專題3.2勾股定理的逆定理（原卷版）

《講亮點(diǎn)》20222023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材同步配套講練《蘇科版》專題3.2勾股定理的逆定理【教學(xué)目標(biāo)】1、了解勾股定理的逆定理的證明方法和證明過(guò)程；2、掌握勾股定理的逆定理，并能判定一個(gè)三角形是否為直角三角形；3、會(huì)運(yùn)用勾股定理的逆定理解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1、勾股定理的逆定理的證明和運(yùn)用；2、勾股定理的逆定理的證明。【知識(shí)亮解】知識(shí)點(diǎn)：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：勾股定理是以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一個(gè)三角形的三邊滿足a2+b2=c2”為條件，進(jìn)而得出這個(gè)三角形是直角三角形，是識(shí)別一個(gè)三角形是直角三角形的重要依據(jù)。聯(lián)系：（1）兩者都與三角形三邊關(guān)系a2+b2=c2有關(guān)；（2）兩者都與直角三角形有關(guān)。2.勾股數(shù)：滿足關(guān)系a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。常見(jiàn)的勾股數(shù)有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；亮題一：判斷直角三角形【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【例1】★在以線段，，的長(zhǎng)三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【例2】★如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形D．以上答案都不對(duì)【例3】★在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，則（）A．∠A為直角 B．∠C為直角C．∠B為直角D．不是直角三角形【例4】★★已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，且BE2﹣EA2=AC2，①求證：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的長(zhǎng)．【例5】★★如圖所示，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB，CD，EF，GH四條線段,其中能構(gòu)成直角三角形三邊的線段是()A.CD，EF，GHB.AB，EF，GHC.AB，CD，GHD.AB，CD，EF亮題二：勾股數(shù)相關(guān)問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】勾股數(shù)的求法：如果a為1個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).【例1】★下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組．（填寫(xiě)數(shù)量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【例2】★下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10【例3】★已知a=3，b=4，若a，b，c能組成直角三角形，則c=（）A．5 B． C．5或 D．5或6【例4】★★我們把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三個(gè)稱為勾股數(shù)．現(xiàn)請(qǐng)你用計(jì)算器驗(yàn)證下列各組的數(shù)是否勾股數(shù)．你能發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律嗎？請(qǐng)完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；_______，_______；…【例5】★★我們把滿足方程x2+y2=z2的正整數(shù)的解（x、y、z）叫做勾股數(shù)，如，（3，4，5）就是一組勾股數(shù)．（1）請(qǐng)你再寫(xiě)出兩組勾股數(shù)：（），（）；（2）在研究直角三角形的勾股數(shù)時(shí)，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數(shù)，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z為三邊的三角形為直徑三角形（即x，y，z為勾股數(shù)），請(qǐng)你加以證明．亮題三：勾股定理逆定理的應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【例1】★★如圖，已知在四邊形中，，，，，．（1）連結(jié)，求的長(zhǎng)；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【例2】★一艘輪船和一艘漁船同時(shí)沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向行60海里到達(dá)點(diǎn)M處，同一時(shí)刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點(diǎn)N處，若M、N兩點(diǎn)相距100海里，則∠NOF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【例3】★★如圖，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，該圖形的面積等于_________．【例4】★★如圖所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE為AB邊上的高，DE=12cm，△ABE的面積S=60cm2．（1）求出AB邊的長(zhǎng)；（2）你能求出∠C的度數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕玖咙c(diǎn)訓(xùn)練】1．滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三內(nèi)角之比為 B．三邊長(zhǎng)的平方之比為C．三邊長(zhǎng)之比為 D．三邊長(zhǎng)之比為2．一個(gè)三角形三邊滿足，則這個(gè)三角形的形狀是（

）．A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．工人師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形形狀的模具，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．30、40、50 B．8、15、17 C．12、35、37 D．13、16、184．如圖，在一塊四邊形ABCD空地種植草皮，測(cè)得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，則需要投資（

）A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．無(wú)法確定5．有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，從中選出三根恰好可以圍成一個(gè)直角三角形，這個(gè)直角三角形的面積是（

）A．6 B．10 C．7.5 D．13.56．在中，，，上的高長(zhǎng)為，則的面積為_(kāi)_____．7．若三角形三邊滿足，且三角形周長(zhǎng)為24cm，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為_(kāi)_．8．如圖，點(diǎn)D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．9．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則_____．10．如圖，中，，，，為邊的中點(diǎn)，則______．11．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小明以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)出了．(1)小華看了看說(shuō)，是直角三角形，你同意他的觀點(diǎn)嗎？說(shuō)明理由．(2)在中，求邊上高的長(zhǎng)．12．如圖，在一塊四邊形空地種植草皮，測(cè)得，，，且．若每平方米草皮需要200元，則需要投資多少錢(qián)？13．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，BC=20cm，BD=16cm，CD=12cm，求BC邊上的高．14．已知：如圖，，，，，，求四邊形的面積．15．如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，D是BC邊上一點(diǎn)，AD＝12，CD＝9．(1)求證：；(2)若E是邊AC的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)．【培優(yōu)檢測(cè)】1．下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，52．已知a，b，c是某三角形的三邊，滿足，則此三角形的面積為（

）A．30 B．60 C．78 D．32.53．如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°4．如圖是用三塊正方形紙片設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案，其中三塊正方形圍成的三角形是直角三角形．現(xiàn)有若干塊正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選取）按圖的方式組成圖案，則下列選取中，圍成的直角三角形面積最大的是（

）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，45．如圖是醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖，超市B在醫(yī)院O的南偏東25°的方向上，且到醫(yī)院O的距離為30m，公園A到醫(yī)院O的距離為40m．若AB之間的距離為50m，則公園A在醫(yī)院O的（

）．A．北偏東75°方向上 B．北偏東65°方向上C．北偏東55°方向上 D．北偏西65°方向上6．如圖，正方形網(wǎng)格中每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，點(diǎn)，，為格點(diǎn)，點(diǎn)為與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則__________．7．如圖，已知點(diǎn)D為邊上的中點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)___________．8．如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為“格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這五個(gè)格點(diǎn)中的任意三點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)畫(huà)三角形，其中直角三角形有______個(gè)．9．如圖，的兩外角平分線交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)G，連接BG，使得，若的面積為4，，則線段BD的長(zhǎng)度為_(kāi)________．10．如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，如果將△ACD沿AD翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么CE的長(zhǎng)等于________.11．某港口位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里．它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里．求PQ、PR的長(zhǎng)．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行？為什么？12．如圖，請(qǐng)按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格中選擇三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形；①三邊為有理數(shù)②三邊為無(wú)理數(shù)③兩邊是無(wú)理數(shù)，一邊是有理數(shù)．13．如圖，在Rt△A