角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)和誘導公式

第第頁三角函數(shù)專題一角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)和誘導公式一、基本知識1、角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形(2)角的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋轉方向不同分類)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按順時針方向旋轉形成的角,負角：按逆時針方向旋轉形成的角,零角：射線沒有旋轉)),\a\vs4\al(按終邊位置不同分類)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角,軸線角：角的終邊落在坐標軸上))))終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1，0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．（3）.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．4．三角函數(shù)的誘導公式（口訣：奇變偶不變，符號看象限）公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα題型精煉題型一角的認識例題（多選）(1)若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)可以是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案AC【解答】∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z．當k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角；當k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角．故選C．(多選）（2）在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為（）．A．135°B．－675°C．－315°D．215°答案BC【解答】所有與45°終邊相同的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，則令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．所以選擇BC練習(1)給出下列四個命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②－400°是第四象限角；③eq\f(4π,3)是第三象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．①②③B．①②C．②③④D．③④答案C【解答】－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①錯誤．eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，從而eq\f(4π,3)是第三象限角，②正確．－400°＝－360°－40°，從而③正確．－315°＝－360°＋45°，從而④正確．所以選擇C(2)已知點P(cosα，tanα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B【解答】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,sinα>0，))所以角α的終邊在第二象限．題型二扇形的弧長與面積公式例題（1）．扇形的弧長為12，面積為24，則圓心角的弧度數(shù)為答案3【解答】由扇形面積與弧長公式可得，，，故，解得弧度數(shù)（2）．已知某扇形的圓心角為弧度，其所對的弦長為，則該扇形的周長為（

）A． B． C． D．答案D【解答】由題意得：扇形的半徑，則該扇形的弧長，該扇形的周長為.故選：D.練習(1)已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是答案1【解答】設此扇形的半徑為r，弧長為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.))從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4或α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1．(2)若扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，則弧長l＝________cm．答案eq\f(8\r(3),3)π【解答】設扇形的半徑為rcm，如圖．由sin60°＝eq\f(\f(12,2),r)，得r＝4eq\r(3)，又α＝eq\f(2π,3)，所以l＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)π(cm)．題型三任意角的三角函數(shù)例題(1)如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為eq\f(4,5)，則cosα的值為()A．eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)答案D【解答】因為點A的縱坐標yA＝eq\f(4,5)，且點A在第二象限，又因為圓O為單位圓，所以A點橫坐標xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5)．(2)設α是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝()A．eq\f(4,3)B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)答案D【解答】因為α是第二象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x＜0，即x＜0．又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))．解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3)．練習（1）．已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解答】根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，．故選：A．（2）．已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解答】解：由題意得.題型四同角三角函數(shù)關系例題（1）．已知角α的終邊經(jīng)過點P（1，m），且sinα=?31010A．±1010 B．?1010 C．10【答案】C【解答】解：因為角a的終邊經(jīng)過點P（1，m），所以OP=因為sinα=?31010所以m＝﹣3．（正值舍）故cosα=1故選：C．（2）．已知a是第二象限角，tanα=?13，則cosA．31010 B．?31010 【答案】B【解答】解：∵α為第二象限角，tanα=?1∴cosα=?1故選：B．練習（1）．(多選）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【解答】因為，則為第一象限角或者第二象限，所以或．故選：AB．（2）．已知cosα=，tanα=1，則sinα=（

）A． B． C． D．【答案】B【解答】.故選：B題型五齊次方程例題（1）．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因為，所以，故選：D.（2）．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解答】因為，故故選:C.練習（1）．已知tanα＝2，則2sinA．9 B．6 C．﹣2 D．﹣3【答案】A【解答】解：因為tanα＝2，則2sin故選：A．（2）．已知tanα=?12，則A．?54 B．?58 C．【答案】B【解答】解：1sin2α?co故選：B．題型六誘導公式例題（1）．已知sin（π+α）=35，則【答案】?【解答】解：∵s