為或FF03.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換直流信號(hào)及其頻譜對(duì)照沖激信號(hào)、直流信號(hào)的頻譜曲線(xiàn)也看出:時(shí)域持續(xù)越寬的信號(hào)，其頻域的頻譜越窄；時(shí)域持續(xù)越窄的信號(hào)，其頻域的頻譜越寬。3.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換（5）符號(hào)函數(shù)信號(hào)σ>03.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換幅度譜為

3.3.2典型非周期信號(hào)的傅立葉變換(6)單位階躍信號(hào)ε(t)3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)若則其中a和b均為常數(shù)。證：(1)線(xiàn)性特性3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)若則式中t0為任意實(shí)數(shù)證：令同理信號(hào)在時(shí)域中的時(shí)移，對(duì)應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。(2)時(shí)移特性解：由門(mén)函數(shù)的傅里葉變換再由線(xiàn)性與時(shí)移性，得到與門(mén)函數(shù)x(t)的關(guān)系為00例3.10:求如圖示信號(hào)的頻譜函數(shù)3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)00……3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)0……3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)若則式中

0為任意實(shí)數(shù)證明：由傅立葉變換定義有 (3)頻移特性（調(diào)制定理）信號(hào)x(t)與余弦信號(hào)cosw0

t相乘后，其頻譜是將原來(lái)信號(hào)頻譜向左右搬移w0，幅度減半。同理3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)解：已知寬度為

的矩形脈沖信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)例3.11試求矩形脈沖信號(hào)x(t)與余弦信號(hào)cosw0t相乘后信號(hào)的頻譜。3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)證:令u=at，則du=adt，代入上式可得特別(4)尺度變換特性3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)時(shí)域壓縮，則頻域展寬時(shí)域展寬，則頻域壓縮3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)證：將變量t與ω?fù)Q用(5)互易對(duì)稱(chēng)特性02πx(-ω)ω(2π)tX(jt)=1010X(jω)=1ω1例如：3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)0(1)tx(t)3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)又如：例3-113.3.3傅立葉變換的性質(zhì)交換積分次序利用時(shí)延性證：用于頻域法求解信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)域兩個(gè)函數(shù)的卷積頻域頻譜函數(shù)的相乘若：則：(6)時(shí)域卷積特性例：已知

,,試?yán)脮r(shí)域卷積特性求解：由時(shí)域卷積定理:取傅里葉逆變換:3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)2024/10/1676若：則：時(shí)域兩個(gè)函數(shù)的乘積頻域頻譜函數(shù)的卷積信號(hào)在時(shí)域的截短（與矩形信號(hào)乘積），則頻譜為：原信號(hào)的頻譜與矩形信號(hào)頻譜的卷積。(7)頻域卷積特性3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)若則證明：因此有(8)時(shí)域微分特性上式兩端對(duì)

t求微分，從而得反復(fù)利用上式可得：時(shí)域微分舉例3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)解：由時(shí)域微分特性因此有3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)例3.13試?yán)梦⒎痔匦郧缶匦蚊}沖信號(hào)的頻譜函數(shù)。3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)若則若信號(hào)不存在直流分量，即X(0)=0則(9)時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性的證明證明：由于應(yīng)用時(shí)域卷積性質(zhì)，有3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)若則證明：將上式兩邊同乘以j得：(10)頻域微分特性反復(fù)利用上式可得：即：解:

已知單位階躍信號(hào)傅立葉變換為:利用頻域微分特性可得:3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)例3.14

試求單位斜坡信號(hào)tε(t)的傅立葉變換。3.3.3傅立葉變換的性質(zhì)若則若則(11)共軛對(duì)稱(chēng)特性(12)非周期信號(hào)的能量譜密度3.3.4周期信號(hào)的傅立葉變換(1)虛指數(shù)信號(hào)同理:得:由:3.3.4

周期信號(hào)的傅立葉變換(2)正弦信號(hào)余弦信號(hào)及其頻譜函數(shù)3.3.4

周期信號(hào)的傅立葉變換(3)一般周期信號(hào)將周期為T(mén)的周期信號(hào)xT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表示為：兩邊同取傅立葉變換

3.3.4

周期信號(hào)的傅立葉變換（4）周期單位沖激序列因?yàn)?/p>

T(t)為周期信號(hào)，先將其展開(kāi)為指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)：其中0的頻譜函數(shù)如圖所示3.3.4

周期信號(hào)的傅立葉變換3.4抽樣定理

取樣過(guò)程信號(hào)的取樣過(guò)程取樣器（開(kāi)關(guān)函數(shù)）

取樣模型)(tx-+-+)(tx取樣信號(hào)能否包含原連續(xù)信號(hào)的全部信息?3.4

抽樣定理3.4

抽樣定理

若連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜函數(shù)為X(jw)，的頻譜函數(shù)Xs(jw)=？

10

m－m3.4

抽樣定理3.4

抽樣定理……－m

m1/Ts0

s－s……－m

m1/Ts0

s－s3.4

抽樣定理……－m

m1/Ts0

s－s混疊(aliasing)抽樣信號(hào)xs(t)頻譜與抽樣間隔T關(guān)系：混疊(aliasing)3.4

抽樣定理3.4

抽樣定理結(jié)論：Xs(jω)以為ωs周期，是X

(jω)的周期延拓；如ωs≥2ωm，頻譜周期擴(kuò)展后各相鄰的頻譜不會(huì)發(fā)生混疊現(xiàn)象；k=0時(shí)，Xs(jω)=X

(jω)／Ts，包含了原信號(hào)的全部信息。3.4

抽樣定理時(shí)域取樣定理若帶限信號(hào)x(t)的最高率為fm，當(dāng)抽樣間隔Ts不大于1/2fm，或最低抽樣頻率fs不小于2fm時(shí)，則信號(hào)x(t)用其等間隔的抽樣值xs(t)表示后，能完全不失真地恢復(fù)原信號(hào)。即：從抽樣信號(hào)xs(t)中恢復(fù)原信號(hào)x(t)，需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：fs

=

2fm

為最小取樣頻率，稱(chēng)為Nyquist頻率(1)x(t)是帶限信號(hào)，即其頻譜函數(shù)在|ω|>ωm各處為零；(2)抽樣間隔Ts需滿(mǎn)足，或抽樣頻率fs需滿(mǎn)足fs

2fm

（或ωs

2ωm）

。

Nyquist，美國(guó)物理學(xué)家，1889年出生在瑞典。1976年在Texas逝世。他對(duì)信息論做出了重大貢獻(xiàn)。1907年移民到美國(guó)并于1912年進(jìn)入北達(dá)克塔大學(xué)學(xué)習(xí)。1917年在耶魯大學(xué)獲得物理學(xué)博士學(xué)位。1917～1934年在AT&T公司工作，后轉(zhuǎn)入Bell電話(huà)實(shí)驗(yàn)室工作。

1927年，Nyquist確定了對(duì)某一帶寬有限的連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行抽樣，且在抽樣率達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，根據(jù)這些抽樣值可以在接收端準(zhǔn)確地恢復(fù)原信號(hào)。為不使原波形產(chǎn)生“半波損失”，采樣率至少應(yīng)為信號(hào)最高頻率的2倍，這就是著名的Nyquist采樣定理。3.4

抽樣定理例3.16：已知實(shí)信號(hào)x(t)的最高頻率為fm

(Hz)，試計(jì)算對(duì)各信號(hào)x(2t)，x(t)*x(2t)，x(t)

x(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。對(duì)信號(hào)x(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為4fm；對(duì)x(t)*x(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為2fm；對(duì)x(t)

x(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為6fm；解：根據(jù)信號(hào)時(shí)域與頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系及抽樣定理得：3.4

抽樣定理其最高頻率為fm?2fm=fm其最高頻率為fm+2fm=3fm其最高頻率為afm，3.5

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析

LTI系統(tǒng)分析的一個(gè)基本任務(wù)，是求解系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，基本方法是將信號(hào)分解為基本信號(hào)元的線(xiàn)性組合。

頻域分析是將虛指數(shù)信號(hào)作為基本信號(hào)元，任意信號(hào)可以由不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)表示。

如果已知LTI系統(tǒng)對(duì)虛指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)，利用LTI系統(tǒng)的疊加、比例與時(shí)不變性就可以得到任意信號(hào)的響應(yīng)。LTI系統(tǒng)的頻域分析法是一種變換域分析法，即把時(shí)域中求解響應(yīng)問(wèn)題通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻域之中，求解后再回到時(shí)域，從而得到最終結(jié)果。3.5

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析2024/10/161023.5.1連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析3.5.3正弦信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)3.5.4無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)3.5.5理想低通濾波器3.5.1

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)若連續(xù)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)

,假設(shè)h(t)是絕對(duì)可積的,即定義為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的傅立葉變換。系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的相頻特性3.5.1

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1．虛指數(shù)信號(hào)

(-

<t<

)通過(guò)連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

其中虛指數(shù)信號(hào)作用于線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的虛指數(shù)信號(hào)，虛指數(shù)信號(hào)的幅度和相位由系統(tǒng)的頻率響應(yīng)確定.

3.5.1

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2．任意非周期信號(hào)通過(guò)連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

若信號(hào)x(t)的Fourier存在，則可由虛指數(shù)信號(hào)ejwt(-

<t<

)的線(xiàn)性組合表示，即由系統(tǒng)的線(xiàn)性時(shí)不變特性，可推出信號(hào)x(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。由疊加特性即由線(xiàn)性性Yzs(jw)3.5.1連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例3.17

已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。解：利用H(jw)與h(t)的關(guān)系3.5.1連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析已知描述系統(tǒng)的微分方程方程兩邊進(jìn)行Fourier變換，并利用時(shí)域微分特性，有可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換為求傅里葉反變換可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的對(duì)

可見(jiàn)傅里葉變換可以將時(shí)域描述的連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程變換為頻域描述的連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的代數(shù)方程，這將簡(jiǎn)化對(duì)系統(tǒng)的分析和求解。例3.18已知某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=3x'(t)+4x(t)，系統(tǒng)的輸入激勵(lì)x(t)=e-tε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。輸入激勵(lì)x(t)的頻譜函數(shù)為解：由微分方程可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)的頻譜函數(shù)Yzs(jw)為3.5.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析對(duì)

用部分分式展開(kāi)由傅里葉反變換，可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)3.5.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析例3.19

圖示RC電路系統(tǒng)，激勵(lì)電壓源為x(t)，輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和單位沖激響應(yīng)h(t)。解:由基爾霍夫電壓定律可得由于可得3.5.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析由Fourier反變換，得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)為對(duì)方程兩邊進(jìn)行傅里葉變換，可得系統(tǒng)得頻率響應(yīng)低通濾波器3.5.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析3.5.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析

MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的freqs函數(shù)可以直接計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。freqs的調(diào)用形式為H=freqs(b,a,w)當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為的有理多項(xiàng)式時(shí)，b------分子多項(xiàng)式系數(shù)向量a------分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，w------需計(jì)算的H(w)的抽樣點(diǎn)(數(shù)組w最少需包含兩個(gè)w的抽樣點(diǎn))。例3.20三階歸一化的Butterworth低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為w=linspace(0,5,200);b=[1];a=[1221];h=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(h));subplot(2,1,2);plot(w,angle(h));

試畫(huà)出|H(w)|和

(w)。3.5.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析3.5.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析系統(tǒng)響應(yīng)頻域分析小結(jié)優(yōu)點(diǎn)：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以直觀(guān)地體現(xiàn)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后信號(hào)頻譜的改變，解釋激勵(lì)與響應(yīng)波形的差異，物理概念清楚。不足：

（1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)不能求解。（2）若激勵(lì)信號(hào)不存在傅立葉變換，則無(wú)法利用頻域分析法。（3）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復(fù)雜。解決方法：采用拉普拉斯變換3.5.3正弦信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)設(shè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入激勵(lì)信號(hào)為由歐拉公式可得由虛指數(shù)信號(hào)ejwt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點(diǎn)及系統(tǒng)的線(xiàn)性特性，可得零狀態(tài)響應(yīng)y(t)為3.5.3正弦信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)同理可得，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為當(dāng)為實(shí)數(shù)

可得:系統(tǒng)的響應(yīng)為：例3.21

計(jì)算信號(hào)號(hào)

通過(guò)圖3.29所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，設(shè)。解：圖3.38所示系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為則系統(tǒng)的響應(yīng)為所以3.5.3正弦信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)輸入信號(hào)

和輸出信號(hào)

的波形如圖所示。從圖中可以看出，輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的低頻振幅幾乎相同，而頻率為3000rad/s的