線段及角的和差倍分計(jì)算

兩角和與差

一般地，如果一個(gè)角的度數(shù)是另兩個(gè)角的度數(shù)之和，那么這個(gè)角叫做另兩個(gè)角的和；如果一個(gè)角的度數(shù)是另兩個(gè)角的度數(shù)之差，那么這個(gè)角叫做另兩個(gè)角的差。兩條線段的和與差一般地，如果一條線段的長度是另兩條線段長度的和，那么這條線段叫做另兩條線段的和；如果一條線段的長度是另兩條線段長度的差，那么這條線段叫做另兩條線段的差。一線段的和差倍分及計(jì)算如圖1，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，C是線段AD的中點(diǎn)，若AB＝4cm，求線段CD的長度．教材回歸(七)線段及角的和差倍分計(jì)算圖1解：∵D是線段AB的中點(diǎn)，AB＝4cm，∴AD＝BD＝2cm.∵C是線段AD的中點(diǎn)，∴AC＝CD＝1cm，∴CD＝1cm.【思想方法】(1)數(shù)有加減乘除四則運(yùn)算，線段有和差倍分四則運(yùn)算．(2)線段的和差倍分四則運(yùn)算，關(guān)鍵是正確地畫出圖形，有時(shí)需要分類討論．(3)對于比較復(fù)雜的題目需畫出圖形，可設(shè)某條線段為x，再結(jié)合已知量找出等量關(guān)系，列一元一次方程求解．在一條直線上順次取A，B，C三點(diǎn)，已知AB＝5cm，點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，且OB＝1.5cm，則BC的長是(

)A．6cm

B．8cmC．2cm或6cm D．2cm或8cmD如圖2，某汽車公司所運(yùn)營的公路AB段有四個(gè)車站依次是A、C、D、B，AC＝CD＝DB.現(xiàn)想在AB段建一個(gè)加油站M，要求使A、C、D、B站的各一輛汽車到加油站M所花的總時(shí)間最少，則M的位置(

)

圖2A．在AB之間

B．在CD之間C．在AC之間

D．在BD之間B【解析】根據(jù)題意把M的位置分別建在AC之間時(shí)，CD之間時(shí)，DB之間時(shí)，分別算出A、B、C、D站的各一輛汽車到加油站所行駛的總路程，然后進(jìn)行比較即可．變形2答圖(1)當(dāng)M的位置在AC之間時(shí)，A、B、C、D站的各一輛汽車到加油站所行駛的總路程＝AC＋MD＋MB＝4AC＋2MC；(2)當(dāng)M的位置在CD之間時(shí)，A、B、C、D站的各一輛汽車到加油站所行駛的總路程＝CD＋AM＋MB＝4AC；(3)當(dāng)M的位置在DB之間時(shí)，A、B、C、D站的各一輛汽車到加油站所行駛的總路程＝4AC＋2MD，綜上，在CD之間(含C、D點(diǎn))建一個(gè)加油站M時(shí)，所行駛的總路程最少，所行駛的總時(shí)間最少．

如圖3，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AC＜CB，D，E分別是AB，CB的中點(diǎn)，AC＝8，EB＝9，求線段DE的長．圖3

如圖4，線段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分別是CD，AB的中點(diǎn)，且MN＝2cm，求AB的長．圖4解：設(shè)AC，CD，DB的長分別為3a，4a，5a，∴CM＝2a，AB＝12a，AN＝6a，∴MN＝AN－AM＝6a－(3a＋2a)＝a＝2cm，∴AB＝12a＝24cm.

如圖5，點(diǎn)C分線段AB為5∶7，點(diǎn)D分線段AB為5∶11，已知CD＝10cm，求AB的長．圖5(1)求AB，AC的長度．(2)求線段MN的長度．圖6變形7答圖∴可設(shè)BD＝4y，DC＝7y，∴BC＝DC－DB＝7y－4y＝3y＝6，解得y＝2，∴DC＝7y＝14.∵E為DC的中點(diǎn)，∴CE＝7，∴BE＝CE－BC＝7－6＝1.同一端點(diǎn)的三條射線如圖，問：∠AOB+∠BOC==度∠AOC-∠BOC==度∠BOC=∠AOC-=度根據(jù)圖形填空∠AOC∠AOB∠AOB1103050二角的和差倍分及計(jì)算

如圖7，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．(1)如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？(2)如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB是多少度？圖7【思想方法】解這種題的方法主要是尋找出要求的角與相關(guān)的角之間的和差倍分關(guān)系．通過求出相關(guān)的角，從而求出要求的角．解：(1)∠BOD＝∠BOC＋∠COD，∵OB是∠AOC的平分線，∴∠BOC＝∠AOB＝40°.∵OD是∠COE的平分線，∴∠COD＝∠DOE＝30°，∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝70°；例2：如圖，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度數(shù)解：∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+30°=120°BP平分∠ABD∴∠ABP=∠ABD=×120°=60°OABCDE

如圖,OB是∠AOC的平分線,OD是∠COE平分線。如果∠AOC＝80°，∠COE＝70°,求∠DOB的度數(shù)．

變式1:已知O為直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠AOC，OF平分∠COB,求∠EOF的度數(shù)．ABECFO(3)如圖，若∠ABC=90°,∠CBD=20°,

則∠ABD=_____.BAPCD20o根據(jù)圖形填空：(1)∠ABD=∠CBD+____(2)∠CBD=∠PBD–____=∠ABD–____(4)在第(3)題的條件下，若BP平分∠ABD，則∠ABP=____，110°55°35°∠PBC=____.∠ABC∠PBC∠ABC請說明理由．AOBOBC∠AOC為∠AOB和∠BOC的和記作∠AOC=∠AOB+∠BOCOCBAOB∠AOC為∠AOB和∠BOC的差記作∠AOC=∠AOB-∠BOC若∠AOB=45°,∠BOC=30°,則∠AOC＝______∠AOC＝

∠AOB+∠BOC=____,∠AOC＝

∠AOB-∠BOC=____.頂點(diǎn)與一邊重合探索研究75°15°分類討論如圖8，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOE＝90°，∠COF＝90°.(1)圖中∠AOF的余角是______________________________(把符合條件的角都填出來)；圖8(2)圖中除直角相等外，還有相等的角，請寫出兩對：_________________________________________________．(3)如果∠AOD＝140°，那么根據(jù)____________________，可得∠BOC＝________．如果∠AOF＝70°，可得∠DOB＝_______．∠EOF，∠DOB，∠AOC∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC(答案不唯一)同角的補(bǔ)角相等140°20°如圖9所示，已知直線AB上一點(diǎn)O，∠AOD＝44°，∠BOC＝32°，∠EOD＝90°，OF平分∠COD，求∠FOD與∠EOB的度數(shù)．【解析】充分運(yùn)用角平分線，平角，互為余角，互為補(bǔ)角的概念進(jìn)行解答．圖9已知∠α和∠β互為補(bǔ)角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α，∠β.圖10解：設(shè)∠COD為x，∵∠EOF＝140°，∴∠EOD＋∠FOC＝140°－x.∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∴∠BOC＋∠AOD＝2(140°－x)．∵繞點(diǎn)O一周的角度是360°，∴有2(140°－x)＋100°＋x＝360°.解得x＝20°，∴∠COD＝20°.

如圖10，從點(diǎn)O引出6條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，∠EOF＝140°，求∠COD的度數(shù)．交流總結(jié)本節(jié)課學(xué)會了：1、兩根線段的和差仍然是線段

兩角的和與差仍是一個(gè)角，2、會進(jìn)行有關(guān)線段、角的簡單的推理說明1、如圖，OC平分∠AOB，下列說法錯(cuò)誤的是()A.∠1=∠2B.∠AOB=2∠1C.∠1+∠2=∠AOBD.∠1=∠AOBAOBC122、下列說法中正確的是()A兩個(gè)角的和為180°